第2课时　带电粒子在复合场中的运动

第2课时带电粒子在复合场中的运动

解决本专题主要解决带电粒子在电场和磁场中运动的综合问题，掌握

问题带电粒子在复合场中运动问题的分析思路和方法。

回旋加速器、质谱仪等带电粒子在复合场中运动的实例分析；带

高考

专题电粒子在叠加场中的运动；带电粒子在组合场中的运动；带电粒

重占

复习子在周期性变化电场或磁场中的运动。

定位本专题选择题和计算题都有可能命题，选择题一般考查质谱仪和

题型回旋加速器的原理、粒子在复合场中运动的简单分析，题目相对

难度简单；计算题考查带电粒子在复合场中运动的多过程问题，是带

电粒子在电场和磁场中运动的组合问题，综合性强，难度较大。

r必备知识链接..............................・

1.电场中常见的运动类型

⑴匀变速直线运动：通常利用动能定理2=；〃加一品疝来求解；对于匀强电场，

电场力做功也可以用I¥=qEdcos。来求解。

⑵偏转运动：一般研究带电粒子在匀强电场中的偏转问题。对于类平抛运动可直

接利用平抛运动的规律以及推论；较复杂的伸线运动常用运动的合成％分解的方

法来处理。

2.匀强磁场中常见的运动类型(仅受磁场力作用)

(1)匀速直线运动：当。〃B时，带电粒子以速度已做匀速直线运动。

(2)匀速圆周运动：当时，带电粒子在垂直于磁感线的平面内以入射速度大

小做匀速圆周运动。

3.关于粒子的重力

(1)对于微观粒子，如电子、质子、离子等，因为其重力一般情况下与电场力或磁

场力相比太小，可以忽略；而对于一些宏观物体，如带电小球、液滴、金属块等

一般应考虑其重力。

(2)不能直接判断是否要考虑重力的情况，在进行受力分析与运动分析时,根据运

动状态可分析出是否要考虑重力。

r规律方法回扣...............................・

i.解题关键

带电粒子在复合场中做什么运动，取决于带电粒子所受的合外力及初始运动状态

的速度，因此带电粒子的运动情况和受力情况的分析是解题的关键。

2.力学规律的选择

（1）当带电粒子在夏合场中做匀速直线运动时，应根据壬雇住列方程求解。

（2）当带电粒子在复合场中做匀速圆周运动时，往往同时应用牛顿第二定律和受力

分析列方程联立求解。

（3）当带电粒子在复合场中做非匀变速曲线运动时，应选用动能定理或能量守恒定

律列方程求解。

高考题型1带电粒子在复合场中运动的实例分析

【例1】（多选）（2021•福建泉州市4月质量监测）如图1,电磁流量计的测量管横

截面直径为3,在测量管的上下两个位置固定两金属电极b,整个测量管处于

水平向里的匀强磁场中，磁感应强度大小为瓦当含有正、负离子的液体从左向

右匀速流过测量管时，连在两个电极上的显示器显示的流量为Q（单位时间内流过

的液体体积），下列说法正确的是（）

液体入口厂工----

ftJ\示器

图1

A.。极电势高于b极电势

B.液体流过测量管的速度大小为*

C4、〃两极之间的电压为翳

D.若流过的液体中离子浓度变高，显示器上的示数将变大

答案AC

解析由左手定则可知，正离子向上偏转，负离子向下偏转，则。极电势高于〃

极电势，选项A正确；由于。=。5=沙；兀。2,解得液体流过测量管的速度大小为

第2页，共20页

。=祟，选项B错误；当达到平衡时解得小〃两极之间的电压为U

=统，选项C正确；因。〃两点间的电压与流过的液体中离子浓度无关，则当粒

子浓度变高时，显示器上的示数不变，选项D错误。

【拓展训练1】（2021•河北省普通高中学业水平选择性考试，5）如图2,距离为

d的两平行金属板P、Q之间有一匀强磁场，磁感应强度大小为一束速度大

小为。的等离子体垂直于磁场喷入板间。相距为L的两光滑平行金属导轨固定在

与导轨平面垂直的匀强磁场中，磁感应强度大小为及,导轨平面与水平面夹角为

0,两导轨分别与P、Q相连。质量为m、电阻为H的金属棒必垂直导轨放置，

恰好静止。重力加速度为g,不计导轨电阻、板间电阻和等离子体中的粒子重力。

下列说法正确的是（）

图2

"（述sin8

A.导轨处磁场的方向垂直导轨平面向上,v=BiBiLd

〃火Rsin9

B.导轨处磁场的方向垂直导轨平面向下,v=BxBiLd

in*Rian。

C.导轨处磁场的方向垂直导轨平面向上,V=BxBiLd

"吆Rian8

D.导轨处磁场的方向垂直导轨平面向下,

V=B、B?Ld

答案B

解析由左手定则可知。板带正电，尸板带负电，所以金属棒。〃中的电流方向

为从。到仇对金属棒受力分析可知，金属棒受到的安培力方向沿导轨平面向上，

由左手定则可知导轨处磁场的方向垂直导轨平面向下，由受力平衡可知比〃=

第3页，共20页

高考题型2带电粒子在叠加场中的运动

1.解题规范

(1)叠加场的组成特点：电场、磁场、重力场两两叠加，或者三者叠加。

⑵受力分析：正确分析带电粒子的受力情况，场力、弹力和摩擦力。

⑶运动分析：匀速直线运动、匀速圆周运动、匀变速直线运动、类平抛运动、非

匀变速曲线运动。

(4)选规律，列方程：应用运动学公式、牛顿运动定律和功能关系。

2.灵活选择运动规律

(1)若只有两个场且正交，合力为零，则表现为匀速直线运动或静止状态。例如电

场与磁场中满足9七=亚以重力场与磁场中满足〃吆重力场与电场中满足

tng=qEo

⑵二场共存时，若合力为零，则粒子做匀速直线运动：若粒子做匀速圆周运动，

则有〃际=夕上，粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，即

(3)当带电粒子做复杂的曲线运动或有约束的变速直线运动时，一般用动能定理或

能量守恒定律求解。

【例2】(多选)(2021•广东六校第三次联考)如图3所示，空间中存在水平方向的

匀强电场和匀强磁场，电场方向水平向左，磁场方向垂直纸面向里。一带电小球

恰能以速度加做直线运动，其轨迹如图虚线所示，虚线与水平方向成30。角，小

球最终穿过一轴线沿小球运动方向且固定摆放的光滑绝缘管道(管道内径略大于

小球直径)，下列说法正确的是()

A.小球一定带正电

Fr-

B.磁场和电场的大小关系为方=300

C.小球可能是从管道的乙端运动到甲端

D.若小球刚进入管道时撤去磁场，小球将在管道中做匀速直线运动

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答案AD

解析小球做匀速直线运动，若带正电，电场力水平向左，重力竖直向下。从甲

端运动到乙端时，洛伦兹力垂直于虚线斜向右上三力恰好平衡，能保证小球沿图

中虚线运动。

若小球带负电，电场力水平向右，重力竖直向下。从甲端运动到乙端时或者从乙

端运动到甲端时，洛伦兹力垂直于虚线斜向左上或者右上，均不能使小球沿直线

运动，故A正确，C错误；由以上分析可知，电场力和洛伦兹力关系为sin30。

二编,整理，得苓=与，故B错误；未撤磁场时，小球三力平衡，其中电场力

CJVODDL

和重力沿虚线方向的合力为零，当撤去磁场时，在管道中所受重力和电场力均没

有变化，沿虚线方向（管道方向）合力仍为零，而管道的支持力垂直于管道，即小

球合力仍为零，做匀速直线运动，故D正确。

【拓展训练2】（多选乂2。21・广西桂林市秀峰区第一次联合调研）如图4所示，竖

直平行金属板M、N上加有电压U,N板的右侧有正交的匀强电场和匀强磁场，

匀强电场方向竖直向下、电场强度大小为E,匀强磁场方向垂直纸面向里、磁感

应强度大小为瓦在M板附近有一粒子源，释放初速度为零的带电粒子，这些粒

子经电场加速后进入正交的电、磁场中，都恰能做匀速直线运动，不计粒子的重

力和粒子间的相互影响，下列判断正确的是（）

A,粒子做匀速运动的速度大小墟

B.所有粒子的电荷量一定相同

C.所有粒子的比荷一定相同

D.将N板向左平移一些，粒子在电、磁场中仍能做直线运动

答案CD

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解析粒子进入正交的电、磁场中恰能做匀速直线运动，有@B=qE,粒子的速

F1

度。=耳，选项A错误；粒子在电场中加速，由动能定理得qU=g〃w2,粒子在正

交场中的速度都相同，则粒子的比荷相同，选项B错误，C正确；将N板向左平

移一些，两板间电压不变，粒子进入正交场的速度不变，所以粒子在电、磁场中

仍能做直线运动，选项D正确。

高考题型3带电粒子在组合场中的运动

1.两大偏转模型

电偏转：带电粒子垂直进入匀强电场中；磁偏转：带电粒子垂直进入匀强磁场中。

2.思维流程

牛顿运动定律、

运动学公式

带电H勺变速在线运动卜

U动能定理）

'粒r

（-------------1常规分解法）

在电

场、

磁场T匀速在线运而I平衡条件、运动学公式］

中的

运动

【例3】（2021•湖北省普通高中学业水平选择性考试模拟）在如图5所示的直角坐

标系中，犬＜0区域有沿x轴正向的匀强电场，龙20区域有垂直于纸面向外的匀强

磁场，磁感应强度大小为一质量为机、电荷量为夕（小＞0）的粒子从原点。进入

磁场，初速度大小为御，速度方向与），轴正向夹角为9（60。＜9＜90。），不计重力。

⑴求带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的角速度外；

⑵带电粒子每次离开磁场进入电场后，都从。点离开电场进入磁场，从而形成周

期性运动，求电场强度的大小E和粒子运动周期7；

3

⑶当粒子运动到磁场区离）轴最远处时，有一个质量为〃h速度大小为向o

第7页，共20页

、方向沿），轴负方向的电中性粒子与带电粒子发生弹性正碰，在碰撞过程中没有

电荷转移。求碰撞以后带电粒子第一次离开磁场进入电场的位置与。点的距离L。

答案（喏

（2）5a）cos（p冠tin夕+（兀一（p）]

nwoI-------------------

O^lsin9+Q2+COS9-COS一3]

解析（l）粒子在磁场中做匀速圆周运动，则洛伦兹力提供向心力

qv（）B=mcovo

解得幻=叫。

（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动

进入电场时的速度方向与y轴正向成9角，则到达y轴时

2〃w()sin§

y=2rsin(p=

qB

2兀-2g2兀，〃2（兀一甲）HI

时间

t\=2兀qBqB

进入电场后沿y方向做匀速运动，沿x方向先减速后加速，最后到达。点，则

00cos(p't2=y

〃f2=2u)sin(p

_qE

一

cim

联立解得

「n2/wsin(p

E=Bv℃os9,

粒子运动周期

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T=/i+r2=1^［tan夕+（兀-9）］。

（3）当粒子运动到磁场区离y轴最远处时，速度方向沿），轴负向，粒子与不带电的

粒子相碰时，由动量守恒和能量关系有

…会。=mv\-\-nwi

解得己［=个0,U2=U0

则此时粒子做圆周运动的轨道半径为

3加

加a

-?L2o

夕n

则到达丁轴时的位置距离。点的距离

3

2

Ay=rsin(p~\~(r+rcos3)-9r

2r

、

,=

解得A>^^[sin/+q2+cos9-cos2。]。

【拓展训练3】（2021月辽宁普通高校招生适应性测试，15）如图6所示，在第

一、四象限的0.5dW）W1.54和一1.540W—0.5”区域内存在磁感应强度大小可

调、方向相反的匀强磁场；在第二、三象限内存在沿），轴负方向的匀强电场。带

电粒子以速度。0从点P（—4d,1.5"）沿x轴正方向射出，恰好从O点离开电场。

已知带电粒子的质量为〃?、电荷量为仪带正电），不计粒子的重力。

图6

⑴求匀强电场的电场强度大小£

（2）若磁感应强度大小均为8时，粒子在磁场中的运动轨迹恰好与直线），=-1.5d

相切，且第一次离开第四象限时经过x轴上的S点（图中未画出），求3；

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(3)若磁感应强度大小均为历时，粒子离开。点后，经〃(〃>1)次磁偏转仍过第(2)

问中的S点。求生与Bi的比值，并确定〃的所有可能值。

...3mvi-、，加0小、9〃,八令“八

口木⑴16〃⑵砺⑶11-2〃(〃=2,3,4,5)

解析(1)由牛顿第二定律得夕七=机。

得T®

粒子在匀强电场中做类平抛运动

水平方向：4d=vot@

竖直方向：1.5d=a"③

,、人人人—r-zw

联立①②③式可付：E=16qd°

(2)带电粒子在电场中：vy=at®

v2=vi-{-Vy©

联立解得0=37。，o=%o

带电粒子在磁场中洛伦兹力提供向心力：cjvB\=

如图，由几何关系得

R=Rcos6+施

解得R=5d

朕立解得历=魏⑨

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(3)第(2)问中，设S点横坐标为x

则x=2Rsin°+2X暮#施)

【anu3

若磁感应强度大小均为治时，仍过S点，则有：

尸〃磊+2Ksin°)⑪

5(72—4/7)

f

联立⑩⑪解得R=-；S//d@

因为R>0,所以〃=2,3,4,5

由qvBi=nr^@

联立⑫⑬解得82=2鹭)〃和=2,3,4,5)⑭

联立⑨⑭解得色=7j丁(〃=2,3,4,5)

ii\\\—In

高考题型4带电粒子在周期性变化电场或磁场中的运动

1.基本思路

变化的电场或磁场往往具有周期性，粒子的运动也往往具有周期性。这种情况下

要仔细分析带电粒子的运动过程、受力情况，弄清楚带电粒子在变化的电场、磁

场中各处于什么状态，做什么运动，画出一个周期内的运动轨迹的草图。

2.分析重点

I受力特点)~►(运动产则

弱国一同时受到根据受力

------几个场力

情况和初

场的组成-T组合场卜不同阶段速度.判

及变化------受不同力断带电粒

7交变场不同时间子的运动

------^受不同力性质

【例4】(2021•山东青岛市黄岛区期末)如图7甲所示的坐标系中，在x轴上方的

区域内存在着如图乙所示周期性变化的电场和磁场，交变电场的电场强度大小为

瓦，交变磁场的磁感应强度大小为瑜，取x轴正方向为电场的正方向，取垂直纸

面向外为磁场的正方向。在，=0时刻，将一质量为机，带电荷量为^

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,重力不计的带正电粒子，从)，轴上A点由静止释放。粒子经过电场加速和磁场

偏转后垂直打在x轴上。求：

图7

(1)粒子第一次在磁场中运动的半径；

(2)粒子打在x轴负半轴上距O点的最小距离；

(3)起点力与坐标原点间的距离d应满足的条件；

(4)粒子打在x轴上的位置与坐标原点0的距离跟粒子加速和偏转次数〃的关系。

答案(D词Q)谪(兀+劣(3)"=飞厂(〃=1，2,3…)(4以=与社兀+

2)(〃=1,2,3…)

解析(1)粒子第一次进入电场中3氏=m4v\=ato

粒子第一次进入磁场中quiBo=霏'

兀〃7底）

联立方程解得凡=qBl

(2)可知粒子经2次加速和偏转后打在“轴负半轴上距0点的距离最小，如图所示

第一次加速的位移为加」=

第二次加速的位移Ax2=3An

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2兀瓦

02=2。血=w

JunEo

AA/=AJQ—AXI+R2=qB8S+2)

（3）分析带电粒子运动，如图所示

可知A与坐标原点间的距离d应满足

d=n~R1=_qB&-（"=1，2,3…）

（4）由上图知，若粒子经过〃次加速和偏转后打在工轴上，则与坐标原点0的距离

nnmEo

x=〃(Au+/?i)=仞+2)(〃=1,2,3…)

2qBi

专题限时训练

（限时：40分钟）

1.（多选）［2021・湖北七市（州）教科研协作体3月联考］智能手机中的电子指南针利

用了重力传感器和霍尔元件来确定地磁场的方向。某个智能手机中固定着一个矩

形薄片霍尔元件，四个电极分别为从F、M、N,薄片厚度为爪在E、b间通入

恒定电流/、同时外加与薄片垂直的匀况磁场8,M、N间的电压为UH,已知半

导体薄片中的载流子为正电荷，电流与磁场的方向如图1所示，下列说法正确的

是（）

A.N板电势高于M板电势

B.磁感应强度越大，UH越大

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C.增加薄片厚度人UH增大

D.将磁场和电流分别反向，N板电势低于M板电势

答案AB

解析电流的方向由E端流向尸端，根据左手定则，带正电的载流子受洛伦兹力

的方向指向N端，带正电的载流子向N端偏转，则N板电势高，故A正确；设

左右两个表面相距为"栽流子所受的电场力等于洛伦兹力，即等=々，氏设材

料单位体积内载流子的个数为小材料横截面积为5,则I=neSv,S=dh,解得

出=务，令仁已见出=悬=串所以若保持电流/恒定，则M、N间的电

压UH与磁感虑强度B成正比，故B正确；根据加=号,可知增加薄片厚度力,

UH减小，故C错误；若磁场和电流分别反向，依据左手定则，带正电的载流子

仍向N端偏转，则N板电势仍高于历板电势，故D错误。

2.（2021-1月广东学业水平选择考适应性测试，13）如图2所示，M、N两金属圆

筒是直线加速器的一部分，M与N的电势差为U；边长为2L的立方体区域

abcc/dZ/c”内有竖直向上的匀强磁场。一质量为小、电荷量为+17的粒子，以初速

度加水平进入圆筒M左侧的小孔。粒子在每个筒内均做匀速直线运动，在两筒

间做匀加速直线运动。粒子自圆筒N出来后，从正方形"力”的中心垂直进入磁

场区域，最后由正方形〃协卬中心垂直飞出磁场区域，忽略粒子受到的重力。求：

⑴粒子进入磁场区域时的速率；

⑵磁感应强度的大小。

答案⑴（2尸-----丁」

解析（1）粒子在电场中加速，由动能定理可得

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qU=^mv2—^mvi

解得沈。

(2)根据题意从正方形，跳/«的中心垂直进入磁场区域，最后由正方形。活勿〃中心

垂直飞出磁场区域，粒子在磁场中运动的轨道半径/?=乙

在磁场中运动时洛伦兹力提供了向心力

V2

qvB=nr^

(〃加+2qL0

解得B=

qL

3.(2021•湖北八市3月联考)如图3所示，在xOy立面的轴左侧存在着半径为L的

圆形匀强磁场区域I,磁场方向垂直纸面向里，边界与y轴在O点相切；在了0y

平面的)，轴右侧存在个沿)，轴负方向的电场强度为石=等的有界匀强电场区域

n,匀强电场的右侧有一个方向垂直纸面向里的匀强磁场区域in,区域n的宽度

为L,区域n和区域【n的高度足够长。质量为〃八电荷量为q的带负电粒子从4

点沿半径以初速度。0、方向与x轴正方向成夕=60。角射入匀强磁场区域I，恰好

从坐标原点。沿x轴正方向进入区域II。不计粒子的重力。

图3

⑴求区域I内磁场的磁感应强度大小B；

(2)求粒子离开区域H时的位置坐标；

⑶若粒子进入区域山后刚好沿右边界垂直穿过大轴，求区域in的宽度〃和磁感应

强度的大小夕分别为多少？

MG币mvo(E\1+啦2〃wo

答案(1)%〃⑵t2)⑶-2L

qL

第15页，共20页

解析（1）如图所示

粒子在磁场区域I中做匀速圆周运动的轨迹为一段圆弧，圆心为对应的圆心

角为。=60。，设半径为R,由几何关系得/?=气

tan5

由洛伦兹力提供向心力qvB=噜,

联立解得人蹩。

Q）带电粒子从坐标原点o沿x轴正方向进入区域n做类平抛运动，设带电粒子在

区域II中运动的时间为f,加速度为m离开区域II时的位置坐标为（L），），由运

动分解得

水平方向L=vot

竖直方向y=^aP

由牛顿第二定律得联立解得产!

则带电粒子离开区域H时的位置坐标为（L,

（3）粒子进入区域HI后在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由题意知其轨迹如图所

示，设粒子进入区域川时的速度大小为。，沿），轴方向的速度为外，进入磁场区

域HI时速度的反向延长线过水平位移的中点，可知速度与竖直方向成45。角，则

Vy=V0,联立可得0=也决）

即粒子以与A轴正方向成45c角射入匀强磁场区域in。

设粒子在区域HI的半径为农，由几何关系得

U=y+R,联立得〃=上乎L

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由洛伦兹力提供向心力*夕=簧，联立解得夕=贽。

4.(2021•武汉市三月调考)如图4所示，在直角坐标系X。)，中，4、。两点关于原

点。对称，AO=OC=L,直线AC与x轴正方向的夹角为。=53。。直线AC右侧

和x轴下方所夹的区域内有一匀强电场，方向沿y轴正方向。直线AC左侧区域

内有一匀强磁场，方向垂直坐标平面向里，电场和磁场区域均足够大。一带正电

的粒子从A点沿龙轴正方向以初速度加射入电场，经过x轴，的D点(图中未画

出)后恰好能通过C点，再经磁场偏转后到达O点。不计粒子重力，sin530=0.8,

cos53°=0.6o求：

图4

(1)0、。两点间的距离；

(2)电场强度E与磁感应强度8之比。

答案(D0.2L(2)用次

解析如图，作AOi〃x轴，DDi±>4Di,。为垂足，粒子沿AP方向进入电场做

类平抛运动，沿。C方向穿出电场，设直线CD与AA交于P点，

根据末速度的反向延长线必过水平位移的中点有

AP=PDi

由几何关系有A尸+PDi=Lcos。+。。

第17页，共20页

在△APC中，因为AO=OC=L,ikAP=20D

联立解得。。=0.2乙

（2）设粒子质量为小、电荷量为q,在电场中粒子的加速度为〃，运动时间为h由

平抛运动规律和几何关系有

OO+Lcos0=vot

Asin9=J/2

由牛顿第二定律有qE=ma

联立解得“野

乙qL

在磁场中，设粒子做匀速圆周运动的轨迹半径为R,/DPDi=a,由向心力公式

和几何关系有