第17讲 全等三角形（原卷版）-2025年中考数学一轮复习

第17讲全等三角形

录

等一截长补短法

一、考情分析题型11构造辅助线证明两个二角形全

二、知识建构等-作平行线

考点一全等三角形及其性质题型12构造辅助线证明两个三角形全

题型01利用全等三角形的性质求角度等-作垂线

题型02利用全等三角形的性质求长度题型13利用全等三角形的性质与判定

题型03根据全等的性质判断正误解决多结论问题

题型04利用全等三角形的性质求解考点三角平分线的性质

题型05利用全等的性质证明线段之间题型（）1利用角平分线的性质求长度

的数量/位置关系题型02利用角平分线的性质求面积

考点二全等三角形的判定题型03角平分线的判定定理

题型01添加一个条件使两个三角形全题型04利用角平分线性质定理和判定

等定理解决多结论问题

题型02添加一个条件仍不能证明全等题型05三角形的三条角平分线的性质

题型03灵活选用判定方法证明全等定理的应用方法

题型04结合尺规作图的全等问题考点三全等三角形的应用

题型05全等三角形模型-平移模型题型01利用全等三角形的性质与判定

题型06全等三角形模型-对称模型解决高度测量问题

题型07全等三角形模型-一线三等角模题型02利用全等三角形的性质与判定

型解决河宽测量问题

题型08全等三角形模型-旋转模型题型03利用全等三角形的性质与判定

题型09构造辅助线证明两个三角形全解决动点问题

等一倍长中线法

题型10构造辅助线证明两个三角形全

考点要求新课标要求命题预测

全等三角形>理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、

及其性质对应角.

在中考中，全等三角形

>掌握基本事实:两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；主要以选择题、填空题

>掌握基本事实:两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；和解答题的简单类型为

全等三角形>掌握基本事实:三边分别相等的两个三角形全等；主.常结合四边形综合

的判定>证明定理两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个考查.

三角形全等；

>探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理.

>探索并证明角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边

角平分线的

的距离相等;反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的

性质

平分线上

全等三角形

A

的应用

@@00

全等图形摄念：■全重合的两个图形叫做全等图形.

全等三角形概念：能完全盅合的两个三角形叫做全等三角形.

题型01利用全等三角形的性后求角度

全等三角形表示方法:全等用籽母“父，读作"全考于"题型02利用全等三角形的性后求哎度

及其性质题型03根据全等的性质判断正误

对应边相等，对应角相等.题型04利用仝等三角形的性法求耨

全等三角形的性质全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等.题型05利用仝等的性侵证明线段之诃的数量/位口关系

全等三角形的周长相等、宣积相等.

判段法SS$SAS,AAS,ASA,HL

我第三边SSS

已知两边找夹角SAS

融01添加一个条件使两个三角形全等

找宜mHL

顼型02添加一个条件仍襁证明全等

一边为例的对边找另一角AAS题型03页;君选用判定方法证明全等

判定两选型04结合尺规作图的全等问题

角

个三已知一边、一角找夹角的另一边

SAS甄型05全等三角形接生-平移模型

等

形全

全

全等三角形一边是角的邻边找夹角的另一角乳型06全等三角形模生-对称模型

路

的思ASA

等的判定皿07全等三角形模型一线三等角项型

找边曲描AAS慧型08全等三结形模生-旋转模型

三

蓬型09构造辅助线证明两个三角形全等一倍长中线法

找夹边ASA

角已知两角赋210构造辅助线证明两个三角形全等-截长补短法

找其中一角的对边AAS题型11构造辅助我证明两个三角形全等-作平行战

形

题型12构造辅助境证明两个三角形全等-作秀线

平移模型

题型13利用全等三角形的性质与判定解决多结论向鹿

定舜模型

常见的全等三角形桢理

T三等角模生

旋转模型

题型01利用角平分线的性质求长度

性质定理：僖的平分线上的点到这个角的两达的距盅相等.题里02利用角平分线的性及求面或

角平分线

判定定理：用的内部.与角的两边的距覆相等的点在这个角的平分线上.题型03角平分线的判定定理

的性质题至04利用角平分线性质定理和判定定理解决多结论问监

题型05二角形的二条向平分线的性质运理的应用方法

方法：把实际问题先转化为数学问题，冉转化为三角形问题，其中，&题型01利用全等三角形的性质与判定解决高度测量问疑

全等三角出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键.迹02利用全等三角形的性质与判定解坎河颤J量问运

形的应用速型03利用全等三角形的性质与判定解决动点问题

考点一全等三角形及其性质

.夯基•必备基础知识梳理

全等图形概念：能完全重合的两个图形叫做全等图形.

特征：①形状相同.②大小相等.③对应边相等、对应角相等.④周长、面积相等.

全等三角形概念：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形.

【补充】两个三角形全等，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做

对应角.

表示方法：全等用符号“也”，读作“全等于”.书写三角形全等时，要注意对应顶点字母要写在对应位置

上.

全等变换定义：只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小的变换.

全等三角形的性质：1）对应边相等，对应角相等.

题型02利用全等三角形的性质求长度

【例2】（2023.广东•校联考模拟预测）如图,△A8C会△840,A的对应顶点是3,。的对应顶点是。，若

48=8,AC=3,BC=7,则/W的长为（）

D.以上都不对

【变式2-1］（2023•湖南长沙•校联考二模）如图，△ABgbDEF,DE=5,AE=2,则BE的长是（）

【变式2-2］（2022.黑龙江哈尔滨・哈尔滨工业大学附属中学校校考一模）如图，△ABC0△8AQ,点A和

点B,点C和点。是对应点，如果八B=8cm,BD=7cm,/lD=6cm,那么的长是（）

A.5cmB.6cmC.7cmD.8cm

题型03根据全等的性质判断正误

［例3］（2022.天津河西・统考二模）如图，将aABC绕点、4逆时针旋转60。得到△DBE,点A的对应点为D,

AC交DE千点P,连结EC<0,则下列结论一定正确的是（）

A.ED-CBB.^.EBA=60°

C.Z-EPC=Z-CADD.是等边三角形

【变式3-1］（2018•内蒙古鄂尔多斯•统考一模）如图，M在8c上，加3=躯。，如果△A8C绕点M按顺时

针方向旋转180。后与△尸ED重合，则以下结论中不正确的是（）

A.△ABC和△正。的面积相等B.△A8C和△FED的周长相等

C.NA+NABC=NF+N*DED.ACWF,KAC=DF

【变式3-2］（2022.广东深圳•校考一模）如图，△A84A4EC,且点方在边上，点/V恰好在BC的

延长线上，下列结论错误的是（）

A

A./BCB=NACA，B.NACB=2NB

C.ZB'CA=ZB,ACD.平分NRBW

【变式3-3］（2023•山东淄博・统考二模）如图，AABCWADEF,点E在4c上，B,F,C,。四点在同一

条直线上.若乙1二40。,乙CED=35。，则下列结论正确的是（）

A.EF=EC,AB=FCB.EF*EC.AE=FC

C.EF=EC,AE工FCD.EF中EC,AE手FC

题型04利用全等三角形的性质求解

【例4】（2023•广东深圳•统考二模）如图，A,8是反比例函数y=£（x>0）图象上两点，C（一2,0）,0（4,0）,

△ACOZAODB,则k=_.

【变式4-1］（2022•北京海淀♦校考模拟预测）图中的小正方形边长都相等，若AMNPm^MFQ,则点Q可

【变式4-2］（2023•江苏扬州・统考二模）三个能够重合的正六边形的位置如图，已知A点的坐标是

【变式4-3］（2023♦广东广州•统考二模）如图，直线y=-2工+2与x轴和y轴分别交于A、3两点,射线

4P_L4B于点4若点C是射线4P上的一个动点，点。是x轴上的一个动点，且以C,。,A为顶点的三

角形与△AOB全等，则4）的长为.

【变式4-4】（2023•河南三门峡•统考二模）如图，Rt^ABC^Rt^DEF,Z.C=Z.F=90°,AC=2,BC=

4,点。为48的中点，点E在AB的延长线上，将绕点。顺时针旋转a度（0vaV180）得到午,

当A8DE'是直角三角形时，AE'的长为.

cF

【变式4-5］（2023•浙江•模拟预测）如图，已知RtA/BC三凡zC=zF=90°,AC=DF=3,

BC=EF=4,△DEF绕着斜边AB的中点。旋转，DE、。尸分别交AC、8。所在的直线于点P、Q.当4

题型05利用全等的性质证明线段之间的数量/位置关系

【例5】（2023•陕西西安•校考模拟预测）如图，AB.EF相交于点G,且△4FG三aBEG,。在/Ir上，。在

EB延长上，连接DC,若AD=BC,证明：CD=2AG.

【变式5-1］（2023上•江西上饶校考阶段练习）如图，已知A/1BE三△CD凡且B,E,F,D四点在同一直

线上，线段AE和线段CF在位置和数量上存在什么关系?并说明理由.

【变式5-2］（2023上•山西吕梁阶段练习）如图，已知△48F三△DEC,4,F,C,。四点在同一条直线上.

（1）求证：AC=DF：

（2）判断8/与EC的位置关系，并证明.

考点二全等三角形的判定

―夯基•必备基础知识梳理

一、全等三角形的判定

1.边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；

2.边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（口J简写成“边角边”或“SAS”）；

3.角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；

4.角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或

“AAS”）；

5.对于特殊的直角三角形：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角

边”或“HL”）.

从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个

元素（其中至少有一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题FI中的已知边（角）准确地确定要补

充的边（角），有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路.

找第三边SSS

判找夹角SAS

已知两边

定找直角HL

两

个

一边为角的对边找另一角

三AAS

角找夹角的另一边SAS

形己知一边、一角

一边是角的邻边找夹角的另一角ASA

全

等找边的对角AAS

的

思

ASA

路

已知两角找其中一角的对边AAS

三、常见的全等三角形模型（基础）

常见的全等三角形模型（基础）

平移模型模型分析：此模型特征是有一组边共线或部分重合，另两组边分别平行，常要在移动的

方向上加（减）公共线段，构造线段相等，或利用平行线性质找到对应角相等.

对称模型模型分析：所给图形可沿某一直线折着，直线两旁的部分能完全重合，重合的顶点就是

全等三角形的对应顶点，解题时要注意隐含条件，即公共边或公共角相等.

一线三垂直/模型解读：一线：经过直角顶点的直线；三垂宜：直角两边互相垂直，过直角的两边向

一线三等角直线作垂直，利用“同角的余角相等”转化找等角

旋转模型模型解读：将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这

两个三角形为旋转型三角形.旋转后的图形与原图形存在两种情况:

①无重叠：两个三角形有公共顶点，无重叠部分，一般有一对隐含的等角;

②有重登：两个三角形含有一部分公共角，运用角的和差可得到等角.

方法技巧

若题中没有全等的三角形，则可根据题中条件合理地添加辅助线，如运用作高法、倍长中线法、

截长补短法、分解图形法等来解决运动、拼接、旋转等探究性题目.

提升•必考题型归纳

题型01添加一个条件使两个三角形全等

【例1】（2022•北京・北京市第五中学分校校考模拟预测）如图，已知8七=。。，请添加一个条件，使得

△ABEdAC。：

【变式1T】（2023•福建龙岩•校考一模）如图，AC,B0相交于点0,。8=。£）,要使△AOB也△C。。，添

加一个条件是_.（只写一个）

【变式1-2］（2022•浙江杭州•模拟预测）如图,RSABC和RtAEDF中,乙B=〃）,在不添加任何辅助线的

情况下，请你添加•个条件_____,使7?必/WC和RMEOF全等.

比2

【变式1-3］（2022・江苏盐城•统考一模）如图，AE//DF,AE=DF.添加下列条件中的一个：①48=CD；

②EC=3F；③=®EChBF.其中能证明△ACEgaDBF的是（只填序号）.

题型02添加一个条件仍不能证明全等

【例2】（2023•广东珠海・统考二模）如图，在△48C和△/）£"尸中，乙B=iDEF,AB=DE,添加一个条件

后，仍然不能证明△4BC会aDEF,这个条件可能是（）

EC

A.Z.A=乙DB.AC\\DFC.BE=CFD.AC=DF

【变式2-1］（2022•广东河源•统考二模）如图，点、B、尸、C、石在同一条直线上，AC||DF,AC=DF,添

加以下条件，仍不能使△ABCgADE/的是（）

A

D

A.Z.A=ZDB.AB=DEC.AB||DED.BF=EC

【变式2-2］（2023・四川成都・统考一模）如图，四边形ABC。是菱形，E、尸分别是BC、C。两边上的点，不

熊休城Zi/IBE和A/IDF一定全等的条件是（）

A.^BAF=£DAEB.EC=FCC.AE=AFD.BE=DF

题型03灵活选用判定方法证明全等

【例3】（2023•江西抚州・统考一模）如图，点4,D,C,尸在同一条直线上，AB=DE,BC=EF.有下列

三个条件：®AC=DF,②/ABC=/DEF,®ZACB=ZDFE.

（1）请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC丝△。七月你选取的条件为（填写序号）（只需

选一个条件，多选不得分），你判定△A8C丝△。所的依据是（填“SSS'或"SAS'或"AS/T域

（2）利用（1）的结论△ABCg4OE/.求证：A8〃DE.

【变式3-1］（2022•湖北宜昌・统考模拟预测）如图，在A4BC中，=",过8C的中点。作DEJ.力氏

DFJ.AC,垂足分别为点E、F.

⑴求证:DE=DF；

⑵若48DE=50°,求484。的度数.

【变式3-2】（201&江苏.无锡市第一女子中学校考中考模拟）如图，在△/CB和中，AC=BC,

CD=CE,Z-ACB=^DCE=90°,连接4E、BD交于点。，AE与DC交于点M,BD与AC交于点N.试判断

AE.80之间的关系，并说明理由.

A

【变式3-3](2023,江苏南京•校考三模)如图，在团力BCD中，点E、/分别是边AD、"的中点.

(1)求证：^ABF=^CDE；

(2)若乙AFC=24。，求证：四边形力尸CE是菱形.

【变式3-4](2020•北京朝阳•三模)如图，在△A8E中，C,D是边BE上的两点，有下面四个关系式：(1)

AB=AE,(2)BC=DE,(3)AC=ADf(4)=zE4。请用其中两个作为已知条件，余下两个作为

求证的结论，写出你的已知和求证(请写具体内容，不要写序号)并证明.

求证：

证明：

【变式3-5](2023•上海嘉定•模拟预测)如图，△48。中，AB=ACf点。在8C边上，CE_L4。延长线于

E,^.BC=2AE.

(1)求证:AD=CD；

(2)求证：AB2=ADBC.

题型04结合尺规作图的全等问题

【例4】（2022.江西赣州.统考一模）已知锐角NAOB,如图,

（1）在射线04上取一点C,以点。为圆心，OC长为半径作相，交射线06于点。，连接CQ；（2）分

别以点C,。为圆心，CO长为半径作弧，交时F点M,N；

（3）连接OM,MN.

根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）

A.MC=DNB.△COM0Z\CO。

C.若OM=MN.则NAOB=20。D.MN=3CD

【变式4-1］（2022•湖北襄阳・统考-一模）如图，在aABC中，NB=NC,。为边8C上一点，CO=AC,

连接AO.

（I）用尺规作射线。石交线段AC于点E（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）若AB=5,8。=3,求AE的长.

【变式4-2］（2022・湖南长沙•长沙市北雅中学校考二模）如图，@A8CZ）的对角线AC与8。相交于点O,

小雅按以下步骤作图：①以点4为圆心，以任意长为半径作弧，分别交人O,48于点M,N；②以点。为

圆心，以AM长为半径作弧，交。C于点M'；③以点M'为圆心，以MN长为半径作弧，在NCOB内部交前

面的弧于点M：④过点N'作射线ON'交8c于点E.

（1）根据小雅的作图方法，得至1叱。。£=乙。力B.证明过程如卜.:

<AN=ON、

由作图可知，在△MAN和△M'ON'中，——=——，

•••△M4N四△M'ON'（）（此处填理论依据），

：.LCOE=LOAB.

（2）若718=6,求线段0£的长.

【变式4-3］（2022.湖南长沙•模拟预测）人教版初中数学教科书上册第35-36页告诉我们作一个三角形与

请你根据以上材料完成下列问题：

（1）完成下血证明过程（将正确答案填在相应的横线上）：

证明：由作图可知，在△4B'C'和A/IBC中，

（B'C=BC,

4®=一

VAX'=,

・•・△AB'C'g.

（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是.（填序号）

①A4S；②ASA；③SAS；@SSS

题型05全等三角形模型-平移模型

【例5】（2023•陕西西安・模拟预测）如图，已知点A、D、C、产在同一条直线上，AB=DE,LABC=

乙DEF.给出下歹J三个条件：®AC=DF,②BC=EF,@^.BAC=^EDF.

BE

(1)请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC三△/)£/.你选取的条件序号为，你判定

△ABC三△/)"的依据是(填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”)；

(2)请用(1)中所选条件证明三△/)£*F；

(3)ADEF可看作是由MBC沿4c方向平移得到的，过8作BM14c于M,当4B=10,BM=8,△4BD是

以BZ)为腰的等腰三角形时，直接写出平移距离AD的长.

【变式5-1](2020.江苏常州•统考一模)如图，将RtAABC沿BC所在直线平移得到△DEF.

图①图②

(I)如图①，当点E移动到点C处时，连接AD,求证：ACDAGAABC；

(2)如图②，当点E移动到BC中点时，连接AD、AE、CD,请你判断四边形AECD的形状，并说明理由.

【变式5-2](2019•河北石家庄•统考一模)如图1,ZkABC与△DBC全等，且44C8=4。8c=90。，AB=

6,4C=4.如图2,将aOBC沿射线BC方向平移得到ADiBiQ,连接4GlMcI-

(1)求证：801=/!Ci且BDi||4Q；

(2)aDBC沿射线BC方向平移的距离等于时，点A与点2之间的距离最小.

图1图2

题型06全等三角形模型-对称模型

【例6】(2023•湖南衡阳•校考一模)如图，4c平分乙840,CBLAB,CD1AD,垂足分别为B,D.

(1)求证：△ABCWAADC；

（2）若AB=4,CD=3,求四边形ABC。的面积.

【变式6-1］（2021•西藏拉萨•校考一模）如图，已知/C=/F=90。，AC=DF,AE=DB,BC与EF交于

（1）求证：RIAABC^RIADEF；

（2）若NA=51。，求NBOF的度数.

【变式6-2］（2023・甘肃白银•统考一模）如图，是等边三角形，D,E在直线8C上，DB=EC.求证:

Z.D=Z.E.

【变式6-3］（2022•辽宁大连•统考二模）如图，ACA.BC,ADLBD,AD=BC.AD,BC交于点O.求证:

OC=OD.

题型07全等三角形模型-一线三等角模型

【例7】（2021•浙江湖州•统考二模）如图，在平面直角坐标系四边形QA3c为正方形，若点3（1,

4），则点A的坐标为（）

c(4D.(4,1)

【变式7-1］（2022・四川成都・统考二模）如图所示，ANBC中，AB=AC.ABAC=90°.直线/经过点A,

过点3作BE11于点E,过点。作CF1L于点E若BE=2,CF=5,则£F=

【变式7-2］（2022上•江苏南京•南京市第二十九中学校考阶段练习）如图，AE1AB,且=BC1

CD,且8C=CD,请按照图中所标注的数据计算的长为

E

【变式7-3］（2021上•黑龙江佳木斯•九年级桦南县第四中学校考期中）在△48C中，^ACB=90°,AC=

BC,直线MN经过点C,且HOJLMN丁。，BEtMNTE.

图1图2图3

（1）当直线MN绕点C旋转到图1位置时,求证:DE=AD+BE；

（2）当直线MN绕点C旋转到图2位置时•,试问:DE.AD,8E有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并

加以证明;

（3）当直线MN绕点。旋转到图3位置时,DE.AD.BE之间的等量关系是一（直接写出答案，不需证明）.

【变式7-4］（2020•山西晋中•统考一模）阅读材料:

我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂

直模型”如图①，在。中，/.ACB=90°,AC=BC,分别过4、8向经过点C直线作垂线，垂足分别为。、

E,我们很容易发现结论：4ADC"CEB.

(1)探究问题：如果ACXBC,其他条件不变，如图②，可得到结论；&ADC八CEB.请你说明理由.

(2)学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线y=与直线CC交于点M(2,l),且两直线夹角为a,

Htana-|,请你求出直线C。的解析式.

(3)拓展应用：如图④，在矩形ABCD中，AB=3,8c=5,点E为BC边上一个动点，连接力E,将线段

4E绕点E顺时针旋转90。，点4落在点P处，当点P在矩形?18C。外部时，连接PC,PD.若△/)/(为直角三

角形时，请你探究并直接写出BEI内长.

【变式7-5](2023下•河南洛阳•统考期中)综合与实践

数学活动课上，老师让同学们以“过等腰三角形顶点的直线”为主题开展数学探究.

(1)操作发现：如图甲，在内△ABC中，2LBAC=90°,且=直线/经过点A.小华分别过8、C两

点作直线/的垂线，垂足分别为点。、E.易证△4BO三△C4E,此时，线段DE、BD、CE的数量关系

为：:

图甲图乙

(2)拓展应用：

如图乙，△48C为等腰直角三角形，£ACB=90°,已知点C的坐标为(一2,0),点3的坐标为(1,2).请利

用小华的发现直接写出点A的坐标：_：

(3)迁移探究：

①如图丙，小华又作了一个等腰△ABC,AB=AC,且N84c装90。，她在直线/上取两点£)、E,使得

^BAC=LBDA=^AEC,请你帮助小华判断（1）中线段DE、ED、CE的数量关系是否变化，若不变，请

证明；若变化，写出它们的关系式并说明理由；

②如图丁，ZkABC中，AB=2AC,284cH90°,点。、E在直线，上，KzF/lC=^BDA=^AEC,请直接

写出线段DE、BD、CE的数量关系.

图丙图了

题型08全等三角形模型-旋转模型

【例8】（2019.河南•一模）（1）茴题发现：如图①，△力片。和△£。。都是等边三角形，点乩D.E在同一

条直线上，连接力E.

①々AEC的度数为:

②线段4£、BD之间的数量关系为：

（2）拓展探究：如图②，△ABC和△EOC都是等腰直角三角形，=1C8=40CE=9O。，点8、D、£在同

一条直线上，CM为△EDC中。E边上的高，连接AE,试求〃E8的度数及判断线段CM、AE.BE之间的数

量关系，并说明理由；

（3）解决问题：如图③，△48C和AEDC都是等腰三角形，N4CB=NOCE=36。，点B、D,石在同一条

直线上，请直接写出4EAB+NECB的度数.

【变式8-1］（2022・湖北十堰•统考一模）如图1,在等腰直角三角形ABC中，iBAC=90。.点E,尸分别为

AB,4c的中点，，为线段Er上一动点（不与点E,尸重合），将线段绕点A逆时针方向旋转90。得到AG,

连接“，HB.

A

G

(1)证明：△/1HB三△/GC；

(2)如图2,连接GF,HC,AF交AF于点Q.

①证明：在点H的运动过程中，总有=90。；

②若川？=/IC=4,当E”的长度为多少时，△4QG为等腰三角形？

【变式8-2](2022.山东东营・统考二模)已知△408和AMON都是等腰直角三角形俘04VOM=ON),

乙408=乙MON=90°.

(1)如图1：连力M,8N,求证：AAOM"BON：

(2)若将AMON绕点O顺时针旋转，

①如图2,当点N恰好在AB边上E寸，求证：BN2+AN2=2ON2；

②当点4M,N在同一条直线上时，若OB=4,ON=3,请直接写出线段BN的长.

【变式8-3](2021.山东济南.统考一模)已知人。是等边△ABC的高，AC=2,点。为直线人。上的动点(不

与点A重合)，连接80,将线段BO绕点。顺时针旋转60。，得到线段OE,连接CE、BE.

⑴问题发现：

如图I,当点O在线段4。上时，线段AO与CE的数量关系为—，NACE的度数是,

(2)问题探究：

如图2,当点0在线段A。的延长线上时，（1）中结论是否还成立？请说明理由.

⑶问题解决：

当NAEC=30。时，求出线段B。的长

题型09构造辅助线证明两个三角形全等一倍长中线法

【例9】（2019.山东淄博.统考一模）如图，ZM8C中，。为的中点，E是4D上一点，连接8E并延长交4C

于F,BE=AC,且BF=9,CF=6,那么4斤的长度为

【变式9-1］（2023•云南昆明•统考二模）“倍长中线法”是解决几何问题的重要方法.所谓倍长中线法，就

是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，具体做法是：如图，40是△4BC的中线，延长

到E,使=连接BE,构迨出△BED和△求证：ABED"CAD.

■

E

【变式9-2］.（2022•全国•一模）如图，在△A4c中，NAC6=90。，4OAC,于点力，点七是

A8的中点，连接CE.

（1）若AC=3,3c=4,求8的长；

（2）求证：BC2-AC2=2DE>AB；

（3）求证：CE=gAB.

【变式9-3］（2019•吉林长春・东北师大附中校考二模）【问题提出】

如图①，在△ABC中，若AB=6,AC=4,求BC边上的中线AD的取值范围.

（1）【问题解决】

解决此问题可以用如下方法：延长40到点E使CE=4。，再连接BC（或将A/1CD绕着点。逆时针旋转180。

得到△E8D),把48、AC.24。集中在△A8E中，利用三角形三边的关系即可判断，由此得出中线47的取

值范围.

(2)【应用】

如图②，在ZkABC中，。为8c的中点，已知48=5,AC=3,AD=2,求BC的长.

(3)【拓展】

如图③，在△4BC中，4/1=90。，点D是边BC的中点，点E在边AB上，过点。作OF_LOE交边AC于点儿

连接Er.已知BE=4,CF=5,求E"的长.

题型10构造辅助线证明两个三角形全等-截长补短法

【例10】(2022上湖北孝感.统考期中)如图，在五边形/BCOE中，AB=AE,平分^CAD=

24E.

(1)求证：CD=BC+DE；

(2)若48=75。，求NE的度数.

【变式10T】(2022上•湖北孝感・统考期中)如图，在四边形A8C0中，AC与BD交于点0,4c平分乙DA8,

8D平分NC871,乙ADC+乙BCD=240°.

(1)求440B的度数；

(2)求证：OD=OC.

【变式10-2](2020上.北京•校考期中)在四边形48DE中，点C是边的中点.

图①图②

⑴如图①，/C平分ZB4E,^ACE=90°,写出线段4E,AB,DE间的数量关系及理由;

（2）皿图②，AC平分4EC平分41E0,/.ACE=120%写出线段AB,BD,DE,/IE间的数量关系及理

由.

【变式10-3】（2023上•山西朔州•校考期末）（1）问题背景:如图①：在四边形A8CD中,AB=AD,

/.BAD=120°,=Z-ADC=90°.E、F分别是5C、CD上的点且zEAF=60。.探究图中线段BE、EF、

广。之间的数最关系.小明同学探究此问题的方法是:延长FO到点G,使。G=8E.连接力G,先证明△

4BE三△4DG,再证明凡可得出结论,他的结论应是

E,F分别是8C、CO上的点,

且，瓦4F=；284D,上述结论是否仍然成立？说明理由：

（3）实际应用：如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（。处）北偏西30。的4处，舰艇乙在指挥

中心南偏东70。的8处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里

/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50。的方向以80海里/小时的速度前进2小时后，甲、乙两舰艇分别到达

瓦广处，此时在指挥中心观测到两舰艇之间的夹角为70。，试求此时两舰艇之间的距离.

方技巧

利用辅助线构造全等三角形:

1）把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律.

2）证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形

来证明.

题型11构造辅助线证明两个三角形全等-作平行线

【例11】（2022上.贵州黔西.统考期末）如图，△48C是边长为4的等边三角形，点。在A8上，过点P作

PELAC,垂足为E,延长BC至点Q,使CQ=%,连接PQ交AC于点则。石的长为（）

A.1B.1.8C.2D.2.5

【变式1卜1】（2015上•福建龙岩•价段练习）如图所示：△A8C是等边三角形，。、E分别是成及47延长线

上的一点，且BD=CE,连接DE交BC于点M.

求让：MD=ME

【变式11-2】（2019•江苏南京•校考一模）读下面的题目及分析过程,并按要求进行证明.已知:如图,E是

BC的中点，点A在DB上，且

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