1.3 算法案例教学设计高中数学人教A版必修3-人教A版2007

1.3算法案例教学设计高中数学人教A版必修3-人教A版2007授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间课程基本信息1.课程名称：算法案例——辗转相除法与更相减损术

2.教学年级和班级：高一（3）班

3.授课时间：2023年10月15日第2节课

4.教学时数：1课时（45分钟）核心素养目标分析本节课通过辗转相除法与更相减损术的案例，培养学生数学运算素养，提升算法应用能力；强化逻辑推理素养，理解算法步骤与逻辑结构；发展数学建模素养，将实际问题转化为算法模型；渗透数学抽象思维，从具体算法中提炼一般原理。重点难点及解决办法重点：算法步骤的理解与应用（来源：必修3教材核心内容，辗转相除法和更相减损术的步骤与逻辑），解决方法：通过实例演示和小组讨论强化理解；难点：算法比较和效率分析（来源：学生抽象思维不足，难以理解减法步骤的效率差异），解决方法：提供对比案例和可视化工具，引导学生自主探究，设计分层练习题。教学资源多媒体设备（投影仪、计算机）；算法演示软件（Scratch、Python简易编程环境）；课本配套课件；算法步骤动画视频；PPT教学课件；小组合作探究任务单；分层练习题库；黑板、粉笔；实物投影仪。教学过程今天我们开始学习“算法案例——辗转相除法与更相减损术”。首先，我导入新课：同学们，你们在生活中有没有遇到过需要求最大公约数（GCD）的问题？比如，分糖果时分成相同的小组，或者设计图案时计算尺寸比例。这些实际问题都可以通过算法高效解决。今天，我们就来探索两种经典算法：辗转相除法和更相减损术。它们来自课本必修3第1章，是算法思想的核心应用。请你们打开课本第10页，快速浏览引言部分，思考为什么算法在数学中如此重要。好，现在请一位同学分享你们的想法。（学生回答：算法能简化计算，提高效率。）没错，算法就是解决问题的步骤化方法。接下来，我们进入新课讲授环节。我先用PPT展示辗转相除法的定义：辗转相除法是通过反复除法运算求GCD的算法。步骤如下：用较大数除以较小数，得到余数；再用除数除以余数，重复直到余数为0，此时的除数就是GCD。例如，求GCD(48,18)。我先演示：48除以18商2余12；18除以12商1余6；12除以6商2余0。所以GCD是6。你们现在拿出草稿本，跟着我一起计算GCD(36,24)。好，开始：36除以24商1余12；24除以12商2余0。GCD是12。请你们检查是否正确。如果有疑问，举手提问。（学生提问：为什么余数要重复除？）好问题！因为每次除法都在缩小数字范围，逐步逼近GCD，这是算法的效率所在。现在，我们学习更相减损术。课本第11页描述：用较大数减去较小数，得到差；再用较大数减差，重复直到两数相等，这个数就是GCD。同样例子，GCD(48,18)：48减18得30；30减18得12；18减12得6；12减6得6；6减6得0，GCD是6。请你们小组讨论：比较这两种算法在步骤上的异同。每组选代表分享。（学生代表分享：辗转相除法用除法，更相减损术用减法；步骤数可能不同。）很好！现在，我们进入探究活动环节。我发放任务单，你们分组完成：第一组用辗转相除法求GCD(60,45)，第二组用更相减损术求相同GCD。完成后，记录步骤数和计算时间。然后，各组交换结果，分析哪种算法更高效。为什么？请你们结合课本第12页的效率讨论部分思考。（学生讨论：辗转相除法步骤少，因为除法收敛快；更相减损术可能步骤多，尤其数字大时。）对！这就是难点：算法效率分析。现在，我播放动画视频，可视化展示两种算法的执行过程，帮助你们直观理解效率差异。视频后，你们完成分层练习：基础层求GCD(24,16)；进阶层设计一个例子，比较两种算法的步骤数；挑战层分析为什么辗转相除法在数字大时更优。练习中，我巡视指导，确保你们应用算法步骤。最后，总结环节：我回顾重点——算法步骤的理解是核心，难点是效率比较。请你们反思：通过本课，你们掌握了哪些算法思想？（学生回答：步骤化、效率优化。）没错，这培养了数学运算和逻辑推理素养。布置作业：课本第13页习题1.3第1、2题，用两种算法各求一个GCD，并写效率分析报告。下课！拓展与延伸1.拓展阅读材料：

-《数学史话》第3章“古代算法智慧”，介绍辗转相除法的起源，包括欧几里得在《几何原本》中的描述，以及更相减损术在中国古代《九章算术》中的应用，强调算法在解决实际问题中的历史意义。

-《算法导论》第1.1节“最大公约数算法”，详细分析辗转相除法和更相减损术的数学原理，包括余数定理和减法收敛性的证明，帮助理解算法的效率差异。

-《高中数学拓展读本》第5单元“算法比较与应用”，通过实例展示两种算法在计算机编程中的实现，如用Python编写代码，并讨论在数据加密、分数简化等场景的实际价值。

-《数学通报》2020年第4期“GCD算法的效率研究”，探讨算法在处理大数时的性能对比，结合教材中的案例，分析时间复杂度对现代计算的影响。

-《数学文化》杂志第12期“算法思维培养”，阐述辗转相除法如何训练逻辑推理和数学抽象能力，与教材核心素养目标相呼应。

2.课后自主学习和探究：

-任务1：算法原理探究。学生自主查阅资料，推导辗转相除法的数学证明（基于余数定理），并比较更相减损术的减法步骤，分析为什么余数法收敛更快。要求撰写一份500字报告，结合课本第10-12页内容，举例说明算法的数学基础。

-任务2：实际应用实验。学生选择两个大数（如12345和6789），分别用辗转相除法和更相减损术计算GCD，记录步骤数和计算时间（可用计算器或简单编程），比较效率差异。探究结果填入表格（文本描述），解释数字大小对算法性能的影响，关联教材第12页的效率讨论。

-任务3：算法创新设计。学生基于教材案例，设计一个混合算法（如结合除法和减法），应用于求GCD(100,75)，测试其步骤数是否少于单一算法。提交算法步骤描述，分析创新点，培养数学建模素养。

-任务4：历史与现实联系。研究更相减损术在古代中国数学中的地位（如《九章算术》问题），并探索其在现代密码学（如RSA算法）中的应用，撰写300字反思，强调算法的文化价值。

-任务5：小组探究竞赛。以小组为单位，选择一个现实问题（如简化分数），应用两种算法解决，制作演示文稿（文本形式），展示算法选择依据，全班分享，深化对算法实用性的理解。鼓励学生利用图书馆或课本资源，确保探究内容紧扣教材主题。课堂1.课堂评价：通过随机提问检测学生对辗转相除法与更相减损术步骤的掌握程度，如要求复述GCD(36,24)的算法流程；观察小组合作时学生能否正确应用算法解决实际问题，记录操作中的典型错误（如余数计算错误）；设计当堂测试题（如求GCD(54,24)并比较两种算法步骤数），及时反馈学生难点突破情况，针对效率分析薄弱环节补充对比案例。

2.作业评价：批改基础题（如课本习题1.3第1题）时重点检查算法步骤的规范性和结果准确性；对拓展题（如设计GCD(100,75)的最优算法）进行分层点评，肯定创新思路并指出优化方向；对历史探究类作业（如《九章算术》算法应用）关注史实准确性与现代联系，撰写针对性评语，强调算法思想的文化价值，鼓励学生通过反思深化对教材核心内容的理解。教学反思与总结这节课围绕辗转相除法与更相减损术展开，整体教学流程比较顺畅。通过实例演示和小组探究，学生基本掌握了两种算法的步骤，但在算法效率分析环节，部分学生对减法步骤的收敛速度理解不够透彻。课堂观察发现，当数字较大时，更相减损术的步骤数显著增加，但学生未能主动关联到课本中“算法效率差异”的核心知识点，后续需强化对比案例的引导。

作业批改反映出学生对基础算法步骤的掌握较好，但拓展题中创新算法的设计能力参差不齐，少数学生未能结合教材中的数学原理进行优化。历史探究作业的完成质量较高，说明学生对算法的文化价值有认同感，但需进一步引导其联系现代应用场景。

改进方向：下次可增加编程实践环节，用Python可视化算法执行过程，帮助学生直观理解效率差异；在分层练习中补充大数计算案例，强化课本第12页的效率讨论；对学困生加强个别辅导，确保其突破算法抽象思维难点。整体来看，学生对算法思想的建模能力有所提升，但需持续训练逻辑推理与数学抽象的综合应用。内容逻辑关系②算法比较与效率分析的逻辑：比较维度“步骤数”“收敛速度”，关键句“辗转相除法因除法运算快速缩小数字范围，步骤数较少；更相减损术依赖减法，数字较大时步骤显著增加”，课本第12页通过实例（如GCD(48,18)）对比两种算法的执行过程，强调“算法效率与运算方式直接相关”，逻辑核心是“抽象出算法效率差异的数学本质”。

③算法思想与应用的逻辑：算法思想关键词“步骤化”“逻辑推理”“数学抽象”，应用场景“分数简化”“设计图案尺寸比例”，课本引言部分指出“算法是解决问题的步骤化方法”，逻辑主线是“从具体算法步骤中提炼一般原理，应用于解决实际问题，培养数学建模素养”。课后作业①用辗转相除法求GCD(54,24)。答案：步骤：54÷24=2余6；24÷6=4余0。GCD=6。

②用更相减损术求GCD(72,48)。答案：步骤：72-48=24；48-24=24；24-24=0。GCD=24。

③比较求GCD(90,60)时，辗转相除法和更相减损术的步骤数。答案：辗转相除法：90÷60=1余30；60÷30=2余0。步骤2步。更相减损术：90