第11讲 平面向量中的最值范围问题

第11讲平面向量中的最值范围问题

题型一利用平面向量基本定理确定参数的值、取值范围问题

平面向量基本定理是向量坐标的理论基础.证过建立平面直角坐标系,将点用坐标表示,利用坐标相等列方程.寻找变量的等后关

系,进而表示目标函数，转化为函数的最值问题.

【例I】己知0B=1,408=60°,。。=/1。4+〃08,其中实数几，4满足14/1+4<2,；1之0,〃之0,

则点C所形成的平面区域的面积为（）

AAB3G06

A・yji>.-----------u・i）・

424

【答案】B

【解析】

由题：OA|=OB=1,ZAOB=60°,OC=MA+A\OP=2OA,OQ=2OB,OC与线段AB交于D，

设OC=xOD，如图：

OC=WA+JLIOB.420.〃之。,所以点C在图形NQOP内部区域,

根据平面向量共线定理有OD=inOA+nOB.m+〃=1，

OC=xOD=xmOA+xnOB,〃?+〃=1,

OC=WA+JLIOB，所以/1=R〃,〃=W,1W/1+〃工2,即〃工2,

即14x42，OC=xOD，所以点C所在区域为梯形APQ3区域，

=lx2x2xsin600-ix1x1xsin60°=—.

其面枳=

△0"Q224

故选:B

【玩转跟踪】

I

】•已知AB=3，BC=4.C4=5，0为八48。外接画上的一动点，且人2=月44+），4。，则1+）'

的最大值是（）

54Vi75

A.-B.—C.-------D.一

4363

【答案】B

【解析】解：以AC的中点为原点，以AC为x轴，建立如图所示的平面花角坐标系,

=(1I2.设P的坐标为(1^05。,>|5皿<9

则△A8C外接网的方程为x2+y2

4

过点8作3。垂直次轴，•••sinA=g,AB=3

I939597

/.BD=ABsinA=—,AD=ABcosA=-x3=-,OD=AO-AD=---=—,

5552510

5

,〈A(一|s°,cg°

什君2

(Q1?A5SS

/.AB=—,—,AC=(5,0)»AP=-cos6+—,一sin夕

(55Jv7(222

VAP=xAB+yAC

，化。,"”或同―化学

1222J155J

5595|2131?5

/.—COS/7+—=—x+5y.—sin0=—x,/.y=—cos6^——sin〃+—,x=——sin〃，

22525“28224

j21513cos^l,

/.x+y=—cos6+—sin6+—=—sin(6+*)+一,其中sin°=二,

232625

sin（夕+。）=1时，x+y有最大值，最大值为—I—=一.

623

故选：B.

2

2.在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的网上.若八夕=4AB+〃AD，则义+〃的

最大值为

A.3B.272C.亚D.2

【答案】A

【解折】，如图所示，建立平面直角坐标系.

设4(0,1),8(0,0),。(2,0),0(2,1),)，),

2/、2,4

易得圆的半径r=不，即圆c的方程是(工一2)-+>2=-,

/\/、，\UlUUL11IU.IU

A尸二(x,y-l),A8=(0,-l),AO=|2,0),若满足AP=4A8+/MO,

x=2uxx

则<，〃=一,4=1一y,所以义+〃=—y+].

y-\=-A2'2

设z=^-y+l,即2-y+l-z=0,点尸(x,y)在圆(工一21+产=日上,

25

r

所以国心（2,0）到直线耳-y+l-z=0的距离dWr，即解得1VZ43,

所以Z的最大值是3,即4十〃的最大值是3,故选A.

3.如图，点C是半径为1的扇形圆弧AB上一点，OA.08=0.|°小=|。8=1，若OC=xOA+yOB.则2x-y

的最小值是（）

A.-y/5B.1C.2D.x/5

3

【解答】解：如图所示，以。为原点，以加所在的直线为x轴，

以。C所在的直线为y轴，过点8做8MLx轴，过点8做8M，)、轴，

\'ABA.BC,ADLCD.ZB4D=120°,AB=AD=\,：.AN=ABcos6O0=1,8N=A8sin600=

.,.DA=1+|=|,，CM=M8an30°=4,/.DC=DM+MC=,

B(-.坦),C(0,V3).设£(0,而，

：.A(1.0),

22

【玩转跟踪】

1.【2017年新课标2理科12】己知△48C是边长为2的等边三角形，P为平面A底'内一点，则而!•(为+应：)的最小值

是()

A.-2B.-三C.-：D.-I

【解答】解：建匕如图所示的坐标系，以8C中点为坐标原点，

则A(0.,8(-1,0),C(L0),

5

设P(.X,y),则P&=(-X,V3-y),PB=(-I-X,-y),PC=(1-A,-y),

TTT

则P/・(PB+PC)=2?-2V3JH-2/=2|?+(y-y)

.,.当x=0,尸室时，取得最小值2X(-|)=-|,故选：B.

2.已知腰长为2的等腰直角AA8C中，M为斜边人8的中点，点户为该平面内一动点，若|「。二2,则

(PAP8+4)(PC.PM)的最小值为()

A.24-16夜B.24+16&C.48-32夜D.48+32夜

【答案】C

【解析】以CAC△为轴建立平面直角坐标系，则C(0,0),A(2,0),4(0,2),M(1,1),设尸(x,y),

则PA=(2-x,->')»PB=(一x,2-y),PC=(一x,—y),PM=(1-x,l-y).

PAPB=-x(2-A)-y(2-y)=x2-2x+/-2y,

PCPM=y(\-y)=x2-x+y2-y,v|PCj=2..,.x2+y2=4.

设x=2cos。,y=2sin。，则x+y=2ccs〃+2sin。=2夜sin(〃+工)，

4

Swx+yW2Q，

6

(P4P8+4>(PCPM)=(4-2x-2)，+4)(4-x-y)=2(x+y-4)2,

••・x+y=2应时，(RA•P8+4)•(尸。•PM)取得最小值2(2&-4)2=48-3272.

故选：c„

3.在平行四边形ABC。中，点P在对角线AC上（包含端点），且AC=2,则（PB+PO）・PA有（）

A.最大值为1,没有最小值B.最小值为一没有最大值

22

C.垃小值为一最大值为4D.最小值为T，最大值为1

22

【答案】c

【解析】

如图所示:

PB+PD=2PO'所以（P8+PQ）•PA=2P0PA

⑴当点P在AO上，设闭二（PB+PD）.M=2POPA=-2a（1-a）

因为JaQ-a）<a+~a=-.所以（P8+PO）•PAN-2x；=—万；

（2）当点p在CO上，设户"目0』,

[PB+PDyPA=2P（）PA=2a[\+a）<2x2=4；

综上，（「^+2力卜力的最小值为一；，最大值为4,故选C.

题型三平面向量模的取值范围问题

设。=",），）,则。=正=.向量的模可以利用坐标表示，也可以借助“形”，向量的模指的是有向线段的长度，

过可结合平面几何知识求解，尤其注意，如果直接求模不易，可以酹向量用基底向成表示再求.

【例3】【2018年浙江09】已知Z,b,Z是平面向设，1是单位向成.若非零向量;与二的夹角为三，向地》黄足，二一4之•，+

3

3=0,则已一Z|的最小值是（）

7

A.V3-1B.V3+1c.2D.2—^

【解答】解：由群-4；・Z+3=0,欲夕一?)•◎-3；)=Q,••.(1-;)!(?-3«),

如图，不妨设;=(1,0),则工的终点在以(2,0)为圆心，以I为半径的圆周二，

乂非零向量a与■的夹角为:，则Z的终点在不含端点。的两条射线(x>o)t.

不妨以产回:为例，则「一嬴最小值是(2,0)到直线、取一F=0的距离娥1.

|2^3|r—

即r=r-]=V3-L.故选：A.

V341

1.【2D19年浙江17]己知正方形A5CD的边长为1.当每个人(/=1,2,3,4,5,6)取遮±1时，\X\AB+MSC+、CD+

AJM机启+入说I的最小值是—，最大值是—.

【解答】解：正方形八8c。的边长为1,可寿而+矗二忌曲=疝)一京，

=0,|Xi40+A2BC+A3CD+hDA+A54c

=(Xi40♦XaAD-A3AB-A4AD+AS4B4A54O+船4。—A6Afi|=|(Ai-A3+A5-耘)AB+(A2-X4+X5+A6)ADl

--J:-八+A土源色由于尢(i=l,2,3,4,5,6)取遍±1,

8

可得Ai~入3+X5■屹=0,入2■船+入叶猫=0,可取k=M=19入|=木=1,入2=-1,N=1*

可得所求最小值为0：

由Ai-A3+A5-入2-M+AJ+AA的最大值为4,可取入2=1,Xi=-1»入5=船=1,%=1,入3=-1,

可得所求的大值为2百.故答案为：0,A5.

2.⑵17年浙江15】已知向盛、bi黄足面=1,b=2,则向+加+而一加的最小值是,最大值是

TTg

【解答】解：记/人O8=a,则OSaWn,如图，山余弦定理可得：|n+&|=.54-4COSOI,

■一刖06-4皿淞，令产y»v5-F4crt5a,

则/+>2=10（X、,61）,其图象为一段圆孤MM如图，令z=x+y,则y=-x+z,

则亢线产-,r+z过M、N时z最小为而加=1+3=3+1=4,当直线产-x+z与圆瓠相切时z最大，

由平面几何知识易知为”即为原点到切线的，R离的。倍，也就是圆弧MN所在圆的半径的倍，

所以加广、1x.B=2•底综上所述，而+匕|+而一匕|的最小值是％最大但是26

故答案为：4、2VS.

------------------------UUU

3.己幻点G是A48c的重心，AG=AAB+JLIAC（A，PGR），若乙4=120，ABAC=-2^则|AG|的最小

值是（）

9

B.也

234

【答案】C

【解析】如图所示，由向量加法的三角形法则及三角形重心的性质可得AG=2AD='(AB+

33、

ZA=120,A3AC=-2,

根据向量的数量积的定义可得ABAC=|AB|x|AC|xCOS12()=-2,

设|画=x,|AC|=y,则|AC卜刈=4,

|AG|=||AB+AC|=1\IAB2+AC+2ABAC=1"2+),2_4>1,2孙-4=|,

当且仅当x=y,即|AQ=|AC],A4BC是等腰三角形时等号成立.

2

综上可得IAG|的最小值是-.木题选择c选项.

题型四投影的最值和范围问题

TTTC

【例4】在同一平面内，已知A为动点，B,C为定点，且/BAC=—,ZACB,BC=1,P为BC中点.过点P作PQ

32

_LBC交AC所在直线于Q,则4Q在〃。方向上投影的圾大值是()

【答案】C

【解析】

10

建立如图所示的平面直角坐标系，则B0）,C（-,0）,P（0,0）,

22

__c

由NBAC=X可知，ABC三点在一个定圆上，且弦BC所对的圆周角为工，所以圆心角为三，圆心在BC的中垂线即y

333

；BC£

2二立

轴上，且网心到直线BC的距离为2——=—,即圆心为（0,,半径为

tan—

3

目」,1/?

所以点A的轨迹方程为：x2+.y-则<-,则一以Wx<0,

6333

由4。在方向上投影的几何意义可得:A。在8c方向上投影为IDP|=|x|,

则A。在8C方向上投影的最大值是与，

故选C.

【玩转跟踪】

1•已知I而l=IACI=AB・AC=2,动点M满足，A/W+且24+〃=2,则C8在AM方向上的投

影的取值范围是（）

A.\/3,2B.卜2,\^）C.[―D.[—2,2]

【答案】A

【解析】

由已知有1亿通=（入而+/1?）・（祢-正）=人用於儿/'+（川元•充=2卜2从，

又不产（4.4力+〃/〉2=4（M+M+皿）,

又2人印=2,所以四=2-21，

._.」A」.cAA—p3A—2

则会在用方向上的投影为薪厂=商3+.=-仆+4'

令t=3L2,则入则f（I）

W-2,十J

C瓜

①当t>0时，f(t)=-T=/.,.1,<2.UP0<f(t)<2；

遮-…v*DS

②当②时,f(O=0,

11

③当iVO时，f(t)=---，3，即-v.vf(t)vo.

综合①②③得\：，vf（【）＜2,

即—,e<V3,21.故选A.

题型五平面向量综合问题

【例5】在△ABC"'，用A8,C的对边分别为“,仇c•已知c=2jS，目

2〃sinCcosA=asin4—〃sin4+—^/?sinC，点。满足OA+O3+OC=0，cosNCAO=g，则A/WC

28

的面枳为()

A.35/5B.避5C.或3D.y/55

42

【答案】D

【解析】

如图所示，•••OA+OB+OC=0,所以o为/XABC的重心，

连AO并延长交BC与E,则E为BC的中点，延长AE至F,使他=斯，连BF,CF.

则四边形ABFC为平行四边形，

,•*2<7sinCcos5=«sinA-/?sinB+亚-bstnC，c=2x/5»

2

d+1i-=6-〃+且be，即。=更)，乂因为。=26，所以匕=4,

lac22

3

/.BF=AC=4.cosZ.AFB=cos/CAE-cosZ.CAO=-，

8

设AE=x，则4/二2工，

RF+Ap--AR

在AA班'中由余弦定理得cos^AFB="——

2BFAF

即342+(2x『-(2逐丫

解得工:2,即AE=2.

8-2x4-2x

又sinNCAE=\-cos2Z.CAE=Jl--=—

V648

，S.\'VAtRnCv=zvicv=2x-2xAExACsin^CAE=2x4x—8=底.故选：D.

【玩转跟踪】

i.自平面上一点。引两条射线04，0B，点P在0A上运动，点Q在0B上运动且保持|PQ|为定值。（点P，。不

与点。重合），已知/AOB=%，a=用，则理丝+迪二丝的取值范围为（）

3|PO|\QO\

A.B.停C.鸟,"]>卜日"

【答案】D

【解析】

设N0PQ=a,则/尸。。=彳一。

PQPO3QPQ0i_i,CD(2TTAr-(,(2冗

------：­+—；——n—=QHQcosa+3QPcos------a=x/7cosa+3cos------a

PC\\QO\11I3JII3

'33\j3)'।3>j3、

=yjlcosa--cos(z+--sina=V7—cosa+-----sina=7sin(a-^)

其中tane=-^，则sinQ=—‘ae0,-^-，二当sin（a一夕）=1时，原式取最大值：7

sin(tz-^)>sin(0-^)=-sin^=-^-「•7sin(ez-^)>~~~

.PQPO3QPQO9],本题正3“

+E

"P^OM

2.已知4:nix-y-3m+1=0与&:x+帆)，-3m-1=0相交于点p,线段A8是圆C:(x+l)2+(y+=4的

一条动弦,且圈=26则+P6的最小值是.

【答案】472-2

【解析】V/i：nix-y-3m+1=0与h：x+my-3m-1=0.

A/I-L/2.八过定点（3,1）,，2过定点（1，3）•.点P的轨迹方程为圆Ct-2）2+（y-2）2=2,

作垂克线段CD_L/t&CD=《22.（O=1，所以点D的轨迹为（工+1尸+（），+1）2=1,

则+PB\=\PC+CA+PC+CB\=2|PC+CD卜2|PD|.

因为圆。和圆。的圆心距为J（2+l『+（2+1）2=3J5>l+x/2•

所以两圆外离，所以|P9最小值为3及一1一5/5=2\/5_1，

所以|PA+P8|的最小值为4&-2.故答案为4-2.

3.在中，是中线，己知%q=2,a48£>=30，定义/（几）=|22A8+（2-/l）ACj,求/（几）的最

小值是.

【答案】4

【解析】由/(义)=〔2243+(2—%)AC=2|—,(2/45)+(1——)AC^,

_____2___A一

设AE=2A8,连接CE,可得BD//CE,Z4EC=30°,设A"=/•(2AB)+(1一,)AC'

由4+（I--）=1,可得〃在直线EC上，即有F到EC的距离为H"l=4sin30o=2,

22

则/（入）的最小值为2x2=4.故答案为：4.

H

E

【玩转练习】

1.（2019•杭州调研）已知直角梯形ABCD中,AD//BC,/ADC=90°,AD=2,BC=l,尸是腰DC上的动点,则比八+3PB|的

最小值为.

建立平面直角坐标系如图所示，则A（2,0）,

设尸(D,y),C((),h),则8(1,8).所以成+3而=(2,—y)+3(1,b-y)=(5,3b-4y).

所以|而+3丽=、25+(38-4.v)2(ow)，W»,所以当)，=加时，宓+3而闻得最小值5.

2.如图梯形A8CO，AB//CDllAB=5^AO=2OC=4,E在线段8c上，AC.8力=0,则AEOE的最

小值为

15

C.15D.T5

【答案】B

【解析】以A为坐标原点,48所在直线为X轴，建立平面直角坐标系，设£>（皿〃）,。（"7+2,〃）,（，〃>0,〃>0）,

m2+n2=16,nf+n2=\6，九=2

因此｛(I

(m+2,n)•(m-5,ri)=0nr+n2-3m-10=()n=2-j3

因此BC:y=—(x-5),y=-2限x-5)，设E(x,-2G(x-5)),4<x<5,

4-5

所以AE•OE=5-2瓜x-5))•(x-2,—2>/J(x-5)-2^)

=a-2>/3(x-5))-(x-2,-2x/3(x-5)-273)=13x2-110A+240

5595

当工=—e[4,5]时，最小值为二".选B.

1313

•-11

3.设。是A48C的外心，满足AO=/A8+(----t)AC,(/wR'),若|A8|=|AC|=4，则A48C的面积是()

22

A.4B.4GC.8D.6

15

【答案】B

【解析】取AC中点D,因为0是AA8C的外心，所以OOJ.AC

AO-AC=[AD+DO\AC=AD-AC=^A(^=8

I1一

•.AO=tAB+(------t)AC

22

.\AOAC=tAI3AC+(^-^t)ACAC=t\AB\'\AC\cosZBAC+(^-^t)\AC^=S

则16/cosN8AC+(g-Tr)xl6=8,解得：cosZ.BAC=-^

所以sin/8AC=^，即叉械二，？A,制。卜由BAC=-^J44?—473

2222

故选：B

4.正六边形ABCDM中，令AB=a，AF=b，P是△COE内含边界的动点（如图），AP=xa+yh，则x+）'

的最大值是（）

A.1B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】解：•・・AP=X4+)，。，人尸=——。+3-

,x+yx+yx+y

1r.vXV

令AQ=------AP,则有4Q=------AB+—^—AF,又-------+——=1.

x+yx+yx+yx+yx+y

..Q，B，尸三点共线.

16

IA.I

.•-x+y=-!-当|AP|达到坡大为|4。|时，AGLB/7,...点A到线段8尸的坡短距离为AG，即|AQ|恰好达

MCI

5.已知平面向量4，〃满足〃=2｝卜4g=4,则对任意共面的单位向量e，的最大值是（）

A.mB.2Gc.3D.2

【答案】B

【解圻】卜卜2忖-：2a〃=4,得恸=4,M=2,ab=—.

所以缶,力〉=60.设a=OA,力=O庆则网=4,|词=2,NAOB=60，

则由余弦定理有|A8|=V42+22-2X2X4XCOS60=2.

卜•4.卜•，分别表示向量a,8在向量e上的投影长度

当el_a时，a]—也4=一百.当ej.方时如图（I）,ae-b^=2\f3-

当e与。，〃的夹角均为锐角时•如图（2）

kq=|OAI,|〃N=|OAiMjkd-kd=iAAiw|A8|=2G,

（当e与44平行时，取得等号）

当e与a，/?的夹角均为钝角时，卜・aTb-d=a•（一e）]—尼•（-e）

则一e与。，〃的夹角均为锐角，同理可得卜2百,

当e与。，〃的夹角一个为锐角，另一为钝角时，设当e与人的夹角为钝，如图(3)

则上等于向量力的相反向量在e的相反向量上的投影的长，即|60=|0色|,

所以,e-be=|2141AB|=26综上卜^一^^W|2®故选:B.

6.梯形A8c。中，A8//CO,AB=4,DC=1,AO=2,ND43=60，点E在直线BO上，点厂在直线

LUULB1UUUUUULBlIMJU1

ACt,且BE=ABDCF=juCAAE•DF=4，则之+〃的最小值为()

All+4x/61147611-4>/6

B.—

-3—-

【答案】A

【解析】

AC=AD+DC=AD+^AB.CF=〃CA=-〃(AD+]AB),BE=ABD=A(AD-AB)

AE=AB+BE=AAD+(\-A)AB,

£)户=OC+C/=(A8+C尸=：A8-〃(AO+：A8)=-〃A£)+^^A3,

由化他得-3/1+32〃-8〃=°,

则蚱旦，2+〃=加工=q+上+11II11+4拓

=

32-832-8332-83~3-3-

3/—88

当且仅当------=-------时取"=''号，故选：A

33/1-8

7.如图，在zU8c中，ZBAC=-,AO=3D4，尸为CD上一点，且满足AP=H1AC+-AB,若AABC的面积为包3,

322

则AP的最小值为()

18

p

A.3B.6C.瓜D.6

【答案】B

1-2

【解析】因为40=308,所以AP=〃?AC+—A8=〃7AC+—AO,住C,户，。三点共线可得,

23

21|1

加+—=1,即机=-,所以AQ=-AC+-A8.由向信的模的公式可得，

3332

AF=-\AC2+-AB2AC-=-Ac'+-AB^AC+-AB'.

\I{I913496114

而SABC=（卜司卜。卜足亨=竽.可得卜,卜。|=6,根据基本不等式，

I4=1HCI2+小耶中讶时?2。胸|明

-ABAC|=3,

6

所以AP的最小值为、石.故选：B.

8.已知向量4c满足卜=1.〃=百，。・方=一|.（4-C,/7-C〉=30，则［J的最大值等于（）

A.25/7B.77C.2D.72

【答案】A

【解析】解：OA=a,OB=brOC=c•设由同=1,利=,ab=——,

乙

所以cos/AOB二一X，所以NAO4=150，^<a-c,b-c>=30，

2

则Z4C8=3。即点AO,8,C四点共因，要使,最大，即|0。为圆的直径，

在&AQ8中，由余弦定理可得A32=OA2+OB2-2OAxOBxcosNAOB=7.

即AB=J7,乂由止弦定理可得：2R=———=2^7,

sinZAOB

即卜|最大值为2，7,故选A.

9.已知4、〃均为次位向量:，且a/=0,若|c-a|+|c-2x/5〃|=3,贝U|c+2al的取值范困是（）

A.[2&,3]B.[272,273]c.[2,3]D.[2,26]

【答案】B

【解析】解：因为〃、均为单位向显，且〃.〃=(),所以改OA=a=(l,0),OFi=b=(0,])，

OD=2同=(0,20),OC=c=(x,y)厕,斗=J2+(29=3,

由Ic—“|的几何意义为点C到点A的距离，|c-2^2b|的几何意义为点C到点。的距离，

因为|c—Q|+|C—2J50|=3,即|C4|+|cq=3,又卜。|=3,即点C在线段AO上运动，

设0£=—2〃=(一2,0)，贝U|c+2a|的几何意义为点?到点C的距离，

-4V2-2V2I厂

又AD所在的直线方程为y+2x/2x-272=0,贝汁而°/1=2及,

"+(2日

点E到点C的最大距离为点(-2,0)到点(0,2J5)的距离，即为《(一2*+(26丫=2石•

即2j54|c+2”区2石，故选民

10.在平面四边形A8c。中，己知A48c的面积是AACO的面积的3倍，若存在正实数X、)'使得

—<(1)f1

AC=一一3A8+1一—A力成立则x+)’的最小值为()

5JIy)

43+V2口3+62+V22+6

A.-----B.------Cr.------Dn.------

5555

【答案】D

【解析】

根据题意，如图，连接AC、BD,设AC与8Z)交广点0,过点8作8E_LAC与点用过点。作Z)F_LAC与点F,

若"CB面枳是"OC面积的3倍，即3。/=BE,根据相似三角形的性质可知，3。0=08,

1—3—

•••3(OA+AO)=0A+A3,•••AO=：A8+：AO.

44

设人0=/^()="8+¥八口「,40=已-3]/13+,一1|八0,

44lx)y

20

1//31)1(3yx\1z厂\2+>/3

，x+y，(]+)')_+_，4+上+—y4+2拘=——

1()'y)叭xy)10v)5

3yx3I3+61+J3

当且仅当一二一且一+-=io,即),=上、2时取等号

xyx)’1010

故答朝¥

11.已知正三角形ABC的边长为2,。是边BC的中点，动点P满足，且AP=xA8+yAC，其中x+y21,

则2大+)，的最大值为()

【答案】D

【解析】如图所示：以。为原点，BC为工轴建立直角坐标系40,6),8(—1,0),。(1,0),。(0,0)

uuua=tcos0

设P(a,b),则PD<1得到a2+b2<1设—而尸"以)

AP=xAB+yAC得到・G)=x(—l,-石)+y(l,-6)

y-x-a

y+x=1-----b(b<0)

3

c3/、1,、3石，13

2.r+y=—(x+y)——(y-x)=-------b——a=—sine+；cos0)

22-2222

3./八7i、.5

-——fsin(〃+一)<一

262

21

7115

当，二-1,。=可时有最大值，此时工=1,）,=5,有最大值5

故答案选D

12.己知点C为线段A8上一点，P为直线A8外一点，PC是NAP3的角平分线，/为尸C上一点，满足笈/=川+

“（南AC+访A卜P1＞°）‘I附一.,闸I"।四一一户—@।7°,则B由IB「A的值为，）

A.2B.3

ACAP

【解析】山8/=84+义(2>0)可得A/=2

IJACI1^1；

所以【在/BAP的角平分线上，由此得I是AABP的内心,

过I作IH_LAB于H,【为圆心，1H为半径，作APAB的内切圆,

如图，分别切PA,PB于E,F,

-.1PA|—|P31=4,|PA—|=10，则,耳=10，

\BH\=\BF\=\(\PB\A-\AB\-\PA\)=L[\AB\-(\PA\-\PB\)]=3，

22

在直角三角形B1H中,cos//8"=叫L所以"㈣=|B/|cosN/8〃=BH=3.

|8/|1曲|

故选:B.

2乃I-•-2a-tb

13.设非零向量〃与力的夹角是二，且a=a+b,则~厂的最小值为（）

旦正

32

【答案】B

【解析】对于a，8和a+〃的关系，根据平行四边形法则，如图

22

AD

a=BA=CD，b=BC，a+b=BD^r^ABC=—,：.ADCB=-,

，J

,/a=p+/j,/.CD-BD-BC,「Ja-b=卜+〃

\2a-lb\

当且仅当t=—\时，一；—；--的最小值为2

2/72

答案选B