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文档简介

专题6.6数列求和(举一反三专项训练)

【全国通用】

目录

第一部分题型专练

【题型1公式法求和】...............................................................................................................................................1

【题型2错位相减法求和】.......................................................................................................................................2

【题型3裂项相消法求和】.......................................................................................................................................2

【题型4分组(并项)法求和】...............................................................................................................................3

【题型5倒序相加法求和】.......................................................................................................................................4

【题型6奇偶项问题讨论求和】...............................................................................................................................5

【题型7先放缩再裂项求和】...................................................................................................................................6

【题型8新定义、新情景下的数列求和】...............................................................................................................7

第二部分分层突破

A组基础跟踪练

B组培优提升练

【题型1公式法求和】

1.(2025·云南·一模)已知是等差数列的前n项和,若,则()

A.20B.55����C.110�3+�9D=.2200�11=

2.(2025·海南·模拟预测)已知为各项均为整数的等比数列,且,记为

的前项和,则()���2�4=16,�2+2�3=6����

A�.43�7=B.85C.110D.127

3.(2025·湖南·一模)已知等差数列满足:,则前20项的和为()

2

A.190B.360��C.�240+0�4+⋯+�2�=D2�.4+40��20

4.(2025·辽宁·模拟预测)等比数列满足,,记的前项和为,

则()��2022+log2�3=log2�2025�1=2�����

�8A=.510B.C.或264D.510或

−150−150−170

【题型2错位相减法求和】

5.(24-25高二上·江苏淮安·期末)数列满足,数列的前n项和为()

��+1�1��

.�.��=3�+1�,�=3��

A2B

15�+9��

2�⋅3

C.D.

�−23�1�+1

1+14�−834+2−43

6.(25-26高三上·山东济宁·月考)已知等差数列满足,数列满足

,则的前项和为()���1=2, �3+�5=10���1=�1,��+1=

��∗

2��+A.2�∈NB�.����C.D.

�+1�−1�+1

2−2�2��+12�−12+2

7.(2025·湖南永州·模拟预测)记数列的前项和为,已知.

11

������1=1,��=2��+1+2

(1)求的通项公式;

(2)设��,求数列的前项和.

��=��������

.(贵州遵义模拟预测)已知数列的前项和,且满足,数列为公比大于的等

82025··20

�+�

����

比数列,且.����=2�

(1)求;�2=�3, �4=�27

(2)令��, ��,求的前项和.

��=��⋅�������

【题型3裂项相消法求和】

9.(2025·河北·模拟预测)在数列中,已知,设,则数

���

���1=1,��+1=��+1��=(−1)2�+1����+1

列的前项和()

��

�.��=.

A�B�

1(−1)1(−1)

−2+�+12−�+1

..

C�D�

(−1)(−1)

−1+�+1−1−�+1

10.(2025·福建漳州·模拟预测)设等差数列的前n项和为,若,,则数列

1

�����5=5�2�2+�3=5����+1

的前2025项和为()

A.B.C.D.

1120242025

2026202520252026

11.(2025·陕西榆林·模拟预测)已知各项均为正数的数列的前项和为.

(1)求;�����,�1=2,4��=����+1

(2)记数�列的前项和为,证明:.

6

�����3≤��<6

12.(2025·河北·模拟预测)已知数列的首项,且.

����+1

���1=22��−��+1=2

证明:数列是等差数列.

(1)�

2

��

(2)令,求数列的前项和.

�−1��

��=�+1�����

【题型4分组(并项)法求和】

13.(2025·河北沧州·一模)记为数列的前项和,,数列的前

���+1�

��1�2���

项和为,则()����=1,�=,�=(−1)���

A.�0��80=B.40C.80D.120

14.(2025·河北衡水·模拟预测)已知数列满足,某同学将其前20项中某一项正负号写错,

�2

��

得到其前20项和为82,则写错之前这个数�为()�=−1�

A.64B.C.100D.

−81−121

15.(25-26高三上·安徽·月考)已知数列的首项,且满足.

3

���1=21+����+1=2��

(1)证明:是等差数列;

1

��−1

(2)记[x]表示不超过的最大整数,分别为和的前项和,求.

1

���,���������+��

16.(2025·新疆·模拟预测)已知正项数列满足,,且,,

成等比数列.���1=22��+1=��+��+2�∈��2−2�42�7−3

(1)求数列的通项公式;

(2)若数列��中第2项,第4项,,第项构成新数列,记的前项和为,求.

��···2���������

【题型5倒序相加法求和】

17.(25-26高二上·福建漳州·月考)德国大数学家高斯,被誉为数学界的王子,在其年幼时,对

的求和运算中,提出了倒序相加法的原理,该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一1定+的2+规3律+

性⋯,+因10此0,此方法也称之为高斯算法.现有函数(),则

2�

等于()�(�)=3�+6078�>0�1+�2+�3+⋯+��+

2025A.B.C.D.

�+20252�+60782�+6078�+2025

3366

18.(24-25高二下·陕西西安·月考)若等差数列满足,则()

111

�1�2�2025

���1013=02+1+2+1+⋯+2+1=

A.2025B.C.D.

202520252025

248

19.(24-25高三上·云南·月考)已知数列满足:(),数列满足.

�1�2�3��1

23�∗50

��2+2+2+⋅⋅⋅+2=��∈�����=��+2

(1)求数列的通项公式;

(2)求��.

�1+�2+⋅⋅⋅+�99

20.(24-25高二下·四川成都·月考)已知数列满足:,数列满足

�1�2�3��

23�∗

��2+2+2+⋅⋅⋅+2=��∈�����=

.

1

50

��+2

(1)求数列的通项公式;

(2)求��的值;

(3)求��+�100−�的值.

�1+�2+�3+⋅⋅⋅+�99

【题型6奇偶项问题讨论求和】

为奇数

21.(24-25高三上·宁夏石嘴山·月考)在数列中,,,,则

为偶数

��+2,�

{��}�1=2�2=1��+2=��

的前20项和()2�,�

A.621�20=B.622C.1133D.1134

为奇数

22.(2025·江西景德镇·模拟预测)已知数列满足,且,则

为偶数

��,�

���1=1,�2=2��+2=��

�+1�

的前50项的和为()�−�,�

A.36B.39C.41D.45

23.(2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测)已知是等差数列,是各项都为正数的等比数列,且,,

,.�����1=1�1=2

(�13)求−�2=,15的+通�2项=公�3式;

��

��为奇数

(2)若,求数列的前项和.

为偶数

��,�

��=��2��2�

��,�

24.(2025·辽宁大连·模拟预测)若数列和满足:,,且

��+1=��−2��

�����1=1�1=7

(1)设,证明:是等比数列;��+1=3��−4��

����

�=�−�为奇数�

(2)设,试求的前n项和.

为偶数

��−��,�

��=����

4��−��,�

【题型7先放缩再裂项求和】

25.(2025·四川成都·模拟预测)已知函数.

1

��=ln�−��−1

(1)若恒成立,求实数的值;

(2)证明�(�:)≥0.

111∗

sin�+1+sin�+2+…+sin2�<ln2�∈N

26.(25-26高三上·广东·月考)已知函数,为数列的前项和.

2

(1)求的通项公式;��=�+3������

(2)记数�列的前项和为,证明:.

12

′��

���2����<7

27.(2025·江苏连云港·模拟预测)在数列中,,对于,,,成等差数列,

*

其公差为.���1=0∀�∈��2�−1�2��2�+1

(1)判断是否成等比数列?并说明理由;

(2)证明:�4,�5,,�6,成等比数列;

2�2�+12�+2

(3)设�,�数列�的前项和为,证明:.

1

��=��+1�����1≤��<3

28.(25-26高三上·天津宝坻·月考)已知数列是等差数列,满足,,数列

是首项为1的等比数列,且,,成等差��数列.�3+�4+�5=21�6=11��

(1)求,的通项公式;9�13�2�3

(2)求数��列��的前n项和.

���

(3)��,求证:��∈�.

1�11

��=2��+1�=1��<22�+1−2

【题型8新定义、新情景下的数列求和】

29.(2025高三·全国·专题练习)给定函数,若数列满足,则称数列为函数

���

��+1�′�

�(�)��=�−�����(�)

的牛顿数列.已知为的牛顿数列,,且,数列

2��−2∗

���(�)=�−�−2��=ln��+1�1=1,��>2�∈���

的前n项和为.则()

���2025=

A.B.C.D.

20232024

2024202511

30.(242-25高−二1下·广东广2州·月−考1)在数列中2,如果−存1在正整数T,使2得−1,对于任意的正整

数m均成立,那么称数列为周期数列,其�中�T叫做数列的周期.已知数�列�+�=满�足�

��,如果,��,当数列的�周�期最�小�+时1,=该��数−列前

�−112�

2�025项�的≥和2,是�(∈N�)≥2,�∈N�=1�=��∈R,�≠0�

A.674B.1348C.1350D.2024

31.(2025·河北·模拟预测)设,,,若各项均为正数的数列满足,则

1

�>1�≥1�∈������<��+1<��

称数列具有性质“”.

(1)已知数��列的前n�项�和为,且,试判断数列是否具有性质“”,并说明理

*

由;������=1−���∈����4

(2)若数列满足,且.

2��*

���1=3��+1=lne−1−ln���∈�

(i)证明:数列具有性质“”;

���3

(ii)记数列的前n项和为,证明:.

1

�*

������≥1−3�∈�

32.(24-25高二下·湖北武汉·期中)若数列满足,则称数列为“平方递推数列”.已知数列

2

中,,点在函数����+的1=图�象�上,其中为正��整数.

2

(1�)�证明:�数1=列7��是,�“�平+1方递推数�列�”,=且�数+列6�+6为等比数列�;

(2)设��+3,数列的前项和为lg��;+3

①求��;=2�−1lg��+3�����

②若��恒成立,求实数的最大值.

�+1

�2�+13−�−1⋅4≥�⋅lg��+3�

A组基础跟踪练

一、单选题

1.(2025·四川凉山·一模)在等差数列中,是其前n项和,若,,则()

��486

A.B.5�C.�10D�.=158�=24�=

5

2

2.(2026·山东·一模)在等比数列中,已知,且公比,则该数列前

�13599

100项的和是()��+�+�+⋯+�=50�=3

A.150B.200C.250D.300

3.(2025·甘肃平凉·模拟预测)已知数列满足,,则的前2025项和

1

�1�+1��2025

()��=1��=�+2���=

A.B.C.D.

2023404820254052

1012202510132027

4.(2025·广东深圳·模拟预测)设数列是各项均为正数的等比数列,其前项和为,若,

,则()������5−�1=15

425

�−A�.=156�=B.16C.31D.

31

16

5.(2025·广东茂名·二模)已知函数满足,,设,为数列

的前项和,则使得成立的�最�小整数�为�+(1)=2���1=1��=�������

A�.8��>B.20924C�.10D.11

6.(2025·天津武清·模拟预测)已知数列的通项公式为,其前n项和为,则数列

����

的前2025项和为()��=2�−1�−1⋅�

A.B.C.D.

2024×20252024×20252025×20262025×2026

2−22−2

7.(2025·广东广州·模拟预测)已知是首项为2,公比为2的等比数列,记,其

�,�=��

����=

中,记数列的前项和为,则()�−1012,�≠��

*

�A∈.�9143��B.9�145���202C5.=10009D.10154

8.(24-25高二上·全国·课后作业)在公差不为零的等差数列中,成等比数列,则数

�9236

列的前项和()��=30,�,�,�

��

�+1

2���=

A.B.

1�1�

2−2�+3×21−2�+1×2

C.D.

1�1�

二、填空−题1+2�−1×23−2�+5×2

9.(2026·湖南邵阳·一模)设等比数列的前项和为,若,,则.

10.(2026·四川绵阳·二模)已知数列是�等�差数�列,且��,�1=2,则�4=的16前�项4=和等于.

�410�

11.(2025·江苏淮安·模拟预测)已知递�增等比数列前�项=和2为�=,且8�13,则数列

1

��232�2�+1

的前项和为.����=8,�=42log�⋅log�

12.(210025·河北沧州·模拟预测)已知为数列的前项和,且,若

*

�����∀�∈�,4��+��+2=4��+1�1=1,�2=

,则.

5�=B组培优提升练

一、单选题

1.(2025·山东青岛·一模)已知数列,,且,将与的公共项按从大

11

����2��

{�}{�}�=2�−1,�=�+1−1{�}{�}

到小的顺序排列组成一个新数列,则的前10项和为()

��

A.B.{�}{�}C.D.

9181020

19192121

2.(2025·江西·模拟预测)已知数列满足:,,令

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