第03讲平面向量的数量积（原卷版）

第03讲平面向量的数量积

[T知识城理

i.向量的夹角

已知两个非零向量。和从O是平面上的任意一点，作近=〃，OB=b,则/彳。8就是向量a与b的夹角,

向量夹角的范围是[0,汨.

2.平面向量的数量积

a-A=|a||6|-cos6（。为0与6的夹角）A—^^8

3.平面向量数量积的几何意义「「打

设m〃是非零向量，它们的夹角是"AB=a,CD=h,过/的起点乂和终点8,分别作班所在直线的垂

线，垂足分别为小，Bi，得到我们称上述变换为向量〃向向量力投影，不讲叫做向量〃在向量6

上的投影向量.

记为问cos。,.

4.向量数量积的运算律

(\)ab=ba.

(2)(Aa)b=A(ab)=a(/.b).

(3)(aA-b)c=ac-\-bc.

5.平面向量数量积的有关结论

已知非零向量a=（M，川），b=（x2,/），a与b的夹角为仇

结论符号表示坐标表示

模|。|=aa|fl|=x彳+j?

八abcx\Xi-\-y\yi

夹角cos0=cos0=

\a\\b\xf+W城+员

a±b的充要条件ab=0xiX2+yiy2=0

|4协|与同同的关系\a-b\^\a\\b\\XiX2+yW(XT+.VT)(^2+比)

平面向量数量积的简单应用

命题点1平面向量的模

例1.(1)已知向量坂满足卜卜恸=卜+可=1,则卜+2耳=

A.£B.V7

(2)已知向量33的夹角为60。，且|；|=2,\a-2b\=247,则向量右在£方向上的投影向量的模等于()

(3)若平面向量入加工两两夹角相等且不共线，若|大=3,忖=2,|c|=l，则|£+坂+工|的值为()

A42B百

(4)已知|而|=4,|就|=6,则|沅|的取值范围是.

(5)已知平面向量£,以"满足乐W=K+N=2,Kp-26-c|=V7,则M的最大值为.

【复习指导】：(1)求解向量模的问题就是要灵活应用标=同2,即⑷=寸'/，勿忘记开方.

(2)求向量的夹角，主要是利用公式88。=皿4力的值及同，|加的值，然后代入求解，也可以寻找同，\b\,

1。1网

〃力三者之间的关系，然后代入求解.

(6)已知平面向量。=(3,5),力=(一2,1),求。-2b及其模的大小.

【复习指导】：求向量”=(x,y)的模的常见思路及方法

(1)求模问题一般转化为求模的平方，即标=同2=》2+炉，求模时，勿忘记开方.

(2)优“=。2=|砰或|a|=W2=Np+，，比性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.

命题点2平面向量的夹角

例2.(1)若I，1是夹角为6CT的两个单位向量，则1=21+1与刃=-31+2公的夹角为()

A.30°B.60°C.120°D.150°

【复习指导】：解决向量夹角问题的方法及注意事项

(1)求解方法：由cos9="=蜡里上警=直接求出cosf).

1aMi巧)小+.正

(2)注意事项：利用三角函数值cos。求。的值时，应注意角。的取值范围是0OW0W180。.利用cos()=-^0

同网

的值时，要注意cos80时，有两种情况：一是。是钝角，二是9为180。；COSG0时，也有两种情况：一是。

是挽角，二是。为0。.

(2)已知H=1,W=5£+片回,则G+B与1z的夹角为()

A.60°B.120°C.45°

(3)已知向量)是单位向量，向量b=(Q,8),且)

3n7T

A.—B.—C，3

04

(4)已知-作万=29=d+儿则cosN4O8=

(5)平面内有两个向量£,B，将£绕起点顺时针旋转T得到向量"，且；力=:；，则£与否的夹角为.

⑹已知向量£,6满足"=3同=3,[a-b^Lb,jjlijsin<aj)>-,

【复习指导】：求平面向量的夹角的方法

①定义法：COS0=a'b,£的取值范围为[0,n].

同步|

xg+yi”

：若4=(X1,>,!),6=(X2,y2),则COS0=

/+应

③解三角形法：把两向量的夹角放到三角形中.

命题点3平面向量的垂直

例3.(1)已知a,b是异面直线，*,1分别为取自直线a,b上的单位向量，且)=2泉+3乙，石=%一名,

£_L5,则实数K的值为()

A.-6B.6C.3D.-3

(2)P是AJBC所在平面上一点，若万.而=而反=正亦，则尸是的()

A.外心B.内心C.重心D.垂心

(3)已知向量入B的夹角为，且4=呼卜3,若伊叫点,则a=.

TT-—

(4)已知向量,与B的夹角为§,|万|=2,|/”=1,记口且万则s,i)=.

(5)设向量a,5,c满足a+B+c=6,(a-5)_LcM若同=1,则忖+国+甘的值是

【复习指导】：解决有关垂直问题时，设非零向量0=(X1，")，5=(X2,只)，。与〃的夹角为夕

(\)aLb^ab=0.

(2)aLb<^x\X2~^~y\y2=0.

平面向量数量积的综合运算

例4.(1)如图，在“8c中，AD1AB,|而|=2,友=3的，则花.而的值为()

B

C.12D.16

【复习指导儿求两个向量的数量积有三种方法：

(1)利用定义：计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要

通过平移使两向量符合以上条件.

(2)利用向量的坐标运算：

(3)利用数量积的几何意义.

具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用.

(2)已知菱形48CO的边长为2,Z^D=120°,G是菱形48C。内一点，若晶+而+沅=。，则而•丽=

()

A.YB.1C.-D.2

22

(3)已知梯形49c。中，AD//BC,Z5=pAB=2,4c=4,工。=1,点尸，0在线段8C上移动，

且产。=1,则万的最小值为()

(4)如图，菱形4?CZ)的边AC上有一点E,边。C上有一点尸(£,尸不与顶点重合)且忸句＞|。尸|,

若△力£尸是边长为后的等边三角形，则成.炉的范围是()

AD

(5)如图，在AzlbC中，~AB=a.AC=b^。/分别为4C,/IC的中点，P为力。与9•的交点，且就=2丽.

BP=xa+yb»贝!]x+y=；若小8=3,AC=4,Z.BAC-y,则方＞.而=.

(6)在中，O为中线4M上的一个动点，若4W=3,则以•(赤+3)的取值范围是

【复习指导】：向量数量积综合应用的方法和思想

(1)坐标法.

把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向

量运算，从而使问题得到解决.

(2)基向量法.

适当选取一组基底，写出向量之间的炭系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解.

(3)利用向量运算进行转化，化归为三角函数的问题或三角恒等变换问题是常规的解题思路和方法，以向量

为我体考查三角彩问题时，要注意正弦定理、余弦定理等知识的应用.

三.平面向量的实际应用

命题点1平面几何中的向量方法

例5.(1)户是。所在平面内一点，满足|方|—|而+户C—2方|=0,则』8C的形状是(

A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形

(2)0是平面上一定点，小《、C是该平面上不共线的3个点，一动点尸满足：OP=OA+A(AB+JC),

则直线IP一定通过△45。的()

A.外心B.内心C.重心D.垂心

(3)已知点O是锐角的外心，48=8,AC=12,力=?，若而=工赤+＞，就，贝iJ6x+9y=()

A.6B.5C.4D.3

一1一2__

如图所示，设P为A44C所在平面内的一点，并且/P=7/+丁。，则zM8p与AJAC'的面积之比

等丁()

A.-BD.1

5-I

(5)已知圆。是△/仍。的外接圆，半径为1,且次+0赤+赤反=6,则前.荏

(6)如图所示，在正方形48CZ)中，E,b分别是月8,8c的中点，求证：AFA.DE.

【复习指导】：用向量证明平面几何问题的两种基本思路及步骤

(I)利用线性运算证明的四个步骤：

①选取基底.

②用基底表示相关向量.

③利用向量的线性运算或数量积找出相应关系.

④把几何问题向量化.

(2)利用坐标运算证明的四个步骤：

①建立适当的平面直角坐标系.

②把相关向量坐标化.

③用向量的坐标运算找出相应关系.

④把几何问题向量化.

命题点2向量在物理中的应用

例6.(1)如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的A地出发，向河对岸航行.已

知船的速度X的大小为同=8km/h,水流速度工的大小为同=2km/h,船的速度与水流速度的合速度为】

那么当航程最短时，下列说法正确的是()

---I

A.船头方向与水流方向垂直B.cos<vpv2>=--

C.M=2/7km/hD.该船到达对岸所需时间为3分钟

______________⑷

(2)在日常生活中，我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景，若行李包所

分别为£，F”且圄=|周，片与用夹角为。，当两人拎起行李包时，下列结论工

A.同=|用+|闾

c.当。角越大时，用力越省D.当圜=|G|时,e

(3)某学生体重为〃永g,处于如图月:示的平衡状态，假设他每只胳膊的最大拉力大小均为日mgN(重力

加速度大小为g)，如果要使胳膊得到充分的锻炼，那么他两只胳膊的天角最大为()

n兀2兀

A.-C.D.

r32T

（4）河中水流自西向东每小时10km,小船自南岸A点出发，想要沿直线驶向正北岸的B点，并使它的实

际速度达到每小时10方km,该小船行驶的方向和静水速度分别为（）

A.西偏北30°,速度为20km/h

B.北偏西30%速度为20km/h

C.西偏北30。，速度为20Gkm/h

D.北偏西30。，速度为20Gkm/h

【复习指导】：用向量方法解决平面几何（物理）问题的步骤

工达标检测

|UIU-

1.若画=7,|画=4,则忸。的取值范围是（）

A.[3,7]B.（3,7）C.[XI1]D.（3,11）

2.已知不共线的平面向量万出了两两所成的角相等，且同=1,向=4.|G+B+a=>/7,则同=（）

A.V2B.2C.3D.2或3

3.已知平面向量入做方W&满足|回=3,且［与5-口的夹角为30。，则|5|的最大值为()

A.2B.4C.6D.8

4.已知1|布|=3,|万心|=2,|而一3沅|=6,则|布+而|=()

A.4B.yfiOC.10D.16

5.已知平面向量£,h,"两两之间的夹角均相等，且75=-1，“=-2，"%=-3，则,+坂+3

A.史B.叵C.逗D.经

3366

6.己知向量G，b满足卜卜3同=2,ab=1若—a+2坂与〃］“+3g共线，则M°+3'=()

A.2B.4C.722D.22

7.己知；=(2加13。,25吊77。)，|〉笳=1,£与的夹角为。，则＞石=().

A.2B.3C.4D.5

8.已知向量£与3的夹角是,，旦口=日+可，则向量公与3+B的夹角是()

A.60°B.30。C.150°D.120°

9.已知向量£=(6,1)，坂是单位向量，若［2£-加=而，则£与坂的夹角为()

10.如图，在等边小8。中，BD=3DC,向量/而在向量力上的投影向量为(

c

H.若忸+/）|=1一"=2^■同，则向量1+8与A的夹角为（

)

37127r_5)i

A.-B.-C.——D.—

6336

12.在中，BC=4,AB=3AC,则就.瓦j的取值范围为（)

A.[-3,12]B.(-3,12)C.[12,24]D.(12,24)

13.在平行四边形中，AB=3,AD=4,/BAD=60,点七是8c的中点，CF=2FD，则”・丽

()

A.-6B.-2C.2D.6

14.在RtZk/BC中，AB=9,斜边8c上一点。满足2丽+方万=6，则而.而=（）

A.24B.27C.36D.81

15.己知A/I3C中，44=2,AC=\,而.%=],O为“8C所在平面内一点，且满足5+2赤+薪=0,

则彩•册的值为（）.

A.-4B.-1C.1D.4

16.在△44。中，48=4,4c=2点E,/分别是力。的中点，MJ（5?+CE）-5C=（

A.—6B.6C.-12D.12

17.窗的运用是中式园林设计的重要组成部分，在表现方式上常常运用象征、隐喻、借景等手法，将民族

文化与哲理融入其中，营造出广阔的审美意境.从窗的外形看，常见的有圆形、菱形、正六边形、正八边

形等.已知圆。是某窗的平面图，O为圆心，点4在圆。的圆周上，点P是圆。内部一点，若|万|=2,

且方•万=一2,则|R+而|的最小值是（）

A.3B.4C.9D.16

18.已知向量1=卜-1,2）方=（2,4）,则“d与在夹角为锐角”是。>-3"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

19.A/IBC的外心。满足力+赤+6历=6，=J2,则的面积为（）

A."J?B.C.V2D.2

22

20.已知两恒力耳=（1,3）,E=（2,l）作用于同一质点，使之由点4（10,5）移动到点巩8,7）,则力月、月的

合力户对质点所做的功为（）

A.-2B.2C.4D.|0>/2

21.在A8C中，^（C4+C5）（G4-CS）=O,则为（）

A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.无法确定

22.已知18。的外接圆半径为1,圆心为O,且3/+4赤+5反=6，则瓦.赤的值为（）

23.点。是三角形48C所在平面内的一点，满足而・砺=丽•优=则点。是&48c的（）

A.三个内角的角平分线的交点B.三条边的垂直平分线的交点

C.三条中线的交点D.三条高的交点

24.（多选）下列关于向量的命题正确的是（）

A.向量£［共线的充要条件是存在实数4,使得液成立

B.对任意向量1九归一母中卜解恒成立

r__£"£•

C.非零向量a石,。，满足allb,b//c•则a//c

D.在AO/H中，C为边4B上一点,AAC-.CB=2:3,则芯=：7+|丽

25.（多选）下列说法中错误的是（）

A.些位向量都相等

B.向量荏与而是共线向量，则点/、B、C、。必在同一条直线上

C.两个非零向量%知若|万+'=,一|可，则2与B共线且反向

D.已知向量G=（4,3-m）出=（1,川），若1与5的夹角为锐角，则一

26.（多选）设,高均为单位向量，对任意的实数，有窘+区回+后胆成立，则（）

A.［与［的夹角为60B.国；［|=；

C.向-吊|的最小值为gD.+的最小值为g

27.（多选）已知点。为所在平面内一点，20日+30豆+4（元=6，则下列选项正确的是（）

A.AO=-Aff+-AC

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B.亘线40必过8c边的中点

C.S4ABeS"oc=3:1

D.若|砺|=|历|胃厉|=1,则cos＜昂，砺＞=；

28.(多选)下列说法正确的是()

IU1'IUUU1LUT

A.若点G是。的重心，则NG=]43+『C

B.已知a=(T,2),b=(x,x-\),若,-2a)//a,则x=-l

C.已知4,B,。三点不共线，B,CM三点共线，若而=》方+(2》一1)次，则x=g

D.已知正方形/18CQ的边长为1,点M满足。后沅，则[应•n=g

29.设向量£花的夹角的余弦值为且|2々卜|3加=6,则|2*+加=.

30.已知向量工，B满足”=1,3=(-1,e)，S=2a(2eR),则,一同=.

31.在平面直角坐标系xOy中，点力(W),点2?在圆/+/=4上，则।刀-丽।的最大值为.

32.已知向量工=(1,2),向量坂与向量3共线，且7B=15，则忖=.

33.己知菱形力8c。的边长为2,/诩。=120。，点分别在边8C,CD上，F1满足赤=成，CD=2CF，

则麻+万卜.

34.已知向量Z和B的夹角为150。，且同=75,|2办照=2,则5在£上的投影为.

35.已知同=3巾］=2,且(a+3b)la,则云与B的夹角0的余弦值cos，=

36.己知［与［是两个互相垂直的单位向量，若向量与人2+3的夹角为锐角，则％的取值范围是

37.在