五年(2021-2025)中考数学真题分类汇编(新疆专用)18：圆（教师版）

专题18圆（解析版）1．（2025·新疆·中考真题）如图，为的直径，C为上一点，于点F，，交于点G，交于点D．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析；(2)【解析】（1）证明：连接，∵于点F，∴,∵∴，∵∴，∴，即∵是的半径，∴是的切线；（2）∵为的直径，∴∵，∴，∴∵，∴∵∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，设，则，∵，∴∴，∵，∴，∴解得，∵∴解得，∴∴，∴2．（2024·新疆·中考真题）如图，在中，是的直径，弦交于点E，．(1)求证：；(2)若，求的长．【答案】(1)见解析；(2)【解析】（1）证明：∵，∴，又，∴；（2）解：∵是的直径，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴E到、的距离相等，设E到的距离为，C到的距离为，∴，∴，∴，∵，∴，即，∴．3．（2023·新疆·中考真题）如图，是的直径，点，是上的点，且，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点，过点作于点，交于点．

(1)求证：是的切线；(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析；(2)【解析】（1）证明：如图所示，连接，

∵，∴，∵，∴∵，∴，∴∴∵∴∵是半径，∴是的切线；（2）解：如图所示，连接，

∵，，设，则∴，∴，即解得：，∵，∴∵∴，∴，∵是直径，∴，∴，∴，又，∴，∴,，∴，∴，解得：，∴∴，∵是的直径，∴，∵，∴∴，∴，∴，设，则，∴，∵,,∴，∵，∴∴，∴，∵，∴，∴．4．（2022·新疆·中考真题）如图，⊙是的外接圆，AB是⊙的直径，点D在⊙上，，连接AD，延长DB交过点C的切线于点E．(1)求证：；(2)求证：；(3)若，求DB的长．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)【解析】（1），（2）如图，连接是的切线，四边形是的内接四边形，（3）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵AC=4，BC=3，∴AB==5，CD=AC=4∵∠ACB=∠E=90°，∠CAB=∠CDB，∴△ACB∽△DEC，∴，∴，∴DE=，∵∠CBE=∠ABC，∠ACB=∠E=90°，∴△ACB∽△CEB，∴，∴，∴BE=，∴BD=DE-BE=，∴DB的长为．5．（2021·新疆·中考真题）如图，AC是⊙O的直径，BC，BD是⊙O的弦，M为BC的中点，OM与BD交于点F，过点D作，交BC的延长线于点E，且CD平分．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）求证：；（3）若，，求BF的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】（1）如图，连接OD，AD，∵AC为直径，∴∠ADC=90°，∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=∠ECD，∵DE⊥BC，∴∠DEC=90°，∴∠CAD=∠CDE，∵∠CAD=∠ADO，∴∠ADO=∠CDE，∴∠ADO+∠ODC=∠ODC+∠CDE，即：∠ADC=∠ODE，∴∠ODE=90°，∵OD为半径，∴DE是⊙O的切线；（2）如（1）图，可得∠CDE=∠CAD，根据同弧所对的圆周角相等，可得∠CAD=∠DBE，∴∠CDE=∠DBE；（3）解：Rt△CDE中，DE=6，tan∠CDE=，∴，∴CE=4，由（2）知∠CDE=∠DBE，Rt△BDE中，DE=6，tan∠DBE=，∴，∴BE=9，∴BC=BE-CE=5，∵M为BC的中点，∴OM⊥BC，，Rt△BFM中，，∴，∴，∴．6．（2025·乌鲁木齐十三中·三模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G．(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)设AB=x，AF=y，用含x，y的代数式表示线段AD的长；(3)若BE=8，sinB=，求DG的长．【答案】(1)见解析；(2)AD=；(3)DG=．【解析】（1）证明：如图，连接OD，∵AD为∠BAC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD，∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD，∴∠ODA=∠CAD，∴OD∥AC，∵∠C=90°，∴∠ODC=90°，∴OD⊥BC，∴BC为圆O的切线；（2）解：连接DF，由（1）知BC为圆O的切线，∴∠FDC=∠DAF，∴∠CDA=∠CFD，∴∠AFD=∠ADB，∵∠BAD=∠DAF，∴△ABD∽△ADF，∴，即AD2=AB•AF=xy，则AD=；（3）解：连接EF，在Rt△BOD中，sinB=．设圆的半径为r，∴，解得r=5，∴AE=10，AB=18．∵∠AFE=∠C=90°，∴AF=AE·sin∠AFE=，∵AF∥OD，∴，∴DG=AD∵AD=，∴DG=．7．（2025·新疆乌鲁木齐·三模）如图，在中，，，两点分别在边，上，过，两点的与相交于点，连接，，．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的半径．【答案】(1)证明见解析；；(2)的半径为．【解析】（1）证明：连接，∵，∴，∵是的直径，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵是的半径，∴是的切线；（2）解：连接，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴的半径为．8．（2025·乌鲁木齐·五月学业测试）如图1，是的直径，点D为下方上一点，点C为弧的中点，连结，，．(1)求证：平分．(2)如图2，延长，相交于点E．①求证：．②若，，求的半径．【答案】(1)证明见解析；(2)5【解析】（1）证明∵点C为弧的中点，∴，∴，，∴平分；（2）①证明：∵是的直径，∴，∴，∵，∴②如图2，连接，则，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，设的半径为r，则，∵，∴，∵，∴，整理得，解得，（不符合题意，舍去），∴的半径为5．9．（2025·乌鲁木齐沙区·九年级适应性测试）如图，是的直径，、是的弦，，垂足为，连接并延长，与过点的直线相交于点，且．(1)求证：是的切线；(2)若的半径为5，，求线段的长．【答案】(1)见解析；(2)【解析】（1）证明：由圆周角定理得：，，，，，，是的半径，是的切线；（2）解：如图，连接，是的直径，，，，是的直径，，，，，，，，即，解得：，．10．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，是的直径，点在圆上，过点作的切线，且，连接，线段交于点，交于点，连接．(1)求证：；(2)若，求的长．【答案】(1)见解析；(2)【解析】（1）证明：如图，连接，则，是的直径，与相切于点，，，，，，，，，，，，．（2）解：连接，则，，，，，，，，，，，解得：或舍去，，，，，，在中，，在中，，，，，，，．11．（2015·乌鲁木齐一中·模拟预测）如图，在中，，的平分线交于点D，交于点E，设是的外接圆．(1)求证：是的切线；(2)若，求的长．【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】（1）证明：连接，∵是的外接圆，∴是直径，点O是的中点，∵，∴，又为的平分线，∴，∵，∴，则，即又∵是的半径，∴是的切线．（2）解：∵，∴，，∵∴∵∴，又为公共角，∴，则有，∴，在中，，即，解得或（舍去），所以．12．（2025·新疆乌鲁木齐·二模）如图，是的直径，连接并延长至点，使得，连接交于点．(1)证明：；(2)用无刻度的直尺和圆规作出所对弧的中点；（不写作法，保留作图痕迹）(3)在（2）基础上连接，交于点，连接，若，，求的值．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)【解析】（1）证明：∵是的直径，∴，∴，∵，∴为的垂直平分线，∴，∴；（2）解：如图所示，点E即为所求；（3）解：连接，如图：∵四边形为圆的内接四边形，∴，由（1）知：，∴，∴，∴，∵是的直径，∴，∵，，∴，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴∵，，∴，∵，∴，∴，∴．13．（2025·乌鲁木齐水磨沟区·一模）已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连结BE．（1）求证：BE与⊙O相切；（2）连结AD并延长交BE于点F，若OB=9，，求BF的长．【答案】（1）见解析（2）FB=【解析】证明：（1）连接OC，∵OD⊥BC，∴OC=OB，CD=BD（垂径定理）．∴△CDO≌△BDO（HL）．∴∠COD=∠BOD．在△OCE和△OBE中，∵OC=OB，∠COE=∠BOE，OE=OE，∴△OCE≌△OBE（SAS）．∴∠OBE=∠OCE=90°，即OB⊥BE．∴BE与⊙O相切．（2）过点D作DH⊥AB，∵OD⊥BC，∴△ODH∽△OBD，∴．又∵，OB=9，∴OD=6．∴OH=4，HB=5，DH=2．又∵△ADH∽△AFB，∴，即，解得FB=．垂径定理，全等三角形的判定和性质，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义．14．（2025·乌鲁木齐新市区·一模）如图，与相切于点A，半径，与相交于点D，连接．

(1)求证：；(2)若的半径为6，，求的长．【答案】(1)见解析；(2)【解析】（1）证明：连接，如图所示：

∵与相切于点，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：如图，设与交于点，

∵，∴，∵，∴，∵的半径为6，∴，∴，∴，∴，在中，，∴，∴，过点作于点F，∴，由（1）得，∴为等腰直角三角形，故．15．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）如图，四边形内接于，，平分并经过圆心交于点，交于点．(1)求证：是的切线；(2)若，求的半径；(3)若，求的面积．【答案】(1)见解析；(2)的半径是2；(3)【解析】（1）证明：连接，∵平分，，∴，∵，∴，∴∵，∴，∴，∴，∵点在上，∴是的切线．（2）解：设的半径为，∴∵，∴∵在中，，∴，即：解得，∴的半径是2．（3）∵四边形内接于，是直径∴，∵，∴，∵∴∴∵在中，，∴，，∵∴

∴．16．（2025·乌鲁木齐一中·二模）如图，是的外接圆，点O在BC上，的角平分线交于点D，连接BD，CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．(1)求证：PD是的切线；(2)求证：∽；(3)若，，求点O到AD的距离．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)点O到AD的距离为【解析】（1）证明：连接OD，∵AD平分，∴，∴．又∵BC为直径，∴O为BC中点，∴．∵，∴．又∵OD为半径，∴PD是的切线；（2）证明：∵，∴．∵，∴．∵四边形ABDC为圆内接四边形，∴．又∵，∴，∴∽．（3）过点O作于点E，∵BC为直径，∴．∵，，∴．又∵，∴，∴．由（2）知∽，∴，∴，∴．又∵，，∴∽，∴，∴，∴．∵，∴．在中，，∴点O到AD的距离为．17．（2025·乌鲁木齐兵一·模拟预测）如图，AB为的直径，D是弧BC的中点BC与AD，OD分别交于点E，F(1)求证：；(2)求证：;(3)若,求的值.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3).【解析】(1)证明：∵D为弧BC的中点，OD为的半径∴即∠BFO=90°

又∵AB为的直径

∴

∴(2)证明：∵D为弧BC的中点

∴∴∴

∴

即(3)解：∵，

∴

设CD=，则DE=，又∵∴∴所以又

∴

即18．（2025·新疆乌鲁木齐·三月学业测试）如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D，DE⊥AD且与AC的延长线交于点E.(1)求证：DC＝DE；(2)若tan∠CAB＝，AB＝3，求BD的长.【答案】(1)证明见解析;(2)1.【解析】解：（1）连接OC，∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD=90°，∴∠ACO+∠DCE=90°，又∵ED⊥AD，∴∠EDA=90°，∴∠EAD+∠E=90°，∵OC=OA，∴∠ACO=∠EAD，故∠DCE=∠E，∴DC=DE；（2）设BD=x，则AD=AB+BD=3+x，OD=OB+BD=1.5+x，在Rt△EAD中，∵tan∠CAB=，∴ED=AD=（3+x），由（1）知，DC=（3+x），在Rt△OCD中，，则，解得：（舍去），，故BD=1．19．（2025·乌鲁木齐兵一·三模）如图，为的直径，过的中点D，于点E．

(1)求证：为的切线：(2)若，求的直径(3)在（2）的条件下，的平分线交于点F，交于点G，求的值．【答案】(1)见解析；(2)10；(3)50【解析】（1）解：如下图所示，连接，

∵点D是的中点，点O是的中点，∴，∵，∴，∴为的切线；（2）解：∵，∴，∴，∴，∴，∵为的直径，∴∴，∴,∴，∴的直径为10．（3）解：如下图所示，连接，∵是的平分线，，∴，

∴,∵∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．20．（2025·吐鲁番·三模）如图，为的直径，和相交于点F，平分，点C在上，且，交于点P．

(1)求证：是的切线；(2)求证：；(3)已知，求的值．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)【解析】（1）证明：如图1，连接，

∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∴是的切线；（2）证明：∵为的直径，∴，∵平分，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴；（3）如图2，过P作于点E，由（2）可知，，∵，∴，∵，∴，∵为的直径，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵为的直径，∴，∴，∵平分，∴，∵，∴．21．（2025·吐鲁番·二模）如图，在菱形中，于，以为直径的分别交，于点，，连接．

(1)求证：①是的切线；②；(2)若，，求．【答案】(1)①见解析，②见解析；(2)【解析】（1）证明：①四边形是菱形，，，则又为的半径的外端点，是的切线．②连接，

∵∴为直径，，而，又．（2）解：连接交于．

菱形，，，，，在中，，，，，在中，，由得：，．22．（2025·新疆吐鲁番·一模）如图，是的外接圆，为的直径，在外侧作，过点C作于点D，交延长线于点P．(1)求证：是的切线；(2)用无刻度的直尺和圆规作出所对弧的中点F．(不写作法，保留作图痕迹)；(3)在(2)基础上连接，交于点E，连接，求线段的长．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)【解析】（1）证明：连接，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵是圆半径，∴是的切线；（2）解：如图所示为所求：（3）解：连接，∵，平分，∴，∴，∵，，∴在中，，∵，∴，∴，∵，∴，，∴，，∵，∴，，∵，∴，∴，设，则，∴，解得，∴．23．（2025·新疆昌吉·一模）如图，为的直径，C为上一点，连接、，点F为上一点，且，延长于点E，使得，延长、交于点D．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的长．【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】（1）证明：如图所示，连接，∵∴，∵，∴，∴，∴，∵为的切线，∴，∴；（2）解：∵，设，则，∴，设的半径为，则，，，由（1）可知，，∴，∴，∴，∴，∴，，，∵∴，∴．24．（2025·喀什地区·三月学业测试）如图，内接于，点为的中点，连接，平分交于点，过点作交的延长线于点．(1)求证：是的切线．(2)求证：．(3)若，，求的长．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)【解析】（1）证明：如图，连接，∵点为的中点，∴，∵，∴，且OD是的半径，∴DF是的切线；（2）证明：∵点为的中点，∴，∴，∵平分，∴，∵，，∴，∴；（3）解：如图，连接，∵，，∴，∵，∴，∵，∴，而，∴，∵四边形为的内接四边形，∴，∴，∴，∴，而，∴，∴，经检验，符合题意；25．（2025·新疆喀什·模拟预测）如图，已知中，，以为直径的交于点，交于点，连接、相交于点．(1)求证：；(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析；(2)【解析】（1）证明：∵是的直径，∴，∴∵，∴∴（2）解：∵是的直径，∴∵，∴在中，，，∴∵，，∴，∴，∴，∴．26．（2025·喀什地区·三模）如图，在平行四边形ABCD中，∠D＝60°，对角线AC⊥BC，⊙O经过点A，B，与AC交于点M，连接AO并延长与⊙O交于点F，与CB的延长线交于点E，AB＝EB．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若AD＝2，求的长（结果保留π）．【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）证明：连接OB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠D＝60°，∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝30°，∵BE＝AB，∴∠E＝∠BAE，∵∠ABC＝∠E+∠BAE＝60°，∴∠E＝∠BAE＝30°，∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠OAB＝30°，∴∠OBC＝30°+60°＝90°，∴OB⊥CE，∴EC是⊙O的切线；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝2，过O作OH⊥AM于H，则四边形OBCH是矩形，∴OH＝BC＝2，∴OA＝＝4，∠AOM＝2∠AOH＝60°，∴的长度＝＝．27．（2025·喀什地区·二模）如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画圆，交AC于点D，于点F，连接OF，且．（1）求证：DF是的切线；（2）求线段OF的长度．【答案】（1）见解析