2025北京四中高二（上）开学考数学试题及答案

高中2025北京四中高二（上）开学考数学（试卷满分150分，考试时间为120分钟）一､单选题（每小题4分，共44分）1.计算sin43°cos13°-cos43°sin13°的结果等于A. B. C. D.2.若是第四象限角，则是（）A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角3.化简（）A. B. C.-1 D.14.一个正四棱锥的高是2，底面边长也为2，则正四棱锥的侧面积是（）A. B. C. D.5.若，则的值为（）A. B. C. D.6.设是直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A.若∥，∥，则∥ B.若∥，，则C.若，则 D.若，∥，则7.在中，，则（）A. B. C. D.8.是非零向量，与的夹角为，，则为（）A.1 B. C.2 D.9.设点，，不共线，则“”是“”（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件10.已知，则下列直线中，是函数对称轴的为（）A. B. C. D.11.如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，则下列结论中错误的是（）A.平面B.平面C.三棱锥的体积为定值D.的面积与的面积相等二､多选题（每小题5分，共20分，少选给3分）12.下列命题中正确的是（）A.若直线，则B.若直线在平面内，则必不相交C.若直线，则D.若直线，则必不相交13.已知函数，将的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则的取值可能是（）A. B. C. D.14.在△ABC中，已知，则下列说法正确的是（）．A.tanA=tanB B.C. D.15.赵炎为《周髀算经》一书作注时介绍了“勾股圆方图”，即“赵爽弦图”.下图是某同学绘制的赵爽弦图，其中，点分别是正方形和正方形上的动点，则下列结论中正确的是（）A.B.C.设与的夹角为，则的值为3D.的最大值为12三､填空题（每小题5分，共30分）16.已知，则______．17.的值域是______．18.设，则的值是______．19.中，角所对的边分别为，，则_______.20.如图，在中，，点满足．若______．21.设函数，若关于x的方程在区间上有且仅有两个不相等的实根，则的最大整数值为__________.四､解答题（每小题14分，共56分）22.已知函数的部分图象如图所示．（1）求的解析式；（2）若函数，求在区间上的最大值和最小值．23.在中，，．（1）求；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积．条件①：；条件②：；条件③：的周长为．24.如图，在四棱锥中，平面，，．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）设点为的中点，过点，的平面与棱交于点，且平面，求的值．25.已知Mn=x∈N*∣x≤2nn∈N,n≥4，若存在数阵满足：①；②．则称集合为“好集合”，并称数阵为（1）已知数阵是的一个“好数阵”，试写出的值；（2）若集合为“好集合”，证明：集合的“好数阵”必有偶数个；（3）判断是否为“好集合”．若是，求出满足条件的所有“好数阵”；若不是，说明理由．

参考答案一､单选题（每小题4分，共44分）1234567891011ACDCBBBDCCD二､多选题（每小题5分，共20分，少选给3分）12131415ABBDBDBC三､填空题（每小题5分，共30分）16.【答案】3【分析】变形得到，从而得到方程组，求出答案.【详解】，故且，解得.故答案为：317.【答案】【分析】利用三角函数的二倍角余弦将三角函数化为含的二次函数，再利用二次函数的性质求出值域.【详解】函数的定义域为，则，而，因此当时，；当时，，所以函数的值域是.故答案为：18.【答案】【分析】利用同角三角函数之间的关系计算出的正切值，再利用正切函数的二倍角公式计算即可.【详解】由sin2α=−12又，所以，可得cosα=−14，则sin可知tanα=所以tan2α=故答案为：19.【答案】【分析】由，利用正弦定理与同角三角函数的平方关系可得，化简得，再利用正弦定理可得结果.【详解】中，，根据正弦定理，得，可得，，，由正弦定理可得，可得，故答案为.【点睛】本题着重考查了正弦定理、同角三角函数的基本关系等知识,属于基础题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.20.【答案】14【分析】利用平面向量运算法则把分别用表示出来，再代入条件DE⃗⋅BE【详解】由得：；由得：DE=又，DE⃗⋅所以DE⃗=1解得：.故答案为：1421.【答案】4【分析】利用换元法求出的取值范围，再根据三角函数的图象得到的不等式，即可得答案；【详解】令，，，的图象如图所示，关于x的方程在区间上有且仅有两个不相等的实根，在上有且仅有两个不相等的实根，，的最大整数值为，故答案为：.【点睛】本题考查利用换元法和图象法解三角方程，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意换元后新元的取值范围，属于中档题.四､解答题（每小题14分，共56分）22.【答案】（1）（2）最大值为和最小值为0【分析】（1）由图象及三角函数的性质可以得到，进而得到的解析式；（2）根据三角恒等变换化简，进而分析在区间上的最大值和最小值.【小问1详解】由图象可知：，将点代入得，∴【小问2详解】由得当时，即；当时，即；23.【答案】（1）（2）选择条件②,;选择条件③.【分析】(1)利用余弦定理求解即可；(2)根据条件①②③逐一计算，满足三角形只有一个解即可，再求面积.【小问1详解】由余弦定理知，，因为，所以．【小问2详解】选择条件①：把，代入中，化简得，解得，所以存在两个，不符合题意；选择条件②：因为，，所以，由正弦定理知，，所以，因为，所以的面积．选择条件③：因为的周长为，且，所以，又，所以，解得，所以的面积.24.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）【分析】（1）由线面垂直得到，结合即可得证；（2）由，，得到平面，即可得证；（3）由线面平行的性质得到，即可得解.【小问1详解】因为平面，平面，所以，又，，平面，所以平面.【小问2详解】因为，，所以，因为平面，平面，所以，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.【小问3详解】因为平面，平面平面，平面，所以，因为点为的中点，所以点为的中点，所以.25.【答案】（1），，，（2）证明见解析（3）是“好集合”，且满足的好数阵有四个：；；；．【分析】（1）直接根据新定义解出未知量的值；（2）先证是不同于的“好数阵”，再证、，列举两个“好数阵”，即可证明；（3）假设为“好集合”，根据新定义可得，证明不是偶数即可求解.【小问1详解】由“好数阵”的定义，知，，，{x,y,z,w}={3,4,5,，故，，，,w}={3,，进一步得到，，从而，，，．【小问2详解】如果是一个“好数阵”，则，.从而，.故也是一个“好数阵”.由于是偶数，故，从而.所以数阵和的第1行第2列的数不相等，故是不同的数阵.设全体“好数阵”构成的集合为S，并定义映射如下：对，规定.因为由中的元素构成的数阵只有不超过种，故是有限集合.而，即，从而是满射，由是有限集，知也是单射，故是一一对应.对于“好数阵”，已证数阵和是不同的数阵，故.同时，对两个“好数阵”，，如果，则；如果，则.所以，当且仅当.最后，对，由，称2元集合为一个“好对”.对，若属于某个“好对”，则或，即或.由于，故无论是还是，都有.所以每个“好数阵”恰属于一个“好对”，所以“好数阵”的个数是“好对”个数的2倍，从而“好数阵”必有偶数个.【小问3详