2025北京八一学校高二10月月考数学试题及答案

高中2025北京八一学校高二10月月考数学2025.10本试卷共4页，120分．考试时长90分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.若直线l与平面内的一条直线平行，则l和的位置关系是（）A. B. C.或 D.l和相交2.如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标是（）A. B. C. D.3.如图，在四面体中，是的中点，设，，，则（）A. B. C. D.4.正四棱柱的高为3cm,体对角线长为cm,则正四棱柱的侧面积为A.10 B.24 C.36 D.405.如图，在下列四个正方体中，A，B，C，D分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，A，B，C，D四点共面的是（）．A.B.C. D.6.已知，是两个不同的平面，，为两条不重合的直线，则下列命题中正确的为（）A.若，，，则B.若，，，则C.若，，，则D.若，，，则7.如图，在正方体中，下面结论错误的是（）A.直线与平面所成角为B.异面直线与所成角为C.平面D.平面8.已知三个不同的平面，且，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9.坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，还有两个面是全等的等腰三角形，若，且等腰梯形所在平面､等腰三角形所在平面与平面的夹角均为，则该五面体的体积为（）A. B. C. D.10.记为点到平面的距离，给定四面体，则满足的平面的个数为（）A. B. C. D.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11.已知，，且，则________．12.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3．圆心角为的扇形，则该圆锥的高是________．13.已知α，β是两个不同的平面，m，n为两条不重合的直线，有下列关系：①；②；③；④．把其中的一些关系看作条件，另一些看作结论，可以组成的正确命题是________．（请用题中序号和推出符号表示，只写出一种情况即可）14.如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，过点的平面∥平面，则平面截该正方体所得截面的面积为________．15.如图，正方形ABCD和正方形ABEF的边长为1，且平面ABCD与平面ABEF互相垂直，M，N分别在正方形对角线AC，BF上移动．①________．②线段MN长度的最小值是________．三、解答题：本大题共4小题，共45分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.如图，在正方体中，为的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面．17.已知空间三点，，．（1）求线段中点的坐标，和线段的长度；（2）求直线和直线夹角的余弦值；（3）若点在直线上，且，求点的坐标．18.已知四棱锥的底面为直角梯形，，，，平面平面，是的中点．（1）求证：平面；（2）求证：；（3）设棱与平面交于点，求的值．19.已知集合，对于，，定义与之间的距离为.（1）若，求所有满足的点所围成的图形的面积;（2）当时，，并且，求的最大值（用表示);（3）当时，求集合中任意两个元素之间的距离的和.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．12345678910CABBDCABBD二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11.【答案】因为，，且与是共线向量，故存在，使，即，解得，所以．故答案为：．12.【答案】如图，设此圆锥的底面半径为，高为，母线为，

因为圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形,

所以，得,解之得，

因此,此圆锥的高，

故答案为：．13.【答案】选①②④作为条件，③作为结论，因为，，则，又因为m，n为两条不重合的直线，则.又，且，则根据线面平行的判断定理可以证明：.故答案为：①②④③14.【答案】取、的中点分别为，易知，平面，平面，所以平面，因为，，所以四边形为平行四边形，所以，平面，平面，所以平面，又因为，平面，所以平面平面，所以平面α截该正方体所得截面的面积为四边形的面积，，所以四边形为梯形，，，所以梯形的高为，所以梯形的面积为.所以平面α截该正方体所得截面的面积为.故答案为：.15.【答案】正方形ABCD和正方形ABEF的边长为1，平面平面，平面平面，，平面，则有平面，以A为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，.M，N分别在正方形对角线AC，BF上移动，线段MN长度的最小值是异面直线AC，BF间的距离，设与都垂直的一个法向量为，由，令，有，得，又，所以线段MN长度的最小值是故答案为：；三、解答题：本大题共4小题，共45分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.【答案】（1）设与交于点，连接，在正方体中，为的中点，又为的中点，则，因为平面，平面，所以平面.（2）在正方体中，，由平面，而平面，所以，因为，且平面，所以平面，又平面，所以平面平面.17.【答案】（1）因为，，所以线段中点的坐标为，由已知，所以，所以线段的长度为，（2）因为，，，所以，，所以，所以直线和直线夹角的余弦值为，（3）因为，，，所以，因为点在直线上，设，，，因为，所以，所以，解得：，故，所以点的坐标为.18.【答案】（1）证明：取中点，连，，是的中点，，,由于平面，平面，所以平面，同理可得平面，，平面,平面平面，平面，直线平面；（2）因为，所以，又，所以，因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以，（3）作点满足，则,,,四点共面，又，所以，所以四边形是平行四边形，则，又，所以，即，，，四点共面，平面平面，则与平面的交点必定在上，所以与的交点即为与平面的交点，所以，所以，19.【答案】（1）由可得，当时，，当时，，当时，，当时，，故围成的图形为正方形,其中,如下：故面积为（2）设，，，所以，，当，当时，综上所述，；（3），设其中中均有个