第三章矩阵的初等变换与线性方程组

章节Ch3课题矩阵的初等变换与线性方程组

计划课时数10授课班级04级计算机系专升本10-13

教能熟练进行初等变换；掌握初等矩阵、初等矩阵与初等变换的轶系；

学理解矩阵等价的概念；熟练掌握用初等变换求逆矩阵的方法；理解矩

阵秩的概念；掌握其求法；掌握秩的一些基本性质；理解线性方程组

的的有解判别定理；掌握求通解的第一种方法。

教

学用初等变换求逆矩阵的方法；理解矩阵等价的概念；秩的概念及求法；

重线性方程组的有解判别定理；求通解的第一种方法。

点

教

学初等矩阵与初等变换的联系；秩的性质及其证明方法；计算准确性的

难保证。

点

教

学

方

法讲授、习题课、答疑

和

手

段

备

注

教学内容批注

第三章矩阵的初等变换与线性方程组

本章先引进矩阵的初等变换和初等矩阵，建立矩阵的秩的概

念，并利用初等变换讨论矩阵的秩的性质讨论线性方程组无解、有

惟一解或有无穷多解的充分必要条件，并介绍用初等变换解线性方

程组的方法。

§1矩阵的初等变换

矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运算，它在解线性方

程组、求解逆矩阵以及矩阵理论的探讨中都可起重要的作用。为引

进矩阵的初等变换，先来分析用消元法解线性方程组的例子。

1、引例

求解线性方程组

2x}-x2-+x4=2

%%―2七+%=4

<\1）

4西-6X2+2X3-2X4=4

+6X2-9X3+7X4=9

2、初等变换（行、歹U）

定义设A是m矩阵，下面三种变换称为矩阵的初等行变

换：

（1）交换A的第i行和第，行的位置，记为〃―

（2）用非零常数女乘以A的第"亍各元素，记为七；

（3）将A的第i行各元素的攵倍加到第j行对应元素，记为

r}+krxo

若把定义中的行改为列，便得到三种对应的初等列变换，记号分

别为q<->c.；kq；Cj+kc-o

矩阵的初等行（列）变换统称为矩阵的初等变换。

例如：

教学内容批注

(2-97P(1231]

01000100

(2—971J

〔1231,

’1235、

心->0102

、2-97-17y

值得注意的是，初等变换将一个矩阵变成了另一个矩阵，在一

般情况下，变换前后的两个矩阵并不相等，因此进行初等变换只

能用一来表示，而不能用等号。另外，矩阵的初等变换可以逆向操

作，即若矩阵A经过/｝一,八依、C/+S变换成了矩阵8,那么对

施以八c叮、：八及；

Bc-kct，就可以将矩阵B复原为矩阵A。

3、矩阵的等价

定义如果矩阵A经过有限次初等行变换变成矩阵B,则称

A与矩阵3行等价，简记为A〜3。如果矩阵A经过有限次初等列

变换变成矩阵3,则称A与矩阵3列等价，简记为A〜8。如果矩

阵A经过有限次初等变换变成矩阵8,则称A等价于矩阵8,简记

为A〜

由定义可以得到以下关于矩阵等价的一些简单性质:

(1)反身性：A〜力；

(2)对称性：A〜伐则3〜A；

(3)传递性：A〜3且B〜C,则A〜C。

应用初等变换来求解引例，对照以下过程

4、阶梯形矩阵、行最简矩阵、等价标准形

(1)阶梯形矩阵

(2)行最简矩阵：非零行的第一个非零元素为1,并且这写非

零元所在列的其他元素为0

(3)等价标准形

(pO'

定理任意矩阵都与形如。0的矩阵

教学内容批注

(100…0]

CC

_!_r°1232n

5上-0的怎…&

•••••••••••・••・

1°Jbm3…bmn)

(100…0]

r-br

C(Lngo10…0

i=3Ac-,m

—°>o0c33...6

••••••

10().3…C〃”J

/、

C22…C2n

再令A2=.......................

c•••c

(E0、

重复以上步骤，必可得到矩阵的标准形「。特别，当〃=加<〃

100,

时，A的标准形为

D

(E\

当厂=〃<“时，A的标准形为〃

loj

当r=〃=m时，A的标准形为Etl

例：把(A石)化成行最简形，其中

(0-21)

A=30-2

1-230；

教学内容批注

§2初等矩阵

一、初等矩阵

定义单位矩阵经过一次初等变换后所得矩阵称为初等矩阵。

三种初等变换对应着三种初等矩阵，它们分别为：

1、对调两行或者两列

把单位矩阵中第L/两行对调(5—0),得到初等矩阵：

(1)

•

*•

1

0…1

]一第i行

E(i,j)=："：

1'n―第衔

1…U

1

*

•

*

11J

用〃Z阶初等矩阵号(。力左乘矩阵A=(%),“得

⑼/2…即1

••••••••••••

<-第i行

a八勺2…Cljn

E《,j)A=...............

为《2…%”

一弟/仃

〃加2…inn7

教学内容批注

很显然，其结果相当于对矩阵A施行第一种初等行变换。类似

上述做法，以〃阶初等矩阵£〃（"）右乘矩阵4=（%）…，其结果相

当于对矩阵A施行第一种初等列变换。

2、以数2wO乘某行或者某列

以数2w。乘单位矩阵的第i行（您）得到初等行矩阵：

*

1

E（i（k））=k—第i行

1

1

<b

由矩阵的乘法，容易验证：以后。（公）左乘矩阵4=（%）带，结

果相当于以数女乘A的第i行，同理可证，右乘矩阵4=（%）相当

\V/nixn

于数Z乘4的第/列。

3、以数A。0乘某行（列）加到另一行（列）上去。

以数左。0乘单位矩阵的第/•行加到第i行上（八+3）（或以

数人工0乘单位矩阵的第i列加到第J列上（”+篙）），得到初等矩

阵：

教学内容批注

(1]

•

一第，行

1…k7

E(zja))=

1.一行

**

1J

不难验证：以E伤⑻)左乘矩阵4=0)…，结果相当于把A的

第7行乘数2力口至IJA的第i行上，右乘矩阵A={<.)…相当于把A的

第i列乘数女加到A的第i列上。

综上所述，得到矩阵的初等变换和初等矩阵之间的关系如下：

二、初等矩阵的应用

定理对m矩阵4,施行一次初等行变换，相当于在A的左边

乘以相应的历阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A

的右边乘以相应的〃阶初等矩阵。

显然，初等矩阵都是可逆矩阵，其逆矩阵仍是初等矩阵，容易

验证：

E(ijy]=Eg),E(i(幻尸=40,

k))o

定理矩阵A可逆OA可分解成若干个初等矩阵之积

(证明过程要讲一下)

推论矩阵A可逆=A与单位阵等价；

推论设A和B都是mx〃矩阵，则A等价于B的充分必要条件为

存在团阶可逆矩阵P和〃阶可逆矩阵。，使得

PAQ=B

教学内容批注

三、求逆方法

设矩阵A可逆，则由推论知存在有限个初等矩阵匕鸟，…,P、.，

使得

A=PAH

则TRJ・・书'=七成立

此式表明A可经一系列初等行变换变成E；

另外个匕”•记一尼=X也成立

比式表明后可经这同一系列初等行变换变成A"。若构造一个

〃x2〃矩阵（小£）,则有

不年；…」（A⑹也行）

即对〃x2〃矩阵（AZ）作初等行变换，当A变成E时，原来的E就

是k了。

当A为可逆矩阵时，用初等行变换求逆矩阵的方法可简记为

（AE）—（民*）

（101A

例用初等行变换法求矩阵A二210的逆矩阵。

U2-5；

r_51_n

22

A-1=5-11

2-ii

I22J

教学内容批注

在矩阵方程AX=笈中，如果A是可逆阵，则有唯一解：

X=AlB

若构造矩阵(AB),同上述讨论可得：当对其进行初等行变换时，

化其中的A为石时，B就变为A-'B了。即

(A\3)螭行鲜>(£:%)=

例用初等行变换解矩阵方程AX=B,其中

(123](25]

A=221,B=31

〔343)143)

(32)

(X=-2-3。)

113)

另外，如果求y=crl则可对矩阵作初等列变换，使

©

(A\(E\

[cj〜104、

即可得到丫二。^,不过通常都习惯作行变换，那么可该为对

(A\C')作初等行变换，使得

(AT,CT)〜(E,(A。"，)

即可得到片二(4丁『。丁，从而求得丫

教学内容批注

§3、矩阵的秩

矩阵的秩是矩阵的一个重要数字特征，它反映出该矩阵所代表

的线性变换某种特性的不变量。利用它，可以证明矩阵标准形的唯

一性，在线性方程组的理论研究中也有很重要的作用。

1、攵阶子式、最高阶非零子式

(1)女阶子式

定义在矩阵中，任取左行和Z列，由这些行和列交点上的二个元

素按原有顺序构成的一个攵阶行列式，称为矩阵的一个左阶子式。

显然，〃2X〃矩阵A的左阶子式有个。

(2)最高阶非零子式

定义〃?x〃矩阵A中，有一个〃阶子式。不为零，而任意〃+1阶子

式均为零，称。为矩阵A的最高阶非零子式，称数〃为矩阵A的秩,

记为R(A),并规定零矩阵的秩为0o

2、矩阵的秩的有关结论

(1)4有一个攵阶非零子式=R(A)Nk；

(2)A的所有攵+1子式均为零=>R(A)Kk。

由行列式的性质可知，当矩阵A中所有〃+1阶子式都为零时，

所有高于r+1阶的子式也全为零，因此A的秩R(A)就是4中不为

零的子式的最高阶数。

(3)满秩矩阵和降秩矩阵(对于方阵的分类)

3、矩阵的秩的求法

(1)子式判别法［即用定义判别］:求最高阶非零子式。适用

于低阶矩阵或特殊矩阵。

教学内容批注

例1：求A、B的秩，其中

/、<2-103一2、

(123)

-…031—25「「

A=23—5,_2］B=o［3］

0004-3

d71J^00000J

(2)利用初等变换化为阶梯形矩阵［常用方法］

例2：求A的秩，并求A的一个最高阶非零子式，其中

(32050)

3-236-1

A=o［3］

2015-3

［16-4-14J

(3)利用三秩相等定理转为向量组的秩［下一章介绍］

4、秩的一些基本性质及证明

a、0<R(A)<min{〃2,力}；

b、R(4)=R⑷

c、A〜B=R(A)=R(B)

［证明提要：等价矩阵具有相同的标准形］

［注：其逆不真，加上条件A3为同型矩阵，则逆命题为真］

d、2,。可逆=/?(%)=/?(帖)=7?(4。)=/?(4)

［初等变换不改变矩阵的秩］

e、max{R(A\R(B)}<B)<R(A)+R(B)

［分别对(A5)中的A,B作列变换化为(CD),可得C中仅有

R(A)个列非零，。中仅有R(3)个列非零，故(C。)中仞有R(A)+

R(8)个列非零，所以第二个不等式成立］

教学内容批注

f、7?(4+3)47?04)+/?(5)

g、R(A8)4min{R(A),R(3)}［下节证明］

h、4〃X〃4M=0=A(A)+A(5)<〃［下章证明］

§4、线性方程组的解

设线性方程组为

AX=b

其中A=(%)心“，X=(当,工2,…,£)7，b=(bi，bz，…,b.)T.当〃wO

时，称AX=》为非齐逖;线性方程组；当力=0时，称AX=0为齐欢

线性方程组.若线性方程组有解，则称该线性方程组相容，否则称

%禾相容.本节我们要研究非齐次线性方程组相容的藕条件，以

及相容时，方程组有唯一解还是有无穷多解.

1、有解判别定理及证明

定理〃元线性方程组Ar=〃

(1)无解的充分必要条件是RA)<R(Ab)

(2)有惟一解的充分必要条件是RA)=R(A,b)=n；

(3)有无限多解的充分必要条件是R(4)=R(A。)<n。

证明：先用初等行变换把A与4化简.设R(A)=厂，则A中必

有一个不等于零的〃阶子式，可通过改变方程位置以及未知量重新

编号，将它调至4的左上角，显然这样的变换不改变方程组的相容

性.所以，可不妨假设A的左上角的，•阶子式不等于零，它所对应

的，•阶矩阵是可逆矩阵.从而可仅仅利用初等行变换将该〃阶子阵

变为厂阶单位矩阵.对增广矩阵A=(A,b)的前厂行施行相应的初等

行变换可得

教学内容批注

00Clr+1%41

d

010C2r+\Q”2

=（A历经初二簪_>

A001C/r+lc,“4

ar+llar+\2ar+lrar+lr+lar+\n%

、。/nlam2%%r+i%nn■

再继续；做适当的初等车F变换可得矩阵

C

U0°\r+\%4、

01…oQr+1…Q“

A

C

00…1Jr+lrn4=(GD)

00...0Cr+tr+lcd

、00…0C"tr+lq“〃4〃)

其中。为〃?X〃矩阵，Z）为"2x1矩阵，显然

经初等行变换）.

由于R（C）=R（八）=厂，PIOdj=O（z=r+l>…，m；尸r+1,…,〃）.若

不然，则有某个％wO（r+lW/Wm,r+\<k<n）,则C中有〃+1

阶子式

100clk

010c2k

•AAA•・・•••・・・=5W°

001J

000cH.

教学内容批注

这与R(C)=r矛盾.于是C中右下角的(加一r)X(〃一力子阵为零矩

阵，进而对(CD)的后,明-一行施行适当的初等行变换，有

’100。川5&、

01°C2r+\C2n〃2

•♦・♦・・・・♦♦・••t••・•

记■

人经初等行变换、1

00C.%dr=C

00・•.00・•.0d

k000000,

其中当力+1，…,dm4二为零时，d=0；当dr+i,…d,”不全为零时,

dWO.而且有

MM=R（C）

矩阵亡对应的线性方程组为

X+G川儿+i++。〃&=4

%+。2,+/川++G3,=4

«・・・・•・•••••••・・

%++G“怎=4

0=d

方程组*与原方程组同解.由此，我们可给出充要条件的证明.

必要性：设方程组AX=8相容，于是方程组义也相容，则必

须占0.易得

M3)=R(c)=r=/?(/!)

充分性：设确)=R(A)=>R(C)=r,于是"=0,则方程组

*有解.所以原方程组也有解，且解可表示为

教学内容批注

M=4-G/川----G〃x〃

X2=d2-c2rxr+l----*+

••••••••・••••••

〔巧—drt*rr+|Xr+10切演

(1)当R(A)wR(N)时"线性方程组无解；

(2)当威)=R(A)=r=〃时，由**式得，方程组有唯一解

XI-d\,X2=d2,…,Xn=dn；

(3)当RR)=R(R)="〃时,在**式中Xr+1,…,X〃作为自由未知

量，当任意给定一组数%=配匕+2=&，…，％=:-时，由**可相

应得到未知量X"2,…，斗的值，从而得到方程组的一个解.因此，

这时方程组有无穷多解，这些解的全体，即方程组的通解可表示为

—C