2025北京五中高二12月月考数学试题及答案

高中2025北京五中高二12月月考数学一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.抛物线的焦点坐标为A. B. C. D.2.圆心是，且过点的圆的标准方程是（）A. B.C. D.3.已知数列为等差数列，为其前项和，满足，则的值为（）A.1 B.2 C.3 D.44.已知，，，若，，三个向量共面，则实数的值为（）A.5 B.4 C.3 D.25.设为等差数列的前项和，且，若，则的最小值为（）A.28 B.29 C.30 D.316.已知双曲线的右焦点为F，C在第一、三象限内的渐近线为，过点作于点，则的坐标为（）A. B.C. D.7.已知直线和抛物线.则“”是“直线与只有一个公共点”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.过点作抛物线的切线交轴于点，设抛物线的焦点为，则四边形的面积为（）A.3 B.4 C.5 D.69.集合，集合，若中有8个元素，则a的取值范围是（）A. B. C. D.10.《九章算术》中将底面是长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.现有“阳马”如下图所示，其中平面，，点在棱上运动.下列说法正确的是（）A.存在点，使得B.存在点，使得C.点到平面距离的最大值为D.当时，三棱锥的体积是四棱锥体积的二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知数列的前项和为，则_____，_____.12.已知抛物线的焦点为，点在上.若到直线的距离为5，则_____.13.在等比数列中，，，则_____.14.如图，，分别是双曲线的两个焦点，以坐标原点为圆心，为半径的圆与该双曲线左支交于、两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为______．15.已知数列满足，，，给出下列4个结论：①若，则数列是常数列；②从第二项起，数列中不存在大于1的整数；③对恒成立；④，使得.其中正确结论的序号是_____.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在长方体中，四边形是边长为1的正方形，，，，分别是，，的中点（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.17.在中，．（1）求c的值；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求BC边上的高．条件①：；条件②：；条件③：的面积为．18.在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为且短轴长为2.（1）求椭圆的标准方程；（2）过定点的直线与椭圆交于，两点，若，求直线与直线的斜率之积.19.在四棱锥中，平面平面，底面为梯形，，，且，，.（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值；（3）若是棱的中点，求证：对于棱上任意一点，与都不平行.20.已知椭圆经过和两点，点为椭圆C的右顶点，点P为椭圆C上位于第一象限的点，直线与y轴交于点M，直线与x轴交于点N．（1）求椭圆C的方程及离心率；（2）比较的面积与的面积的大小，并说明理由．21.记无穷数列的前项中最大值为，最小值为，令.（1）若，写出，，，的值；（2）求证：“数列是等差数列”的充要条件是“数列是等差数列”；（3）若，，，求证：存在，使得，有.

参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.题号12345678910答案AABBCDADAC二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.【答案】数列的前项和为，令，则，.故答案为：7；10.12.【答案】如图，由题意知，抛物线的准线方程为，又点到直线的距离为5，所以点到准线的距离为，由抛物线的定义知.故答案为：13.【答案】等比数列中，，则，又因为，则，设等比数列中公比为，则，所以，则.故答案为：6.14.【答案】解：连接，因为是圆的直径，所以，即，因为是等边三角形，所以所以所以在中，由双曲线的定义得即所以双曲线的离心率为故答案为：15.【答案】若，则当时，，解得，当时，数列不是常数列，故①错误；假设从第二项起，数列中存在大于1的整数，则当时，

，由得到，得到与从第二项起，数列中存在大于1的整数矛盾，所以假设不成立，即第二项起，数列中不存在大于1的整数，故②正确；因为，所以，所以对恒成立，故③正确；因为对恒成立，所以或由此可知相对于1交替震荡并且逼近于1，（如时，，，…），即数列逼近于1，，仅仅略大于1，而数列中大于1的项，绝对值会逐渐逼近于1，因此当足够大时，必然会出现大于1的项的绝对值小于的情况，所以，使得，故④正确故答案为：②③④三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.【答案】（1）∵，分别是，的中点，∴，，∵是的中点，∴，，∴且，∴四边形是平行四边形，∴，又平面，平面，∴平面；（2）在长方体中，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示：则，，，，∴，，设平面的法向量为，则有，即，令，则，∴，故直线与平面所成角的正弦值为．综上，直线与平面所成角的正弦值为.17.【答案】（1）因为，所以，由正弦定理有，解得；（2）如图所示，若存在，则设其边上的高为，若选①，，因为，所以，因为，这表明此时三角形有两个钝角，而这是不可能的，所以此时三角形不存在，故边上的高也不存在；若选②，，由有，由正弦定理得,所以，所以由余弦定理得,此时三角形是存在的，且唯一确定，所以,即，所以边上的高；若选③，的面积是，则，解得，由余弦定理可得可以唯一确定，进一步由余弦定理可得也可以唯一确定，即可以唯一确定，这表明此时三角形是存在的，且边上的高满足：，即.18.【答案】（1）由得∴椭圆C的标准方程为（2）若直线的斜率不存在，即直线方程为：，易得，，又此时点与点重合，故直线不存在，不符合题意；故直线的斜率必存在.设，，，联立得：，，则，∴，，∵，代入，，，即直线与直线的斜率之积为.19.【答案】（1）因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面；（2）在平面PDC内过点D作，交PC于点H．因为平面PDC，平面PDC，平面PDC，所以，，所以AD，CD，DH两两垂直．以D为原点，分别以DA，DC，DH所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，因为，，则，，，，所以，．设平面的法向量为，则，故可取．易知平面的一个法向量为，因为．所以平面与平面的夹角的余弦值为．（3）假设存在，使得，易得，依题意，存在唯一的实数,使得，，则，因为，则，所以存在唯一的实数，使得，即，所以，方程组无解，故题设不成立，故不存在一点，使.即对于棱上任意一点，与都不平行.20.【答案】（1）由题意可知，，，所以椭圆方程为，离心率；（2）设直线，令，得，直线，令，得，所以，所以21.【答案】（1）由，得，，，，因此，，所以，，，.（2）当数列是等差数列时，设其公差为，若，则，于是，，，，数列是等差数列；若，则，于是，，，，数列是等差数列，所以数列是等差数列；当数列是等差数列时，设其公差为，而，则，由的定义，得对任意与恒成立且其中至少有1个取等号，当，则必有，，数列单调递增，则，，，因此，即为等差数列，当时，则必有，，数列单调递减，则，，，因此，即为等差数列，当时，而中必有一个为0，又，因此，即，数列为常数数列，所以