培优拓展6　立体几何中的动态问题

培优拓展(六)立体几何中的动态问题高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2026类型一动点的轨迹问题类型二与动点有关的最值、范围问题目录索引真题解构空间向量与立体几何立体几何中的“动态”问题,是指空间图形中的某些点、线、面的位置可以发生变化的一类问题.这类问题由于引入了运动变化的元素,使得几何图形不再静态固定,从而大大拓展了问题的研究维度.动态几何问题不仅丰富了立体几何的内涵,还巧妙地在立体几何与平面几何的轨迹问题、解三角形等问题之间架起了桥梁,实现了不同几何领域之间的灵活转化与综合应用.这类问题主要有两种类型:(1)动点轨迹问题:研究空间图形中动点的运动轨迹,常用解决方法包括定义法(如利用圆锥曲线的定义)、解析法和交轨法等;(2)动点相关的最值与范围问题:探讨与动点变化相关的最值或变量范围,通常采用几何分析、函数建模等方法求解.类型一动点的轨迹问题

ACD

2π

类型二与动点有关的最值、范围问题

BCD解析

取A1B1的中点D1,AB的中点D,连接D1C1,DD1,DC,CD1,由△A1B1C1为等边三角形,所以A1B1⊥C1D1,又由正三棱柱ABC-A1B1C1中,可得CC1⊥A1B1,因为C1D1∩CC1=C1,且C1D1,CC1⊂平面D1DCC1,所以A1B1⊥平面D1DCC1,又因为A1B1⊂平面A1B1C,所以平面A1B1C⊥平面D1DCC1,因为平面A1B1C1∩平面D1DCC1=D1C,过C1作C1H⊥D1C于H,根据面面垂直的性质定理,可得C1H⊥平面A1B1C,在矩形D1DCC1中,|D1C1|<|DD1|,所以∠D1C1D>45°>∠D1C1H,如图所示,此时C1H的延长线与线段CD无公共点,所以不存在点N,使得C1N⊥平面A1B1C,故A错误;

真题解构空间向量与立体几何

命题分析本题以四棱锥为载体,考查空间垂直与平行关系的证明与应用、球的截面性质、异面直线所成角等知识.试题设置于课程学习情境,体现基础性、综合性与创新性,通过面面垂直的证明以及外接球球心的探寻,考查逻辑推理和数学直观的核心素养;通过异面角余弦值的计算,考查数学运算的能力.解题分析题意理解序号信息读取信息加工1PA⊥平面ABCD,BC∥AD,AB⊥AD可证明AB⊥平面PAD2四边形ABCD为直角梯形,△PAB为等腰直角三角形3P,B,C,D在同一个球面上球O是三棱锥P-BCD的外接球4直线AC与直线PO所成角的余弦值①利用平行线转化为相交直线所成角;②建立坐标系,转化为向量的夹角问题思路探求

关键步骤思维要点思维缘由(第1问)证明线面垂直证明AB⊥平面PAD由面面垂直的判定定理,知证明面面垂直,需转化为证明线面垂直(第2(ⅰ)问)确定外接球球心在线段AD上取一点K,使得AK=1.K就是P,B,C,D所在球面的球心证明球心位于平面ABCD上,等价于寻找过平面PBC所在的截面圆圆心所作的平面垂线,与平面ABCD的交点(第2(ⅱ)问)求异面直线所成角的余弦值建立空间直角坐标系,转化为求两个向量的夹角的余弦值书写表达(1)证明

因为PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,所以AP⊥AB.又因为AB⊥AD,AP⊂平面PAD,AD⊂平面PAD,AP∩AD=A,所以AB⊥平面PAD.注①→两直线垂直的条件不可省略.(2分)因为AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.(3分)

回顾反思本题求解的关键是寻找并证明几何体中的垂直关系,尤其第(2)(ⅰ)问要证明外接球的球心在某个平面上,可联想过球面上任意三点确定球的一个截面圆.当该截面不通过球心时,存在以下两个等价命题:①连接截面圆圆心与球心的直线必垂直于截面;②过截面圆圆心作截面的垂线必通过球心.从而可猜想并证明.第(2)(ⅱ)问用空间向量方法最佳,因为条件中的几何体适合建系,并且相关点的坐标易得.试题源于人教A版必修第二册第147页例1、第165页第21题,人教A版选择性必修第一册