人教版九年级数学下册相似三角形应用举例教案

人教版九年级数学下册相似三角形应用举例教案

一、课标依据与核心素养分析

课程标准定位：

本节课内容隶属于《义务教育数学课程标准（2022年版）》中“图形与几何”领域。课标明确要求：通过具体实例，认识图形的相似，探索并证明相似三角形的判定定理和性质定理；会利用图形的相似解决一些简单的实际问题。强调在解决实际问题中，发展学生的几何直观、推理能力、模型观念和应用意识。

核心素养指向：

1.几何直观：引导学生从复杂的现实场景中抽象出几何图形，识别并构造相似三角形，建立图形与问题之间的直观联系。

2.推理能力：在证明线段成比例、计算未知量时，经历严谨的逻辑推理过程，阐述每一步的依据（相似三角形的性质或判定定理）。

3.模型观念：核心素养体现的焦点。学生需要经历“从实际问题情境中识别关键要素→抽象为几何模型（相似三角形）→利用模型性质进行数学求解→回归实际解释结果”的完整建模过程，深刻体会相似三角形作为数学模型在解决一类测量问题中的普适性和有效性。

4.应用意识：有意识地利用数学概念、原理和方法，理解和解决现实世界中与测量、估算、设计相关的真实问题，感受数学的应用价值。

二、教材分析与整合

本节地位：

本节课位于人教版九年级下册第二十七章“相似”的第三节。它是在学生系统学习了相似三角形的定义、判定定理（AA,SAS,SSS）和基本性质（对应角相等，对应边成比例，对应高、中线、角平分线、周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方）之后，首次集中、系统地学习如何将这些理论成果应用于解决实际问题。它是本章从理论走向实践的关键转折点，是检验和升华学生对相似三角形理解的重要环节，也是培养学生数学建模能力的绝佳载体。

内容结构：

教材通常选取了“测量金字塔高度（太阳光下影长法）”、“估算河流宽度（构造‘X’型相似）”等经典问题作为例题。其内在逻辑是：由简单的、可直接利用平行投影（太阳光）构造相似的情境，过渡到需要主动添加辅助线构造“A”型或“X”型相似模型的更具挑战性的情境。这种递进关系符合学生的认知规律。

跨学科视野与整合：

1.与物理学的联系：“太阳光下测量高度”本质上利用了光在同种均匀介质中沿直线传播（光学）的原理，影子是光的直线传播被物体阻挡形成的。可以引申到光学中的“小孔成像”原理，其本质也是相似三角形。

2.与历史、地理的联系：介绍泰勒斯测量金字塔高度的历史典故，融入数学史教育，体现数学文化。测量河宽、山高等问题，与地理测绘、工程勘测紧密相关。

3.与现代技术的联系：引导学生思考，在无人机航测、卫星遥感、全站仪测量等现代技术中，其背后的几何原理往往离不开相似或三角学。为后续高中学习解三角形、立体几何埋下伏笔。

三、学情诊断

九年级学生已具备以下基础：

1.知识基础：熟练掌握了全等三角形的知识与证明，基本掌握了相似三角形的判定与性质。

2.能力基础：具备一定的几何识图、构图能力，能够进行简单的逻辑推理和代数运算。

3.经验基础：在生活中对影子、缩放地图、视力表等有感性认识，但对其中蕴含的数学原理缺乏理性思考和主动应用。

可能存在的学习障碍：

1.建模障碍：从文字描述或实物场景中抽象出有效的几何图形（相似三角形）是最大的难点。学生常常“看不到”或“画不出”关键的相似三角形。

2.构造障碍：在面对不能直接应用现成相似形的问题时（如测河宽），如何通过添加辅助线（如平行线）构造出“A”型或“X”型相似，需要较强的创造性思维和几何直观。

3.对应障碍：在列出比例式时，容易混淆对应边，导致比例关系错误。

4.计算障碍：涉及的比例方程可能包含分式，求解过程需要扎实的代数功底。

四、教学目标

基于以上分析，确立以下三维教学目标：

1.知识与技能：

1.能识别实际问题情境中蕴含的相似三角形模型。

2.能根据题意，通过添加适当辅助线，构造出用于解决问题的相似三角形。

3.能准确利用相似三角形的性质，列出关于未知线段的比例方程。

4.能熟练求解比例方程，得出实际问题的答案，并解释其合理性。

2.过程与方法：

1.经历“实际问题→数学建模→求解模型→检验解释”的完整过程，体会数学模型思想。

2.通过观察、操作、思考、交流、归纳等活动，积累利用相似三角形解决测量问题的活动经验。

3.掌握解决“不可直接到达的两点间距离”或“不可直接测量的物体高度”等一类问题的通用方法。

3.情感、态度与价值观：

1.在探究古人智慧（如泰勒斯测高）和解决现代问题的过程中，感受数学的悠久历史、文化价值与应用魅力。

2.通过小组合作解决挑战性问题，增强团队协作意识和探索精神。

3.在成功应用数学知识解决实际问题后，获得成就感，进一步激发学习数学的兴趣和自信心。

五、教学重难点

1.教学重点：运用相似三角形的性质解决实际测量问题。

2.教学难点：从实际问题中抽象出相似三角形模型，以及根据问题需要构造相似三角形。

突破策略：

1.针对抽象建模难点：采用“情境实物演示→多媒体动态演示→学生动手画图”三步走策略，将抽象过程可视化、具体化。例如，用激光笔模拟太阳光，照射实物模型，观察影子变化。

2.针对构造难点：设计问题串，引导学生从“直接可用”的相似到“需要构造”的相似，步步深入。强调构造平行线的目的是为了“创造”相等的角（同位角或内错角），从而满足相似三角形的判定条件。

3.针对对应关系难点：在列出比例式时，要求学生用不同颜色的笔标注出相似三角形的对应顶点和对应边，养成规范习惯。

六、教学准备

1.教师准备：多媒体课件（包含动画演示、历史故事、实际问题图片）、激光笔、小型几何体（如棱锥模型）、直尺、三角板、教学设计详案、分层任务卡。

2.学生准备：复习相似三角形的判定与性质，直尺、圆规、量角器、练习本。

3.环境准备：将学生分为4-6人异质小组，便于合作探究。

七、教学过程设计(核心环节，详述)

第一课时

环节一：创设情境，孕伏模型（约8分钟）

活动1：历史回眸，激发兴趣

教师讲述：“两千多年前，古希腊学者泰勒斯游历埃及时，只用一根木棍和太阳的影子，就测量出了金字塔的高度，震惊了法老和祭司。今天，我们就来解密这个古老的数学智慧。”

（PPT展示金字塔图片和泰勒斯的画像，营造历史氛围）

活动2：生活观察，感知联系

提问：“每天阳光下，我们的影子时长时短，影子的长度和我们的身高有什么关系？和太阳的位置又有什么关系？”

引导学生定性回答：太阳越高，影子越短；在同一时刻，身高不同的人，影长与身高成比例。

演示实验：在讲台上固定一个长方体模型（代表被测物体），用激光笔（代表平行太阳光）从不同角度照射，请学生观察“物体高度H”、“影子长度L”和“光线角度”的关系。

追问：当激光笔（太阳光）方向不变时，如果我知道了模型的高度和影长，以及另一个物体在同一时刻的影长，能否求出另一个物体的高度？

学生基于生活经验，容易产生猜想：可以，因为“比例应该是一样的”。

设计意图：从历史和生活中提取问题，赋予数学学习以文化和生活气息，激发学生的探究欲望。通过简易实验，将抽象的光线照射过程具象化，为后续的数学抽象做好坚实的经验铺垫。

环节二：抽象建模，初探新知（约15分钟）

活动1：将实验“数学化”

将刚才的演示定格。教师引导：“现在，让我们用数学的眼光来审视这个场景。请同学们在练习本上画出这个测量示意图。”

学生尝试画图。教师巡视，选取有代表性的图例（可能有的画得不够精确或缺少关键元素）进行投影展示。

活动2：协同建构，形成模型

教师通过一系列问题引导学生修正和完善图形：

1.“太阳光线是平行的，在图中如何表示？”（引导学生画出平行线）

2.“物体和影子分别对应图中的哪部分？”（通常用垂直于地面的线段表示物体，用地面上的线段表示影长）

3.“我们测量的‘身高’和‘影长’，在图中是哪些线段的长度？”

4.“最关键的是，图中哪些角是相等的？为什么？”（由于光线平行，同位角或内错角相等）

5.“那么，图中存在相似三角形吗？请指出来，并说明理由。”

经过师生共同梳理，得到标准图形：两个直角三角形（一个由物体高度及其影子构成，一个由木棍高度及其影子构成），因为两个直角相等，且由于光线平行，另一组锐角（光线与地面的夹角）也相等。根据“AA”定理，两三角形相似。

活动3：建立方程，归纳方法

设金字塔高为H，影长为L，木棍高为h，木棍影长为l。

根据相似三角形对应边成比例，得到：H/h=L/l

，即H=(L/l)*h

。

教师强调：在同一时刻，太阳光线下，所有垂直于地面的物体的高度与其影长之比是定值。这就是解决此类问题的数学模型。

设计意图：这是培养学生模型观念的关键步骤。引导学生亲自经历从物理场景到几何图形的抽象过程，通过问答式引导，让学生自己“发现”图形中的平行线和等角，从而“证明”相似关系的存在，而非直接告知。让学生体验数学建模的严谨与力量。

环节三：典例精析，规范步骤（约12分钟）

出示例题1（教材例3变形）：据史料记载，泰勒斯当时测得金字塔正方形底面的边长约为230米。他立下一根1米长的木杆，测得影长为2米。与此同时，金字塔的影长（从金字塔中心顶点在地面的投影到影子末端的距离）约为（待计算）米。请估算金字塔的高度。

教学处理：

1.学生自主阅读审题。

2.教师引导分析难点：“金字塔的影子长度L，就是图中从顶点投影到影子末端的距离吗？”（不是，需要加上底边边长的一半。此处涉及简单的空间想象，教师可用模型示意或动画演示）

3.学生小组讨论：如何确定L？然后尝试独立书写解题过程。

4.教师板书示范规范解题步骤：

1.5.步骤一：审题与建模。画出符合题意的几何图形（如右图），并标出已知量和未知量。明确相似三角形对（△ABC∽△A'B'C'）。

2.6.步骤二：说明相似依据。∵太阳光线是平行的，∴∠ACB=∠A'C'B'。又∵AB⊥BC，A'B'⊥B'C'，∴∠ABC=∠A'B'C'=90°。∴△ABC∽△A'B'C'。

3.7.步骤三：列出比例方程。AB/A'B'=BC/B'C'

。

4.8.步骤四：代入求解。代入已知数据AB/1=(115+196)/2

，解得AB=155.5。

5.9.步骤五：作答与反思。因此，金字塔的高度约为155.5米。此结果是一个估算，因为测量存在误差，且模型假设了地面是水平的。

10.归纳“影长测高法”要点：

1.11.适用条件：有平行光（太阳光、灯光），可同时测量参照物和被测物的影长。

2.12.核心模型：两个相似直角三角形。

3.13.关键步骤：画图建模、证相似、列比例、求解、作答。

设计意图：通过一个稍复杂于教材的例题，训练学生处理实际数据、理解影子构成的能力。教师完整的板书示范，为学生提供了严谨的解题范式，强调了数学表达的规范性和逻辑的完整性。

环节四：变式迁移，内化方法（约10分钟）

探究活动：如果那天是阴天，没有太阳，泰勒斯还能测出金字塔高吗？

（学生可能会想到用火把、灯笼等人造光源。教师予以肯定，并指出其本质仍是“平行光”测高，但需保证光源足够远，使得光线近似平行。）

变式训练1（测内高）：教室里，我有一根教学用的长木杆。如何测量教室的房梁高度？（灯光下）

变式训练2（测楼距）：如图，小明想估算教学楼与对面办公楼的距离。他站在教学楼前一点C，观察到办公楼顶A的仰角可以通过测角仪测得（此处暂时忽略角度，用视线替代），他后退到点D，再次观察。已知小明身高1.6m，CD=2m，他需要测量哪些长度，才能算出两楼距离？原理是什么？

（此题实为“构造X型相似”的伏笔，学生可能想到利用两次观测形成的相似三角形。）

设计意图：通过改变条件（光源、测量对象），促进学生对方法本质的理解——只要构造出包含未知量和已知量的相似三角形即可。变式2为下节课的难点“主动构造相似”做了铺垫，引发学生课后的思考。

第二课时

环节一：情境进阶，挑战新模（约10分钟）

创设情境：（PPT展示一条宽阔的河流图片）“工程师需要测量河流的宽度AB，但无法直接趟过河去。他只在河的这一岸有测量工具。他能完成任务吗？”

头脑风暴：学生以小组为单位，讨论可能的测量方案。教师鼓励各种奇思妙想。

可能的方案：利用全等三角形（“ASA”，需到对岸定点）；利用等腰三角形；利用相似三角形……

聚焦问题：“如果我们坚持不过河，也不借助会飞的高科技设备，只用最简单的皮尺和测角仪（或仅用皮尺），利用相似三角形的知识，能否解决？”

设计意图：提出一个更具挑战性的真实问题，激发学生的探究热情。开放性的讨论旨在激活学生的思维，让他们意识到解决问题的多样性，并为引出本节课的核心构造方法做铺垫。

环节二：合作探究，构造模型（约20分钟）

活动1：方案引导与尝试

教师引导：“我们的目标是得到河宽AB。既然过不去，我们就在这一岸构造一条线段，使它既能被我们直接测量，又与AB存在确定的比例关系。相似三角形正好能建立这种比例关系。”

核心提示：要构造两个相似三角形，使AB是其中一个三角形的一条边，而我们构造的线段是另一个三角形的对应边。

活动2：探究“X”型相似构造法（教材例4思路）

教师提供脚手架问题串：

1.在河岸这一边，我们能否找到一个点C，使得可以同时看到A和B？（可以，点C就在岸边）

2.连接AC并延长，我们能否在延长线上确定一个点E，使得我们可以测量CE？如何确定E点？（可以，随便取一点E即可测量）

3.连接BC。现在，关键的一步来了！要构造相似三角形，我们需要一条平行线。过点E，作哪条线的平行线最有希望构造出包含AB的相似三角形？（引导学生思考：作AB的平行线，但AB在对岸，无法直接触及。那么作BC的平行线呢？）

4.动画演示：过点E作EF//BC，交AB的延长线（或AC的连线，需厘清）于点D。教师规范语言：“过点E作BC的平行线，交AC于点D”。

5.让学生观察图形，寻找相似三角形。（△ABC与△ADE）提问：为什么它们相似？（∵EF//BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，AA相似）

6.比例关系是什么？AB/AD=BC/DE

。这个式子有用吗？AB是我们要求的，AD可以测量吗？（A在对岸，不能）BC可以测量吗？（不能，B在对岸）。看来这个构造不行。

活动3：探究“A”型相似构造法（成功方案）

教师引导：“刚才的构造失败了，因为我们列出的比例式中依然含有不可直接测量的边（BC）。我们需要让不可测量的边在比例式中‘抵消’掉。让我们换一种构造平行线的方式。”

动画演示/教师画图：在岸边选择点C，延长AC至点E，使CE可测。延长BC至点D，使CD可测。连接ED。

提问：如果我们能保证ED//AB，那么图中存在哪组相似三角形？（△ABC∽△EDC）

为什么相似？（∵ED//AB，∴∠CED=∠CAB，∠CDE=∠CBA，AA相似）

请写出比例式：AB/ED=BC/DC=AC/EC

。

这个比例式中，哪些量是可测的？哪些是未知的？

（ED,DC,EC都是可以在河岸这一边测量的；BC和AC不可测，但AB在分子上，我们不需要单独求出BC或AC。）

由AB/ED=AC/EC

，得AB=(AC/EC)*ED

。但AC不可测？！

仔细看，AB/ED=BC/DC

也含有不可测量BC。怎么办？

活动4：发现关键，优化方案

教师点醒：我们发现，两个比例式都混入了不可直接测量的边（AC或BC）。有没有办法只用一个完全由可测量边组成的比例式来求AB？

观察图形，在相似三角形△ABC和△EDC中，AB/ED=(AC/EC)

和AB/ED=(BC/DC)

。如果我能让AC=EC或者BC=DC，那么比例就简化了！

也就是说，如果我取点E，使得EC=AC；取点D，使得DC=BC。那么会发生什么？

此时，AB/ED=AC/EC=1

，所以AB=ED！

而ED的长度完全可以在河岸这一边测量得到！

这就是最精妙的“全等构造法”（实为相似比为1的特殊相似）。但在实际操作中，精确做到EC=AC和DC=BC并不容易。

活动5：回归通用“A”型构造法（标杆法）

更通用的方法是：在岸边选择一点C，测量AC的距离（可以吗？不行，A在对岸）。等等，我们陷入循环了。必须放弃直接测量AC或BC的想法。

经典“标杆法”图示（教材例4）：

在点C处，确保可以同时看到A和B。在AC的延长线上取点D，测量CD的距离。在BC的延长线上取点E，确保E、D、A在一条直线上？不，标准做法是：调整点E的位置，使得点D、E和河对岸的点B三点共线。

此时，图中存在哪两组相似三角形？

首先，由观测基线CD和CE的构造，可以证明△ACB∽△DCE吗？角的条件似乎不直接。

实际上，标准模型中：测量者从点C沿垂直于AB的方向走到点D，测量CD。然后继续走到点E，使得从点E看过去，点A和河对岸的点B重合（即A、B、E三点共线）。此时，构造出了“A”型相似：△ABE∽△DCE。

因为AB//DC（都垂直于河岸），所以∠A=∠EDC，∠B=∠DEC。故相似。

比例式：AB/DC=AE/DE

。但AE仍不可测。

关键点：由于A、B、E共线，且AB//DC，实际上有△ABC∽△EDC吗？需要仔细对应顶点。

更清晰的表述（教材方法）：

1.在河岸这边选点B'，使AB'与河岸垂直（AB'可测）。

2.在BB'的延长线上选点C，使A、C、B（对岸）三点共线。

3.测量B'C和BC的长度。

4.由△AB'C∽△ABC，得AB'/AB=B'C/BC

，其中AB'、B'C、BC均可测，即可解出AB。

教师在此处应通过精心绘制的分步动画，清晰地展示标杆法的操作步骤和几何原理，确保学生理解“三点共线”的瞄准操作是如何创造出相等的角，从而得到相似三角形的。

设计意图：这是本节课的难点和高潮。通过暴露失败方案、分析原因、优化思路、最终引出成功方案的过程，再现数学探索的真实曲折性。让学生在“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的体验中，深刻理解构造相似三角形的动机和技巧——通过创造平行或共线条件来“制造”等角。教师的引导和动画演示至关重要。

环节三：归纳对比，形成体系（约5分钟）

引导学生对比两节课学习的两种主要方法：

方法

适用场景

核心条件

模型特点

关键操作

影长测高法

测量高度、有平行光

平行光线

两个“自然”存在的相似Rt△

同时测量参照物与被测物影长

构造测距法

（如测河宽）

测量不可到达两点距离

可构造平行线或共线

主动添加辅助线构造“A”型或“X”型相似

利用标杆、皮尺创造等角条件

共同本质：都将实际问题转化为寻找或构造相似三角形的问题，利用对应边成比例建立方程求解。

设计意图：通过对比归纳，帮助学生将零散的知识和方法系统化、结构化，形成解决“利用相似进行间接测量”这一类问题的策略性知识，提升元认知水平。

环节四：综合应用，拓展升华（约10分钟）

挑战性问题：

如图，为了测量一个峡谷的深度（从A点到谷底B点的垂直距离AB），测量队在峡谷边缘平地上选择了点C和点D，使得CD与AB垂直，且B、C、D三点在同一条水平线上。他们测得CD=20米，在点C处测得点A的俯角为45°，在点D处测得点A的俯角为30°。求峡谷的深度AB。

（提示：俯角是从水平线向下看目标的视线与水平线的夹角。设AB=x，利用Rt△中的边角关系和相似思想，或直接利用锐角三角函数知识建立方程求解。此题可作为连接相似与三角函数的桥梁。）

设计意图：提供一道融合了相似三角形思想（本质是几何比例关系）和初步三角函数知识的综合题，满足学有余力学生的需求，也为下一章《锐角三角函数》的学习埋下伏笔，体现知识的连贯性和发展性。

八、板书设计（计划两课时）

第一课时板书

课题：27.2.3相似三角形的应用（一）——影长测高法

一、历史与问题：泰勒斯如何测金字塔？

二、实验与抽象：

1.条件：平行光线（太阳光）

2.图形抽象：[画出标准图形，标出△ABC∽△A'B'C']

3.原理：∵AB∥A'B'(光平行)∴∠...=∠...∴△ABC∽△A'B'C'(AA)

三、数学模型：H/h=L/l

四、例题示范：（规范步骤区）

步骤：1.建模画图2.说明相似3.列出比例4.代入求解5.作答反思

五、方法要点：同一时刻，物高与影长成正比。

第二课时板书

课题：27.2.3相似三角形的应用（二）——构造测距法

一、新挑战：不过河，测河宽AB

二、探究之路：

方案1（X型）：[图示]→失败（比例中含不可测边）

方案2（A型-全等构想）：[图示]EC=AC,DC=BC→AB=ED（理想化）

方案3（标杆法-通用A型）：[标准图示]

*操作：垂直定位，调整共线。

*原理：∵AB∥A'B'∴∠...=∠...∴△APB∽△A'PB'(AA)

*模型：AB/A'B'=PB/PB'

三、归纳对比：（表格形式，见上）

四、核心思想：转化与构造→创造等角→得到相似→利用比例。

九、分层作业设计

A组（基础巩固，全体完成）：

1.教材课后练习题第1、2题（影长测高类）。

2.在一阳光下，测得身高1.5m的同学的影长为2m，同时测得教学楼的影长为24m，则教学楼的高度是多少？

3.如图，小明用自制的直角三角板DEF测量树高AB。他调整位置，使斜边DF保持水平，边DE与树顶A在同一直线上