第3讲　随机变量及其分布

第3讲随机变量及其分布高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2026考点一分布列的性质及应用考点二二项分布与超几何分布目录索引考点三正态分布考点一分布列的性质及应用理知识离散型随机变量X的分布列为

Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn

链高考1.(2025新高考Ⅰ,14)有5个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,从中有放回地随机取3次,每次取1个球,记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数,则X的数学期望E(X)=

.【一题多解】

2.(2024新高考Ⅰ,14)甲、乙两人各有四张卡片,每张卡片上标有一个数字,甲的卡片上分别标有数字1,3,5,7,乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8,两人进行四轮比赛,在每轮比赛中,两人各自从自己持有的卡片中随机选一张,并比较所选卡片上数字的大小,数字大的人得1分,数字小的人得0分,然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用).则四轮比赛后,甲的总得分不小于2的概率为

.

解析

设每轮比赛中,甲选的卡片上的数字为i,乙选的卡片上的数字为j,则每轮比赛可用数字组(i,j)表示,其中i=1,3,5,7,j=2,4,6,8.当甲选的卡片上的数字为1时,甲这一轮得0分,所以在四轮比赛中,甲最多得3分,且要得3分,只有一种情形,即(1,8),(3,2),(5,4),(7,6).甲得2分,有以下情形:①当甲所选卡片上的数字为3和5时分别得1分,所选卡片上的数字为1和7时分别得0分,有(1,6),(3,2),(5,4),(7,8),共1种.②当甲所选卡片上的数字为3和7时分别得1分,所选卡片上的数字为1和5时分别得0分,有(1,8),(3,2),(5,6),(7,4);(1,6),(3,2),(5,8),(7,4);(1,4),(3,2),(5,8),(7,6),共3种.

例1

(2024新高考Ⅱ,18)某投篮比赛分为两个阶段,每个参赛队由两名队员组成,比赛具体规则如下:第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次,若3次都未投中,则该队被淘汰,比赛成绩为0分;若至少投中一次,则该队进入第二阶段,由该队的另一名队员投篮3次,每次投中得5分,未投中得0分,该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成,设甲每次投中的概率为p,乙每次投中的概率为q,各次投中与否相互独立.(1)若p=0.4,q=0.5,甲参加第一阶段比赛,求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率;(2)假设0<p<q,(ⅰ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大,则该由谁参加第一阶段比赛?(ⅱ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大,应该由谁参加第一阶段比赛?解

(1)甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分,则甲第一阶段至少投中1次,乙第二阶段也至少投中1次,则所求概率P=(1-0.63)×(1-0.53)=0.686.(2)(ⅰ)若甲参加第一阶段比赛,则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P甲=[1-(1-p)3]q3;若乙参加第一阶段比赛,则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P乙=[1-(1-q)3]p3.P甲-P乙=q3-(q-pq)3-p3+(p-pq)3=(q-p)(q2+pq+p2)+(p-q)[(p-pq)2+(q-pq)2+(p-pq)(q-pq)]=(p-q)(3p2q2-3p2q-3pq2)=3pq(p-q)(pq-p-q)=3pq(p-q)[(1-p)(1-q)-1]>0,所以P甲>P乙,故应该由甲参加第一阶段比赛.

【对点训练1】(2025河北秦皇岛二模)小王是一位篮球运动爱好者,常去居住地附近A,B两个篮球场馆打篮球.已知小王第一次随机选择一个场馆打篮球.若前一次选择A场馆,那么下次选择A场馆的概率为m(0<m<1);若前一次选择B场馆,那么下次选择A场馆的概率为n(0<n<1).(1)若m+n=1,0<m≤0.8,求小王前三次选择相同场馆打篮球的概率的最大值;(2)求小王第二次去B场馆打篮球的概率;(3)若m=0.6,n=0.2,设小王前两次选择A场馆打篮球的次数为X,求X的分布列和数学期望.

X012P0.40.30.3考点二二项分布与超几何分布理知识

链高考(2023全国甲,理19节选)一项试验旨在研究臭氧效应,试验方案如下:选40只小白鼠,随机地将其中20只分配到试验组,另外20只分配到对照组,试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境,对照组的小白鼠饲养在正常环境,一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位:g).设X表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数,求X的分布列和数学期望.

X012P例2

(2025吉林三模)DeepSeek是由中国某公司开发的人工智能模型.DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等,在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景.为提高DeepSeek的应用能力,某公司组织A,B两部门的50名员工参加DeepSeek培训.(1)此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加,恰有3人来自A部门.从这6名部门领导中随机选取2人,记X表示选取的2人中来自A部门的人数,求X的分布列和数学期望;

X012P

X123P

Y0123P考点三正态分布理知识1.正态曲线关于直线x=μ对称且曲线与x轴之间的面积为1.2.常用结论:(1)对任意的a,有P(X<μ-a)=P(X>μ+a).(2)P(X<x0)=1-P(X≥x0).(3)P(a<X<b)=P(X<b)-P(X≤a).链高考1.(2025天津,5)已知r为样本相关系数,则下列说法错误的是(

)A.若随机变量X~N(μ,σ2),则P(X≤μ-σ)=P(X≥μ+σ)B.若随机变量X~N(1,22),Y~N(2,22),则P(X≤1)<P(Y≤2)C.若|r|越趋近于1,则线性相关程度越强D.若|r|越趋近于0,则线性相关程度越弱B

BC解析

由题意知,X~N(1.8,0.12),Y~N(2.1,0.12).∵P(X<1.8+0.1)≈0.841

3,∴P(X>1.8+0.1)≈1-0.841

3=0.158

7,∴P(X>2)=P(X>1.8+2×0.1)<P(X>1.8+0.1)≈0.158

7,故A错误;P(X>2)<P(X>1.8)=0.5,故B正确;∵P(Y>2)=P(Y>2.1-0.1)=P(Y<2.1+0.1)≈0.841

3,故C正确,D错误.故选BC.例3

(2025安徽黄山二模)为了解学生课余时间体育锻炼情况,某校对100名学生平均每周的体育锻炼时间进行了调查,统计数据如下表:每周体育锻炼的时间/h[0,2)[2,4)[4,6)[6,8)[8,10)[10,12)[12,14)[14,16]人数/人34811412085

(1)该校共5000人,试估计该校大约有多少学生平均每周的体育锻炼时间在15h以上(结果四舍五入);(2)若在该校随机抽取3位学生,设其中平均每周的体育锻炼时间在9h以上的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列和均