0923初二【数学(人教版)】再探三角形全等的条件+教学设计

课程基本信息课例编号2020QJ08SXRJ017学科数学年级八年级学期秋季课题再探三角形全等的条件教科书书名：义务教育教科书八年级上册出版社：人民教育出版社出版日期：2013年6月教学人员姓名单位授课教师高媛北京市第十三中学分校指导教师崔佳佳北京市西城区教育研修学院教学目标教学目标：梳理全等三角形判定方法的探究过程，能提出关于“SSA能否成为全等判定方法”的问题，并分类进行证明或证伪.经历提出问题、证明猜想、构造反例的过程，体会数学结论的生成过程，培养学生提出问题、解决问题的能力.教学重点：分类讨论两边一对角（SSA）分别相等的两个三角形是否全等.教学难点：构造反例、归纳结论.教学过程时间教学环节主要师生活动2min引入通过前面的学习，我们一起，经历了一次数学家探索三角形全等条件的过程——首先，由全等三角形的定义可知，满足三条边分别相等，三个角分别相等的两个三角形全等.但同时满足6个条件，似乎过于苛刻和繁琐.于是提出探究的方向：如果能用较少的条件，就能简洁地判断两个三角形全等，那会是几组条件呢？通过实验，我们得到三组条件就能保证两个三角形全等.那么，从边、角出发，满足三组条件的所有情况，我们是否在之前的学习中都讨论完全了呢？并没有下面，我们就一起再探三角形全等的条件，或许会有新的发现！6min新课提出问题问题1：从边、角出发的三组条件，应该有几种不同的组合？由单一条件构成：SSS或AAA由边、角的复合条件构成：=1\*GB3①两角一边AAS或ASA=2\*GB3②两边一角SAS或SSA理论上，共有6种不同的组合.问题2：其中哪种组合是最容易被同学否定的呢？AAA是最容易被否定的.例如，任作两个等腰直角三角形，满足三组角均相等.形状能被确定，但由于缺少边的条件，大小不定，故不能保证二者全等.这样，剩下的组合中，无论成立与否，我们发现，要想成为全等三角形的判定，都至少要有一组边的条件.和我们已经探究得到的5种判定方法相比，对于任意三角形，有4种判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS；对直角三角形，还多了一种特殊的HL.HL表面上只需要斜边、直角边两组条件，但由于多了直角的前提，实则也是3个条件，可以并入“两边一对角分别相等”的情况.提出问题分析到这里，我们会有这样的疑问：SSA能否在非直角三角形判定全等时也成立呢？进行探究要想解决这个问题，按照我们对于几何学习的经验，首先要提出猜想：两组边及一边的对角分别相等的两个三角形全等.下面，我们对这个猜想进行证明或证伪.前面的学习中，我们积累了这样的经验：三角形的全等条件就是确定三角形的形状和大小的条件，根据这一思路，两边一对角分别相等的两个三角形是否全等的问题，可以转化为两边一对角是否能确定三角形的形状和大小的问题.从这个角度出发，可进行讨论如下：我们要先将问题进行数学化地叙述，以便研究.已知：在三角形中，两边为a，b，边a的对角为α我们已经探究过直角三角形的情况，现在，可以从它出发展开研究.当α=90°时先作射线AP、AQ使其夹角为90°（如图1-1）再任作线段a，b（a>b）图1-图1-2图1-1图图1-1图1-3图1-4在射线AP上截取AB=b（如图1-3），以B为圆心，a为半径作弧，交射线AQ于点C，即BC=a（如图1-4），可确定三角形的形状和大小.同学们一定有这样的经验：α作为三角形中最大的角，所对的边，也一定是最长边.所以，我们只需让a边与α角相对即可.下面，我们可以接着从角α出发，分类讨论其为钝角、锐角的情况。同学们可以先试着设计一下作图流程，并尝试自己作图.当α>90°时先构造射线AP、AQ使其夹角为钝角，仍用α表示，同（1），任作线段a，b（a>b）也可唯一确定三角形的形状和大小（如图2-1）；图2图2-1当α<90°时图3-图3-1图3-2沿用上面的作图经验，我们容易得到图3-1，且也是唯一的.到目前为止，我们的猜想“似乎”都是成立的.我们可以将图1-4、2-1、3-1的情况加以综合，发现下面的结论：两边分别相等且两边中大边的对角也分别相等的两个三角形全等（简记为“SSA(1)”）我们已经探究的HL，就属于这种判定SSA(1)的特殊情况.注意，这里是假设a>b的情况。如果a不变，b变长，当a=b时，如图3-2所示，以B为圆心，a为半径作弧，与射线AQ存在两个交点，其中一个交点与点A重合，不能构成三角形，另一个交点为C，得到三角形的形状，也是确定的.当a<b时我们发现，三角形由不能唯一确定（图3-3）到唯一确定（图3-4），最后，由于b变得太大，以B为圆心a为半径作弧时，无法与射线AQ相交，三角形不存在了（图3-5）.图3-3图3-3图3-4图3-5至此，回顾一下，我们的讨论是否完全？我们以“两边一对角”中的“一对角”α作为分类的第一层标准，按照α为钝角、直角和锐角三种情况展开讨论；每一种讨论中，又对“两边一对角”中的“两边”a、b谁为α所对的较长边，展开第二个层次的讨论，故讨论是完全的.我们发现：其实，两边一对角分别相等的两个三角形，在多数情形下是全等的，只有一种情况不能确定三角形的形状，就是图3-3的情况.此时，a<b，但a又不能小太多，否则会继续变化到图3-4、3-5的情况.随着学习的深入，我们会知道，当a<b且a大于点B到AQ的距离，也就是△ABC，AC边上的高时，正好是图3-3的情况.归纳小结下面，我们梳理一下今天的探究的过程，结合图形归纳我们的结论.已知：在三角形中，两边为a，b，边a的对角为αSSA成立的情况：α>90°α=90°当α≥90°时由a，b，α可确定三角形的形状和大小，其中α=90°时，就是我们熟悉的HL.（2）当α＜90°时=1\*GB3①若a>b或a=b，由a，b，α可确定三角形的形状和大小a>ba=b=2\*GB3②若a＜b且a等于点B到AQ的距离时，由a，b，α可确定三角形的形状和大小.SSA不成立的情况：当α＜90°，a＜b且a大于点B到AQ的距离时，从图中我们能直观地看出，长边b的对角一个是钝角，一个是锐角，两个三角形显然是不全等的.同学们在心里，一定为“SSA”鸣不平吧：差一点儿就能升级成世界公认的判定定理了！但因为这一点瑕疵，该结论就不具有普适性了.这也正体现了数学的严谨和科学，不是吗？补充思考三组条件的情况，我们已经进行了较为深入地研究，至此，同学们可能会有这样的想法：如果条件多于三组，应该会更保险些吧？曾经有一位中学的数学教师向数学家赵访熊教授请教：如果一个三角形，有五个元素与另一个三角形的五个元素两两相等，这两个三角形是否全等？同学们，你们认为全等吗？赵教授的答案是：不一定我们来看举出的反例：如图，在△ABC与△DEF中，AC=DE，BC=DF,∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F,两个三角形有5个元素两两相等，但这两个三角形显然不全等.从反例的构造中我们发现，三角形的形状不难任意给出，但要保证还有两条边分别相等，边的长度就要有限制了，至于为什么是8、12、18、27这组数，或者还有哪些符合条件的数可以构成这样的两个三角形，就需要更多的数学知识了.感兴趣的同学，可以查阅相关资料，继续探讨.由此看来，如果三角形的角或边不是对应相等的关系，即使两两相等的元素再多，也不一定有全等关系.小结同学们，今天，我们虽然没有探究出新的方法来判定两个三角形全等，但我们发现两边一对角分别相等的两个三角形，在哪些情形下是可以判定