第03讲 线段的垂直平分线、角平分线性质、尺规作图（3大考点6种解题方法）（解析版）

第03讲线段的垂直平分线、角平分线性质、尺规作图

（3大考点6种解题方法）

Q考点考向

一.角平分线的性质

角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有

时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，・・・c

在NAOB的平分线上，CD_LOA,CE1OB：,CD=CE

二.线段垂直平分线的性质

（I）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）

垂直平分线，简称“中垂线”.

（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段.—②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距

离相等.—③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离

相等.

三.作图一基本作图

基本作图有：

（1）作一条线段等于己知线段.

（2）作一个角等于已知角.

（3）作已知线段的垂直平分线.

（4）作已知角的角平分线.

（5）过一点作已知直线的垂线.

四.作图一复杂作图

复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法.

解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图,

逐步操作.

五.作图一应用与设计作图

应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中.

首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图.

六.作图一代数计算作图

代数计算作图是实际问题中要求所作图形具备一定的条件，如角的度数或边的长度.

（1）根据题意计算出图形所具备的条件，边长，角度等，在网洛纸上作图或利用圆规和直尺作图.

（2）直接利用尺规作图做出符合题意的图形.如在数轴上找到表示无理数的点.

要熟悉几何图形的性质和5种基本作图的步骤，才能灵活运用熟练作图.

Q考点精讲

一.角平分线的性质（共5小题）

1.（2021秋•温岭市期末）如图，8平分NAO8,E为。4上一点，OE=4,P到OB的距离是2,贝QOPE

C.4D.8

［分析］过P作PDA.OB于。，作PCA.OA干C，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PC=PD

=2,根据三角形的面积公式计算可求解.

作尸C_L04于C,

:。。是NAO8的平分线，。到08的距离是2,

:・PC=PD=2,

•・・0E=4,

/.S^OPE=—OE*PC=Ax4X2=4-

22

故选：c.

【点评】本题考查J'角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键.

2.（2021秋•北仑区期中）如图，AO是△ABC的角平分线，DE1AB于点、E,S小3c=9,DE=2,A8=5,

【分析】根据角平分线性质求出DF,根据三角形面积公式求出△ABD的面积，求出AAOC面积，即可求

出答案.

【解答】解：过。作。F_LAC于R

:从。是△A4C的角平分线，DELAU,

:・DE=DF=2,

V5A4DB=-A^XD£=-1X5X2=5,

22

•:^ABC的面积为9,

:,1ACXDF=4,

2

.,._UcX2=4,

2

：.AC=4,

故选：C.

【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键.

3.（2021秋•东阳市期末）如图，在△A8C中，ZC=90°,以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交4G

AB千点、M,N,再分别以M,N为圆心，大于2MN长为半径画弧，两弧交于点。，作射线AO,交BC于

2

点E.已知CE=3,BE=5,则4c的长为（）

A.8B.7C.6D.5

【分析】直接利用基本作图方法得出4E是NCAA的平分线，翅:而结合全等三角形的判定与性质得出AC=

AD,再利用勾股定理得出AC的长.

【解答】解：过点F作于点。，

由作图方法可得出AE是NC4B的平分线，

VEC1AC,EDrAB,

：.EC=ED=3,

在RtAACE和RtAADE中，,

lEC=ED

：.Rt^ACE^Rt/\ADE〈HL),

：.AC=AD,

•・•在RtZ\EO/3中，DE=3,BEf

/.8D=4,

设AC=x,则A8=4+x,

故在RtZ\ACB中，

AC2+BC2=AB2,

即/+8?=(1+4)2,

解得:x=6,

即AC的长为：6.

故选：C.

【点评】此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确得出8。的长是解

题关键.

4.（2021秋•新昌县期末）如图，AB〃CQ,研和CP分别平分N/14C和N8CQ,AO过点P且与反垂直.若

AO=8,BC=10,则ABC尸的面积为（）

【分析】过P作PEJ_BC于E,根据角平分线的性质得出尸石=朋=尸ZZ求出PE=B4=PD=LZ）=4,再

2

根据三角形的面积公式求出答案艮1可.

【解答】解：过尸作PE_L8C于E,

'：AB//CDf

，N8AP+NCOP=18(r,

•：ADA.AB,

••・N8"=90°,

•••NCOP=90°,

即AQJ_CQ,

VPE1BC,BP和CP分别平分NA8C和N8CD,

：,PA=PE,PE=PD,

：.PA=PD,

VXD=8,

：,PE=PD=AP=4,

*：BC=\O,

：.ABCP的面积为之XBCXPE=/X10X4=2。，

乙乙

故选:B.

【点评】本题考查了平行线的性质和角平分线的性质，能熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解此

题的关键.

5.（2021秋•诸暨市校级月考）如图，在△ABC中，AC=6cm,AB=9cm,。是边BC上一点，4。平分/

BAC,在AB上截取AE=AC,连接OE,已知。£=2cm,BD=3cm.求:

(1)线段3c的长；

(2)若NAC8的平分线CF交八。于点O,且。到AC的距离是讹〃?，请用含。的代数式表示△48C的面

积.

【分析】(1)分析题意易证得△ADEg/UOC,则有CO=QE,而3c=8D+OC可求8c的长;

(2)根据题意画出图形，利用三角形的面积公式即可得出结论.

【解答】解：(1)平分NH4C

：.^BAD=^CAD

在aAOE和△AOC中

AE=AC

；NEAD=NCAD，

AD=AD

:.LADE9XADC(SAS)

：,DE=DC,

：.BC=BD^rDC=BD+DE=2+3=5(a〃)；

(2)如图，・・・N4CB的平分线C/交A。于点O,且。到AC的距离是ac/〃，

:.SAABC=SAAOC+SMOB+S^BOC=—y-6«+—x9c/+—x5。=3。+当+2=1Oa(cm)2.

22222

【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键.

二.线段垂直平分线的性质(共8小题)

6.（2021秋•海曙区期末）如图，△48C中，A8的垂直平分线分别交AB、8C于点。、E,AC的垂直平分

线分别交AC、BC于点F、G,若/£4G=40°,则N/MC的度数是（）

【分析】根据三角形内角和定理求出NC+NB,根据线段的垂直平分线的性质得到E4=EB,根据等腰三角

形的性质得到NEA8=NB,同理，NG4C=NC,计算即可.

【解答】解：设N8AC=a,

・・・NC+/8=180°-a,

・"E是/W的垂直平分线，

：.EA=EBt

：・/EAB=NR,

同理NG4C=NC,

/.AEAB+^GAC=ZC+ZB=180°-a,

：.ZEAG=ZBAC-（NB+NC）=a-（1800-a）=40°,

.,.a=110°,

AZBAC=110°,

故选：D.

【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线

段的两个端点的距离相等是解题的关键.

7.（2021秋•温州期末）如图，已知线段48,以点A,8为圆心，5为半径作弧相交于点C,D.连结CQ,

点E在C。上，连结C4,CB,EA,EB.若△48C与△48E的周长之差为4,则AE的长为（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】根据线段垂直平分线的性质得到CA=C8,EA=由收据三角形的周长公式计算，得到答案.

【解答】解•：由作图可知，C。是线段A8的垂直平分线，

：.CA=CB.EA=EB,

•・•2ABe与△ABE的周长之差为4,

工（CA+CB+AB）-（,EA+EB+AB）=4,

：.2CA-2AE=4,

：.CA-AE=2,

-：AC=5,

：.AE=3,

故选:C.

【点评】本题考查的是线段垂直平分线的判定和性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的

距离相等是解题的关键.

8.（2021秋•余杭区月考）如图，在△ABC中，。七是AC的中垂线，分别交AC、4B于点。、E,若ABCE

的周长为8,BC=3,求A8的长.

【分析】先利用三角形周长得到CmXEnS,再根据线段垂直平分线的性质得到EC=E4,然后利用等线段

代换得到A8的长.

【解答】解：•'.△BCE的周长为8,

：・CE+BE+BC=8,

又。：BC=3,

:,CE+BE=5,

又•・,£>£是AC的中垂线，

:.EC=EN,

：,AB=AE+BE=CE+BE=5.

【点评】本题考查了垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等.

9.（2021秋•义乌市期中）如图，已知△ABC中，边48、AC的垂直平分线分别交8c于E、F,若NEAF

=90°,AF=3,AE=4.

（1）求边/3C的长;

(2)求出/8AC的度数.

【分析】(1)根据勾股定理求出EF，根据线段垂直平分线的性质得到£4=£&FA=FC,结合图形计算，

得到答案；

(2)根据等腰三角形的性质得到NE48=N8,ZFAC=ZC,根据三角形内角和定理计算即可.

/22==5

【解答】解：(1)由勾股定理得，EF=7AE+BE,

•・•边48、AC的垂直平分线分别交8c于£、凡

:・EA=EB,FA=FC,

：.BC=8E+*+FC=A»+AF=12;

(2)・；EA=EB,FA=FC,

；・/EAB=/B,ZFAC=ZC,

由三角形内角和定理得，ZEAB+Z5+ZEAF+ZMC+ZC=180°,

AZB+ZC=45°,

・・.NZMC=1800-ZB-ZC=135°.

【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直

平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.

10.(2021秋•柯桥区月考)已知：如图，△48C中，ZA=90°,BC的垂直平分线OE交BC于点E,交

4c于点。.

(1)若NC=35°,求NOB4的度数；

(2)若△AB。的周长为30,AC=18,求AB的长.

【分析】(1)由BC的垂直平分线OE交BC于点E,交4c于点。，可得AZ)=BZ),又由等边对等角，可求

得NCB。的度数，然后又三角形外角的性质，求得NAO8的度数，继而求得N。物的度数;

（2）由△A3。的周长为30,可得A8+AC=30,又由4C=18,即可求得A8的长.

【解答】解：（1）・・・。石是的垂直平分线，

:,CD=BD,

・・・NCBO=NC=35°,

，N4OB=NC+NCBQ=70°,

••.△ABC中，NA=90°,

・・・NOBA=90°-ZBDA=20°；

（2）•.•△44。的周长为30,CD=BD,

：.AB+AD+BD=AB+AD+CD=AB-AC=30,

VXC=18,

：.AB=30-18=12.

【点评】此题考查r线段垂直平分线的性质与等腰三角形的性质.此题难度不大，注意掌握数形结合思想

的应用.

11.（2021秋•余杭区期中）如图，△A3C中，ZI3AC=\3O0,AB,AC的垂直平分线分别交3c于点£,F,

与A8,AC分别交于点。，G,则NEA厂的度数为（）

【分析】由。E垂直平分A8,尸G垂直平分AC,可得E8=EA,FA=FC,又由等腰三角形的性质与三角形

内角和定理，可求得N84E+NMC度数，继而求得答案.

【解答】解：YOE垂直平分48,FG垂直平分AC,

：・EB=EA,FA=FC,

:・/BAE=NB,ZE\C=ZC,

•••△A5C中，N84C=I3O°,

••・NB+NC=50°,

・・・NBAE+NRC=50°,

：.ZEAF=ZBAC-(/BAE+NFAC)=80°；

故选：£）.

【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质.此题难度不大，注意掌握转化思想与

数形结合思想的应用.

12.（2021秋♦上城区期中）如图，在△ABC中，人。是8c边上的高线，人。的垂直平分线分别交AB,AC

于点E,F.

（1）若ND4C=20°,求//。。的度数；

（2）试判断N8与NAED的数量关系，并说明理由.

【分析】（1）根据垂直的定义得到乙4。。=/4。8=90°,根据线段垂直平分线的性质得到求得

ZADF=ZDAF=2（r,于是得至JNbOC的度数；

（2）根据平行线的判定定理得到石/〃8C,根据平行线的性质定理得到NAEr=N8,根据线段垂直平分线

的性质得到4石=。七，由等腰三角形的性质得到NAE/=/。石尸，于是得到结论.

【解答】解：⑴VAD1BC,

/.ZADC=ZADB=90a,

•・•£尸垂直平分A。，

：.AF=DFf

/.^ADF=ZDAF=2（r,

；・NFDC=90°-20°=70°；

（2）NAED=2NB,

理由：VADIBC,EFLAD,

J.EF//BC,

JNAEF=/B,

•・•£尸垂直平分A。，

：.AE=DE,

：.NAEF=NDEF,

：./B=NAEF=NDEF,

/.NAED=2/B.

【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，熟练掌握

线段垂直平分线的性质是解题的关键.

13.（2021秋•西湖区期末）如图，线段8c的垂直平分线八、，2相交于点O.若Nl=40°,则/AOC

【分析】连接B。,并延长8。到P,根据线段的垂直平分线的性质得AO=OB=OC和N8DO=NBEO=90°,

根据四边形的内角和为360°得NOOE+NABC=180°,根据外角的性质得NAOP=NA+NABO,ZCOP

=NC+NOBC,相加可得结论.

【解答】解：连接40,并延长8。到P,

•・•线段48、8C的垂直平分线八、/2相交于点。，

:,AO=OB=OC,NBDO=NBEO=90°，

••・NQQE+N4BC=180°,

•••NOOE+N1=180°,

••・N48C=Nl=40°,

•：OA=OB=OC,

••.NA=N"O,NOBC=NC,

VZAOP=ZA+ZABO,/COP=/C+NOBC,

，NAOC=N4OP+NCOP=NA+NABC+NC=2X40°=80°；

故选：B.

【点评】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握线段的垂

直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.

三.作图一基本作图（共4小题）

14.（2021秋•邺州区期中）如图，在△ABC中，ZB=65°,ZC=30°,分别以点A和点C为圆心，大

于工人。的长为半径画弧，两孤相交于点历、N,作直线MM交BC于点D,连接A。，则NB/1D的度数为

2

55°C.60°D.65°

【分析】根据内角和定理求得NBAC=85°,由中垂线性质知D4=OC,即ND4C=NC=30°,从而得出

答案.

【解答】解：在△44C中,

VZ«=65°,ZC=30°,

•••NBAC=180°-NE-NC=85°,

由作图可知MN为AC的中垂线,

：,DA=DC,

：,ADAC=ZC=30a，

：,ZBAD=ZI3AC-ZDAC=55<3，

故选：B.

【点评】本题主要考查作图-基本作图，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键.

15.（2021秋•诸暨市期末）下列尺规作图分别表示：①作一个角的平分线，②作一条线段的垂直平分线.其

中作法正确的是（）

②

A.①B.②C.①②D.无

【分析】根据基本作图方法即可解决问题.

【解答】解：根据作图过程可知：作法正确的是①.

故选:A.

【点评】本题考查了作图-基本传图，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法.

16.（2021秋•新昌县期末）如图，已知△48C.

（1）请用直尺和圆规作N4BC的角平分线8D,交AC于点D（保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）的条件下，若NA=100°,ZC=28°,求N8D4的度数.

【分析】（1）根据角平分线的尺规作图求解即可；

（2）先根据三角形内角和定理求出NAHC度数，再由角平分线的性质得出N/MC,最后由三角形外角的性

质可得答案.

【解答】解：（1）如图所示，3。即为所求.

・・・NA3C=1800-ZA-ZC=52°,

•••8。平分N/WC,

••・NQBC=26°,

：.ZBDA=ZDBC+ZC=54°.

【点评】本题主要考查作图一基本作图，解题的关键是掌握角分线的尺规作图、三角形内角和定理、三

角形外角的性质.

17.（2021秋•余姚市期末）如图，在△ABC中，CE_LA8于点E.

（1）用尺规作BO_LAC,垂足为点。.（不写作法，保留痕迹）

（2）在（1）所画的图中，若BE=CD.求证：AI3=AC.

A

【分析】（1）根据要求作出图形即可;

（2）根据"L证明RtaBECgRtaCOB（HL）,可得结论.

【解答】（1）解：如图，线段3。即为所求；

（2）证明：在RtZ\8EC和RI/XCD8中，

[BE=CD,

lBC=CB，

ARtABEC^RtACDB（HL）,

：・NEBC=NACB,

：,AB=AC.

【点评】本题考查作图■基本作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用

所学知识解决问题.

四.作图一复杂作图（共5小题）

18.（2021秋•临海市期末）如图，已知△ABC,点。在边人〃上.

（1）求作点。，使点。到点B,C的距离相等；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

（2）连接OC,已知NB=32°,求NADC的度数.

A

【分析】（1）作线段段?的垂直平分线交AB于点Q.

（2）利用三角形的外角的性质以及等腰三角形的性质求解即可.

，NB=N£）CB=32°,

/.AADC=ZDBC+ZDCB=320+32°=64°.

【点评】本题考查作图■复杂作图，线段的垂直平分线，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质等知识,

解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质，属于中考常考题型.

19.（2021秋•缙云县期末）（拓展创新）如图所示，正方形网格中的每个小正方形边长都是I,每个小格的

①②

（1）使三角形的三边长分别为3,2近，勺号（在图①中画一个即可）

（2）使三角形为钝角三角形且面积为4.（在图②中画一个即可）

【分析】（1）V22+22=2V2>亚］域'据此作图；

（2）可以使底为2,高为4或底为4,高为2,做钝角三角形.

【解答】解：（1）如图所示的△力BC就是三边分别为3,2加，遥的一个三角形;

（2）如图所示的△ABC,AOE/都是符合题意的钝角三角形.

【点评】此题主要根据勾股定理和三角形的面积求法作答.

20.（2021秋•新昌县期中）如图，在△A/3C中，AB>AC,按以下步骤作图：分别以点B和点。为圆心,

大于28c长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N,作直线交A8于点。：连结CD.

2

（1）则MN是BC的垂直平分线.

（2）若48=8,4c=4,求△ACO的周长.

【分析】（1）根据线段的垂直平分线的作法判断即可；

（2）利用线段的垂直平分线的性质解决问题即可.

【解答】解：（1）由作图可知，直线"N是线段8C的垂直平分线，

故答案为：垂直平分.

（2）TMN垂直平分线段8c

:・DC=DB,

：.△ACO的周长=AC+CO+AO=AC+8O+AO=AC+A8=8+4=12.

【点评】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握线段的垂直平分

线的性质，属于中考常考题型、

21.（2021秋•西湖区校级期中）如图，已知

（1）尺规作图：①作出/XABC的角平分线CD；②作出BC的中垂线交A8于点£.

（2）连结CE,若NA8c=60°,NA=40。，则N£）CE=20°.

【分析】（1）①作N4C8的角平分线交A8于点。即可；②作8c的垂直平分线交A/3于点£即可;

（2）结合（1）根据三角形内角和定理即可求出NOCE的度数.

【解答】解：（1）如图，①C。即为所求；②点七即为所求；

(2)VZABC=60°,ZA=40°,

・・・N4cB=180°-60°-40°=80°,

TC。是NAC8的平分线,

.••N8CO=/NAC8=40°,

•・・6C的中垂线交A8于点£.

:.EB=EC,

：・NECB=NB=60°,

；・NDCE=NECB-NBCD=60°-40°=20°.

故答案为：20°.

【点评】本题考查了作图--基本作图，三角形的面积，熟悉基本作图方法是解题的关键.

22.（2021秋•拱壁区期中）如图，△ABC中，AOAB.

（1）作48边的垂直平分线交8c于点P,作AC边的垂直平分线交3c于点Q,连接AP,4Q.（尺规作图,

保留作图痕迹，不需要写作法）

（2）在（1）的条件下，若BC=14,求△APQ的周长.

【分析】（1）作线段A8,AC的垂直平分线MMEF,MN交8c于点尸，EF交BC于点Q,连接4P,AQ

即可.

（2）证明△APQ的周长=8C的长即可.

：,PA=PB,

•••上尸垂直平分线段AC,

：.QA=AC,

工△%Q的周长=PA+PQ+QA=PB+PQ+QC=BC=14.

【点评】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握五种基本作图，

属于中考常考题型.

五.作图一应用与设计作图（共6小题）

23.（2021秋•临海市期末）如图，在5X5的网格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上.请仅用直尺，按要

求画图.

（1）在图1中画出过点B的直线/,使其平分△ABC的面积；

（2）在图2中画出线段8D,使其平分NA8C,且点D在格点上.

【分析】（1）过点8和线段AC的中点作直线/即可;

（2）利用数形结合的思想作出线段3。即可.

【解答】解：（1）如图1中，直线/即为所求；

（2）如图2中，线段8。即为所求.

【点评】本题考查作图■应川与设计作图，三角形的面积，先立分线等知识，解题的关键是学会利用数形

结合的思想解决问题，属于中考常考题型.

24.（2021秋•椒江区期末）如图，两条公路04,08相交于点。，在NA03内部有两个村庄C,D.为方

便群众接种新冠疫苗，该地决定在NA06内部再启动一个方舱式接种点P,要求同时满足：

（1）到两条公路。A,。3的距离相等.

（2）到两村庄C,。的距离相等.

请你用直尺和圆规作出接种点P的位置（保留作图痕迹）.

【分析】作线段CO的垂直平分线MN,作NAO8的角平分线。凡OF交MN于点P,点P即为所求.

【解答】解：如图，点P即为所求.

A/、》

【点评】本题考查作图-应用与设计作图，线段的垂直平分线的性质，角平分线的性质等知识，解题的关

键是掌握线段的垂直平分线的性质，角平分线的性质，属于中考常考题型.

25.（2021秋•宁波期末）定义：如果三角形的两个内角a和廿满足a+20=9O°,那么我们称这样的三角形

为“类直角三角形”.

如图，在△ABC中，ZC=90°,AC=8,BC=6.请把这个三角形分割成两个三角形，使得其中一个为“类

直角三角形”，并求出这个“类直角三角形”的面积.（备注：要求尺规作图）

（备用图）

【分析】根据题意分四种情况画图解答即可.

【解答】解：①如图，过点。作DE_L4B于点E,

/.^ABC=2ZABD,

VZ4+Z/4BC=90°,

・・・NA+2/4BO=90°,

是“类直角三角形”，

平分N48C,BC±AC,DELAB.

:.DC=DE,

在RtABCD和RtABED中，

[BD二BD,

1DC=DE，

/.RtAfiCD^RtABED(HL),

：,BC=BE=6,

：,AE=AB-BE=4,

在RtZXADE中，AD=AC-CD=8-DE,根据勾股定理，得

ADr=DE1+AE2,

・•・(8-。£)2=DE2+42,

解得DE=3,

•\SMBD=—乂48・£)七=上x10X3=15；

22

工这个“类直角三角形”的面积是15；

②如图，过点。作。E_LA8于点E,

根据题意可知：4。平分/84C,

：,^BAC=2ZBAD,

*：ZB+ZBAC=90°,

・・・N8+2NZMO=90°,

•••△ABO是“类直角三角形”，

•・・4。平分N八BC,DC1AC,DE1AB,

:・DC=DE,

在RtAACD和RtAAED中，

<fAD=ADj

lCD=ED，

/.RtA^CD^RtAyAED(HL),

**»AC=AE=St

：.BE=AB-AE=2,

在RlZXA。笈中，BD=BC-CD=6-DE,根据勾股定理，得

B/)2=DE2+fiE2,

/.(6-DE)2=DE2+22,

解得。£=区，

3

•^SMBD=—XA8・OE=^x10X—=—；

2233

,这个“类直角三角形”的面积是改.

3

③作C/_LA8,作N4C尸的平分线，

在aABC中，ZC=90°,

VXC=8,3C=6.

.”_6X8_24

••v/'''">

105

••・"=很252=/2_(个)2=等

VDD

.*.5AACF=—x—x——

225525

④作N3CP的平分线，

._384_216

・・cS^BCF=2O/41-

2525

综上所述：这个“类宜角三角形”的面积为15或改或2跄或211

32525

【点评】本题考查了作图-应用与设计作图，三角形内角和定理，勾股定理，三角形的面积，解决本题的

关键是理解“类直角三角形”定义.

26.（2021秋•婺城区校级月考）如图，在7X6的方格中，△ABC的顶点均在格点上.试按要求画出线段

EF（E,/均为格点），各画出一条即可.

【分析】利用数形结合的思想，根据题Fl要求作出图形即可.

【点评】本题考查作图-应用与设计作图，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题,

属于中考常考题型.

27.（2021春•南岗区校级月考）如图，网格中的每个小正方形的边长都是2,线段交点称做格点.

（1）画出3c的高CQ；

（2）连接格点，用一条线段将图中△A3C分成面积相等的两部分;

（3）直接写出△人AC的面积是40.

【分析】（1）根据三角形的高的定义画出图形即可.

（2）作三角形的中线CE即可.

（3）利用三角形的面积公式求解即可.

【解答】解：（i）如图，线段C。即为所求作.

（2）如图，线段CE即为所求作.

故答案为：40.

【点评】本题考查作图-应用与设计作图，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于

中考常考题型.

28.（2021春•鼓楼区校级月考）我们知道，三角形具有性质：三条角平分线相交于一点，三条中线相交于

一点.事实上，三角形还具有性质：三条高所在直线相交于一点.如图，在由小正方形组成的4X3的网格

中，三角形的顶点都在小正方形的格点上.请运用上述三角形的性质，在该网格中，仅用无刻度的直尺，

作出AC边上的高3从再作出8C边上的高4K.（不写作法，保留作图痕迹）

【分析】取格点T,连接仃交AC于〃，取格点连接CE交”于点O,连接AO,延长AO交〃。于K,

线段A",AK即为所求作.

【解答】解：如图，线段BH，AK即为所求作.

T

【点评】本题考查作图-应用与设计作图，三角形的高等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解

决问题，属于中考常考题型.

六.作图一代数计算作图（共1小题）

29.（2021秋•诸暨市期中）如图，在5X5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1,请在所给网格中

解答下面问题.

（1）图中线段的两端点都落在格点（即小正方形的顶点）上，求出力3的长度；

（2）再以为一边画一个等腰三角形/WC,使点。在格点上，旦另两边的长都是无理数；

（3）请直接写出符合（2）中条件的等腰三角形ABC的顶点。的个数.

【分析】（1）由题意，A3为直角三角形的斜边，故44=行分=遥.

（2）此类题要求学生对问题分情况讨论，48为腰，A8边为底两种情况.

（3）43边为腰，在左边有可以找出两点，右边也有4个.共6个.

【解答】解：（1）由勾股定理，易知

（2）要使△ABC为等腰三角形，且另两边长度均为无理数，

①若A8为底边，则顶点在线段4B的中垂线上，易知这种情况不成立.

故AB边应为腰.

②若A8为腰，经观察可•知有。点满足条件，此时，8C的长度也为无理数，如下图所示:

(3)6.

【点评】要求学生对三角形的深刻认识，本题要求学生具有一定的发散性思维.

B巩固提升

一、单选题

1.（2021•衢州市实验学校教育集团（衢州学院附属学校教育集团）八年级期末）如图，在0408上分别

截取石，使OD=OE,再分别以点RE为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在乙408内交于

点C,作射线0coe就是4OB的角平分线.这是因为连结CDCE,可得到VCO虑VCOE,根据全等三

角形对应角相等，可得N8D=NCOE.在这个过程中，得到VCO*VCOE的条件是（）

0A

A.SASB.AASC.ASAD.SSS

【答案】D

【分析】由作图可知，0拄OD,CE=CD,OOOC,由SSS证明三角形全等即可.

【详解】解：由作图可知，除神，C打CD,OOOC,

运/XCOE（SS$,

：・4C02/C0E,

故选：D.

【点睛】本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所

学知识解决问题.

2.（2021•浙江八年级期末）如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，说明N0=/0的依据是

)

【答案】B

【分析】由作法易得如。D',0C=0,C,CD=C1/,根据SSS可得到三角形全等.

【详解】解：由作法易得。方。'），00（）'C,CIHCI）,,

依据SSS可判定△0。屐0D,

故选：B.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定定理.

3.（2020•浙江八年级期木）A9C内找一点E使户到氏C两点的距离相等，并且产到C的距离等于1

到C的距离.下列尺规作图正确的是（）

【答案】C

【分析】根据〃到小C两点的距离相等，可知〃在〃'的垂直平分线上，根据，到。和月到C的距离相等,

可知尔〃在以C为圆心，力。为半径的圆上，由此判定即可.

【详解】解：•“到4、。两点的距离相等

・•・？在的垂直平分线上

又•・•/至IJC和力到。的距离相等

・•・力、尸在以C为圆心,4c为半径的圆上

故选C.

【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质：垂直平分线上的点，到线段两个端点的距离相等，解题的关

键在于能够熟练掌握垂直平分线的定义.

4.（2020•浙江八年级期末）如图，在NAO8的两边上，分别取0M=再分别过点M、N作OA、OB

的垂线，交点为P,画射线OP,则OP平分N4O8的依据是（）

A.SSSB.SASC.AASD.HL

【答案】I）

【分析】利用判定方法“他”证明欣△利伊和斤〃\断全等,进而得出答案.

【详解】解：在RtAOMP和RtAONP中,

）OM=ON

\OP=OP'

:.RtX〃修RtXONP（/〃），

:.2M0P=4N0P,

,利是NR如的平分线.

故选：D.

【点睛】本题考查了全等三角形的应用以及基本作图，熟练掌握三角形全等的判定方法并读懂题目信息是

解题的关键.

5.（2020•浙江八年级期末）如图，已知求作一点P,使尸到乙4的两边的距离相等，且=

下列确定。点的方法正确的是（）

A.尸为NA、NB两角平分线的交点B.P为AC、A8两边上的高的交点

C.P为AC、AB两边的垂直平分线的交点D.〃为NA的角平分线与AB的垂直平分线的交点

【答案】D

【分析】首先根据尸到/月的两边的距离相等，应用角平分线的性质，可得尸为二月的角平分线；然后根据

PA二PB,应用线段垂直平分线的性质，可得尸为仍的垂直平分线，所以尸为N/1的角平分线与的垂直平

分线的交点，据此判断即可.

【详解】解：•・•尸到/月的两边的距离相等，

・•・卢为N月的角平分线；

'：P归PB,

••/为月〃的垂直平分线，

；.P为/A的角平分线与/厉的垂直平分线的交点.

故选：D.

【点睛】此题主要考查了角平分线的性质的应用，以及线段垂直平分线的性质和应用，要熟练掌握.

二、填空题

6.（2019•浙江八年级期末）如图，依据尺规作图的痕迹，计算Na=°.

【答案】56.

【分析】先根据矩形的性质得出AD〃BC,故可得出NDAC的度数，由角平分线的定义求出NEA3的度数，再

由EF是线段AC的垂直平分线得出NAEF的度数，根据三角形内角和定理得出NAFE的度数，进而可得出结

论.

【详解】如图,

丁四边形ABC1）是矩形,

AAD/7BC,

AZDAC=ZACB=68°.

*/由作法可知，AF是/DAC的平分线,

/.ZEAF=|ZDAC=34°.

•・•由作法可知，EF是线段AC的垂直平分线，

AZAEF=90°，

/.ZAFE=90°-34°=56°,

AZa=56°.

故答案为：5G.

7.（2019•浙江杭州•八年级月考）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明

/DOC=/DOC,需要证明A/yycvA/wc,则两个三角形全等的依据是________（写出全等简写）.

【答案】SSS

【分析】1、以。为圆心，任意长为半径用圆规画弧，分别交。4、08于点。、。；2、任意画一点。'，画

射线O'A',以。为圆心，OC长为半径画弧C'E,交。4于点C：3、以。为圆心，CD长为半径画弧，交

弧CEJ：点M；4、过点出画射线。Z/TOE就是与乙408相等的角.则通过作图我们可以得到

OC=OC,OD=O,D,,CD=CD,从而可以利用SSS判定其全等.

【详解】解：OC=OC,OD=aD,,CD=CD,从而可以利用SSS判定其全等.

故答案为：SSS.

【点睛】本题考查学生对常用的作图方法及全等三角形的判定方法的掌握情况.由作法找已知条件，结合

判定方法进行思考.

8.（2018•浙江全国・）用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明NAOC=/BOC的依据

是.

o\T~

【答案】SSS

【分析】连接NC,MC,根据SSS证△ONCgAOMC,即可推出答案.

解：连接NC,MC,

在aONC和△()、£中

ON=OM

<NC=MC,

OC=OC

/.△ONC^AOMC(SSS),

:.ZAOC=ZBOC,

故答案为SSS.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，培养学生运用性质进行推理的能力，题型较好，难

度适中.

9.(2020•浙江高照实验学校八年级月考)如图，在4ABe中，4=90°,ZB=30°,以点A为圆心，任

意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N,再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P,

连接AP并延长交BC于点D,则NADB=度.

【答案】120

【分析】由作图可知AD是NCAB的角平分线，利用角平分线的性质可以推知NCAD=30。，根据三角形外角

的性质即可得到结论.

【洋解】解：•・•在AABC中，ZC=90°,ZB=30°,

AZCAB=60a,

由作图可知AD是NCAB的角平分线，

・•・ZCAD=ZBAD=|ZCAB=3OU,

AZADB=900+30°=120°,

故答案为：120；

【点睛】本题考查了作图-基本作图，角平分线的定义，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键.

10.(2019•浙江杭州市・)尺规作图作/力加的平分线方法如下：以。为圆心，任意长为半径画弧交物，

OB于C,D,再分别以点。，〃为圆心，以大于gc。长为半径画弧，两弧交于点尺作射线由作法得^

运尸的根据是—

【答案】SSS

【解析】解：•・•以。为圆心，任意长为半径画弧交》，仍于C,D,即妗勿.以点C,。为圆心，以大于

长为半径画弧，两弧交于点只即。片踵在丛OCP和丛ODP中，.：OC=OD,OP=（）P,。衿ZF,:・二0€12丛ODP

（SSS）.故答案为SSS.

点睛：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA.AAS、HL.注

意：AAA.SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相

等时，角必须是两边的夹角.

三、解答题

11.（2019•浙江八年级期中）如图，在△］笈中，AB=AC,/ABC=76°.

（1）用直尺和圆规作乙仍。的平分线劭交力。于点〃（保留作图痕迹，不要求写作法）;

（2）在（1）中作出/月比?的平分线8〃后，求的度数.

【答案】（1）见解析；（2）66°

【分析】（1）直接利用角平分线的作法得出答案；

（2）直接利用角平分线的定义分析得出答案.

【详解】解：（1）如图所示：BD即为所求：

(2)V/\B=AC,ZABC=76°,

••・NC=76°,

VZABC的平分线BD,

/.ZDBC=-X76°=38°,

2

/.ZBDC=180°-76°・38°=65°.

【点睛】本题主要考查了基本作图以及三角形内角和定理，正确掌握角平分线的定义是解题关键.

12.（2021•浙江八年级期末）电信部门要修建•座电视信号发射塔，如图，按照设计要求，发射塔到两个

城镇力，夕的电网必须相等，到两条高速公路/〃和〃的距离也必须相等，发射塔应修建在什么位置，从图中

【分析】作出血的垂直平分线，它上面的点到力，8的距离相等，再作出乙物V或其邻补角NO2v的平分线,

它上面的点到例〃的距离相等，即可得出它们的交点户就是所求的发射塔应修建的位置.

【详解】解：如图，作"的垂直平分线与乙伽,或N0W的平分线，交点心月即为所求发射塔应修建的位

置.

【点睛】本题主要考查了作图-应用与设计作图，解题的关键是运用垂直平分线和角平分线的作法来确定点

P的位置.

13.（2020•浙江）已知用尺规作图：

B

（1）作4c边上的中线：

（2）画AB边上的高.

【分析】（1）作力。的垂直平分线，交于点〃连接加即可;

（2）延长力8过点C作49的垂线，交力《延长线于点£即可.

【详解】解：（1）如图所示，初即为所作图形；