第02讲 中心对称与中心对称图形（知识解读+真题演练+课后巩固）（解析版）

第02讲中心对称与中心对称图形

区3【老司目粽】

i.掌握中心对称和中心对称图形的定义和性质，掌握他们之间的区别和联系；

2.掌握关于原点对称的点的坐标的特征，以及如何求对应点的坐标；

3.探索图形之间的变化关系(轴对称、平移、旋转及其组合)，灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进

行图案设计。

知钠点梳理】

知识点1中心对称(两个图形)

1.概念

把一个图形绕着某一点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图

形关于这个点对称或中心对称；

2.性质

(1)关于中心对称的两个图形是全等形。

(2)关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

(3)关于中心对称的两个图形，对应线段平行(或在同一直线上)且相等。

3.判定

如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点

对称。

4.作图步骤：

(1)连接原图形上所有的特殊点和对称中心。

(2)将以上所连线段延长找对称点，使得特殊点与对称中心的距离和对称点与对称中心的距离

相等。

(3)将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于中心对称的图形

5.中心对称图形(一个图形)

把一个图形绕某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这

个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。

知识点2点坐标对称

1.关于原点对称的点的特征

两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P(x,y)关于原点的对称点为P'(・x,

-y)

2.关于x轴对称的点的特征

两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P(x,y)关于x轴的

对称点为P'(x,-y)

3.关于y轴对称的点的特征

两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P(x,y)关于y轴的

对称点为P'(-x,y)

【题型1中心对称图形】

【典例1](2()23•淮北一模)下列图形中，是中心对称图形的是()

【答案】B

【解答】解：A、。、。选项旋转180度不能够与原图形重合，故不是中心对称图形,

故选：B.

【变式1-1](2022秋•铁锋区期末)下列平面直角坐标系内的曲线中，既是中心对称图形,

也是轴对称图形的是()

【答案】B

【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意;

8、既是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意;

C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意;

。、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意;

故选：B.

【变式1・2】（2022秋•河东区期末）下列图形是中心对称图形的是（）

A.

C.

【答案】D

【解答】解：选项A、8、。中的三个图形都不是中心对称图形,

选项D的图形是中心对称组形.

故选：D.

【变式1-3］（2022秋•文登区期末）下列图形是中心对称图形,但不是轴对称图形的是（）

【答案】B

【解答】解：A、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意;

8、此图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，符合题意；

C、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；

。、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意.

故选：B.

【题型2中心对称的性质】

【典例2]如图，在平面直角坐标系中，与△4冏。关于点(0,-1)成中心对称.已

知点B的坐标为(-2,2),则点8的坐标是()

A.(2,-2)B.(1,-3)C.(4,-2)D.(2,-4)

【答案】D

【解答】解：:△ABC与ZXA阳G关于点(0,-1)成中心对称，

"的坐标为(-2,2),

为对应点,

的坐标为(2,-4),

故选：D.

【变式2-1](2022春•镇江月考)如图，线段人3与线段CD关于点P对称，若点A(3,3)、

B(5,1)、。(-3,-1),则点。的坐标为()

A.(-3,-3)B.(-1,-3)C.(-4,-2)D.(-2,-4)

【答案】B

【解答】解：(5,1)>D(-3,7)关丁点P对称,

-^z5.=l,-lzl=O,

22

・••点。的坐标为（1,0）.

设点C（x,y）,

TA（3,3）,

・,•卫=1,"=0,

22

.*.x=-1,y=-3.

：.C（-1,-3）.

故选：B.

【变式2-2]（2022春•安吉县期末）如图，在平面直角坐标系中，若aABC与关于

E点成中心对称，点4B,C的对应点分别为4,Bi,Ci,则对称中心E点的坐标是（）

A.(3,-1)B.(0,0)C.(2,-1)D.(-1,3)

【答案】A

【解答】解：如图，连接44、CG,则交点就是对称中心E点.

故选：4.

【变式2-3]（2021秋•黔西南州期中）如图，△A8C与aA'B1C关于点O成中心对称,

有以下结论：①点A与点A'是对称点；②8。="。；@AB//AfB'；®ZACB=ZC'

Af8’.其中正确结论的个数为.

【答案】3_±

【解答】解：，：4ARC曰*NB1C关于点O成中心对称，

•••△ABC丝△4'夕C',

・••点A与点A'是对称点，BO=B'O,AB//A1夕，

故①②③正确，

故答案为：3个.

【典例3】（2022秋•广宗县期末）如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若NC=90°,

ZB=3O°,AC=1,贝ijBg的长为（）

333

【答案】A

【解答】解：•・•在RtZSABC中，NB=30°,AC=\,

：.AB=2AC=2,

：.BB'=2A8=4.

故选:A.

【变式3-1]（2022秋•厦门期末）如图，在△ACB中，ZC=90°,45=1（）,AC=8,。是

人C的中点，点&E关于点。成中心对称，则人£的长为.

【解答】解：在△ACB中，ZC=90°,AB=IO,AC=8,则由勾股定理知：BC=7AB2-AC2

=山。2_32=6.

・・•。是AC的中点，点B,E关于点。成中心对称，

・•・△AQE与△CDB关于点。成中心对称，

：.AE=BC=6.

故答案为：6.

【变式3-2]（2022秋•宝山区期末）如图，己知点O是矩形A8CQ的对称中心，E、尸分别

是边4力、9c上的点，且关于点。中心对称，如果矩形的面积是22,那么图中阴影部分

的面积是.

【解答】解：在矩形A8CD中，OA=OC.AD//CB,

：.ZEAO=ZFCO,

在△E4O与△尸CO中，

rZEA0=ZFC0

«OA=OC，

ZE0A=ZF0C

：./^EOA^AFOCCASA）,

S阴影二分=5公8。。=2-5用形人■义22=5.5，

44

故答案为：5.5.

【变式3-3]（2022•南京模拟）如图，△A8C与△OEC关于点C成中心对称，若A8=4,则

DE=.

【答案】4

【解答】解：・・•△ABC与△OEC关于点。成中心对称,

：.CA=CD,CB=CE,

•・•NACB=/DCE,

•・.△ABC妾△OEC(SAS),

：.AB=DE,

・・・/W=4,

，OE=4,

故答案为：4.

【典例4】（2022春•连城县校级月考）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形。ABC的顶

点A在x轴上，定点B的坐标为（8,4）,若直线经过点D（2,0）,且将平行四边形

0A8C分割成面积相等的两部分，则直线的表达式（）

y=2x-4C.D.y=3x-6

【答案】A

【解答】解:・・,点3的坐标为（8,4）,

・••平行四边形的对称中心坐标为（4,2）,

设直线DE的函数解析式为y=kx+b,

则（曲+-2,

2k+b=0

解得k=l

b=-2

・•・直线DE的解析式为尸x-2.

故选:A.

【变式4-1］（2021秋•梁子湖区期中）如图,在平面直角坐标系中，平行四边形CM8C的顶

点A在x轴上，顶点B的坐标为（8,6）.若直线/经过点（2,0）,且将平行四边形

。人分割成面积相等的两部分，则直线/对应的函数解析式是（)

r一.3o得4

A.y=x-2B.y=3x~6y=^_x-3D.yx

乙3

【答案】C

【解答】解：・・•点8的坐标为（8,6）,

，平行四边形的中心坐标为（4,3）,

设直线/的函数解析式为｝=a+力awo）,

将（2,（））,（4,3）代入，可得0k+b=O,

4k+b=3

解得｛2,

b=-3

・,•直线/的舟单析式为—3.

故选：C

【变式4-2]（2022秋•汇川区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，回OABC的顶点B的

坐标为（-4,2）,直线7：），=-恰好将团。ABC的面积平分，则b的值为______.

2

【解答】解：如图，连接。3.

•:B（-4,2）,

・・・0。的中点。（-2,1）,

・・•直线）=-3,叶平分四边形A8CO的面积，

2

・,.直线y=■日x+〃经过点。，

:.1=3+6,

.*./?=-2,

故答案为：-2

【典例5]（2022秋•栖霞市期末）如图，△A3。与△COO关于0点成中心对称，点E、F

在线段AC上，且Ab=CE.

求证：FD=BE,FD//BE.

D

o

B------------/

/

C

【解答】证明：连接BE、DE,

•・,AABO与△CDO关于O点成中心对称,

：・OB=OD,OA=OC.

*：AF=CE.

：.OF=OE.

・・・四边形BED尸是平行四边形，

:・FD=BE,FD//BE.

【变式5-1］（2021春•宽城区期末）如图，在AABC中，AO是8C边上的中线，ZSA为。与

△ACO关于点D成中心市称.

（1）直接写出图中所有相等的线段.

（2）若AB=5,AC=3,求线段AO的取值范围.

【解答】解：（1）・・・4。是△A8C的中线,

:,BD=DC,

VAA'BD与△AC。关于点D成中心对称

•••△A'BD44ACD,

:.BD=CD,AD=A'D,AC=A'B.

(2)*：AD=A'Df

：.AA'=2ADf

9：AC=A'B,4c=3,

・・・A'8=3,

在△HA'B中，AB-A'B<AA'<AB+A'BfHP5-3<2AD<5+3.

：.\<AD<4.

【变式5-2](2022春•莲湖区期末)如图，在四边形A8CO中，AD//BC,E是CD上一点,

点。与点C关于点£中心对称，连接AE并延长，与8C延长线交于点F.

(1)填空：石是线段C。的中点，点A与点尸关于点E成中心对称,若AB=

AD+BC,则△回尸是等腰三角形.

(2)四边形ABC。的面积为12,求△AB尸的面积.

【解答】解：(1)・・•点。与点C关于点E中心对称,

・・・E是线段C。的中点，DE=EC,

9：AD//RC,

：.ZD=ZDCF,

在△ADE与△/CE中，

rZD=ZECF

DE=CE，

IZAED=ZFEC

AADE^AFCE(ASA),

・・・AE=FE,AD=CF,

・••点4与点/关于点E成中心对称，

9：AB=AD+BC,

工AB=BF,

则△AB/是等腰三角形.

故答案为：中点，E,等腰；

(2)<△尸CE,

・•・AADE与△尸CE面积相等，

・・・AABF的面积等于四边形ABCD的面积，

・・•四边形ABCD的面积为12,

厂的面积为12.

【题型3点坐标的对称】

【典例6】(2022•孝南区一模)在平面直角坐标系中，点A(2,〃?)与点8(小3)关于原

点对称，则()

A.1)1=3,n=2B.m=-3,n=-2C.〃?=3,〃=-2D・m=-3,n=2

【答案】B

【解答】解：•・•点A(2,m)与点B(n,3)关于原点对称,

:・m=-3,n=-2,

故选：B.

【变式6-1](2022秋•桃城区校级期末)已知点A(〃+44)与点8(-2,a-b)关于原点

对称，则。与Z?的值分别为()

A.-3；1B.-1；3C.1；-3D.3；-1

【答案】B

【解答】解：•・•点A("〃，4)与点B(-2,a-b)关于原点对称，

.fa+b=2

Ia-b=-4

解得卜=T.

lb=3

故选：B.

【变式6-2](2022•新都区模拟)在平面直角坐标系中，点P(-2,-4)关于原点对称的

点的坐标是()

A.(2,-4)B.(2,4)C.(-2,4)D.(-2,-4)

【答案】B

【解答】解：点P(-2,-4)关于原点对称的点的坐标是(2,4),

故选：B.

【变式6-3](2022秋•开封期末)己知点b)在第二象限内，且同=1,|〃|=2,则该

点关于原点对称点的坐标是()

A.(-2,1)B.(-1,2)C.(2,-1)D.(1,-2)

【答案】D

【解答】解：(db)在第二象限内，

：.ci<0,QO,

又・・,|。|=1,⑸=2,

ci=~1>b=2,

・,•点M(-1,2),

・••点M关于原点的对称点的坐标是(1,~2).

故选：D.

【题型4图案设计】

【典例7】(2022秋•章贡区期中)在8X8的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，

已知A(2,-4),B(4,-2).C是第四象限内的一个格点，由点C与线段A5组成一

个以AB为底，且腰长为无理数的等腰三角形.

(1)填空：。点的坐标是,△ABC的面积是；

(2)将△ABC绕点C旋转180°得到△ABC】,连接力Bi、Mi,则四边形ABAiB的形状

是何特殊四边形？.

(3)请探究：在坐标轴上是否存在这样的点P,使四边形A80P的面积等于△ABC面积

的2倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【解答】解：(1)根据题意点。坐标为(1,-1),如图1.

Swc=3X3-工X3X1-1X3X1-lx2X2=4.

222

故答案为：(1,-1),4

(2)如图2,

・・,将△ABC绕点。旋转180°得到△4B1C,

/.Ai,C,A在同一直线上，Bi,C,8在同一直线上，AiC=AC,BiC=BC,

・•・四边形ABA归是平行四边形，

9：AC=BC,

・•・平行四边形ABiA由是矩形，

故答案为：矩形；

（3）存在.

由（1）知S"8c=4,则S四边形A3OP=8.同（1）中的方法得SMBO=16-4-4-2=6；

当P在x轴负半轴时，SMPO=2,高为4,那么底边长为1,所以P（-l,（））；

当P在），轴负半轴时，SEPO=2,高为2,所以底边长为2,此时尸（0,-2）；

而当P在内轴正半轴及y轴正半轴时均不能形成四边形AROP-,

故点P的坐标为（-1,0）,（0,-2）.

【变式7-2]（2022秋•沙河市期末）如图所示，三角形ABC和三角形A'BrC关于某一

点成中心对称，一同学不小心把墨水泼在纸上，只能看到三角形A8C和线段BC的对应线

段3'C,请你帮该同学找到对称中心O,且补全三角形A'B'Cf.

【解答】解：如图，XNBrC'即为所求;

B'

A'

【变式7-2](2022春•历城区期末)如图，正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在

所给直角坐标系中按要求解答下列问题：

(1)山iG与△ABC关于坐标原点O成中心对称，则Bi的坐标为.

(2)△4B1G的面积为.

(3)将△ABC绕某点逆时针旋转90°后，其对应点分别为4(-1,-2),以(1,-3),

Ci(0,-5),则旋转中心的坐标为.

：.B\(2,2).

故答案为：(2,2).

(2)的面积为：lxV5XV5=2.5

2

故答案为：2.5.

(3)根据旋转的性质，旋转中心在对称点的连线的垂直平分线上，所以两对对称点的垂直

平分线的交点就是旋转中心.

所以旋转中心的坐标为：(0,-1).

故答案为：(()，-1).

【变式7-3](2022春•泗阳县期中)如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方

形，建立如图所示平面直加坐标系，/XABC的顶点均在格点上，其中点A坐标为(1,-3).

(1)以点B为旋转中心，画出△ABC绕点B顺时针旋转90°的由iG；

(2)画AABC关于点。对称的△A2&C2；

(3)若平面内存在一点使A、B、C、。四点构成的四边形是平行四边形，则点。的

坐标为.

【答案】（1）略（2）略（3）（3,0）或（7,-4）或（-1,-6）.

【解答】解：（1）如图，的△4与。即为所求;

（2）如图，△A2&C2即为所求;

（3）点。的坐标为（3,0）或（7,-4）或（-1,-6）.

故答案为：（3,0）或（7,-4）或（-1,-6）.

布【/叙信依】

【答案】B

【解答】解：A.该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意;

B.该图既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；

C.该图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；

D该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；

故选:B.

2.（2023•大庆）搭载神舟十六号载人飞船的长征二号尸遥十六运载火箭于2023年5月30

日成功发射升空，景海鹏、朱杨柱、桂海潮3名航天员开启“太空出差”之旅，展现了中

国航天科技的新高度.下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（）

A.航人神州B中国行星探测

方9

c.中国火箭D,中国1

【答案】C

【解答】解：选项4、B、。都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图

形重合，所以不是中心对称图形.

选项。能找到一个点，使国形绕某一点旋转180。后与原来的图形重合，所以是中心对称

图形.

故选：C.

3.（2023•凉山州）点尸（2.-3）关于原点对称的点P'的坐标是（）

A.（2,3）B.（-2,-3）C.（-3,2）D.（-2,3）

【答案】D

【解答】解：点P（2,-3）关于原点对称的点P'的坐标是（-2,3）.

故选：D.

4.（2022•雅安）在平面直角坐标系中，点（〃+2,2）关于原点的对称点为（4,-b）,则

ab的值为（）

A.-4B.4C.12D.-12

【答案】。

【解答】解：・・,在平面直角坐标系中，点（。+2,2）关于原点的对称点为（4,-b）,

・••得。+2=-4,-/?=-2,

解得a=-6,b=2,

/.ab=-12.

故选：D.

5.（2022•丹东）如图，在四边形A6CQ中，AB//CD,AB=CD,对角线AC与8。交于点

。，点上是AO的中点，连接。£△ABO的周长为12c〃?，则下列结论错误的是（）

B.四边形A8CD是中心对称图形

C.△EO。的周长等于3。72

D.若乙钻C=90°,则四边形ABC。是轴对称图形

【答案】C

【解答】解：・・・AB〃C。，AB=CD,

・•・四边形ABCD是平行四边形，

・・•对角线AC与8。交于点0,点E是A。的中点，

・•・。七是△ABO的中位线，

：.OE//AB,

・,・A选项结论正确，不符合题意；

•/四边形ABCD是中心对称图形，

・・・B选项结论正确，不符合题意；

•.'△ABD的周长为12。〃，

△E0D的周长等于6cmt

・・・C选项结论错误，符合题意；

若NA8C=90°,则四边形A3CD是矩形，是轴对称图形，

・・・。选项结论正确，不符合题意；

故选：C.

6.（2023•泸州）在平面直角坐标系中，若点尸（2,-1）与点Q（-2,加）关于原点对称，

则m的值是1.

【答案】1.

【解答】解：在平面直角坐标系中，若点P（2,-1）与点。（-2,团）关于原点对称,

则m的值是1.

故答案为：1.

7.（2022•湘西州）在平面直角坐标系中，已知点尸（-3,5）与点Q（3,〃?-2）关于原点

对称，则"2=-3.

【答案】-3.

【解答】解：根据两个点关于原点对称，则横、纵坐标都是原数的相反数,

得m-2=-5,

1.（2023•利川市一模）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）

XB*C卷工

【答案】A

【解答】解：A.是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项符合题意；

B.是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不合题意；

C.是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不合题意；

D.是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不合题意；

故选：A.

2.（2023春•晋江市期末）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，既是轴对称图形又是中

心对称图形的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【解答】解：平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形；

矩形是轴对称图形，是中心对称图形；

菱形是轴对称图形，是中心对称图形；

正方形是轴对称图形，是中心对称图形，

故选：C.

3.（2023春•南阳期末）平面直角坐标系内一点P（-4,3）关于原点对称的点的坐标是（）

A.（3,-4）B.（4,3）C.（-4,-3）D.（4,-3）

【答案】D

【解答】解：•・•点1（-4,3）,

・•・关于原点对称的点的坐标是（4,-3）,

故选：D.

4.（2022秋•鸡西期末）已知点产（2〃+1,1）关于原点对称的点在第一象限，则。的取

值范围是（）

A.a<-l^a>\B.a<-AC.-l<a<\D.a>l

222

【答案】B

【解答】解：点尸（2a+1,a-\）关于原点对称的点（-2a-1,-〃+1）在第一象限，

则

-a+1>0

解得：a<-1.

2

故选：B.

5.（2022秋•栾城区期末）如图，△ABC与△4'夕C关于。成中心对称，下列结论中不

成立的是（）

C.BC=B'CD.ZABC=ZAfC1Bf

【答案】D

【解答】解：对应点的连线被对称中心平分，A,R正确:

成中心对称图形的两个图形是全等形，那么对应线段相等，C正确.

故选：D.

6.（2023•玉林一模）如图，点O为矩形A8C。的对称中心，点£从点4出发沿A8向点8

运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F,则四边形AECF形状的变化依次为（）

A.平行四边形一菱形一平行四边形一矩形

B.平行四边形一正方形一平行四边形一矩形

C.平行四边形一正方形一菱形一矩形

D.平行四边形一菱形一正方形一矩形

【答案】A

【解答】解：画图如下,

由图可知最后会与原有矩形重合,

・・・四边形AECF形状的变化依次为平行四边形一菱形一平行四边形一矩形,

故选：A.

7.（2022秋•广宗县期末）如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若NC=90°,NB=

30°,AC=\,则BB'的长为()

A.4BC.D.473

-4—

【答案】A

【解答】解：:在RtAABC中，NB=30°，AC=1»

：.AB=2AC=2,

：.BB'=2A3=4.

故选:A.

8.（2023•乾安县三模）如图，己知点A与点C关于点。对称,点B与点。也关于点。对

称，若BC=3,。/）=4.则4B的长可能是（)

A.3B.4C.7D.11

【答案】C

【解答】。解析：丁点A与点C关于点O对称,点B与点。也关于点O对称,

・・・。8=。。=4,AD=BC=3f

•:BD-AD<AB<BD+AD,

：.5<AB<\if

故选：C.

9.（2023春•徐汇区期末）如图，长为6,宽为3的矩形阴影部分的面积为9.

【答案】9.

【解答】解：因为。为矩形的对称中心，则阴影部分的面积是矩形面积的一半，因为矩形

面积为6X3=18,所以阴影部分的面积为9.

故答案为：9.

10.（2023春•玄武区期中）如图，将△ABC绕点C（0,-1）旋转180。得到aA'B'C,

若点A的坐标为（-4,-3）,则点A'的坐标为（4,为•

【答案】（4,1）.

【解答】解：作A'轴于点E,ADLy轴于点D,则NA'EC=ZADC,

：.AD=ArE=4,CE=CD,

•••00=3,OC=1,

：.CD=2,

：.CE=2,

：.OE=\t

，点点的坐标为（4,1）.

故答案为：（4,1）.

11.（2022秋•北辰区校级期末）如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若NC=90°,

NB=30°,AC=3,则BB'的长为12.

【答案】12.

【解答】解：・・・在RtZXABC中，ZB=30°,AC=3,

：.AB=2AC=6f

♦B与8关于4中心对称，

：.BB'=2AB=\2.

故答案为：12.

12.（2023•未央区校级三模）有一块方角形钢板如图所示，如何用一条直线将其分为面积相

等的两部分.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：如图所示，有三种思路:

13.（2022春•江阴市校级月考）如图所示，已知线A3和点P,求作平行四边形A8CQ,使

点。是它的对称中心.