第03讲 成对数据的统计分析 精讲（解析版）-高考数学备考复习重点资料归纳

第03讲成对数据的统计分析(精

讲)

目录

第一部分：知识点精准记忆

第二部分：课前自我评估测试

第三部分：典型例题剖析

题型一：成对数据的相关性

题型二：回归分析

角度1:经验回归方程及应用

角度2：非线性经验回归方程及应用

角度3：相关系数一

角度4：残差分析

题型三：列联表与独立性检验

第四部分：高考真题感悟

第一部分：知识点精准记忆

知识点一：变量的相关关系

⑴两个变量有关系，但又没有确切到可由其中一个去精掰地决定另一个的程度，这种关系称

为相关关系.

(2)正相关、负相关

从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两

个变量正相关;如果当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减小的趋势，则称这两

个变量负相关.

(3)线性相关、非线性相关

一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关,而且放点落在一条直线附近，我们就称这

两个变量线性相关.

一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或

曲线相关.

知识点二：样本相关系数

(1)相关系数，•的计算

变量％与变量y的样本相关系数，•的“算公式如下：

r=-________

Vi=lV1=1

(2)相关系数r的性质

①当，•>0时，称成对样本数据正相关;当r<0时，称成对样本数据负相关.

当/•=()时，成对样小数据间没有线性相关关系.

②样本相关系数r的取值范围为［-1』］,当1川越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越

强;当Iri越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱.

知识点三：一元线性回归模型

Y=bx+a+e

(1)数学表述式:如果两个变量之间的关系可以表示为

E(e)=0,D(e)=a2

我们称该式为y关于人的一元线性回归模型.

其中)称为因变量或响应变量,1称为a变量或解释变量;。和〃为模型的未知参数,a称为

截距参数，〃称为斜率参数;e是y与bx+ci之间的随机误差.

(2)经验回归方程

我们将)，=法+〃称为y关于x的经验回归方程，也称经验I可归函数或经验回归公式，其图

2(M-x)(y-y)

b二千--------——

形称为经验回归直线，其中汽(七-工)2

/=1

a=y-bx

(3)利用R2刻画回归效果

)2〃

R2的计算公式为R-=T------，其意义是R2越大，残差平方和-X)2越小，

i・l

即模型的拟合效果越好；R?越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差.

知识点四：列联表与独立性检验

(1)2x2列联表

如图，给出成对分类变量数据的交叉分类频数的数据统计表称为2x2列联表.

XY合计

r=oY=\

x=oaba+b

x=\cdc+d

合计a+cb+dn=a+b+c+d

(2)独立性检验

2

依据上述2x2列联表构造统计量二n(ad-bc)

(。+b)(c+d)(a+c)(b+d)

利用z2的取值推断分类变量x和y是否独立的方法称为/独立性检验，读作“卡方独立性

检验”，简称独立性检验.

常用的小概率值和临界值表

a0.10.050.010.0050.001

42.7063.8416.6357.87910.828

第二部分：课前自我评估测试

I.(2022.重庆.高二阶段练习)甲、乙、丙、丁四位同学各自对KN两变量的线性相关性做试

验，分别求得样本相关系数〃，如下表：

甲乙丙T

r0.20-0.95-0.120.85

则试验结果中M.V两变量有更强线性相关性的是()

A.甲B.乙C.丙D.T

【答案】B

【详解】由己知，乙的相关系数的绝对值为"=0.95,是四人中最大的，因此乙同学有更强

的相关性.

故选:B.

2.（2022・全国•长垣市第一中学高三开学考试（文））在研究线性回归模型时:样本数据

（xp＞；.）（/=1,2,3,,〃）所对应的点均在直线），=-；x+3上，用配表示解释变量对于预报变

量变化的贡献率，则店=（）

A.-IB.--C.1D.2

2

【答案】C

【详解】因为样本数据所对应的点都在直线y=-gx+3上，所以*=].

故选：C

3.（2022•河南南阳•高二期末（文））对两个变量x与进行回归分析，有4个不同模型可

供选择，其中拟合效果最好的是（）

A.模型1的相关系数「为-0.95B.模型2的相关系数，•为0.89

C.模型3的相关系数「为0.36D.模型4的相关系数〃为Q.33

【答案】A

【详解】对于模型而言，当卜|越接近于1,则模型的拟合效果越好，故拟合效果最好的模型

1.

故选：A.

4.（多选）（2022•全国•高二课时练习）下列散点图中，变量X,丫可用直线拟合的是（）

y.

A.

D.

【答案】AB

【详解】由题可知A,B中的点落在一条直线附近，故其变量X,丫有近似的线性关系:

c,D中的点没有落在一条直线附近，故其变量X,丫不具有近似的线性关系.

故选：AB.

5.（2022•山东济宁•高二期末）下列命题中正确的是（）

A.在回归分析中，成对样本数据的样本相关系数;•的绝对值越大，成对样本数据的线性相

关程度越强

B.在回归分析中，可用决定系数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果

越好

C.比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型拟合效

果越差

D.对分类变量x与匕统计量/的值越大，则判断“X与y有关系”的把握程度越大

【答案】ABD

【详解】相关系数的绝对值越大，相关程度越强，A正确；

决定系数越大，拟合效果越好，故B正确；

残差平方和越小，模拟效果越好，故C错误；

统计量/的值越大，分类变量X与y相互独立的概率越小，即判断“X与y有关系”的把握

程度越大，故D正确.

故选：ABD

6.（2022.全国.高二课时练习）中国射击队在东京奥运会上共获得4金1银6铜，共II枚

奖牌的成绩，创下了中国射击队奥运参赛史上奖牌数最多的新纪录.现从某射击训练基地随

立2x2列联表，并判断是否有90%的把握认为成绩优异与性别有关.

参考公式和数据:n=a+b+c+d

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)*

P(K2>k)0.100.050.010

k2.7063.8416.635

【答案】列联表见解析；没有90%的把握认为成绩优异与性别有关.

【详解】由己知数据可得2x2列联表如下:

男生女生总计

成绩优异437

成绩不优异6713

总计1()1()20

六_20X(4X7-3X6『

«0.2198<2.706•

7x13x10x10

・•・没有90%的把握认为“成绩优异”与性别有关.

第三部分：典型例题剖析

题型一：成对数据的相关性

典型例题

例题1.（2022•北京通州•高二期末）对三组数据进行统计,获得以下散点图，关于其相关

系数依次是小4,G，则它们的大小关系是（）

VVJV

•-

353535

3O3O3O

252525

2O2O2O

151515

101010

555

C>5101520253035%（95101520253035x（95101520253035x

A.弓B.f\>r2>ryC.D.G>4>4

【答案】A

【详解】解：由散点图可知，图一两个变量成正相关，且线性相关性较强，故.乃，

图二两个变量成负相关，且线性相关性较强，故5<-0.75,

图三两个变量线性相关性较弱，故同<。75,

所以4>4>G；

故选：A

例题2.（2022•江苏淮安•高二期末）对四组数据进行统计后，获得了如下图所示的散点图,

对于其相关系数的比较，下列说法正确的是（）

yw「小

相关系数为:相关系数为小相关系数为：相关系数为:

A.4v4vOv4v?B.Gv彳<0<r2<4

C.&<，3<()<q<4D.，j<〃<0<G<与

【答案】C

【详解】由题意可知，第一、四组数据正相关，第二、三组负相关，

当相关系数的绝对值越大，数据的线性相关性越强，

且第一组数据的线性相关性较第四组强，则4>〃>（）,

第二组数据的线性相关性较第三组强，则同〉同且4<0,则为“<0.

因此，弓

故选：C.

例题3.（2022•河南信阳•高二期末（文））若一组观测值（为,%）,（巧，幻，…，（土，”）（〃21。）

对应的点位于同一直线上，则X,y的相关系数为.

【答案】±1

【详解】由已知条件和相关系数的定义得，-y的相关系数为±1.

故答案为：±1

同类题型归类练

1.（2022•河南驻马店•高二期末（理））相关变量x,），的散点图如图所示，现对这两个变

量进行线性相关分析.方案一：根据图中所有数据，得到回归直线方程）=切丫+%,相关系

数为、方案二：剔除点（10,32）,根据剩下的数据得到回归直线方程），=打工+%，相关系

数为5.则（）

C.-1</；</；<0D.-1</;</;<0

【答案】D

【详解】由散点图可知这两个变量为负相关，所以4<0百<0.

因为剔除点（10,32）后，剩下点的数据更具有线性相关性，|目更接近1,

所以一1<々<彳<0.

故选：D.

2.（2022•陕西西安・高二期末（理））小华为了研究数学名次和物理名次的相关关系，记录

了本班五名同学的数学和物理的名次，如图.后来发现第四名同学数据记录有误，那么去掉

数据。（3,10）后，下列说法错误的是（）

物

2)

0,1

•£(1

理y

名

)

,10

次•Q(3

,5）

•c（4

,4）

•8（2

____x

_____

_____

_____

_____

_____

名次

数学

°

变大

方和

差平

B.残

大

〃变

系数

相关

线性

样本

A.

近于1

，•越趋

系数

相关

线性

D.

变强

程度

相关

y的

量X、

C.变

】B

【答案

，

相关

为正

，且

度变强

相关程

的线性

y与x

后，

（310）

掉。

，去

点图知

】由散

【详解

于1,

越趋近

系数「

性相关

，且线

「变大

所以

小.

和变

平方

残差

均匀，

分布更

，散点

0）后

7）（3,1

去掉

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D正确

故AC

B.

故选：

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图，

的散点

图所示

获得如

统计，

据进行

四组数

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二期

州•高

广东潮

022•

）（2

（多选

3.

）

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的有

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的关系

关系数

于其相

20

20

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15

15

15

10

10

1()

5

5

5

9

6

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