29 18.4 整数指数幂-18.4 整数指数幂（第1课时）-课件1

国家中小学课程资源年 级：八年级主讲人：梅

浩学 科：数学（人教版）学 校：湖北省黄石市大冶市第五实验学校第十八章 分式18.4 整数指数幂第

1

课时国家中小学课程资源新课导入问题

1

请看下面几组历史上数学家们使用过的符号，这些符号都表示

a2，a3，a4，可以发现幂的符号的演变经历了漫长的时间，一直到笛卡儿关于幂的符号出现后，沿用至今．事实上，历史上幂的符号不止上面四种，那为什么之前幂的符号不断演变，而笛卡儿的符号就能使用至今呢？这种幂的符号不仅简明、利于运算，而且有助于幂的运算的推广．国家中小学课程资源新知探究问题 2 1676

年，牛顿提出了一个设想：“因为数学家将

aa，aaa，aaaa，…写成

a2，a3，a4，…，所以我将 1

，

1

，

1 ，…写成

a－1，a aa aaaa－2，a－3，…．”你认为牛顿的这个设想合理吗？幂的指数推广到了负整数情形．追问 1 如果牛顿的设想合理，am

中的

m

可以是负整数，那么负整数指数幂

am

表示什么？国家中小学课程资源追问 2 当

a≠0

时，根据分式的约分，怎么计算

a3÷a5＝？由分式的约分可知：当

a≠0

时，a3÷a5追问 3 如果把正整数指数幂的运算性质

am÷an＝am－n（a≠0，m，n

是正整数，m＞n）中的条件

m＞n

去掉，即假设这个性质对于像

a3÷a5

的情形也能使用，还可以怎么计算

a3÷a5？

a3÷a5＝a3－5＝a－2．a3 a31＝a5＝a3•a2＝

a2．国家中小学课程资源由分式的约分可知：当

a≠0

时，a3÷a5＝

a3

＝a5a3a3•

a2＝

1

．a2a3÷a5＝a3－5＝a－2

．追问 4 观察上述计算

a3÷a5

的两种结果，为了使上述两种结果一致，应该作什么规定？结合这个例子，为了使

am÷an＝am－n（a≠0）这一运算性质的适用范围更广，你能给出更一般的规定吗？1a－2＝ a2（a≠0）．国家中小学课程资源就是说，

a－n（a≠0）是

an

的倒数．归纳一般地，当n

是正整数时，a－n＝

1

（a≠0）．也an引入负整数指数幂后，我们就将幂

an

的指数

n

推广到了全体整数．国家中小学课程资源追问

5 运用负整数指数幂的意义填空：（1）2－3＝__________，

3－2＝ ；（2）(－3)－2＝18191 9

9 ，－3－2＝－

1

． 1 (－3)232—

1学以致用国家中小学课程资源问题

3 引入负整数指数和

0

指数后，正整数指数幂的运算性质

am

•

an＝am＋n（a≠0，m，n

是正整数）能否推广到

m，n

是任意整数的情形？新知探究国家中小学课程资源追问

1 仿照（1）的过程计算（2）（3），观察下______________________________；________________________________．a3

1列各式，你能发现什么规律？（1）a3•a－5＝a5＝a2

＝a－2＝a3＋(－5)；（2）a－3•a－5＝

1

1

1a3 • a5＝a8

＝a－8＝a(－3)＋(－5)（3）a0

•a－5＝ 1

•

1

＝

1 ＝a－5＝a0＋(－5)a5 a5am

•

an＝am＋n

在这三个式子中都成立．国家中小学课程资源追问

2 请再换其他整数指数验证这个规律．a－3•a5＝

1a5＝

a5

＝a2＝a ；(－3)＋5a－3•a0＝

11＝ 1＝a－3＝a

(－3)＋0．a3a3归纳一般地，

am

•

an＝am＋n

这条性质对于

m，n

是任意整数的情形仍然适用

．a3a3am•

an＝am＋n．国家中小学课程资源追问

3

类似地，用负整数指数幂或

0

指数幂尝试验证以下正整数指数幂的运算性质在整数指数幂范围内是否还适用．(am)n＝amn（m，n

是正整数），(ab)n＝anbn（n

是正整数），am÷an

＝am－n（a≠0，m，n

是正整数，m＞n），（n

是正整数）．

nn

a

anb b＝国家中小学课程资源总结运算法则指数的取值范围同底数幂的乘法am•

an＝am＋nm，n

是整数幂的乘方(am)n＝amnm，n

是整数积的乘方(ab)n＝anbnn

是整数同底数幂的除法am÷an

＝am－na≠0，m，n

是整数商的乘方n n

a

a

b

＝bn

b≠0，n

是整数随着指数的取值范围由正整数推广到全体整数，幂的运算性质也推广到整数指数幂．国家中小学课程资源；（3）(a－1b

2)3；（4）a－2b2•

(a2b－2)－3．

b3

（2）

a2

－2例 计算：（1）a－2÷a5；同底数幂的除法．商的乘方．积的乘方．积的乘方和同底数幂的乘法．例题精讲国家中小学课程资源例 计算：（1）a－2÷a5；解：（1）a－2÷a5＝a－2－5＝a－7＝

1

；；a7b6（3）(a－1b2)3＝a－3b6＝a3

；b8（4）a－2b2•(a2b－2)－3＝a－2b2•a－6b6＝a－8b8＝

a8．

（3）(a－1b

2)3； （4）a－2b2•

(a2b－2)－3．（2）

a2

；－2

b3

（2）

a2

－2

b3

b－6 a4a－4 b6

＝

＝

a

4

b

－

6

＝

国家中小学课程资源问题

4 根据整数指数幂的运算性质，当

m，n

为整数时，am÷an＝am－n，am

•

a－n＝am＋(－n)＝am－n，由此可以得出什么结论？am÷an＝am

•

a－n，即同底数幂的除法

am÷an

可以转化为同底数幂的乘法

am

•

a－n．继续探究国家中小学课程资源乘方(a

•

b－1)n．b

(a

•

b－1)n，你能用文字语言描述发现的结论吗？追问 特别地， a

＝a÷b＝a

•b－1，所以

a

＝

b

n

n

a

b

＝(a

•

b－1)n

，即商的乘方

可以转化为积的n

a

b

国家中小学课程资源总结整数指数幂的运算性质可以归结为：（1）am

•

an＝am＋n（m，n

是整数）；（2）(am)n＝amn（m，n

是整数）；（3）(ab)n＝anbn（n

是整数）．例题精讲国家中小学课程资源；；0（3）b

＝－21.

填空：（1）30＝

1 ；

3－2＝ 1 1919（2）(－3)0＝

1 ；(－3)－2＝

1；

b ＝ b_2

．课堂练习国家中小学课程资源2.

计算：（1）x2y－3

•(x－1y)3； （2）(2ab2c－3)－2÷(a－2b)3．解：（1）x2y－3•

(x－1y)3＝x2y－3•

x－3y3＝x－1y0（2）

(2ab2c－3)－2÷(a－2b)3＝2－2a－2b－4c6•

(a－2b)－3＝2－2a－2b－4c6•

a6b－3＝2－2a4b－7c6＝ ．1＝x

；a4