高考数学二轮复习 专题四 立体几何与空间向量 第2讲 空间中的平行与垂直练习 理试题

第2讲空间中的平行与垂直

「考情研析」1.从具体内容上：(1)以选择题、填空题的形式考查，主要利用平

面的基本性质及线线、线面和面面平行和垂直的判定定理与性质定理对命题的真假进行判断,

属于基础题.(2)以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系交汇综合

命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查.2.从高考特点上，难度

中等，常以一道选填题或在解答题的第一问考查.分值一般为5分.

核心知识回顾1

1.直线与平面平行的判定和性质

⑴判定

①判定定理：〃从ka,4a=>a〃。.

②面面平行的性质：一"ana"B.

(2)性质：./〃a,仁B,4n£=〃=>/〃力.

2.直线和平面垂直的判定和性质

⑴判定

①判定定理：aLc,b,cua,方

②线面垂直的其他判定方法：

a.园♦aLa=Zda.

b.四/L",a〃>=»/-L尸.

c.四aL£,aC8=1,aua,a-L/=>a-L£.

(2)性质

①西/Ja,aua=/JLa

②SS/-La,a=1〃m.

3.两个平面平行的判定和性质

⑴判定

①判定定理：£L?u£,kB,aCb=P,a〃a,

②面面平行的其他判定方法：

a.园/!a,乃na〃£.

b.但。〃y,a〃gBHY、

(2)件质：Sla〃6.yCla=/?,yCB=ga〃h

4.两个平面垂直的判定和性质

(1)判定：西，ua,aLBn。J■仇

(2)性质：陷aj,£,aC\B=I,的a,aL/=>al£.

热点考向探究

考向1空间线面位置关系的判定

例1(1)(2019•陕西延安高考模拟)已知例〃表示两条不同的直线，a表示平面.下

列说法正确的是()

A.若m//a,n//a,则m//n

B.若mA.a,nA,a,则m//n

C.若ml.a,〃/_!_〃，则〃〃a

D.若m//a,m【n,则〃_La

答案B

解析若m〃。，n//a,则勿，〃相交或平行或异面，故A错误；若m。。，由

线面垂直的性质定理可知m//n,故B正确；若ml.a,勿_L〃，则n//。或〃ua,故C错误；

若加〃a,ml.n,则〃〃。或TTC。或〃J_。或/?与。斜交，故D错误.故选B.

(2)正方体ABC'D-A\BCI入的棱长为2,材为CQ的中点，N为线段如上靠近〃的三等分点，

平面BMN交/14于点Q,则线段AQ的长为()

A.B.~C.D.4

3zb3

答案1)

解析如图所示，过点A作AE〃交〃〃于点色则少是〃〃的中点，过点N作NT//AE

交4月于点7；此时收〃/场所以8MM7'四点共面，所以点。与点7■重合，易知

=；，故选D.

O

空间线面位置关系判断的常用方法

（1）根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题.

（2）必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并

结合有关定理来进行判断.

1.（2019•辽宁抚顺高三第一次模拟）在三棱锥产一力酎中，已知处=月8=4。，ABAC=Z

PAC,点、D,£分别为棱比；%的中点，则下列结论正确的是（）

A.直线阳_直线49B.直线，J_直线为

C.直线应J_直线月8D.直线〃反1直线力C

答案D

解析由题意，如图所示，因为必=/归=力6；ZBAC=ZPAC,J△处8△刈。，得公

BC,取用的中点G,连接力G,CG,则做ICG,PBVAG,又,：AGCCG=G,，加，平面OG,

则加UC,•・•〃，E分别为梭8C,用的中点，

si

:‘DE"PB,则〃反L力C故选D.

2.如图，在以角C为直角顶点的三角形力胸中，a=8,BC=6,阳3_平面力比；F为PB

上的点，在线段49上有一点笈满足亚=人AR若PB上立面CEF,则实数4的值为（）

⑵侧面胡〃内存在过点£的一条直线，使得直线上任一点"都有C胴〃平面BDR

设6是"的中点，连接及，CG,OF,

[EG//FD,

则彳=平面CEG//平面FBD,

ICG//。卜

所以直线用上任一点“都满足CM〃平面BDF.

空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定定理、性质定理将线线、线面、

面面之间的平行、垂直关系相互转化.

面面平行的判定

线线线面平行的判定面面平行的判定，面面

(1)

,面面平行的性质平行

平行级面平行的性质

面面平行的性质

面面垂直的判定

(2)

面面垂直的性质

（2019•朝阳区高三第一次模拟）如图，在多面体ABCDEF中,平面力应7」平面力筋，四

边形力应尸为正方形，四边形/历切为梯形，旦而〃BC,NBAD=90°,ASI,BC=2.

E

(1)求证：AFVCDx

(2)若"为线段划的中点，求证：龙〃平面儿肮

证明(1)因为四边形/1DEF为正方形,

所以

又因为平面ADEF1.平面ABCD,

且平面ADEFQ平面ABCD=AD,AFu平面ADEF,

所以4EL平面ABCD.

又C上平面/IBCD,所以"工磔

⑵延长4V交阳于点G,连接房

因为力〃〃品”为劭的中点，

所以侬△加.」/,

所以BG=AD=\.

因为仇?=2,所以3=1.

由己知咫=49=1,HFE//AD,

又因为AD〃GC,所以依〃GC,AFE=GC,

所以四边形的为平行四边形，所以CE〃GF.

因为阳平面加折，G6平面4监；

所以穿〃平面AMF.

考向3立体几何中的翻折问题

例3（2019•巢湖高三3月联考）如图1,在直角梯形/I箭中，CP//AB,CPIBC,AB=

BC=*P,〃是少的中点，将△川〃沿力〃折起，使点〃到达点P'的位置得到图2,点必为棱

乙

P。上的动点.

⑴当."在何处时，平面4跳L平面〃BC,并证明；

（2）若18=2,NP2^=135°,证明：点C到平面〃力。的距离等于点〃到平面力枕刀

的距离，并求出该距离.

解（1）当点必为〃。的中点时，平面力L平面。BC,

证明如下：•••郎'=/.」/为〃C的中点，

:,PCLDM,

•：ADLDP',ADA.DC,

・・・/“_L平面如'C,：.ADA.P'3

:・PUL平面力〃从，平面4ML平面〃BC

⑵在平面〃切上作〃⑦的延长线于点"

由⑴中力〃I平面DP1C,

可知平面P'CDL平面力比〃，

：.P'平面力ZCT,

由题意得办'=2,匕P"/=45°,

:・FH=@,

=

又Vp-,WVQ-PAP,

设点。到平面〃力。的距离为力，

即:加必义尸'H=、Sd/加Xh,

OO

由题意，4ADS丛ADP1,则8,《=8/称

,〃//=??,

故点。到平面〃1〃的距离等于点〃到平面加，）的距离，且该距离为班.

翻折前后位于同一个N平面内的直线间的位置关系、数量关系不变，翻折前后分别位于

两个半平面内（非交线）的直线位置关系、数量关系•般发生变化，解翻折问题的关键是辨析

清楚“不变的位置关系和数量关系”“变的位置关系和数量关系”.

如图1所示，直角梯形/出G9,/川尤=90：/出〃,，力片）=9形=2,点6为城的中

点，将△力⑦沿力C折起，使折起后的平面力8与平面力必垂直（如图2）,在图2所示的儿何

体力比中.

（1）求证：8CL平面力而：

（2）点/在棱⑦上，且满足力。〃平面庞尸，求几何体分一位的体积.

解⑴证明：在图1中，由题意知，AC=BC=2y[2,AB=4,所以，+初=力庆所以

AC±BC.

如图2,因为£为〃'的中点，连接第则历江力乙

又平面平面力比，且平血力〃cn平面力比三然，〃/:'u平面/I5，

从而以LL平面所以£〃_!_比：

又AC工BC,ACCED=E,

所以比」平面ACD.

⑵取〃。的中点尸，连接仔；BF,

因为/?是力。的中点，所以加、〃力〃，

乂EFu平面BEF,力贝平面BEF,

所以力〃〃平面BEF,

由（】）知，〃/:'为三棱锥P-力龙、的高，

因为三棱锥F—BCE的高力=；淅；义第=乎，X1X272X2^2=2,

乙乙乙乙乙乙

所以三棱锥Q仇万的体积为

VF-HO；="XS^BCE,力=.X2

真题押题

『真题模拟』

1.（2019•河北唐山高三第二次模拟）已知直线/,比和平面a,B,有如下三个命题:

①若存在平面7,使。_L7,£J,/,则a〃£；

②若/,m是两条异面直线，/ca,gB,/〃£,勿〃a,则。〃①

③若/_La,ml.B,J//m,则a〃£.

其中正确命题的个数是（）

A.0B.1

C.2I).3

答案C

解析若存在平面y,使八£J,7，则。〃£或。与£相交，故①错误；假

设。与£不平行，则。与£相交，设交线为〃，♦・•/<=a,I"B,aCB=n,：.i〃n,

同理，m〃〃，・・・/〃m,与J,勿异面矛盾，故假设不成立，所以。〃£,②正确；若八

l//m,则勿_L*又加则。〃£，故③正确.

2.（2019•全国卷HI）如图，点N为正方形的中心，△成〃为正三角形，平面政力_1_

平面力成），是线段的中点，贝1」（）

A.B\f=EN,且直线8M以，是相交直线

B.B/EN,且直线8M以,是相交直线

C.BM=EN,且直线8M以『是异面直线

D.BMGEN,口直线反M,£V是异面直线

答案B

解析解法一：取⑦的中点0,连接EO,ON.由是正三角形，平面m反L平面ABCD,

知£0_L平面ABCD.

:.EOICD,£0_L〃M又N为正方形力收力的中心，\ONLCD.以切的中点。为原点，如方

向为x轴正方向建立空间直角坐标系，如图1所示.不妨设力9=2,则£（0,0,第），M0,l,0）,

8(—1,2,0),

:・EN=Nf+(-4y=2,BM=

:.E/BM.连接BD,BE,

•・•点N是正方形力成刀的中心,

，点N在做上，且B!=DN,

:.BM,白丫是△〃应'的中线，

:脚,阴必相交.故选B.

图2

解法二：如图2,取C。的中点尸，〃尸的中点G,连接访FN、MG,GB.

•・•△笈力是正三角形，

:.EFICD.

「平面反力_L平面ABCD,

・・・ML平面ABCD.

・・・ML£M不妨设/厉=2,则#-1,EF=0

:・EN=、FN+E广=2.

•・•琳/=切，DG=GF,:・MG〃EF旦时G=^EF,

・•..盼_L平面ABCD,:.MGIBG.

•・•秋;=；防=*，+靖=］（|）+2*,・・・一仁"麻+腑=巾..•・0佚矶:连

接9BE,•・•点A'是正方形力凡第的中心，，点川在劭上，旦BN=DN,：.BM,EN是丛。BE也

中线，AM㈤V必相交.故选B.

3.（2019•北京高考）已知/,/〃是平面。外的两条不同直线.给出下列三个论断：

①/_!_/〃；②/〃〃a；③/_La.

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：.

答案若加〃。且〃。，则成立（或若7±。，则加〃。）

解析已知1,勿是平面a外的两条不同直线，由①/L〃与②加〃a,不能推出③/'J.a,

因为/可以与。平行，也可以相交不垂直；由①/_!_R与③/_!_。能推出②〃/〃。；由②加〃

与③/_La可以推出①/!.位故正确的命题是②③=①或①@=②.

「金版押题』

4.《九章算术》中，将如图所示的几何体称为刍荒，底面1优’〃为矩形，且£尸〃底面力应〃

所'到平面18切的距离为力，BC=a,AB=b,EF=c,则:'「'"=2时,-=()

1

A-2B-2

2

C-D.1

J

答案D

\abh=]1:abh\同埋仁陋=与1仍.因为VF-BCOVB-CD^_S4CW

解析/-.•期=勺5人,XXI

3«5ZOoVR-NTVB-DITSXDEF

?所以则—+J吟劭+/力，所以Vfi-cniFb+cl+%2,所

Vn-Afi!)b

以2=1.故选D.

c

5.如图，圆柱的底面圆半径为i,/山是一条母浅，物是。，的直径，。是上底面圆

周上一点，/CBD=30：若4。两点间的距离为、斤，则圆柱的高为________,异面直

线”与切所成角的余弦值为_.

答案2唔

解析连接C〃，则NHA90。，因为圆柱的底面圆半径为1,所以做=2.因为NCM

=30°,所以必=1,80=木,易知M上8a所以戊="4//+//=#,所以月仁2,故圆

柱aa的高为2.连接力”并延长，设4a的延长线与下底面圆周交于点发连接成，则"=2,

/勿〃即为异面直线4c与切所成的角.

又CE=邓,

AC+AE-C必7+4-53s

所以cos/CAE=2AC-AE=2Xy[7X2=14,

配套作业

一、选择题

1.（2019•东北三省囚市高三第一次模拟）已知勿，〃为两条不重合的直线，。，£为两

个不重合的平面，下列条件中，的充分条件是（）

A.m//n,归a,〃u£B.m//n,ml.a,n18

C.R_L〃,m//a,n//BD./_L〃,ml.a,〃_LB

答案B

解析当勿〃〃时，若相La,可得〃_L。，又〃_L£,可知。〃£,故选B.

2.如图，以等腰直角三角形力比的斜边回上的高，仞为折痕，把△/1）切和△/⑦折成互

相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：

①BDLAC；

②△削。是等边三角形；

③三棱锥〃一力比'是正三棱锥；

④平面平面ABC.

其中正确的是（）

A.①2）④B.①©③

C.②③©D.①©④

答案B

解析由题意知，m¥®ADQ故〃〃①正确；初为等腰直角三角形斜边比'上的

高，平面平面力。9,所以A/=AC=8C,△砌。是等边三角形，②正确；易知〃力=心庞'，

又由②知③正确；由①知④错误，故选B.

3.（2019•靖远县高三第四次联考）在正方体力伙力一月出。〃中，〃为棱C〃上一点，且成

=2班；尸为棱月4的中点，且平面放尸与〃4交于点G,则4G与平面4a刃所成角的正切值为

（）

辿D逑

126126

答案C

解析因为平面4〃5〃平面小RCJ3所以〃。与平面5所成角即为46与平面

所成角，易知4c与平面44G〃所成角为/〃46：设力4=6,则4<,=3,DE='2,平面"杼'n平

力/、［）（'31）（'

面WG=GE且BF〃平面WG,可知跖“易得△尸仍即钎户加

=1,〃6=5,在Rt△%〃6中，tanN〃〃6=翟=冬=乎，故46与平面力比少所成角的正

闪212

切值为平，故选C.

14

4.如图，在正方体力灰刀一/近。〃中，M川分别是欧，位的中点，则下列说法中错误

的是（）

A.MV与。G垂直B.MV与“'垂直

C.J邠与劭平行D.MV与力山平行

答案D

解析如图所示,连接GD,BD,则如V〃弧而CILBD,故GCL邮故A,C正确，D

错误，又因为47_L劭，所以亚V_L/1GB正确.

5.在正方体力伏笫一月以G4中，AC与用）的交点为0,〃为小的中点，则异面直线〃。与

8£'所成角的余弦值为（）

A/30123

BqC-5D-W

答案A

解析取4/；的中点户，连接“，麻，则由

知，四边形顺〃为平行四边形，

:.RE"OF、

・••/〃⑺为异面直线4。与85所成角.连接〃E设正方体的棱长为2,

则OF=B片下,我0=\7行而干乖,

AF=、I以#+小k=乖,

,小他族+。尸一〃/

.・cosN〃卯一2叱OF

_（刷+（我一响］弧

2mxm—10,

6.在正方体力G中，£是棱。G的中点，尸是侧面8CG8内的动点，且4厂与平面ZME的

垂线垂直，如图所示，下列说法不正确的是（）

A.点尸的轨迹是一条线段

B.力/与跖是异面直线

C.力/与不可能平行

D.三棱锥尸一/18G的体积为定值

答案C

解析由题知力小〃平面〃力E,分别取笈G,即的中点〃，G,连接用，4〃，46,雷，可

得HG"BC\〃A队,A\G"IXE,故平面447〃平面加反故点尸的轨迹为线段A正确；由异

面直线的判定定理可知4户与您是异面直线，故B正确；当F是BB、的中点时，力/'与〃/平

行，故C不正确；・・・秋〃平面相G,・••少点到平面加招的距离不变，故三棱锥户~力比竹勺体积

为定值，故【）正确.

7.（2019•汉中高三教学质量第二次检测）如图，在直三棱柱力a'一/1㈤G中，Afi=AC=AAx

=小,%=2,点〃为8。的中点，则异面直线力〃与4。所成的角为（）

A・5B-J

JIn

C."D.-

46

答案B

解析取劣G的中点4,连接44,以，在直三棱柱力比中，点〃为仇?的中点，

,44尸〃〃且月4〃〃〃，

・•・四边形是平行四边形，.・・月〃〃4〃且加X44,所以NC4〃就是异面直线力〃与

4C所成的角.A^=AC=y[i,〃C=2可以求出9=4〃=1,在京△%〃中，由勾股定理可求

出3=福，在Rt△44。中，由勾股定理可求出J.6=2,显然是直角三角形，sin/。以

=为=噂，所以即异面直线4?与4。所成的角为T■.故选B.

力1。Zoo

二、填空题

8.（2019•南开中学高三第三次检测）在正三棱柱力比-4AG中，力〃=14=2,MM分别

为44,/加的中点，则异面直线〃必与GV所成角的余弦值为.

答案5

解析如图，连接41则4*〃醺所以异面直线砌与GV所成的角就是直线4A'和GN

所成的角.

5+5—4

由题意，得力W=GTj图彳=小，在△4GN中,由余弦定理得cosN4/VG=

2X小又小

=：所以异面直线AM与GV所成角的余弦值为之

o□

9.已知四边形力以刀是矩形，力6=4,月〃=3.沿江'将44蛇折起至1」/\力〃'3使平面力。'C

_L平面力比；〃是力〃'的中点，£是力C上一点，给出下列结论：

①存在点区使得用〃平面以力’；

②存在点区使得既L平面48。；

③存在点区使得〃砧_平面力比；

④存在点发使得力CJ_平面物'E.

其中正确的结论是.（写出所有正确结论的序号）

答案①②③

解析对于①，存在"的中点区使得EF〃CD',利用线面平行的判定定理可得〃'〃平

面以力'；对于②，过点*咋夕」力£垂足为笈利用面面垂直的性质定理可得既L平面/8C；

时于③，过点"作〃’E*AC,垂足为其利用面面垂直的性质定理可得“反L平面月优；对

于④，因为相⑦是矩形，力8=4,1P=3,所以8D'在力。上的射影不是同一点，所以不存

在点£,使得/CL平面加'£

10.⑵）19•福建高三3月质量检测）如图，力〃是圆锥SO的底面圆。的直径，〃是圆。上

异于用"的任意一点，以力。为直径的圆与月〃的另一个交点为。，〃为S〃的中点.现给出以

下结论：

s

①△S47为直角三角形；

②平面SN〃_L平面SB厌

③平面E力必与圆锥SO的某条母线平行.

其中正确结论的序号是.（写出所有正确结论的序号）

答案①③

解析如图，连接宛，:SOJL底面圆0,・・・S0_UG。在以/I。为直径的圆上,

：.ACrOC,・：0CCS0=0,

・・・/10J_平面S”,ACLSC,

即△夕I。为直角三角形，故①正确：假设平面$L9_L平面飙?，在平面斗〃中过点力作,4〃

_1_以交S。于点〃，则/1〃J_平面加，:"H1BD,又•：BDLAD,・・・8〃_1平面5>1〃，又COi/BD、

・・・。0_1平面以。，・・・。0_156；又在中，S010C,在一个三角形内不可能有两个直角，故

平面以反L平面S劭不成立，故②错误；连接〃。并延长交圆于点£,连接A。，SE,♦:P为SD

的中点，。为近的中点，二俯是的中位线，:・P0〃SE,即SE〃平面力外，即平面川8

必与圆锥S0的母线跖平行.故③正确.故正确是①③.

三、解答题

11.如图1,在矩形/联力中，AB=4,AD=2,E是。的中点，将△力庞沿力夕折起，得到

如图2所示的四棱锥IX-ABCE,其中平面工平面ABCE.

图1图2

⑴证明：的J_平面4施

⑵设尸为办的中点，在线段初上是否存在一点也使得戚〃平面〃加；若存在，求出

AU

为的值；若不存在，请说明理由.

解（1）证明：•・•四边形力时为矩形，旦AD=DE=EC=BC=2,:.NAEB=90°,

即跳」熊，又平面〃"_L平面力比已平面〃然n平面月仇芳=力£,.•・8E_L平面〃熊

J1/1

（2）防=『理由如下：

取〃E的中点£,连接E,AL,

:.FL〃EC,又EC"AB,

:.FL"AB,且必=以8,

4

・・MF,L,4四点共面,

若平面/IDE,则妒〃力£.

・•・四边形/以成为平行四边形，

1AIf1

：,AM=FL=-AB,-=-

12.（2019•上海金山区高三笫二学期质量监控）如图，已知点尸在圆柱的的底面圆。上,

物为圆。的直径，圆柱仞的侧面积为16九，%=2,N43120°.

(1)求三棱锥4一月/火的体积；

⑵求直线力/与底面以〃所成角的正切值.

解(1)由题意，5(M=2n・2・44=16人，

解得力4=4,

在△月"中，0A=0P=2,/力8=120°,

所以加三2小，

在△必产中，0B=0P=2,N祝=60°,所以游=2,

三棱锥4—力阳的体积•44=：xJx2#X2X4=弊.

JJ乙J

(2)因为月4J_底面PAB,所以N/i/科是直线力/与底面必〃所成的角,

*力442m

在低△/1/31中，tanN//%i—Ap：—3,

即直线力/与底面2历所成角的正切值为竽

13.(2019•江西八所重点中学高三4月联考)如图，在四棱锥2、一40中，底面4%9是

边长为4的菱形且中心为点0,/l)A4NEA4/EAD=6y,且