统计概率经典例题含答案解析

统计概率经典例题含答案解析【例1】某校高三（1）班有男生24人、女生16人，班主任准备从中随机抽取5人参加一次数学竞赛培训。（1）求抽到的5人中恰有3名女生的概率；（2）若已知抽到的5人中至少有1名女生，求其中恰有3名女生的条件概率；（3）设随机变量X表示抽到的女生人数，求X的分布列、期望与方差；（4）若每次培训后都会再补抽1人，直到女生人数达到3人为止，记总抽取次数为Y，求P(【解答】总人数N=40，女生M=（1）超几何模型：P（2）条件概率：P（3）X~P期望：𝔼方差：V（4）“直到女生达3人”为负超几何，参数r=P【例2】甲、乙两人轮流掷一枚均匀硬币，先掷出正面者获胜。甲先掷。（1）求甲获胜的概率；（2）若硬币出现正面的概率为p(（3）设随机变量T表示游戏结束时的总掷币次数，求𝔼[（4）若限定最多掷n次，无人获胜则平局，求平局的概率。【解答】（1）几何级数：=（2）一般情形：=（3）𝔼（4）平局当且仅当前n次均为反面：=【例3】某城市出租车公司统计发现：1.每天出现交通事故的出租车数服从参数λ=2.若一天内事故车数X=k，则当天公司需支付的赔偿总额Y（万元）满足求：（1）𝔼[（2）Va（3）利用切比雪夫不等式估计P(（4）若公司希望以95%把握控制赔偿额不超过b万元，求最小b。【解答】已知X~Po（1）𝔼（2）V先算𝔼泊松矩：𝔼代入得𝔼故V（3）切比雪夫：P（4）欲使P(Y故最小b≈【例4】设随机变量X的密度函数为(（1）求θ的矩估计与最大似然估计；（2）计算的密度函数，并验证其无偏性；（3）比较与的均方误差；（4）若样本量n→∞，求【解答】（1）矩估计：𝔼似然函数：L故==（2）先求的分布函数：(密度：(期望：𝔼故有偏，偏差−。（3）均方误差：M故M对：M其中VBias平方≈，故M（4）令=n(θP即渐近服从参数为的指数分布，写为n【例5】设(X(（1）求边缘密度(x)，并判断（2）求条件期望𝔼[（3）计算Co（4）令Z=X+【解答】（1）(同理(y)亦为标准正态，但（2）𝔼代入化简：(奇偶性：𝔼计算𝔼[𝔼（3）C𝔼第一项𝔼[𝔼故C（4）V【例6】某保险公司在一年期内承保n=份同质保单，每份保单独立地以概率p=0.01发生索赔，若索赔则损失额L服从参数μ=5,σ（1）求𝔼[S]（2）利用正态近似计算P(（3）若公司希望以概率0.99确保偿付能力，求所需初始资本u；（4）若采用泊松近似描述索赔次数，重新计算（2）并与原结果比较。【解答】令N~Bi（1）𝔼复合分布：𝔼V（2）正态近似：P（3）偿付能力：P（4）泊松近似与二项几乎一致，λ=【例7】设(,…,)为来自均匀分布（1）求充分统计量；（2）求θ的MLE；（3）构造一个置信水平为1−（4）若损失函数为L(θ,a)=(【解答】（1）联合密度：(故(,（2）似然在θ≤且θ=（3）枢轴量：令=−θ~U(P解得c置信区间[（4）后验密度与似然成正比，仍集中在[−1,=【例8】设随机向量𝐗=(,Σ（1）求条件分布∣=（2）求偏相关系数（此处无第三个变量，即等于ρ）；（3）设Y=+，求𝔼[（4）若ρ=0.5，用蒙特卡洛模拟估计【解答】（1）∣（2）无其他变量，偏相关即ρ。（3）𝔼对标准正态Z，𝔼[]=C所以V（4）ρ=0.5，生成N=p【例9】某生产线产品重量X服从N(μ,)，现抽取（1）检验:μ=10vs:（2）求μ的95%置信区间；（3）若要求检验功效在μ=（4）若方差未知，重新完成（1）并比较结果。【解答】（1）Z===3.75，双侧p值（2）x（3）功效：n取n=（4）方差未知，用t检验：s仍拒绝，但p值略大。【例10】设随机变量X服从参数为λ的指数分布，λ>（1）求λ的Fisher信息量I(（2）求λ的MLE并验证其渐近正态性；（3）