第02讲-平面向量基本定理及坐标表示(精讲)

第02讲平面向量基本定理及坐标表示

（精讲）

目录

第一部分：知识点精准记忆

第二部分：课前自我评估测试

第三部分：典型例题剖析

高频考点一：平面向量基本定理的应用

高频考点二：平面向量的坐标表示

高频考点三：平面向量共线的坐标表示

角度1:由坐标判断是否共线

角度2：由向量平行求参数

角度3：由坐标解决三点共线问题

第四部分：高考真题感悟

第一部分：知识点精准记忆

1、平面向量的基本定理

1.1定理：如果牛/是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量〃，有且只有一定实

数4，4，使〃巧+4..

1.2基底：

不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

（1）不共线的两个向量可作为一组基底，即0不能作为基底；

（2）基底一旦确定，分解方式唯一：

⑶〃用基底q,/两种表示，即。=4弓+402=〃[6]+〃2«2，则＜，_，进而求参数.

2、平面向量的正交分解

不共线的两个向量相互乖直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量

作正交分解.

3、平面向量的坐标运算

3.1平面向量的坐标表示

在直角坐标系中，分别取与x轴，）'轴方向相同的两个不共线的单位向量i,7作为基底，存在

唯一一组有序实数对（乂），）使4=齿+,，）,则有序数对（式,），），叫做〃的坐标，记作

a=（x,y）.

3.2平面向量的坐标运算

（1）向量加减：若4=（芭，,）,〃=（、2，，2），则4±b=（司土S，y士必）；

（2）数乘向量：若a=（x,y）,则24=（/lx,4y）；

（3）向量数量积：若4=（N，、]）/=（工2，）’2），则。力=X|工2+XV2：

（4）任一向量：设A=（%,），]）,4=（工2,%），则A片（9一不，%—）'1）•

4、平面向量共线的坐标表示

若。=（N，y）,〃二（%，）’2），则a〃的充要条件为XJ2T2凹=0

第二部分：课前自我评估测试

1.(2022•河北保定•高一阶段练习)已知向量。=(1,，〃)，人=(2,-3),且。〃人则”=()

3213

A.-B.-C.—D.一

2322

【答案】A

【详解】

3

因为向量4=(1,/〃)，力=(2,-3),且°//〃，则2〃?=以(一3),所以，"=一］.

故选：A

2.(2022•吉林毓文中学高一期中)向量a=(—l,3),h=(2-\),贝iJa-沙等于()

A.(-5.5)B.(5-5)C.(-3J)D.(1,-1)

【答案】A

【详解】

d-2Zi=(-1,3)-(4,-2)=(-5,5).

故选：A.

3.(2022•辽宁实验中学高一期中)旭=(3,-2),〃=(1,幻，若”」(〃L〃)，则x=()

A.-8B.-6C.6D.8

【答案】D

【详解】

,〃+〃=(4,大一2),

〃?"L("?+〃)=〃?(〃?+〃)=。=12-2(”2)=0=%=8.

故选：D.

4.(2022•黑龙江•哈尔滨三中高一期中)已知向量。、/,满足”=(0,4),〃=(3,0),则卜-〃=()

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【详解】

依题意，«-Z?=(-3,4),pz-/?|=^(-3)2+42=5：

故选：C.

5.(2022•山西运城・高•期中)与向量a=(3,-4)方向相同的单位向量为()

34343_434

A.B.D.

5,5515c.5，-55，-5

【答案】D

【详解】

与a同向的单位向量为fj，

・「卜卜j3?+（-4尸=5,故口=3_4

故选：D.

第三部分：典型例题剖析

高频考点一：平面向量基本定理的应用

例题1.（2022•安徽省临泉第一中学高二阶段练习）如图，在AA8C中，AB=3ADtCE=EDfi^AB=a,

B.

C.—a+—hD.

5262

【答案】D

【详解】

11

解：由题意得:AE=-AD-^-AC=-^-AB^-AC=-a-^-b,

2223262

故选：D.

E是4。上一点.若CE.CA+入CB,

例题2.（2022•山西吕梁•二模（文））在△川（7中，BD=2DC,

则4=()

A2\_

B.二7

.67.5

【答案】A

【详解】

如图所示，设=

则CE=CA+AE=CA+，〃4O=C4+〃?(CO-C4)=C4+〃?(gcB-C4)=(1—/")C4+gc8,

又.「CE=」CA+；IC8,m=-f2=-=-,

2236

故选：A.

例题3.（2022•江苏徐州•高一期中）如图所示，在，048中，C是48中点，设0A=a,0B=b,则0C

（请用表示。。）.

【答案】；（“+力）

【详解】

因为C是人3中点

所以OC=OA+AC=OA+，/18

2

又因为A〃=O3-OA

所以0C=0A+,（04-0A）=■!•QA+,。8

222

即OC=^（a+b）

1-•

故答案为：—（a+b）

乙

例题4.（2022•全国•高一专题练习）如图，平行四边形488中，43=4AO=〃，M是。。的中点,

以a,b为基底表示向量AM=.

,C

【答案】b+：a

【详解】

AM=AD+DM=AD+-DC=AD+-AB=b+-a

222

故答案为：8

例题5.(2022♦江苏嘀一专题练习)下列结论：①若向量”，人(•共面，则存在实数X,)1使”=+

②若向量“，b,c不共面，则不存在实数X,y,使4=劝+”；@若向量Q,8，C共面，b，C不共线,

则存在实数X,y,使"=x〃+yc；ci=xb+yc,则向量“，/),c共面.其中，正确的个数是.

【答案】3

【详解】

对于①，若b，c共线，且“，。不共线，

则不存在实数X,y,使。=.助+”，放①错误：

由共面向量定理可知②、③、④均正确，

故正确的个数是3.

故答案为：3

题型归类练

1.(2022・全国•高一课时练习)已知正方形人BC。中，M是的中点，AC=/lAM，则义+〃=

【答案】|

解：令人8=0,人O=b,yyAC=a+h.AM=a+^b.BD=b-a,

有AC=AAM+pBD,：.a+h=A(a+-h)+jii(b-a)=(2-fj)a+,

22

r

2-/z=l2=—

IUU1LUU

?.重庆巴蜀中学高一期中)已知.ARC中.点。满足0c—28D.若4Q=gAC+2AA.则：=

【答案】|

【详解】

UIHDLUUIRB1UIVLUU1,IJIIULAK\1IJIH!7

解：AD=AB+BD=AB-¥-BC=AB+-(AC-AB\=-AC+-AB,

33、133

^AD=-AC+AAB,

3

2

所以a=：.

3.（2022・山西•运城市景胜中学高一阶段练习）如图，在平行四边形4BCD中，E为。。边的中点，且A3

【详解】

因为BE=BC+CE=BC+；CD=BC-；BA=AD—；AB=—；a+b.

所以8E=-1a+h.

2

4.（2022•全国•高一单元测试）如图，矩形ABC。与矩形。日P全等，W.CG=GD.

⑴用向量A。与AB表示DF；

(2)用向量BG与DF表示AC-

【答案】⑴。"=2八。+98

(2)AC=-BG+DF

【解析】

(1)DF=DE+EF=2AD+DG^2AD-^^AB.

(2)以A为坐标原点，AE所在直线为x轴，A3所在直线为)，轴建立如性所示的平面直角坐标系必)，,

设AD=1,因为矩形A8CQ与矩形DE”G全等，且CG=G/)，

所以八3=2,则C(l,2),B(0,2),G(1J),D(1,O),尸(3,1),

所以AC=(1,2),3G=(1,—1),DF=(2J),故A(j=—BG+DF.

高频考点二：平面向量的坐标表示

例题1.(2022•四川省内江市第六中学高一期中(理))已知向量i(0,2),〃=(-1,3),c=(-2,5),

-0.<7-Afl4-2b»则X的值为()

A.B.1C.-2D.2

【答案】A

【详解】

因为c=xa+2/,，

所以(-Z5)=x(O,2)+2(-l,3)=(-22x+6),

所以5=2x+6,解得x=-g.

故选：A

例题2.(2022•黑龙江•哈师大附中高一期中)已知4B与〃的夹角为兀，且=A点的

坐标为(3,4),则8点的坐标为()

A.(-1,3)B.(3,4)C.(1,-8)D.(5.0)

【答案】D

【详解】

.「AB与”的夹角为兀，则A3与a方向相反

可设A8=履=(-422)(2<0)

|4Z?|=7(-/i/+(22)*=2>/5,解得丸=一2

即Aff=(2,-4)

设点,则可?=(%-3,%-4)

x-3=2x=5.、

即n.一解得nC，即85,0

E-4=-4&=0

故选：D.

例题3.(2022•四川•什那中学高一阶段练习)已知向量4=(-1,1),。=(1,-2),若〃/+〃%=(9,-8)

(〃?,〃wR),则，〃-〃的值为.

【答案】-9

解：因为。=(一1,1),〃=(1,一2),

所以ma+nb=〃，(一1,1)+〃(1,-2)=(〃一〃?,小一2〃)，

〃

因为"刈+泌=(9,一8),所以《n-m①=9。，解得｛[=­0],

〃[-2〃=-8m=-\0

所以〃?一〃==-9；

故答案为：-9

例题4.(2022♦上海市复旦中学局一期中)已知片〃=-2尸修，若1(1,2)、6(3,T),则点P坐标为

【答案】(5.-4)

【详解】

设/'*，)，)，^P=(x-\.y-21PP,=(3-x,-l-y)

•;RP=-2PP?,•••(x-l,y-2)=(2x-6,2+2y)

“工_6=JV_1

即「「…，解得x=5,y=-4,.\P(5,-4)

y-2=2+2y

故答案为：(5,-4)

例题5.(2022•河北武强中学高一期中)己知人(1,3),8(2,-2),C(4,l).

⑴若八8二C。，求。点的坐标：

(2)设向量.=八8,〃=BC,若ka-b与a+3b平行,求实数攵的值.

【答案】(1)。(5.-4)(2)%=-；

⑴设5x,y),又因为4(1,3),5(2,-21。(4,1),

所以八B=(”5),CO=(x-4,)T),

因为48=CO，

x-4=1(x=5

所以｛1V，得｛/

所以。(5,-4).

(2)由题意得，“=(1,一5),b=(2,3),

所以ka-〃=(&-2,-54-3),a+3〃=(7,4),

因为反一6与”+3方平行，

所以4(々-2)-7(-5A-3)=0,解得#=—g.

所以实数人的值为一

题型归类练

1.(2022•河南•南阳中学高一阶段练习)已知点A(-1.4).8(2.6),C(3,0),贝lj满足GA+G8+GC=0的G的坐

标为•

【答案】(:：).

JJ

【详^J

设G的坐标为(人))，且A(T,4),B(2,6),C(3,0),

因为GA+G8+GC=0，可得(一1一%4->)+(2—乂6->)+(3-%,—)，)=(0,0),

―r/口—1+2+344+6+010丁ir厂入，乂410

可得x=-----------=—,.¥==—»所以G的坐标为(z―,—).

故答案为：与4?1)0.

2.12022•广东•仲元中学高一期中)已知M(—2,7)、N(6.1),点P是线段"N上的点，且PN=—PM，则。

点的坐标为.

【答案】(2,4)

【详解】

设尸的坐标为(x，y),

因为M(-2.7)、N(6,l),所以PN=(6T,1-)，)/M=(-2-x,7-y),

又PN=-PM，所以6-x=2+x,l-y=y-7,

故x=2,>'=4,

即P点的坐标为(2,4),

故答案为：(2,4)

3.(2022•河南•临颍县第一高级中学高一阶段练习)已知平行四边形ABCD的三个顶点分别为A(-\A),

8(2.0),C(3,3).

⑴求点。的坐标：

(2)求平行四边形ABCD的面积.

【答案】⑴(0,4)(2)10

(1)设点。的坐标为(.％y).

由题意得AB=(Z0)-(-l,l)=(3,T),DC=(3,3)—(x,)，)=(3—x,3—)，)

x=0.

因为A8=OC，所以

3：；：>y=4,

所以点。的坐标为(0,4).

⑵因为6c=(3,3)-(2,0)=(1,3),所以A&3C=3—3=0,

所以平行四边形ABCD为矩形.

因为%8卜＞/32+1=屈,|^c|=V32+l=＞/iO,

所以平行四边形ABCD的面积为Vio＞：Vio=io.

-----1—•—2—

4.(2022•山东潍坊•高一期中)如图所示，已知矩形A8c。中，AB=ZAD=\,DM=-DC,BN=-BC,AC

与朋N相交于点£

DC

N

AB

(1)若=+求2和〃的值：

(2)用向量AM,AN表示AE.

2112

【答案W，〃=一§(2)AE=：AM+「AN

⑴以八点为原点，人8所在直线为x轴，八。所在直线为)，轴，建立平面直角坐标系，则

0(01),8(2,0),例停1)0

-41

所以MN==(2,0),AD=(0,1)

所以MV=E「g)=/lA8+〃AO=(2；l,〃)，

解得石早2〃=JI

(2)设AE=AC=mAM+nAN,

因为AM=停1)"2=(2q)，AC=(2.1)

所以AC=(2,l)=(：/〃+2〃,，〃+,〃).解得==

361—•3・6

^AC=-AM+-AN,所以AE=/AC=巳

7777

又因为M,E,N三点共线，所以

I7

所以A£=；AM+『AN.

5.(2022•湖北省通山县第一中学高一阶段练习)如图，在四边形八8c。中，BC//AD,AD=3BC,E是

线段C。上的点，直线8。与直线AE相交于点P,设A3=a，AD=b,AE=AAP(A&R).

⑴若A（1J）,0（7,4）,C（Z3）,E是线段C。的中点，求与BE同向的单位向量的坐标:

⑵若DE=2EC,用a,〃表示他，并求出实数7的值.

1答案】⑴（嘤需）（2）3处小，吗

⑴5C=：AO=(2.1),易得B(0.2),

乂因为E是。。的中点，所以耳

BE3x/u）JlOy

则与“同向共线单位向“；：■，坐标为七一，x

1010>

(2)因为Z)E=2EC，所以AE=2AC+4AO=2(A8+8C)+』AO

3333

—I---2—5—•25

又因为3C=士AO,所以AE=-A3+/AO=-a+/〃

33939

2一

又因为=所以AP=—A8+AD,又因为点8,P,。共线

3A

2

+—=1,故

3A929

高频考点三：平面向量共线的坐标表示

角度1：由坐标判断是否共线

1.（多选）（2022•山东泰安•高一期中）在下列向量组中，可以作为基底的是（）

A.ei=（0,0）,e2=（1,2）B.et=（-1,2）,e2=（5,-2）

C.et=（3,5）,e2=（6.8）D.et=（2,-3）,e2=（-2.3）

【答案】BC

【详解】

对A,因为Ox2—0x1=0,所以不4共线，不能作为基底，故A错误：

对B,因为一lx（-2）-2x5=-8/0,所以与e；不共线，可以作为基底，故B正确：

对c,因为3x8-5x6=-6w0,所以牛/不共线，可以作为基底，故c正确；

对D,因为2、3一(一3八(一2)=0,圻以外6；共线，不能作为基底，故D错误.

故选：BC.

2.(2022•重庆八中高一期中)已知向量。=(2,-1),则与。平行的单位向量的坐标为()

A-(-¥•#)B.产部愕,阁

。.停考。.停考或偿学

【答案】B

【详解】

因为。=(2,-1),所以|a|="+1=B

所以与d平行的单位向量为含或言，

故选：B.

3.(2022・湖南•高一课时练习)已知点40,1),3(1.0),C(l,2),求证：AB/ICD.

【答案】见解析

【详解】

A(0,1),B(1,0),C(1,2),D(2,1)..-.AB=(UO)-(O,1)=(1,-1),CD=(2,1)-(1,2)=(1,-1).

Xlx(-l)=(-l)xl,.\ABI/CD,又A,B,C,。不共线,/.AB/ICD.

角度2:由向量平行求参数

例题1.(2022•吉林•长春市第二实验中学高一期中)已知向量4=l：l,2x),力=(x,x+l),且〃，/)方向

相反，则x的值为()

A.1B,-1C.一；D.3

【答案】C

【详解】

因为向量4=(1,2])，b=(x,x+l),且4，〃平行，则l・(x+l)-2?=0,解得：x=l或X=-;.因为a,/>)i

向相反，所以x=-g.

故选：C.

例题2.(2022•福建•厦门外国语学校高一期中)已知向量”=(2,4),b=若〃与“+〃共线，则

实数”=()

A.--B.-2C.!D.2

22

【答案】D

【详^J

解：因为向量二=(2,4),〃=(1,〃?)，

所以向星:a十〃=(3,4+,〃),

因为a与〃+/?共线，

所以2(4+/〃)=3x4,

解得〃?=2,

故选：D

例题3.(2022♦河北沧州•二模)已知向量〃=(3,1)为=(1,-2),且(a-则实数2=.

【答案】-1

【详解】

由题意得“一方=(2,3),〃+劝=(3+41-2/1),因为(ai)〃(a+冠)，所以2(1-22)=3(3+/1),解得％=-1.

故答案为：-1

例题4.(2022•全国•高三专题练习(文))已知向量;=(1,2),人=(2,—2),c=(l,/l).若c//(2a+b),

贝!]A=.

【答案】1##0.5,

【详解】

由题可得2a+〃=(4,2),.c〃(2a+/?),c=(l,A),/.4A-2=0.即2=

故答案为：g.

例题5.(2022•河南宋基信阳实验中学高一阶段练习)己知向量。二(3,4),力=(1,2),c=(-2,-2).

⑴求W的值；

⑵若(。+〃)〃(4+芯)，求实数％的值.

【答案】⑴忖=5,M=石；(2)k=

⑴因向量a=(3,4),Z>=(1,2),所以Ia|=J32+42=5,|/?|=Vl2+22=-75.

⑵依题意，一方+依=(一1一22,-2-2攵)，〃+。=(4,6),

(a+b)〃(一力+&C),则有6(-1-22)-4(-2-2&)=0,解得4=L

2

所以实数攵的值是g.

角度3：由坐标解决三点共线问题

例题1.(2022•广东♦汕头市潮阳区河溪中学高一期中)已知平面直角坐标系中，点。为原点，A(l,3),

8(2-1),C(4,间.若A,B,C三点共线，求实数〃?的值.

【答案】B,C三点共线，，ABHBC，

由A8=(D，5C=(2,m+l).

lx(/?z+l)-(-4)x2=0,

/n=-9

例题2.(2022•全国•高二课时练习)已知4-2,0,33+1,3)。-1⑵三点共线，求实数。的值.

【答案】土G

由题意，4一2,“),B(a+1,3),C(-L2)三点共线

故hr=^BC

fl_23—2

即HII-----=-------

-2+1a+1+l

解得：a=±5/3

例题3.(2022•全国•高一专题练习)已知平面内有两两不重合的三点4(1,-2a),3(2,a)，C(2+«,0).

若A，B，。三点共线，求实数。的值.

【答案】

【详解】

A8=(l,3q),4C=g+•).

由于A8,C三点共线，所以鼎〃髅，

所以lx%=%*(4+1),3«2+4=0,

解得。=0或〃=q.

当“=0时，两点重合，不符合题意.

经验证可知a=-?符合题意.

所以〃=4

题型归类练

1.（2022•四川眉山•三模（理））己知向量a=（L2）,〃=（2,A）,o〃小则A=

【答案】4

【详解】

因为a//b，

所以。=Aa»

所以(2,&)=〃1,2),

2=2,

所以j

故答案为：4.

2.（2022•湖北武汉♦模拟预测）已知向量a=（-l,2）,〃=（l,2022）,向量,〃=〃+幼，n=2a-kb，若二〃

则实数A

【答案】-4

【详解】

根据题意可知a，8不共线

rr

?'ini//n»则三2€R,使得/“=/〃，即。+办=2(2a-=2Aa-kab

1=22

则可得（2y解得2

k=-4

故答案为：-4.

3.（2022•安徽炀山中学高一期中）向量;/=（2,3）,。=（&5）,且“〃/）,则工=.

【答案】y

因为向量a=（2,3）,/?=（x,5）,且a〃〃，

所以2x5=3x,

解得%空，

故答案为：与.

4.（2022・河北•沧县中学高一期中）己知qy是两个不共线的非零向量，如果AB=q+s，BC=2q+&，「

CD=3（e,-e2）.

⑴证明：4&。三点共线.

⑵若点4（而仇85。）（。£/?）,3（后3｝。91,-6）共线,求8的值.

【答案】（1）证明见解析

(2)6=k7r+—,keZ

6

【解析】

(1)BD=BC+CD=2q+86+3(q-62)=5q+5/=5AB,

所以8。〃48，又因为。为公共点，

所以A反。三点共线.

(2)(2)因为A8=(6-sin0,3-cos0),C8=(75+l,3+G)

由于AZ?,C三点共线，得八B//CB.

所以(6—sin®)(3+/)-(3—cos0)(G+l)=0

化简得lan6=3,即e=+

5.(2022•广东•东莞市东方明珠学校高一期中)已知。=(1,0)力=(2,1).

⑴当女为何值时，ka-b与a+2b共线.

(2)若A8=2a+34BC="+"心，且A,B,。三点共线，求〃?的值.

【答案】(1)攵=_；出川=]

(1)由。=。,0),〃=(2,1),可得攵“一。=上(1,0)-(2,1)=伏一2,-1),

。+2)=(1.0)+2(2.1)=(5,2),

因为加-b与〃+2)共线，所以2(女一2)-(-l)x5=0,

即2A-4+5=0,解得

(力因为儿«.U三点共