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文档简介
专题6.6数列求和(举一反三专项训练)
【全国通用】
目录
第一部分题型专练
【题型1公式法求和】...............................................................................................................................................1
【题型2错位相减法求和】.......................................................................................................................................2
【题型3裂项相消法求和】.......................................................................................................................................2
【题型4分组(并项)法求和】...............................................................................................................................3
【题型5倒序相加法求和】.......................................................................................................................................4
【题型6奇偶项问题讨论求和】...............................................................................................................................5
【题型7先放缩再裂项求和】...................................................................................................................................6
【题型8新定义、新情景下的数列求和】...............................................................................................................7
第二部分分层突破
A组基础跟踪练
B组培优提升练
【题型1公式法求和】
1.(2025·云南·一模)已知是等差数列的前n项和,若,则()
A.20B.55����C.110�3+�9D=.2200�11=
2.(2025·海南·模拟预测)已知为各项均为整数的等比数列,且,记为
的前项和,则()���2�4=16,�2+2�3=6����
A�.43�7=B.85C.110D.127
3.(2025·湖南·一模)已知等差数列满足:,则前20项的和为()
2
A.190B.360��C.�240+0�4+⋯+�2�=D2�.4+40��20
4.(2025·辽宁·模拟预测)等比数列满足,,记的前项和为,
则()��2022+log2�3=log2�2025�1=2�����
�8A=.510B.C.或264D.510或
−150−150−170
【题型2错位相减法求和】
5.(24-25高二上·江苏淮安·期末)数列满足,数列的前n项和为()
��+1�1��
.�.��=3�+1�,�=3��
A2B
15�+9��
2�⋅3
C.D.
�−23�1�+1
1+14�−834+2−43
6.(25-26高三上·山东济宁·月考)已知等差数列满足,数列满足
,则的前项和为()���1=2, �3+�5=10���1=�1,��+1=
��∗
2��+A.2�∈NB�.����C.D.
�+1�−1�+1
2−2�2��+12�−12+2
7.(2025·湖南永州·模拟预测)记数列的前项和为,已知.
11
������1=1,��=2��+1+2
(1)求的通项公式;
(2)设��,求数列的前项和.
��=��������
.(贵州遵义模拟预测)已知数列的前项和,且满足,数列为公比大于的等
82025··20
�+�
����
比数列,且.����=2�
(1)求;�2=�3, �4=�27
(2)令��, ��,求的前项和.
��=��⋅�������
【题型3裂项相消法求和】
9.(2025·河北·模拟预测)在数列中,已知,设,则数
���
���1=1,��+1=��+1��=(−1)2�+1����+1
列的前项和()
��
�.��=.
A�B�
1(−1)1(−1)
−2+�+12−�+1
..
C�D�
(−1)(−1)
−1+�+1−1−�+1
10.(2025·福建漳州·模拟预测)设等差数列的前n项和为,若,,则数列
1
�����5=5�2�2+�3=5����+1
的前2025项和为()
A.B.C.D.
1120242025
2026202520252026
11.(2025·陕西榆林·模拟预测)已知各项均为正数的数列的前项和为.
(1)求;�����,�1=2,4��=����+1
�
(2)记数�列的前项和为,证明:.
6
�����3≤��<6
12.(2025·河北·模拟预测)已知数列的首项,且.
����+1
�
���1=22��−��+1=2
证明:数列是等差数列.
(1)�
2
��
(2)令,求数列的前项和.
�−1��
��=�+1�����
【题型4分组(并项)法求和】
13.(2025·河北沧州·一模)记为数列的前项和,,数列的前
���+1�
��1�2���
项和为,则()����=1,�=,�=(−1)���
A.�0��80=B.40C.80D.120
14.(2025·河北衡水·模拟预测)已知数列满足,某同学将其前20项中某一项正负号写错,
�2
��
得到其前20项和为82,则写错之前这个数�为()�=−1�
A.64B.C.100D.
−81−121
15.(25-26高三上·安徽·月考)已知数列的首项,且满足.
3
���1=21+����+1=2��
(1)证明:是等差数列;
1
��−1
(2)记[x]表示不超过的最大整数,分别为和的前项和,求.
1
���,���������+��
16.(2025·新疆·模拟预测)已知正项数列满足,,且,,
∗
成等比数列.���1=22��+1=��+��+2�∈��2−2�42�7−3
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列��中第2项,第4项,,第项构成新数列,记的前项和为,求.
�
��···2���������
【题型5倒序相加法求和】
17.(25-26高二上·福建漳州·月考)德国大数学家高斯,被誉为数学界的王子,在其年幼时,对
的求和运算中,提出了倒序相加法的原理,该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一1定+的2+规3律+
性⋯,+因10此0,此方法也称之为高斯算法.现有函数(),则
2�
等于()�(�)=3�+6078�>0�1+�2+�3+⋯+��+
2025A.B.C.D.
�+20252�+60782�+6078�+2025
3366
18.(24-25高二下·陕西西安·月考)若等差数列满足,则()
111
�1�2�2025
���1013=02+1+2+1+⋯+2+1=
A.2025B.C.D.
202520252025
248
19.(24-25高三上·云南·月考)已知数列满足:(),数列满足.
�1�2�3��1
23�∗50
��2+2+2+⋅⋅⋅+2=��∈�����=��+2
(1)求数列的通项公式;
(2)求��.
�1+�2+⋅⋅⋅+�99
20.(24-25高二下·四川成都·月考)已知数列满足:,数列满足
�1�2�3��
23�∗
��2+2+2+⋅⋅⋅+2=��∈�����=
.
1
50
��+2
(1)求数列的通项公式;
(2)求��的值;
(3)求��+�100−�的值.
�1+�2+�3+⋅⋅⋅+�99
【题型6奇偶项问题讨论求和】
为奇数
21.(24-25高三上·宁夏石嘴山·月考)在数列中,,,,则
为偶数
��+2,�
{��}�1=2�2=1��+2=��
�
的前20项和()2�,�
A.621�20=B.622C.1133D.1134
为奇数
22.(2025·江西景德镇·模拟预测)已知数列满足,且,则
为偶数
��,�
���1=1,�2=2��+2=��
�+1�
的前50项的和为()�−�,�
A.36B.39C.41D.45
23.(2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测)已知是等差数列,是各项都为正数的等比数列,且,,
,.�����1=1�1=2
(�13)求−�2=,15的+通�2项=公�3式;
��
��为奇数
(2)若,求数列的前项和.
为偶数
��,�
��=��2��2�
��,�
24.(2025·辽宁大连·模拟预测)若数列和满足:,,且
��+1=��−2��
�����1=1�1=7
(1)设,证明:是等比数列;��+1=3��−4��
����
�=�−�为奇数�
(2)设,试求的前n项和.
为偶数
��−��,�
��=����
4��−��,�
【题型7先放缩再裂项求和】
25.(2025·四川成都·模拟预测)已知函数.
1
��=ln�−��−1
(1)若恒成立,求实数的值;
�
(2)证明�(�:)≥0.
111∗
sin�+1+sin�+2+…+sin2�<ln2�∈N
26.(25-26高三上·广东·月考)已知函数,为数列的前项和.
2
(1)求的通项公式;��=�+3������
�
(2)记数�列的前项和为,证明:.
12
′��
���2����<7
27.(2025·江苏连云港·模拟预测)在数列中,,对于,,,成等差数列,
*
其公差为.���1=0∀�∈��2�−1�2��2�+1
�
(1)判断是否成等比数列?并说明理由;
(2)证明:�4,�5,,�6,成等比数列;
2�2�+12�+2
(3)设�,�数列�的前项和为,证明:.
1
��=��+1�����1≤��<3
28.(25-26高三上·天津宝坻·月考)已知数列是等差数列,满足,,数列
是首项为1的等比数列,且,,成等差��数列.�3+�4+�5=21�6=11��
(1)求,的通项公式;9�13�2�3
(2)求数��列��的前n项和.
∗
���
(3)��,求证:��∈�.
1�11
��=2��+1 �=1��<22�+1−2
【题型8新定义、新情景下的数列求和】
29.(2025高三·全国·专题练习)给定函数,若数列满足,则称数列为函数
���
��+1�′�
�(�)��=�−�����(�)
的牛顿数列.已知为的牛顿数列,,且,数列
2��−2∗
���(�)=�−�−2��=ln��+1�1=1,��>2�∈���
的前n项和为.则()
���2025=
A.B.C.D.
20232024
2024202511
30.(242-25高−二1下·广东广2州·月−考1)在数列中2,如果−存1在正整数T,使2得−1,对于任意的正整
数m均成立,那么称数列为周期数列,其�中�T叫做数列的周期.已知数�列�+�=满�足�
��,如果,��,当数列的�周�期最�小�+时1,=该��数−列前
�−112�
2�025项�的≥和2,是�(∈N�)≥2,�∈N�=1�=��∈R,�≠0�
A.674B.1348C.1350D.2024
31.(2025·河北·模拟预测)设,,,若各项均为正数的数列满足,则
1
�>1�≥1�∈������<��+1<��
称数列具有性质“”.
(1)已知数��列的前n�项�和为,且,试判断数列是否具有性质“”,并说明理
*
由;������=1−���∈����4
(2)若数列满足,且.
2��*
���1=3��+1=lne−1−ln���∈�
(i)证明:数列具有性质“”;
���3
(ii)记数列的前n项和为,证明:.
1
�*
������≥1−3�∈�
32.(24-25高二下·湖北武汉·期中)若数列满足,则称数列为“平方递推数列”.已知数列
2
中,,点在函数����+的1=图�象�上,其中为正��整数.
2
(1�)�证明:�数1=列7��是,�“�平+1方递推数�列�”,=且�数+列6�+6为等比数列�;
(2)设��+3,数列的前项和为lg��;+3
①求��;=2�−1lg��+3�����
②若��恒成立,求实数的最大值.
�+1
�2�+13−�−1⋅4≥�⋅lg��+3�
A组基础跟踪练
一、单选题
1.(2025·四川凉山·一模)在等差数列中,是其前n项和,若,,则()
��486
A.B.5�C.�10D�.=158�=24�=
5
2
2.(2026·山东·一模)在等比数列中,已知,且公比,则该数列前
�13599
100项的和是()��+�+�+⋯+�=50�=3
A.150B.200C.250D.300
3.(2025·甘肃平凉·模拟预测)已知数列满足,,则的前2025项和
1
�1�+1��2025
()��=1��=�+2���=
A.B.C.D.
2023404820254052
1012202510132027
4.(2025·广东深圳·模拟预测)设数列是各项均为正数的等比数列,其前项和为,若,
,则()������5−�1=15
425
�−A�.=156�=B.16C.31D.
31
16
5.(2025·广东茂名·二模)已知函数满足,,设,为数列
的前项和,则使得成立的�最�小整数�为�+(1)=2���1=1��=�������
A�.8��>B.20924C�.10D.11
6.(2025·天津武清·模拟预测)已知数列的通项公式为,其前n项和为,则数列
�
����
的前2025项和为()��=2�−1�−1⋅�
A.B.C.D.
2024×20252024×20252025×20262025×2026
2−22−2
7.(2025·广东广州·模拟预测)已知是首项为2,公比为2的等比数列,记,其
�,�=��
����=
中,记数列的前项和为,则()�−1012,�≠��
*
�A∈.�9143��B.9�145���202C5.=10009D.10154
8.(24-25高二上·全国·课后作业)在公差不为零的等差数列中,成等比数列,则数
�9236
列的前项和()��=30,�,�,�
��
�+1
2���=
A.B.
1�1�
2−2�+3×21−2�+1×2
C.D.
1�1�
二、填空−题1+2�−1×23−2�+5×2
9.(2026·湖南邵阳·一模)设等比数列的前项和为,若,,则.
10.(2026·四川绵阳·二模)已知数列是�等�差数�列,且��,�1=2,则�4=的16前�项4=和等于.
�410�
11.(2025·江苏淮安·模拟预测)已知递�增等比数列前�项=和2为�=,且8�13,则数列
1
��232�2�+1
的前项和为.����=8,�=42log�⋅log�
12.(210025·河北沧州·模拟预测)已知为数列的前项和,且,若
*
�����∀�∈�,4��+��+2=4��+1�1=1,�2=
,则.
�
5�=B组培优提升练
一、单选题
1.(2025·山东青岛·一模)已知数列,,且,将与的公共项按从大
11
����2��
{�}{�}�=2�−1,�=�+1−1{�}{�}
到小的顺序排列组成一个新数列,则的前10项和为()
��
A.B.{�}{�}C.D.
9181020
19192121
2.(2025·江西·模拟预测)已知数列满足:,,令
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