2025届广东梅州一模数学试卷+答案

梅州市高三总复习质检试卷(2025.2)本试卷共6页.满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列集合之间关系正确的是A.{x|x²=1}={x|x³=x}B.{x∈R|x²+1=0}{x∈R|x²-1=0}2.已知复数z满足|z|-3i=z+1,其中i为虚数单位，则|z|=A.2√3B.4C.2√53.如图1,已知同一平面上的三条直线a,b,c相交于同一点O,两两夹角均为60°,点A,B分别在直线a,b上，且|OA=|OB|≠0.设OP=λOA+μOB,若点P落在阴影部分(不含边界),则下列结论正确的是A.λ>μ>0C.λ>-μ>04.如图2,往一个正四棱台密闭容器内倒入38cm³的水，水面高度恰好为棱台高度的,且AB=6cm,A₁B₁=2cm,则这个容器的容积为()cm³A.a₁<0B.a₆<a₇C.S₇>06.某科技公司在人工智能领域逐年加大投入，根据近年来该公司对产品研发年投入额x(单位：百万元)与其年销售量y(单位：千件)的数据统计，得到散点图如图3.用线性回归和指数型回归模型拟合y与x关系的决定系数分别为R²=0.8913和R²=0.9940,则根据参考数据，下列表达式中最适宜描述y与x之间关系的函数为A.y=1.2x-1.1B.y=0.6x-1.3C.y=e1.2x-1.1D.y=e⁰.6x-1.3x(百万)参考公式：用最小二乘法求经验回归直线方程=bu+a的系数公式为xy①367.在圆锥PO中，已知高PO=3,底面圆的半径为4,M界曲线(抛物线)的焦点到准线的距离为为母线PB的中点，图4中的截面边二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数f(x)=(1-x²)·sinx,则下列结论中正确的有A.函数f(x)的图象关于y轴对称B.函数f(x)的图象关于原点对称10.如图5,四边形ABCD是一个矩形，AB=3,AD=4,半圆面APD⊥平面ABCD,动点P沿着半圆弧AD从点A运动到点D(点P不与点A、D重合),下列说法错误的是A.当点P运动到某一位置时，PA⊥BDB.总有平面PBD⊥平面PABC.当点P运动到半圆弧AD的中点时，二面角P-BD-A的正切值为D.三棱锥P-ABD的外接球的体积先增后减11.如图6所示，P,Q为数轴上两点，初始位置的数字分别为2,0,它们每隔1秒钟都在数轴上独立地向左或向右移动一个单位，已知点P向左或向右移动的概率均为;点Q向左移动的概率为,向右移动的概率为.分别记点P、Q在n秒后所在位置的数字为xn、yn,则下列结论正确的是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.已知双曲线的离心率为2,则m=13.9¹²的末三位数是f'(x)>cosx.,则实数t的取值范围为四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)已知数列的前n项和为Tn,满足Tn=n²,n∈N.(1)求数列{an}的通项公式；(2)已知数列{an}的前n项和为Sn,求使得Sn>500的n的最小值.高三数学试卷第5页共6页16.(15分)已知函数f(x)=ax-Inx.(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程；(2)设函数f(x)的最小值是2,求实数a的值.17.(15分)如图7乙，在等边△ABC中，D为AB上一点，且AB=3AD=3,E,F分别在边AC,BC(1)如图7甲，当点F与点C重合时，求sin∠ADE;(2)求△DEF面积的最小值.甲高三数学试卷第6页共6页18.(17分)如图8甲，在等腰梯形ABCD中，AD//BC,AB=AD=1,BC=2,E为BC的中点，(1)当二面角P-AE-C为120°时，求PD的长；(2)在翻折过程中，是否存在某个位置，使得平面AEP⊥平面CDP,若存在，求出此时点P到平面AECD的距离；若不存在，请说明理由.甲乙19.(17分)已知F₁,F₂分别为椭圆、右焦点，点D为椭圆E上一点，以DF₁为直径的圆C:过焦点F₂.(2)P是椭圆E上异于左、右顶点A、B的任一点，设PB交直线x=4于点M,AM交②求△APQ面积的最大值.梅州市高三总复习质检(2025.2)一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。12345678BDCADDAB二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(本小题满分13分)解：(1)由数列的前n项和T=n²可得：当n≥2时，.......................2分当n=1时，.......................3分即得：.......................4分因此得aₙ=(2n-1)·3”,n∈N........................6分所以数列{a}的前n项和S关于n单调递增，.......................9分而S₃=1×3¹+3×3²+5×3³=3+27+135=165<500,..............1S₄=1×3¹+3×3²+5×3³+7×3⁴=3+27+135+567=732>500,....因此，使得S,>500的n的最小值为4........................13分16.(本小题满分15分)解：(1)当a=1时，f(x)=x-lnx,将x=e代入得：f(e)=e-1,.......................1分曲线y=f(x)在点(e,f(e))处切线的斜率为...............3分因此，曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程为：,即：................5分(2)对f(x)求导：.......................6分①当a≤0时，恒有f'(x)<0,....................于是f(x)在(0,+00)上单调递减，.......................8分此时，f(x)无最小值；........................9分②当a>0时，令f'(x)=0,得........................10分当都有f'(x)<0,f(x)在上单调递减；.............11分都有f'(x)>0,f(x)在上单调递增............12分因此f(x)在处取得最小值.....................13分依题意，,即：解得：a=e........................14分综上，当a=e时，函数f(x)的最小值是2........................15分17.(本小题满分15分)解：(1)当点F与点C重合时，由余弦定理得：............2分得CD=√7,............3分.......................4分而∠ADE=90°-∠CDB,.......................5分.......................6分在△ADE中，由正弦定理，得.............8分....9分在△BDF中，∠BDF=90°-θ,............10分同理，得............11分....12分............当θ=45°时，2sin20+√3的最大值为2+√3,.......................14分18.(本小题满分17分)解：(1)连结BD,DE,BD与AE交于点M,依题意，AD//BC,AB=AD=BE=EC=CD=1,于是四边形ABED和AECD均为菱形，△ABE和△ADE为等边三角形，.........1分所以AE⊥BD,.......................2分.......................3分即有∠PMD=120°,...6分设平面AEP∩平面CDP=1,...............9分所以AE//1,....................11分而AE⊥AM,AE⊥DM且AM∩DM=M,于是∠DPM为二面角A-1-D的平面角，.......................14分即平面AEP⊥平面CDP的情况不存在........................17分19.(本小题满分17分)解：(1)在圆C的方程中，令y=0,得x²=1,解得x=±1,又.......................2分xx,即得a=2,.......................3分由a²=b²+c²,得到b²=3,.......................4分因此椭圆E的方程为.......................5分(2)①证明：由题意设P(x₁,y),Q(x₂,y₂),M(4,y%),又A(-2,0),B(2,0),