第02讲常用逻辑用语必刷好题

第2讲常用逻辑用语配套必刷好题

必会题型一：充分条件、必要条件的判断

1.（2022•北京市昌平区前锋学校高一期中）”>1”是M>%，，的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】求得”的解集，进而结合充分不必要条件的概念即可得出结论.

【解析】因为好>X的解集是"保>1或x<0｝,

因为集合｛x|x>1｝是集合｛A#>1或X<0｝的真子集，所以小>r堤>X”的充分不必要条件

故选：A.

2.（2022•山东・滨州高新高级中学高一阶段练习）下列命题中为真命题的是（）

A.“%>4”是“X>5”的必要不充分条件

B.•，三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的既不充分也不必要条件

C.“关于％的方程a/+以+c=0（QH0）有实根”的充要条件是M-4ac>0

D.若集合力GB,则“％64”是“％WB”的充分不必要条件

【答案】A

【分析】根据充要条件、必要条件的定义直接推导可得

【解析】“翼>4”不能推出小>5”，故充分性不成立；“X>5”则一定有“％>4”，故必要性成立，

所以依>4”是七>5"的必要不充分条件，所以A正确；

正二角形一定是等腰二角形，等腰二角形不一定是正二角形，

所以“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分不必要条件，故B错误；

“关于无的方程ax?+bx+c=0（a*0）有实根”的充要条件是“A-b1-4ac工0,故C错误；

当集合4=8时，应为充要条件，故D错误.

故选：A.

3.（2022•全国•高一课时练习）Q=b=c（a,b,cWR）是a2+/+c?=+儿+ac成立的（）条件

A.充分不必要B.必要不充分

C.充耍D.既不充分也不必要

【答案】C

【分析】分别判断充分性和必要性即可得到答案.

【解析】充分性：a=b=c（a,b,c€/?）,所以a?+济+c2=3。2，ab+be+ac=3a2,

222

即a=b=c(a,b,ceR)=>a+b-¥c=ab+be+act满足充分性.

必要性：因为a?+b2+c2=ab+be+ac,所以2a?+2b2+2c2=Zab+2bc+Zac,

所以a?-2ab+b2+b2-2bc+c24-a2-2ac+c2=0,

即(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0,a=b=c,满足必要性.

所以a=b=c(a,b,ceR)是a?+b2+c2=ab+be+ac成立的充要条件.

故选：C

4.［多选］(2022•山东省实验中学高一期中)下面命题正确的是()

A.是&<1"的充分不必要条件

a

B.命题“VxER,ax2+2/3K)”是真命题，则也?

C.设x,'£知『论2且注2”是“小+,2次”的必要而不充分条件

D.设a,b£R,则“Q和”是“ab#)''的必要不充分条件

【答案】ABD

【分析】根据充分、必要条件和命题的真假依次判断即可.

【解析】选项A,由a>L能推出L<1,但是由L1,不能推出。>1,例如当a<0时，符合但是不符合

aaa

a>\所以是是<1”的充分不必要条件，故A正确；

ta

选项B,“V%£R,词+24+3沙是真命题可知，。=0时不成立，当a小时，只需满足，0,一解

得。之；，故R正确；

选项C,根据不等式的性质可知：由於2且J22能推出小+好为,充分性成立，故C错误：

选项D,因为b可以等于零，所以由。邦不能推出ab，0,由。厚0等价于a邦且。邦，可得a#0,所以“存0”

是“她押”的必要不充分条件，故D正确.

故选：ABD.

必会题型二：利用充分条件、必要条件求参数范围

I.(2022・辽宁实验中学高一阶段练习)若“x>2a-3”是“-1<x<3"的必要不充分条件，则实数a的取值

范围是()

A.a<1B.a<1C.a>1D.a>1

【答案】B

【分析】根据必要不充分条件的性质进行求解即可.

【解析】因为新>2a-3”是“-1<x<3"的必要不充分条件，

所以集合（一1,3）是集合（2。-3,+8）的子集，

故有2。—3<-1=aW1,

故选：B

2.（2022•上海市市西中学高一期中）己知命题p:x>Q,命题q:xN4,若p是q的充分非必要条件，那么a的

取值范围是.

【答案】[4,+8）

【分析】根据充分非必要条件的定义，结合集合之间的关系进行求解即可.

【解析】因为p是q的充分非必要条件，

所以集合{*|x>a}是集合{0">4}的真子集，

因此有Q>4,

故答案为：[4,+oo）

3.（2022•北京・东直门中学高一阶段练习）已知集合4={x|-2<%<7],F={x|m+1<x<2m-1},且

8H0,若xw4是8的必要不充分条件，则m的取值范图为.

【答案】{m|2<m<4]

【分析】根据x64是的必要不充分条件得到B是A的真子集，再结合8H0,列出不等式组，求出m

的取值范围.

【解析】因为BH0,所以m+1<2/n-1,即m>2,

因为若A是工W8的必要不充分条件，所以3是4的真子集，

所以秋三:3求得：3Wm64,

1/771-IS/

结合m>2,可得：m的取值范围为{m[2<mW4}.

故答案为：{m|2cm44}.

4.（2022•黑龙江省哈尔滨市南岗中学校高一阶段练习）设全集U=R.集合4={%|14x45},集合B=

{x|-1-2a<x<a-2}.

⑴若，e4”是，G8”的充分条件,求实数a的取值范围；

⑵若“xG8”是“xG八的充分条件，求实数a的取值范闱.

【答案】（1）[7,+8）

⑵{4<：}

【分析】（1）转化条件为418,由集合的关系运算即可得解；

⑵转化条件为BGA,由集合的关系运算即可得解.

【解析】(1)因为集合4={x|l<x<5),集合8={x|-l-2a<x<a-2},且“x€4”是“rG8”的充

分条件，

所以4GB,即{一1一：之11，解得口之7,

所以实数a的取值范围是[7,+00)；

⑵若“％GB”是“XE4“的充分条件，则BcA；

当B=0时，解得av?

当B工。时，

—1-2a>1

应满足a-2<5，此时无解；

-1-2a<a-2

综上知，实数"的取值范围是

5.(2022・湖北•十堰市天河英才高中高一阶段练习)已知集合4={r|l<x-1<4},F={x|-2<x<3},

C={x\2a-1<x<2a4-1).

(1)是否存在实数a，使是XW/1E勺必要不充分条件，若存在求出实数a的取值范卜M:

(2)若(An8)GC,求实数a的取值范围.

【答案】(1)不存在

(2)(周

【分析】(1)求出集合A,根据条件列出不等式组即可求解；

⑵求出An氏然后根据子集关系即可求解.

【解析】(1)因为A={x\l<x-1<4),所以A={x\2<x<5]

・・・4€C是笨G4的必要不充分条件

.•.不存在实数。，使XWC是％E4的必要不充分条件.

(2)因为4nB={x\2<x<3},(2nB)GC,

所以{猛;算，解得

故a的取值范围为(1,1).

6.(2022•山西大附中高•阶段练习)已知：集合A={x|3V式46},B={x\m<x<2m+1]

(1)若巾=2,求4CiB；

(2)若％G/1是工G8的充分条件，求实数m的取值范围：

(3)若AC8=0,求实数m的取值范围.

【答案】(l)4n8={x|3VXW5}

础，3]

(3)(-8,1]u(6,+oo)

【分析】(1)直接利用交集的定义求解即可，

(2油题意可得AGB,列出关于m的不等式组，可求出m的范围，

⑶分8=。和8*。两种情况求解.

【解析】(1)当m=2时，B={x\2<%<5),

因为4={x\3<x<6}

所以4nB={x|3<戈工5}.

(2)因为无G4是%G8的充分条件，

2m+1>m

所以4cB,贝！|2m+1>6,解得?<m<3,

m<3

即实数m的取值范围为S，3|.

(3)当8=0时，2m+l<m,解得：m<-1,满足AA8=0；

当BH0时，若4n8=0,贝Ij{m42：n+1或解得m>6或一1WmW1；

综上所述，实数m的取值范围为(-8.1]u(6,+00).

7.(2022•江苏宿迁•高一期中)已知集合4={x\a-l<x<a+l),B=[x\-l<x<2}

(1)当Q=-l时，求4U8：

(2)若,求实数a的取值范围.

在①4nB=4②"€4”是"Xe/7、'的充分条件；③Bu(CR/1)=R这三个条件中任选一个，补充到本题第

(2)问的横线处，并按照你的选择求解问题(2).(注：答题前先说明选择哪个条件，如果选择多个条件解答，

按第一个解答计分).

【答案】(1){戈|-24x42}

⑵[0,1]

【分析】(1)根据并集的定义计算可得；

⑵根据所选条件均可得到AcB,可判断4工0,即可得到不等式组，解得即可.

【解析】(I)解：当。=-1时4={可一24"40},又8={吊一14%02},

所以力UB={x|-2W%W2}；

(2)解：若选①4n8=4,则4WB,

显然a+1>a—1,即4H0,

所以f02,解得o<a<i,即°w[0,1]；

IQ—1N—1

若选②"无e/T是“xG8”的充分条件，则AcB,

显然a+1>a—1,即4H0,

所以102i，解得0工a&1，即a6[0,1]；

若选③BU(CRA)=R，则AG6,

显然a4-1>a—1,即4H0,

所以｛煞;JZ，解得OWaWl，即a€[0,1]；

必会题型三：全称量词命题与存在量词命题的否定及真假判断

1.(2022・河北•张家口市第一中学高三期中)命题“&o€Z,诏+2%+140”的否定是()

A.3x06Z,xg+2x0+1>0B.不存在q6Z,使；^+2x0+1>0

C.VxEZ,x2+2x+1<0D.VxGZ,x2+2x+1>0

【答案】D

【分析】根据特称命题“存在"，符号D其否定为全称命题，符号为V,“4”的否定为“>"，即可选出答案.

【解析】该命题是一个特称命题，其否定是一个全称命题，

2

即命题“比0WZ,xg+2x0+1<o”的否定是“VxeZ,x+2x+1>0”,

故选：D.

2.(2022・福建・莆田一中高一期中)已知命题p:VxW(O,2),《$则p的否定是()

A.VxW(O,2),\fx<-x+-B.Vx6(0,2),x/x>-x+-

2222

C.€(0/2),+gD.比6(0,2),y/x<

【答案】C

【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可.

【解析】命题p：V%W(0,2),V*Wgx+；为全称量词命题，

其否定为：BXG(0/2)/yfx>+p

故选：C

3.(2022・陕西・武功县普集高级中学高一阶段练习)下列命题中，是真命题的是()

A.BxGR,x2+2<0

B."SR,2x>x2

C.a+b=0的充要条件是？=一1

b

D.若％,丫6/?且工+丫>2,则x,y至少有一个大于1

【答案】D

【分析】对命题逐一判断

【解析】对于A,X2+2>2恒成立，故A错误，

对于B,当文=2时，2'=/,故B错误，

对于C,当a=b=O时，W无意义，故C错误，

对于D,若xSl,y<1,则有x+yR2,故D正确，

故选：D

4.［多选］（2022・河南•高一期中）下列命题为真命题的是（）

A.3x,yeR,x2+y2-4x+2y+5=0

B.当QC>0>b时，VxGR,ax2+bx+c>0

C..女5>yS”的充要条件是">y"

D."a>b”是"a>b+D的必要不充分条件

【答案】ACD

【分析】对于A,利用配方法整理等式，解方程，可得答案；

对于B,利用一元二次方程根的判别式，可得答案；

对于C,利用塞函数的单调性，结合充要条件的定义，可得答案；

对于D,根据必要不充分条件的定义，利用特殊值法以及作差法，可得答案.

【解析】对于A,因为好+V-4x+2y+5=（X-2乃+（y+I）2,所以当x=2,y=一1时，等式成

立，故A正确；

对于B,当ac>0时，方程的判别式A=/-4ac无法判断正负，故B错误；

对于C,因为y="5单调递增，所以的充要条件是“x>y”，故C正确；

对于D,当a=1,b=0.5时，a<b+1；由Q>b+1,a—b>1>0,则Q>b,故D正确.

故选：ACD.

必会题型四：由全称量词与存在量词命题的真假求参数

1.（2022•江苏省射阳中学高一期中）已知命题WR,使得％2+（Q-［）x+IV0”是真命题，则Q的取值

范围是()

A.(—8,—1)B.(—1r3)

C.(3,+co)D.(-8,-l)u(3,4-co)

【答案】D

【分析】由题意可知：不等式对应的二次函数开口向上，若命题rxwR,使得好+(。一i)%+i<o”是

真命题，则相应的二次方程有不等的实根，利用判别式即可求解.

【解析】因为命题叼为6R,使得/+(a-1)X+1<0”是真命题，

所以方程%2+(a-1)无+1=0有两个不等的实数根，所以A=(Q-1)2-4>0,

解得：a<-1或a>3,

故选：D.

2.(2022•全国•高一单元测试)若命题“V%€[1，4]时，—m工0”是假命题，则m的取值范恒1()

A.[-4,-3]B.(-00,-4)C.[-4,4-oo)D.[-4,0]

【答案】D

【解析】根据全称命题是假命题，得到命题的否定是其命题，利用参数分离法进行求解即可.

【解析】若命题“Vx6[l,4]时，4?一4%一血=0”是假命题，

则命题“3xW[l,4]时，/一4%一m=0”是真命题，

贝Ijm=x2-4x,

设/•3)=X2-4X=(X-2)2-4,

当14x44时，一44/(x)<0,贝!)-4<m<0.

故选：D.

3.(2022•陕西西安高新唐南中学高一期中)命题{x|lWxW2},2/一Q工0”为真命题.则实数Q的

取值范围是.

【答案】[2,+00)

【分析】根据X的取值范围求出2好的取值范围，依题意aN(2x2)mm，即可求出参数的取值范围.

【解析】因为1<x<2,所以2<2x2<8,

22

又命题F%G{x|l<X<2},2x-a<0”为真命题,即a>(2x)min=2,

即[2,4-oo).

故答案为：[2,+oo)

4.(2022•北京・中国人民大学附属中学朝阳学校高一阶段练习)己知a£R,命题〃：VxG[l,2],a<x2：命

题手BxGR,x2+2ax-(a-2)=0,若命题八,恰好一个为真，一个为假，。的取值范用为.

【答案】-2<”1或a>l.

【分析】分别求出命题p,q为真时Q的范围，然后由命题p,q一真一假可得结论.

【解析】xe(l,2]时，x2S[l,4],命题p为真，则M

命题q为真时，A=4a2+4(a・2)K),a32或碓1,

P真q假，则ivavl,p假q真，则a>l,

综上a的范围是-2<a<1或a>1.

故答案为：-2<a<1或a>1.

5.(2022•黑龙江•海林市朝鲜族中学高一阶段练习)已知集合4={%卜2刍$5},<x<2m-3].

(1)若命题p:V%£8,是真命题，求实数的取值范围：

(2)若命题是真命题，求实数机的取值范围.

【答案】⑴(・8,4]

(2)|2,6|

【分析】(1)将题给条件转化为8U4分类讨论并列不等式组即可求得实数，〃的取值范围；(2)将题给条件

转化为m冶/，列不等式组即可求得实数小的取值范围

【解析】(1)因为命题p：V%£B,工£4是真命题，所以8G4.

当8=0时，满足BG4,此时m-l>2m-3,解得m<2；

(m-\<2m-3

当3死时，由8G4,可得m-\>-2,解得把m*.

2ni-3<5

综上，实数m的取值范围为(g,4].

(2)因为是直命题，所以4n8四.

所以8的，则mlg2nl.3即ni22,所以m-以，

要使ACIB/,仍需满足m-lW5,即

综上，实数，〃的取值范围为[2,6|.

6.(2022•河南河南•高一阶段练习)已知pT%W[1,2],m<x+3,q.VxE[0,4],m>\/-x2+4x.

(1)若q为真命题，求m的取值范围；

(2)若p,q—真一假，求m的取值范围.

【答案】(l){m|m>2]；

⑵{叫m<2或m>5)

【分析】(1)利用二次函数的配方法求得大€[0,4]时，，一"+4%的最大值,即可求解；

⑵先求出p为真命题时，m的取值范围，再分类讨论p真q假和q真p假，即可求解.

2

【解析】⑴若q为真命题，则当戈6®4]时，m>(V-x+4x)max,

因为无G[0,4],g(x)=-x2+4x=-(x-2)2+4<4,所以，一X2+4翼<2,

所以m>2,即m的取值范围为{?n|m>2}.

⑵当P为真命题，则xw[l,2]时，rn<(x+3)acmax,

又因为xw[l,2],4<x+3<5,所以m<5；

由⑴知，q为真命题时，m>2；

由题意得：

①若p真q假，贝曙g，得7"2；

②若q真P假，贝！1{:：；，得m25；

综上所述：m的取值范围为{m[m<2或m>5].

必会题型五：常用逻辑用语与集合综合

1.(2022・安徽•高一期中)下列命题中真命题的个数是()

①命题“V%€R,\x\+x2>0”的否定为FxeR,\x\+x2<0”：

②“a?+(b-1)2=o”是七(6-1)=0”的充要条件；

③集合/=[y\y=Vx2+1),B=[x\y=Vx?+1}表示同一集合.

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】根据命题的否定的定义、充要条件的定义、集合的定义判断各命题.

【解析】①全称命题的否定是特称命题，命题“VxWR,|x|+%?2o”的否定为叼％WR,\x\+x2<0M,

正确；

②a?+(b—I)2=0=a=0且b=1,贝!]a(b—1)=0,反之a(b—1；=0,如a=0,h=2,但此时a?+

(b-I)?=1工0,因此不是充要条件，错误；

③集合力={yly=2+1}=口,+CO),B={%|y=42+1}=R不是同一集合.错误，

正确的命题只有一个.

故选:B.

2.(2022・湖南・衡阳市田家炳实验中学高二阶段练习)下列结论错误的是()

A.命题“若x=4,则/_3妙4=0”为真命题.

B.2=4”是“炉_3如4=0”的充分不必要条件

C.已知命题p：”若m>0,则方程/+无加=0有实数根"，则命题p的否定为真命题

D.命题“若m2+n2=o,则m=0且〃=0”为真命题

【答案】C

【分析】对于A：把》=4代入9・3%・4=0,即可判断；对于B：利用集合法判断；

对于C:先判断出命题p为真命题，可以得到命题p的否定为假命题；对于D：直接判断.

【解析】对于A：把x=4代入炉.3灯4=0成立，所以命题“若%=4,则炉・3%・4=0”为真命题.故A正确；

对于B：由X2.3久・4=0解得：x=-l,x=4,而{4}{“，醺所以七二妙是依小^^的充分不必要条件.故B正

确；

对于C：因为m>0,所以A=l+4m>0,所以方程炉+x-m=0有实数根.故命题p为真命题，所以命题p的否

定为假命题.故C错误；

对于D：因为m2+n2=0,所以m=0且n=0.故D正确.

故选：C

3.（2022•江苏・南京市第一中学高一阶段练习）已知集合A=*|l<x<2},B={A|I/H<A<I+2W,m>0},若”A"

是七£B”的必要不充分条件，则实数〃?的取值范围为.

【答案】（。T

【分析】根据必要不充分条件的性质进行求解即可.

【解析】由题意可知，当日为空集时，1〃仑1+2〃1,解得〃E0,与，〃>0矛盾，故舍去；

当为不是空集时，需满足lm<l+2nif且l/n>l,或\m<\+2nb且1机>1,且l+2/n<2,解得综上，

实数，〃的取值范围为（0,；］,

故答案为:（0,；］

4.（2022・重庆维山・高一阶段练习）已知集合力=5I裳V。}，B=（x\-k<x<2k+l}.

（1）若4nB=4求实数Zr的取值范围：

（2）己知命题p:无€{,命题q:x€B,若〃是，/的必要不充分条件，求实数上的取值范围.

【答案】（1用之：

（2）k<1

【分析】（1）解出集合A,由已知得出4G8,解出参数范围；

⑵原条件等价于A.讨论集合〃是否为空集，根据集合关系解出参数范围.

【解析】（1）易得4={x\-l<x<6］.

由4nB=4知，AQB.所以解得〃?务

1/K十JLN。/

（2）p是g的必要不充分条件等价于44.

①当B=0时，-kN2k+l,解得女式一；，满足.

•J

（k>

②当8工0时，原问题等价于J久（不同时取等号）

（2^4-1<6

解得—

综上，实数A的取值范围是k41.

5.（2022•辽宁•风城市第一中学高一阶段练习）已知集合何={x|（x+3）390},N=[x\-Tnsxsm）.

⑴若“x£M”是的充分条件，求实数的取值范围：

（2）若是"WN”的必要条件，求实数m的取值范围.

【答案】（l）{m|论5}

⑵{m|m03}

【分析】（1）根据题意分析出MGN,再利用数轴得到不等式组，解出范围即可；

（2）分析出NGM,分N=。和N即进行分类讨论即可.

【解析】（l）M={x|（x+3）（x-5）<0}={x|-3<x<5}

由题可知MGM所以{:色：，解得加及，

所以实数///的取值范围为{m|m>5}.

⑵由题可知NUM,

当N=0时，・zn>7n,即m<0,此时满足题意；

-m<m

-rn>-3,解得归n$3,

{m<5

综上所述，实数m的取值范围为{mIm<3}.

6.（2022•江苏•常州高级中学高•期中）已知命题