2025年四川省数学高起专考试试题及答案

2025年四川省数学高起专考试试题及答案一、选择题（每题5分，共40分）

1.设函数f(x)=x^22x+1，则f(x)的最小值为（）

A.0

B.1

C.1

D.2

答案：A

解析：f(x)=(x1)^2，当x=1时，f(x)取得最小值0。

2.若a>0，b<0，则下列各式中正确的是（）

A.a+b>0

B.ab>0

C.ab>0

D.a/b>0

答案：B

解析：a>0，b<0，所以ab>0。

3.设函数f(x)=|x2|，则下列结论正确的是（）

A.f(x)是奇函数

B.f(x)是偶函数

C.f(x)既不是奇函数也不是偶函数

D.无法判断

答案：C

解析：f(x)=|x2|，f(x)=|x2|≠f(x)，f(x)≠f(x)，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数。

4.若sinα=1/2，且0<α<π/2，则cosα的值为（）

A.√3/2

B.1/2

C.1/2

D.√3/2

答案：A

解析：sinα=1/2，0<α<π/2，所以cosα=√(1sin^2α)=√(11/4)=√3/2。

5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5=25，则该数列的公差为（）

A.2

B.4

C.6

D.8

答案：B

解析：等差数列前n项和公式为Sn=n(a1+an)/2，S5=25，所以5(a1+a5)/2=25，解得a1+a5=10。又因为a5=a1+4d，代入上式得a1+a1+4d=10，解得d=4。

6.若a、b是方程x^2+mx+n=0的两根，则a^2+b^2的值为（）

A.m^22n

B.m^2+2n

C.m^24n

D.m^2+4n

答案：A

解析：根据韦达定理，a+b=m，ab=n。所以a^2+b^2=(a+b)^22ab=m^22n。

7.若函数f(x)=(x^22x+1)/(x1)的定义域是（）

A.(∞,1)

B.(∞,1)∪(1,+∞)

C.(1,+∞)

D.(∞,+∞)

答案：B

解析：分母不能为0，所以x≠1。因此，f(x)的定义域为(∞,1)∪(1,+∞)。

8.若直线y=kx+b与圆x^2+y^2=1相切，则k^2+b^2的取值范围是（）

A.[0,1)

B.[0,1]

C.(0,1]

D.(0,1)

答案：C

解析：直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，即|k0+b0|/√(k^2+1)=1。解得k^2+b^2=1，所以k^2+b^2的取值范围是(0,1]。

二、填空题（每题5分，共30分）

1.若函数f(x)=x^22x+c的图像上有两个不同的点A、B，使得∠OAB=90°，则实数c的取值范围是______。

答案：(∞,1)∪(1,+∞)

解析：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，因为∠OAB=90°，所以向量OA和向量AB垂直，即x1x2+y1y2=0。将f(x)的表达式代入得x1x2+(x1^22x1+c)(x2^22x2+c)=0，化简得c=x1x2+2(x1+x2)。因为A、B两点不同，所以x1≠x2，所以c的取值范围是(∞,1)∪(1,+∞)。

2.已知函数f(x)=|x2||x+1|，求f(x)的单调递增区间是______。

答案：[1,2]

解析：当x<1时，f(x)=(x2)(x+1)=2x3，f(x)单调递增；当1≤x<2时，f(x)=(x2)+(x+1)=3，f(x)不变；当x≥2时，f(x)=(x2)+(x+1)=2x1，f(x)单调递增。所以f(x)的单调递增区间是[1,2]。

3.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5=15，S10=50，则S15的值为______。

答案：85

解析：等差数列前n项和公式为Sn=n(a1+an)/2，S5=15，S10=50，所以5(a1+a5)/2=15，10(a1+a10)/2=50。解得a1=1，d=2，所以S15=15(a1+a15)/2=15(1+29)/2=85。

4.若函数f(x)=x^2mx+1在[0,1]上单调递增，则实数m的取值范围是______。

答案：[1,1]

解析：f(x)在[0,1]上单调递增，所以f'(x)=2xm≥0在[0,1]上恒成立。解得m≤2x，当x=1时，m≤2。所以m的取值范围是[1,1]。

5.若直线y=kx+m与圆x^2+y^2=1相切，则m的取值范围是______。

答案：[1,1]

解析：直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，即|m|/√(k^2+1)=1。解得m^2=k^2+1，所以m的取值范围是[1,1]。

三、解答题（共30分）

1.（10分）已知函数f(x)=x^24x+3，求f(x)的单调递增区间和单调递减区间。

答案：单调递增区间为[2,+∞)，单调递减区间为(∞,2)。

解析：f'(x)=2x4，令f'(x)=0，解得x=2。当x<2时，f'(x)<0，f(x)单调递减；当x>2时，f'(x)>0，f(x)单调递增。

2.（10分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3=12，S6=33，求该数列的通项公式。

答案：an=3n2。

解析：等差数列前n项和公式为Sn=n(a1+an)/2，S3=12，S6=33，所以3(a1+a3)/2=12，6(a1+a6)/2=33。解得a1=2，d=3，所以an=a1+(n1)d=3n2。

3.（10分）已知函数f(x)=(x^22x+1)/