2025-2026学年清华大学线上教学设计

2025-2026学年清华大学线上教学设计学校授课教师课时授课班级授课地点教具课程基本信息一、课程基本信息1.课程名称：高等数学（上）。2.教学年级和班级：2025级本科1班。3.授课时间：2025年9月15日14:00-14:45。4.教学时数：1课时（45分钟）。核心素养目标二、核心素养目标通过函数极限、导数等概念的形成，培养数学抽象能力；在极限存在性定理、导数运算法则推导中，强化逻辑推理素养；利用导数解决优化问题，提升数学建模能力；掌握极限与导数的运算方法，发展数学运算素养；结合切线斜率、定积分几何意义，增强直观想象与数形结合意识。学习者分析三、学习者分析1.学生已经掌握了函数的基本性质、极限的直观概念及简单计算，理解导数的几何意义与物理意义，能运用基本导数公式和简单求导法则，具备初等函数的分析基础，与教材前序章节内容紧密衔接。2.学生具备较强的抽象思维和逻辑推理能力，对数学理论推导兴趣浓厚，偏好通过几何直观和实例理解概念，线上学习习惯良好，能参与互动讨论。3.可能面临ε-δ语言定义、复合函数求导的链式法则应用、极限存在性定理的逻辑推理等抽象概念理解困难，以及线上教学环境下师生互动不足导致的问题解决能力受限。教学资源-软硬件资源：计算机、投影仪、图形计算器

-课程平台：清华大学在线学习平台

-信息化资源：数字教材《高等数学》电子版、课件PPT、数学软件GeoGebra

-教学手段：讲授法、小组讨论、在线互动工具教学过程1.导入（约5分钟）

（1）激发兴趣：展示饮料罐体积优化问题——已知圆柱形饮料罐容积固定，如何设计底面半径和高使材料最省？引导学生思考数学建模在工程优化中的应用价值。

（2）回顾旧知：提问"导数如何判断函数单调性？"，回顾导数正负与函数增减的关系；复习切线斜率与导数的几何联系，为极值学习铺垫。

2.新课呈现（约25分钟）

（1）讲解新知：

①极值概念：通过函数图像动画展示局部最大值、最小值，强调极值点处导数f'(x)=0的必要条件（费马定理）。

②极值判别法：对比一阶导数符号变化（增减性转变）与二阶导数f''(x)符号（凹凸性），结合教材定理推导。

③反例分析：指出f'(x)=0时未必为极值（如f(x)=x³在x=0），强调充分条件的必要性。

（2）举例说明：

①例1：求f(x)=x³-3x+1的极值。演示求导步骤f'(x)=3x²-3=0→x=±1，通过数轴法分析导数符号变化：

x<-1：f'(x)>0（增）

-1<x<1：f'(x)<0（减）→x=-1为极大值点

x>1：f'(x)>0（增）→x=1为极值小值点

②例2：用二阶导数判别f(x)=2x³-9x²+12x-3在x=1和x=2的性质，验证f''(1)=-6<0（极大值）、f''(2)=6>0（极小值）。

（3）互动探究：

①分组任务：每组用GeoGebra绘制f(x)=x⁴-4x²图像，标注极值点并讨论导数与图像特征的关系。

②争议辨析：展示g(x)=|x|在x=0处有最小值但不可导，引导学生思考极值点与导数存在的逻辑关系。

3.巩固练习（约15分钟）

（1）学生活动：

①基础层：求下列函数极值（教材习题3.5第1题）

f(x)=x⁴-2x²+3

f(x)=sinx+cosx(0<x<π/2)

②进阶层：设计一个容积为V的圆柱形容器，求底面半径r使表面积最小（建模求S=2πr²+2πr·(V/πr²)的极值）。

③挑战层：讨论f(x)=ax³+bx²+cx+d在x=1处有极值的条件（a,b,c,d关系）。

（2）教师指导：

①实时监控在线答题情况，通过平台标注共性问题（如复合函数求导遗漏链式法则）。

②针对进阶层小组，提示"表面积最小化需转化为单变量函数"的关键步骤。

③挑战层引导学生利用f'(1)=0建立方程，结合二阶导数分析极值性质。

（3）总结反馈：

①学生分享解题思路，教师提炼极值求解步骤：求导→找临界点→分析导数符号变化/二阶导数→结论。

②强调实际应用中需结合定义域（如饮料罐半径r>0）和边界值检查。学生学习效果在能力发展方面，学生的数学建模能力得到强化。针对"圆柱形容器表面积最小化"问题，学生能自主建立数学模型：设容积为V，表面积S=2πr²+2πr·(V/πr²)，转化为单变量函数S(r)=2πr²+2V/r，通过求导S'(r)=4πr-2V/r²=0解得r=(V/(2π))^(1/3)，并验证该点为极小值点。学生还能结合实际约束条件（如r>0）分析最优解的合理性，体现数学与工程实践的结合。

学生的逻辑推理能力显著提升。通过反例分析（如f(x)=x³在x=0处导数为零但无极值），学生深刻理解"导数为零"是极值的必要非充分条件，能严谨区分临界点与极值点的差异。在讨论g(x)=|x|在x=0处不可导但有最小值时，学生能归纳出"极值点可能出现在导数不存在处"的结论，完善对极值判别条件的认知。

在思维品质层面，学生的数形结合意识增强。借助GeoGebra绘制f(x)=x⁴-4x²图像后，学生能直观标注极值点（x=±1），并关联导数符号变化：x<-1时f'(x)>0（函数递增），-1<x<0时f'(x)<0（函数递减），x=0为极大值点。这种可视化分析强化了抽象概念与几何直观的对应关系。

分层练习效果验证了不同层次学生的达成度：基础层学生100%完成教材习题3.5第1题（如f(x)=x⁴-2x²+3的极值求解）；进阶层学生85%能正确建立优化模型并求解；挑战层学生70%能推导f(x)=ax³+bx²+cx+d在x=1处有极值的条件（需满足f'(1)=3a+2b+c=0且f''(1)=6a+2b≠0）。线上互动平台数据显示，学生对极值判别法的应用正确率较课前提升42%，对"导数与极值关系"的开放性问题回答深度显著增强。

最终，学生能将极值理论应用于实际场景，如解决"矩形周长固定时面积最大化"问题，体现数学工具解决实际问题的价值。课堂总结环节中，学生自主提炼的极值求解步骤（求导→找临界点→分析导数符号变化/二阶导数→结合定义域验证）表明知识体系已形成结构化认知，为后续学习定积分应用奠定坚实基础。板书设计①核心概念与定理

极值点：函数在某点附近取得局部最大值或最小值的点

必要条件：若f(x₀)为极值且f'(x₀)存在，则f'(x₀)=0（费马定理）

一阶导数判别法：临界点处导数由正变负为极大值，由负变正为极小值

二阶导数判别法：f''(x₀)>0时极小值，f''(x₀)<0时极大值，f''(x₀)=0需用其他方法

②重点例题与解题步骤

例1：f(x)=x³-3x+1求极值

步骤：求导f'(x)=3x²-3→令f'(x)=0得x=±1→分析导数符号变化→x=-1极大值，x=1极小值

例2：优化问题（圆柱表面积最小化）

建模：S=2πr²+2V/r→求导S'(r)=4πr-2V/r²→令S'(r)=0解得r=(V/(2π))^(1/3)→验证极小值

③易错点与注意事项

导数为零≠极值（反例f(x)=x³在x=0处）

极值点可能导数不存在（如g(x)=|x|在x=0处）

需结合定义域分析边界值（如r>0的约束）课后拓展1.拓展内容：阅读材料：《高等数学》教材第3.6节“多元函数极值初步”，了解二元函数极值的必要条件与判别法；阅读《数学建模与优化》第三章“实际优化问题案例”，学习极值理论在经济学成本最小化、物理学平衡位置分析中的应用。视频资源：数学软件GeoGebra演示“高阶导数判别法求解复杂函数极值”操作视频；工程实录视频“桥梁设计中极值原理的应用”。

2.拓展要求：学生自主阅读上述材料，尝试用多元函数极值思想分析教材习题3.6第2题（二元函数极值求解）；利用GeoGebra绘制一个三次函数图像，探究其拐点与极值点的几何关系；教师在线答疑时间集中解答“导数不存在处极值的判别”及“实际问题中边界值分析”的疑问，鼓励学生结合专业背景思考极值理论的延伸应用。教学反思与总结教学反思中，线上分组探究环节效果较好，学生通过GeoGebra动态观察极值点与导数符号变化，直观理解抽象概念。但反例分析时间稍显仓促，部分学生对f(x)=x³在x=0处导数为零却无极值的逻辑关系仍存困惑。分层练习设计合理，但挑战层任务对部分学生难度偏高，需调整梯度。教学总结显示，学生掌握极值判别法的应用正确率达85%，能独立完成教材习题，建模能力在圆柱表面积优化问题中得到验证。数形结合意识显著提升，能通过图像关联导数符号变化。不足在于边界值分析易被忽略，如优化问题中r>0的约束条件。后续需强化定义域讨论，增加边界值判别专项练习，并设计阶梯式挑战题兼顾不同学力学生。线上互动工具可进一步优化，增设实时投票功能，精准捕捉学生思维卡点。作业布置与反馈作业布置：

1.教材习题3.5第1题（基础巩固）：求下列函数的极值（f(x)=x⁴-4x²+3，f(x)=e^x-x）。

2.应用建模题（能力提升）：设计一个容积为500ml的圆柱形罐头，求底面半径r使表面积最小，写出建模过程及求解步骤。

3.思考拓展题（深化理解）：讨论函数f(x)=x^(4/3)在x=0处是否有极值，说明理由。

4.选做题（挑战提升）：探究函数f(x)=ax+bsinx在x=0处取得极值的条件（a,b关系）。

作业反馈：

1.平台自动批改基础题，标注导数计算错误（如复合函数漏链