2025北京中学高二10月月考数学(直升)试题及答案

高中2025北京北京中学高二10月月考数学（直升）一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合，，那么A. B.C. D.2.已知，则下列说法一定正确的是（）A. B. C. D.3.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知集合，则为（）A. B. C. D.5.已知，则的最小值是（）A.4 B.3 C.2 D.16.已知集合，，则（）A. B. C. D.7.若命题“”为假命题，则m的取值范围是（）A. B.C. D.8.已知，则下列判断错误的是（）A. B. C. D.9.《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.如图所示的图形，在AB上取一点，使得，，过点作交圆周于D，连接OD.作交OD于.则下列不等式可以表示的是（）A. B.C. D.10.若集合A的所有子集中，任意子集的所有元素和均不相同，称A为互斥集．若，且A为互斥集，则的最大值为（）A. B. C. D.二、填空题（本题共5小题，每题5分，共25分．）11.若对任意，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为___________．12.关于的不等式的解集为___________．13.能够说明“设是任意实数,若,则”是假命题的一组整数的值依次为__________.14.已知是集合的非空子集，且当时，有．记满足条件的集合的个数为，则__________；__________．15.两个数互素是指两个正整数之间除了1之外没有其他公约数．欧拉函数（）的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互素的正整数的个数，例如，．关于欧拉函数给出下面四个结论：①；②，恒有；③若m，n（）都是素数，则；④若（），其中为素数，则．（注：素数是指除了1和它本身以外不再有其他因数，且大于1的正整数．）则所有正确结论的序号为___________．三、解答题（本题共6小题，共85分．解答应写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程．）16.已知实数．（1）若，则的取值范围；（2）若，求的取值范围．17.已知关于不等式的解集，集合．（1）求实数的值；（2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求实数的取值范围．条件①：；条件②：．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.18.已知函数．（1）若，且，求的最小值；（2）若，解关于的不等式．19.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求函数的单调区间；（3）当时，恒成立，求的取值范围.20.已知椭圆的离心率为为椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，原点到直线的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）为椭圆上一点，直线与直线交于点，直线与轴交于点，设直线，的斜率分别为，已知，求21.对于数列，定义“变换”：将数列变换成数列，其中，且，这种“变换”记作.继续对数列进行“变换”，得到数列，依此类推，当得到的数列各项均为时变换结束．（1）试问和经过不断的“变换”能否结束？若能，请依次写出经过“变换”得到的各数列；若不能，说明理由；（2）求经过有限次“变换”后能够结束的充要条件；（3）证明：一定能经过有限次“变换”后结束．

参考答案一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一项是符合题目要求的．）题号12345678910答案BDDDABCAAC二、填空题（本题共5小题，每题5分，共25分．）11.【答案】函数在上单调递增，故，因对任意，不等式恒成立，得，所以实数的取值范围为.故答案为：12.【答案】由不等式有意义，得，解得，当时，，因此；当时，，即，解得，因此，所以不等式的解集为.故答案为：13.【答案】试题分析：，矛盾，所以−1，−2，−3可验证该命题是假命题.14.【答案】解：将，，分为组，和，和，，和，单独一组，每组中的两个数或单独的k必须同时属于或同时不属于一个满足条件的集合，每组属于或不属于，共两种情况，所以的可能性有，排除一个空集，则可能性为，即，，故，．故答案为：3，.15.【答案】不超过7且与7互素的正整数有1，2，3，4，5，6，共6个，则，故①正确；不超过8且与8互素的正整数有1，3，5，7，共4个，则，则，故②错误；若m是素数，m与前m－1个正整数均互素，则；同理，若n是素数，则，故；若m，n（）都是素数，则不超过的正整数中，除去与及外，其他的正整数均与互素，共有个，则，所以，故③正确；若（），其中为素数，不超过的正整数共有，其中的倍数有个，则不超过且与互素的正整数有个，则，故④正确．故答案为：①③④．三、解答题（本题共6小题，共85分．解答应写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程．）16.【答案】【小问1详解】由，得，当时，，则，即，当时，，因此，所以的取值范围是.【小问2详解】依题意，，由，得，则，所以的取值范围是.17.【答案】【小问1详解】由，得到，即，又因为关于不等式的解集，所以，解得，所以实数的值为.【小问2详解】选择条件①，因为，，又，由图知，，解得.选择条件②，因为，，又，即，由图知，，解得.18.【答案】【小问1详解】因为且，所以，即，又，所以，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为；【小问2详解】当时，不等式，即为，即；当时，解得，所以不等式的解集为；当时，不等式等价于，解得或，所以不等式的解集为；当时，不等式即为，解得，所以不等式的解集为；当时，，解得，所以不等式的解集为；当时，，解得，所以不等式的解集为；综上可得：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.19.【答案】【小问1详解】，当时，，，，，故曲线在点处的切线方程为，即；【小问2详解】易得定义域为，当时，，令，或，当或时，单调递减；当或时，单调递增；故的单增区间为，单减区间为；【小问3详解】“，即”是“当时，恒成立”的必要条件.当，时，，令，由（2）知，在单调递减，在单调递增，故，即，所以的取值范围是.20.【答案】【小问1详解】在椭圆中，，则直线AC：，即，由原点到直线的距离为，得，则，由的离心率为，得，解得，，所以椭圆E的方程为.【小问2详解】由（1）知，直线AC的方程为，直线方程为，由，解得，即点，由消去得，设点,则，即，，点，直线PC的斜率为，直线PC的方程为，令，得，点，则QT的斜率，因此，而，所以.21.【答案】分析：（1）根据定义，可得不能结束，数列能结束，并可写出数列；（2）经过有限次“变换”后能够结束的充要条件，先证明，则经过一次“变换”，就得到数列，从而结束，再证明命题“若数列为常数列，则为常数列”，即可得解；（3）先证明引理：“将数的最大项一定不大于数列的最大项，其中”，再分类讨论：第一类是没有为的项，或者为的项与最大项不相邻，（规定首项与末项相邻），此时由引理可知，，第二类是含有为的项，且与最大项相邻，此时，证明第二类数列经过有限次“变换”，一定可以得到第一类数列.详解：（1）数列不能结束，各数列依次为；；；；；；…．从而以下重复出现，不会出现所有项均为的情形．数列能结束，各数列依次为；；；．（2）解：经过有限次“变换”后能够结束的充要条件是．若，则经过一次“变换”就得到数列，从而结束．当数列经过有限次“变换”后能够结束时，先证命题“若数列为常数列，则为常数列”．当时，数列．由数列为常数列得，解得，从而数列也为常数列．其它情形同理，得证．在数列经过有限次“变换”后结束时，得到数列(常数列)，由以上命题，它变换之前的数列也为常数列，可知数列也为常数列．所以，数列经过有限次“变换”后能够结束的充要条件是．（3）证明：先证明引理：“数列的最大项一定不大于数列的最大项，其中”．证明：记数列中最大项为，则．令，，其中．因为，所以，故，证毕．现将数列分为两类．第一类是没有为的项，或者为的项与最大项不相邻（规定首项与末项相邻），此时由引理可知，．第二类是含有为的项，且与最大项相邻，此时．下面证明第二类数列经过有限次“变换”，一定可以得到第一类数列．不妨令数列的第一项为，第二项最大()．（其它情形同理）①当数列中只有一项为时，若()，则，此数列各项均不为或含有项但与最大项不相邻，为第一类数列；若，则；此数列各项均不为或含有项但与最大项不相邻，为第一类数列；若()，则，此数列各项均不为，为第一类数列；若，则；；，此数列各项均不为，为第一类数列．②当数列中有两项为时，若()，则，此数列各项均不为，为第一类数列；若()，则，，此数列各项均不为或含有项但与最大项不相邻，为第一类数列．③当数列中有三项为时，只能是，则，，，此数列各项均不为，为第一类数列．总之，第二类数列至多经过次“变换”，就会得到第一类数列，即至多连续经历次“变换”，数列的最大项又开始减少．又因为各数列的最大项是非负整数，故经过有限次“变换”后，数列的最大项一定会为，此时数列的各项均为，从而结