第18讲 证明不等式之其他技巧（分段分析法、主元法、估算法）（解析版）-高考数学备考复习重点资料归纳

第18讲证明不等式之其他技巧(分段分析法、主元法、估算法)

【典型例题】

例1.设〃>0且awl,函数/(x)=sinax-as\nx.

(1)若/(x)在区间(0,2%)有唯一极值点%,证明：/(.0)<min{2a兀，。-〃)乃}；

(2)若在区间(0,2回没有零点,求〃的取值范围.

【解析】解：(1)证明：/*(x)=acosax-acosx=a(cosax-cosx)=-2asinxsinx.

若。>1,则在区间(0、2力至少有％=2二，占=±两个变号零点，故

a+\"a+\

令八x)=。，得4=2"",兀=&^，其中〃？，〃eZ，仅当加=1时，N=-^~€(0,2兀),

4+11-6761+1

且在N的左右两侧，导函数的值由正变负，

故0v4v1时，f(x)在区间(0,24)有唯一极值点毛=—，

4+1

此时/(%)=sin叫-asin仆,将垢=二二代入得：

。+1

2M2/r.2(l7r...2兀、/、、.Ian

/(%)=sin一ssin=sin------+«sin(2^--------)=(l+«)sin

a+1a+\a+1----------------a+1

①当!,即()<«一时，2a/r”(1一“)乃,

a+\23

由不等式：K>0时，x>sinM*)知：

(14-tz)sin—―-<(1+«)———=ICITC,

a+\a+\

②当即当，<a<i时，(l-a)4<2a/r,

a+l23

、.2a兀“、./2a兀、八、.(1一〃)用

(Z1+a)sin-----=(1+“)sin(4--------)=(1+a)sin-----------»

a+1a+1a+1

由不等式(*)知：(1+a)sin——竺^<(l+a)9-2^=(1-。)乃，

a+1a+1

由①②知f(^0)v〃“川为打，(\-a)7r}.

(2)①当时，/(—)=sin(«•—)-«sin—=-6/sin—<0>/(—)=sin(-^^)+6/>0»

aaaa22

故/(令/(当)<0,

a2

由零点存在性定理知：/(X)在区间(生，空)上至少有1个零点，

a2

②当时，7T<—<2TT>—<an<7i>兀<2a兀<2•n，

2a2

/(—)=-6/sin—>0,/(^)=sin«^>0»/(2^)=sin2a7r<0»

aa

由零点存在性定理知，/(x)在区间(万,2乃)至少有1个零点，

③当0va,3时，f'(x)=acos(ix-acosx=«(coscix-cosx),

令g(x)=cosax-cosx.虹g'(x)=-asinav+sinx,

在区间(0,i)上，cosav>cosx,f\x)>0,/(x)递噌，

在区间(万,2幻上,g，(x)v0,即g(x)递减，即八x)递减,r(x)<r(2乃)<0,

故/(x)在(0用)上递增,在(小，2笈)上递减,

乂/(0)=0./(2幻=sin2m•..(),即在(乃,2乃)上，/(x)>0,

故人幻在区间(0,2外上没有零点，满足题意,

综上，若/(X)在区间(0,2乃)上没有零点，

则正数。的取值范I制是(0,夕.

例2.已知函数f(x)=(x-0).

(1)若函数f(x)存在极小直点，求，〃的取值范围；

(2)证明：f(x+m)<ex4-cosx-l.

【解析】解：(I)函数的定义域为(0,内)，

“、x-m.m.

/(x)=-----+brix=1——+Inx»

xx

①当m=0时，/(力=0得x=1，

e

当XG(0,1)时，fXx)<0,

e

当xwd,+co)时，f'{x}>0，

e

.•.x=1是函数.f(x)的极小值点，满足题意

e

②当mvO时，令g(x)=r(x),/a)=g+L省,

XXX

令g，(x)=0,解得x=-m,当xe(0,—M)时，glr)v0当xe(-九+oo)时，gXx)>0

=g(_M=2+而(TH),若g(T")..0,即惟，-e々时，广(x)=g(x)..O恒成立,

.•J(x)在(0,田)上单调递增,无极值点，不满足题意.

若g(-m)=2+ln(-m)<0,即一e"<〃?<0时，g(l—=I-----+//?(!-w)>0

\-m

g(T〃)・g(l-川)<0，

又g(X)在(~m,KX)上单调递增，，g(x)在(-〃?,-KO)上恰有一个零点%,当xG(一肛N)时，

/'(%)=g(x)<0，

当66(芭，+8)时，/'(x)=g(x)>0,

.•.%是/(X)的极小值点，满足题意，

综_£,-e~?</«,,0.

(2)当/40时，f(x+m)=.r/n(x+〃“，xbix,

若xlnx<ex+cosA-1成立,贝！/(x+m)<ex+cosx-1必成v.,

①若xe(0,1],贝ij"+cosx-l>0,A•4K,0,

/.xlnx<ex+cosx-1成立，

/.f(x+m)<el+cosx-1成立

②若JV>1,令/2(X)=，+CQSX-H/H-1,

h'(x)=ex-sinx-bix-1，

令奴x)=h'(A)，(p>(x)=---cosx»

x

.¥>1,/.=er---cosx>0.

x

：.(pix)在(l,+co)上单调递增

(p(x)>(p(1)=e—sinl—1>0»即/«x)>0,

/.//(A)在(I,zo)上单调递增，

h(x)>h(1)=e+cos1—1>0>

时，x/，ix<e'+cosl-1成立，

时，++COSX-1成立.

例3.若定义在R二的函数f(x)满足/3=与—/_2/(0)%,

y1

g(x)=/G)--x2+(}-a)x+a,aeR.

24

(I)求函数/(x)解析式：

(II)求函数g(x)单调区间;

(III)若x、y、/〃满足|x|y-，川，则称x比)，更接近〃当〃..2且上..1时，试

比较自和。I+“哪个更接近/心，并说明理由.

X

【解析】解：(I)根据题意，得/«)=/'(1)e2x-2+2x-2f(0),

所以/，(I)=f(i)+2-2/(0),BP/(0)=l.

又八0)="⑴—

所以/。)=/，+/一2工.

(ID-f(x)=e2，t-2x+x2,

X1,I

/.g(x)=f(-)—x2+(1-a)x+a=ex-x—x2+(1-a)x+a=ex-a(x-1)

244

二g\x)=eK-a,

①4,0时,g'(x)>0,函数g[x)在R上单调递增;

②当a>0时，由g'(x)="-a=0得K=/〃n,

/.-VG(YO』M)时，g<X)<0，g(X)单调递减：

xe(Ina,+oo)时，((x)>0,Mx)单调递增.

综匕当4,0时，函数g(x)的单调递增区间为(YO,y)：

当4>0时，函数g(x)的单调递增区间为(加々+00),单调递减区间为(Y0,/〃a).

(III)解:设p(x)---btx»q(x)=c'T+a-lnx,

x

/."(x)=一-y--<0»

XX

二.p(x)在[I,+8)上为减函数，乂p(e)=0.

二.当撷ke时，p(x)..O；当i>e时，〃(x)<0.

,jcf(x)=e*-'-qH(x)=e'T+二>0,

XX

.•./(X)在[i,+8)上为增函数，又a(1)=0,

/.xe[l,+oo)时,q\x)..0,

.,.我幻在近1,+8)上为增函数，

/.q(x)..g(1)=a+2>0.

①当啜!ke时，|p(x)-q{x)|=p(x)-q(x)=--ex~l-a，

x

设m(x)=2lnx-eK~'-a,

则W(x)=——yv0.

.•.M用在U，+oo)上为减函数，

/."O(1)-e-\-a-

•当a..2,

ni(x)<0,

-1P(x)IV4。)I，

.•・£比e1+a更接近加r.

X

②当x>e时，|/Xx)-</(.¥)|=-p(x)-q(x)=--+21nx-e'~l-a<2hvc-ex~'-a,

x

2?

设n(x)=2hix-eK~'-a,则,f(x)=——e'",n,r(x)=一一<0，

xx-

/f(x)在x>e时为减函数，

2

:.//(.v)<//(e)=——ee~'<0，

e

n(x)在x>e时为减函数,

e

/.M(X)<n(e)-2—a—e—\<^.

-'-Ip(x)IVq(x)I，

比8T+4更接近加t.

X

综上：在a.2且x..l时时，刍比e~+a更接近阮r.

X

2x22

例4.定义在R上的函数/(A)满足/(x)=f^le-+x-2/(0)x,

2

g(x)=/(：)_*+(1_».+q.

(I)求函数/*)的解析式；

(H)求函数g(x)的单调区间;

(III)如果$、/、r满足川”I・川，那么称s比/更靠近「.当a.2且工.】时,

试比较刍和小、〃哪个更靠近而，并说明理由.

X

【解析】解：(I)f\x)=f(1)e2jr-2+2x-2/(0),所以r(1)=f(1)+2-2/(0),

即/(0)=l.

乂/(0)=号所以/，(|)=2/,所以=

(II)•/f(x)=eix-2x+x2,

I]I

g(x)=f(x-)——x2+(1-a)x+a=er+-x2-x——x2+(l-a)x+a=ex-a(.v-1),

2444

g'(x)=ex-a.

①当《、0时，g'(x)>0,函数g(x)在R上单调递增：

②当a>0时，由g'(x)=e。-a=0得x=Ina，

.,.当xw(YO,/〃a)时，g，(x)v0,g(x)单调递减：当xe(Ina,-KO)时，/(x)>0,g(%)单调

递增.

综上，当4,0时，函数g(x)的单调递增区间为(e,+oo)：当a>0时，函数双幻的单调递增

区间为(Ina,-HX>),单调递减区间为(YO,加々).

(III)解：设p(x)=--bix,q\x)=ex~x+a-Inx,

x

g1

p\x)=7——<0.

X-X

，p(x)在XG[1,+ao)上为减函数，又〃(e)=0,

.,.当1皴。时，p(x)..O,当时，p(x)<0.

vc/'(x)=e^'1--,g"(x)=*+二>0,

xx~

:.c/'(x)XG[1»+8)上为增函数，又/(I)=0,/.xe[l»+co)时，/(x)..O,

.,.g(x)在xe[l,4<o)上为增函数，/.q(x)..q(1)=a+2>0.

①当1融e时，|p(x)|-1q(x)\=p(x)-q(x)=--ex~l-a，

x

设m(x)=--ex~x-a,则加(x)=二-eK~}<0,

xx~

：.mix)在xe[1,+oc)上为减函数，

/.ni(x\,m(I)=e-\-a,

a..2,m(x)<0>.'Jp(x)|<|q(x)|，

.•・£比ei+a更靠近机r.

x

②当x>e时，|p(x)|-1q(x)|=一p(x)-q(x)=--+2lnx--av2lnx-e1-1-a,

x

27

设n(x)=2lnx-eK~'-a,则〃'(x)=——^~x,n"(x)=-■y-e^~'<0,

二〃'(x)在x>e时为减函数,

2

〃'(x)<〃'(e)=—ef~'<0»

e

二〃(X)在X>6>时为减函数，

n(x)<n(e)=2-«-^-1<0,

••IP(x)|<|q{x}\,

.•・£比gi+a更靠近伍j

X

综上：在a.2.工」时,£比。5+〃更靠近瓦1

X

例5.若定义在R上的函数f(x)满足/(幻=学・/一+£-2/(0)・x,

g。)=/(._*+(i_g+a.

(I)求函数/(x)解析式；

(II)求函数g(x)单调区间：

(IH)试比较|£-/心|+/心和小的大小，井说明理山.

X

2x2

【解析】解：(I)根据题意,得/3=:⑴e-+2X-2j(0),

所以/，(I)=f(i)+2-2/(0),BP/(0)=l.

又/(0)=与吆所以/(外=/，+/—2%.

(II)•・•/(x)=e2K-2x+x2,

g(x)=/(9-%?+(]_g+a

=ex+-x2-x--x2+(1-a)x+a

44

-ex-«(x-l).

二g\x)=--a，

①a,0时,g'(x)>0,函数f(x)在R上单调递增;

②当a>0时，由g，(x)=e*-a=0得x=,

/.xe(70./〃a)时，g(r)<0,g(x)单调避减：

x€(Ina.+co)时，>0,g(x)单调递增.

综上，当4,0时，函数g(x)的单调递增区间为(YO,也)：

当a>0时,函数g(x)的单调递增区间为(加4例),单调递减区间为(-8,加a).

(Ill)大小关系:|——Inx|+lnx<ex~l+a；

x

理由如下：

设p(x)=--lnx»则“(x)=―二--<0././?(x)在［1,+oo).卜为减函数，

xx~X

又二〃(e)=0,

.•.当1纵e时，〃(x)..0：当时，p(x)<0.

令g(x)=£一/zivl+Zzu--a,分两种情况讨论：

X

①当1领ke时，g(x)=--eK~-a,

x

则g'O)=__<_<0，

.•.g(x)在［1,+8)上为减函数，

.,.g(x)„g(1)=e-\-a<0,

--Inx|+lnx<ex~'+a:

x

②当%>e时，g(x)=--+2/ziv-e(~'-a<2lnx-ex~l-a，

x

2?

设n(x)=2lnx--a，则nr(x)=一一用「，H'(x)=一一<0，

xx~7

n'(x)在x>e时为减函数，

2

，«x)v〃'(e)=——e'T<0,

e

n(x)在x>e时为减函数，

二.〃(x)v〃(e)-2-a-eei<0»

——lnx\+bix<-+a.

x

【同步练习】

1.已知函数/。)=d(a人-©2+24-6),其中4G&,6=2.71期...为自然对数的底数.

(1)当4=0时，讨论函数〃%)的单调性;

(2)当g轰h1时，求证：对任意的xe［O,+oo),/(A)<0.

【解析】解：(1)当。=0时，.f(x)=e'(sinx-e),

则.f'(x)=—(sinx-e)+excosA=e，(sinx-e+cosx),

sinx+cosx=>/2sin(.v+—X,41<e>

4

.•.sinx+cosx-e<0

故f'(x)<0

则/(x)在R上单调递减.

(2)当x..O时,y=e\A,

要证明对任意的XG[O,+00),f(A)<0.

贝U只宙要t正明对任意的xw[0,十oo),sinx—ax2+2a—e<0.

设g(a)=sinx-ar:+2a-e=(-x2+2)a+sinx-^,

看作以。为变量的一次函数，

要使sinx-av?+2“一e<0，

.WU--x2+1-e<0®

则2

[g⑴<0sinx-x2+2-e<0®

sinx+1—ev0恒成立，二.①恒成立,

对于②，令/1(x)=sinx-丁+2-e,

则//(.v)=cos.v-2x,

设x=/时，h\x)-0♦即cos-2/=0.

COS/I..7C1

-----<—»sin/<sin—=—

2262

.•/（幻在（。,，）上，//（x）>0,//（x）单调递增，在（人田）上，/r（x）<0,/?（x）单调递减,

则当x=/时，函数力(x)取得最大值/?(，)=sin+2-e=sinr-(M^*)2+2-e

2

.1-sin2t_1.7.sin/3.5_327c

=sin/------------+2-e=—sin~2/+sin/+——e=(-----+1l)x2+——e(―)2+——e=-------e<0,

44424n4416

故④式成立，

综上对任意的X€[0，+8)，/(X)<0.

2.已知函数/(%)=丁+/nx-ov.

(1)求函数/(%)的单调区间;

(2)若f(x),,2/,对xe[0,is)恒成立，求实数”的取值范围；

(3)当”=1时，麴(x)=xJ-/(*)—x—1.若正实数4,4满足4+4=1，5，W£(0,

■KO）（XI工工），证明：身（4内-4与）v4&（N）+&以£）.

【解析】解：⑴f\x）=2x^--a=2x2~aX+

,x>0，△=/-8,

XX

①a,2应时，r*）..O恒成立，

故函数〃x）在（0,心）递增，元递减区间，

②a＞2夜时，/@）＞0=0「＜〃一"^或”"而行,

44

故函数f（x）在（0,幺二五三），（竺鱼豆，田）递增，在（纥应三1,”应三）递

4444

减，

综匕出2夜时，函数/（幻在（0,+00）递增，无递减区间，

。＞2及时，函数/⑶在（0,匕位三），（空正m,+00）递增，在（丝五m,

444

a+址-8

）递减,

~4~

(2)f(x\,2x2,对xw[0,+oo)恒成立,

竺-X恒成立,

即xe[0,+oo)时,

X

令尸。)=如一3，(x>0),则F'(x)=「"'7

Xr

令G(x)=l-〃Lr-x2(x>0),

则G<x)=」-2%<0，.\G(x)在(o,y)递减且G(1)=0,

x

.-.XG(o,l)G(x)>0,F(.v)>0,P(x)递增，

当xe(l,+cc),G(x)<0,b(i)vO,尸(x)递减，

••・尸(幻心=尸⑴=7，

综上，〃的范围是[-1,+8).

(3)证明：当a=l时，f>(x)=xe-(lnt-x)-x-\=xex-,M-x-1=e*-x-1,

g'(x)=e'-1>0(.r>0),不妨设0<A)<x2,

下先证：存在g€»x2),使得晨.)-g(xl)=g'(g)(再-x),

构造函数Hix)=g@)-g(xl)W，-)(X71),

占一演

显然〃(菁)=〃@,),且H\x)=gf(x)-)-,双+)-g(X),

则由导数的几何意义可知，存在A-2),使得〃，(g)=g，c)-)-史叱&I2=O,

吃一不

即存在<G(X］,王)，使得g(X2)-g($)=g纭)(W-％)，

又g3=e*-1为增函数，

g(8)-g(X|)=g'e)g-x})>g'($)(/-M)，即g5)>g(M)+g'*i)(占f)，

设七=4片+4电(4+4=°)，则％-七=(i-4)$-4%2,电一.q=(1-4)*2-4%，

g(x)>g(w)+g'(&)(E-内)=g(s)+g'(%3)l。-4)x-4占1①，

，

g(F)>g(演)+g(x})(x2-X3)=g(X3)+g'(%3爪1一/?2A2-4为］②，

由①M+②X4得，4g(M)+4g(£)>g(X3)=g(4N+石天)，

即g(4$+为再)v4ga)+4g(w).

3.已知函数/(工)=61'-sinx-cosx,.^(A)=ex+sin.¥+cosx.

(1)证明：当x>_2时，“r)..O：

4

(2)若g(x)..2+or,求a.

［解析［解：(1)证明:/(XI=ex-sinx-cosx=ex-75sin(.r-—)，

4

f\x)=ex-cosx+sinx=+拒sin(x-—)>

4

f"(x)=g(x)=ex+sinx+cosx=e'+忘sin(x+—),

4

考虑到/(0)=0，r(o)=o,

所以①当xw(—亚，一乙)时，>/2sin(x+—)<0.此时/(x)>0,

444

②当x*工,0］时，〃(力>0,所以/'(幻单调递增，

4

所以广。)"(0)=0，

所以函数f(x)单调递减，/(A)../(0)=0,

③当xw［0,网］时，/〃(幻>0,所以八幻单调递增，

4

所以f(x)>r(o)=o,

所以困数/(x)单调递赠，/(A)../(0)=0，

=ixe［—,+8)时，f(x)=e'-V2sin(x+—)..£?'-5/2>0.

44

综上所述，当x>-包时，/U)..O.

4

(2)构造函数尸(x)=g(x)-2-or="+sinx+cosx-2-or,

考虑到/(0)=0，F(0)=0,

Fr(.v)=ex+cosx—sinx-a,

F"(x)=ex-sinx-cosx=f(x},

由(1)可知：b"(x)=/(x)在x>—包时恒成立，

4

所以尸(处=0'+COSA•-sin%-a在(一2，+0C)上单调递增，

4

①若a=2,则若(力在(-至,0)为负，(0,+oo)为正,

4

尸(幻在(-江，0)单调递减，(0,”)递增，

4

所以F(x)..O,

而当冗，一网时，尸(x)=，+sinx+cosx—2-2A塘'+sinx+cosx-2+'—-2-72>0»

422

故a=2满足题意.

②若a>2,尸(0)=2-。<0,

因为9

所以广(以(2+a))=2-V2sin[加(a+2)--]>0,

4

由零点存在定理,必存在%w(0,加(如+a)),使得点(.)=0,

此时满足xe((),.7)时，FV)<0,尸(x)单调递减，

所以F(x)〈尸(0)=0,矛盾，舍去：

③若a<2,F'(0)=2-a>0,

因为当x<0时，FVX,ex+y/2-a<\+yl2-a,

所以当&<〃<2时，FVn(a-yf2))<0,

此时必存在e(/〃(〃-&),0)使得/'(小)=0,

此时满足0)时，广(x)>0,F(x)单调递增，

所以F(x)〈尸(0)=0,矛盾,舍去,

而当a,后时，当F'(x)>ex+cosx-sinx-V2,

所以在xw(x0,0)时，尸(x)>0成立,尸(x)单调递增,F(x)<F(0)=0,矛盾,舍去.

综上所述，a=2.

4.青岛胶东国际机场的显著特点之一是弯曲曲线的运用，衡量曲线弯曲程度的重:要

指标是曲率，曲线的曲率定义如卜：若r(幻是/(X)的导函数，,尸Q)是广“)的导函

数，则曲线y=/(x)在点(x,/(>)处的曲率长="”⑶、

(i+r/Wr

已知函数/(x)=ae、-Mx-bcos(x—l)(a..O,b>0),若a=O,则曲线y=/(x)在点(1,f

⑴)处的曲率为孝

(1)求);

(2)若函数八幻存在零点，求〃的取值范围；

(3)已知1.098〈加3Vl.099，1.050,045<0.956,证明：1.14v/wr<L15.

【解析】(1)解：f(x)=aex-Inx-0cos(x-1),若a=0,则/(x)=-Inx-/?cos(.v-l),

/'(x)=——+/?sin(.v-1)，f"(x)=—；-+bcos(x-1),

XAT

因为曲线y=f(x)在点(1,/(1))处的曲率为孝，

所以K=1广⑴'=门加学=也,

337/72

(1+iro)]2)2[I+(-D2]2J

又。>0,所以力=1.

(2)解：由(1)nJf(x)=aex-Inx-cos(x-1),

若函数/(x)存在零点，则方程/a)=aev—mv—cos(x—l)=0在(0,田)上有解,

即次=处”半心在(0收)上有解，

e

g(x)=ex~'-x,g\x)=ex~'-1,当Ovxvl时，g(t)<0，g(i)单调递减,

当%>I时，g，(x)>0,g(x)单调递增，

所以g*)..g(1)=0,当且仅当x=l时取等号，

从而-底=*皿1+/山？其尔-1)+屣，当且仅当x=l时取等号,

所以h")=府+c；y—i)”],当旦仅当％=i时等号成立，

当人->0时，h(x)->YO,

所以1,解得“，,，

e

即实数a的取值范围是[0,-].

e

(3)证明:由(2)得e『J+/nx,

则1.050>产>^r，>l+/n-=//?^+l-加3>加%+)—1.099>ln.T-0.1,则bur<1.150,

3

3-1

又1+1.098—加乃<1+加3-Inn=\+ln-<e^<<0.956,则加4>1.142>1.14,

71

所以L14v/wrvl.l5.

Kl

5.已知函数f(x)=W-/一,g(x)=e+a-bixt其中e=2.71828…,aeR.

X

(I)证明：x=e是函数/。)的唯一零点；

(II)当”.2且儿.】时，试比较|/(x)|和|g(x)|的大小，并说明理由.

【解析】解：(I)八幻=-』」<0在(0.内)恒成立，

AX

.・"(X)在(0,+oo)上是减函数，又/(e)=0.

二当0cX,e时，f(x)..0：当k>e时，f(x)<0,

.•.x=e是/(x)的唯一零点.…(4分)

(II)当啜。。时，"(x)|—|g(x)|=f(x)-g(x)=£-ei-a…(6分)

X

设"?(%)='-eK~'-a.则加(X)="%--T<0,

xjr

.•.〃?*)在[I,+<»)上为减函数，

:.ni(x\,m(1)=e-1一〃，a..2,m(x)<0»

.1/(x)l<lg(x)l…(8分)

当x>e时,|/(x)|-|g(x)|=-f(x)—g(x)=--+21nx-ex~x-a<21nx-eK~'-a...(9分)

x

99

K

设n(x)=2hix-e~'-a,则〃'(%)=——《，〃"(%)=--7<0,

xx~

2

n'(x)在(e,+co)上为减函数，,〃'(x)<n\e)=——ee~'<0.

在(e,+oo)上为减函数，/.n(x)<n(e)=2-a-e^[<0,

.UU)I<1^U)I

综上，当a.2,X.」时，If(切<|g(x)|…(12分)

2

6.已知函数/(幻满足/(x)=+x-2/(0)x,g(x)=/(立一+2+(|_g+a,

xeR.

(1)求函数f(x)的解析式:

(2)求函数g。)的单调区间;

(3)当a.2且X.2时,求证:|--bvi|<|eK~'+a-Inv\.

X

【解析】解：(1)根据题意，得(1)^-2+2A-2/(0),

所以尸(1)=f1(1)+2-2/(0),B|j/(0)=l.

又/(°)=gr(I)e',

所以f(x)=e2x+A2-2x.

(2)\-f(x)=e2x-2x+x2,

II

二.g(x)=/(—v)——x2+(l-a)x+a=e'-x——x2+(\-a)x+a=el-a(x-\)

244

g'(x)=ex-a,

①a，0时，g'(x)>0,函数g［x)在R上单调递增；

②当a>0时，由g(r)="-a=0得x=Ina,

/.x6(-<x>Jna)时，g'(x)<0,g(x)单•调递减：

xe(Ina,+cc)时，g\x)>0.g(x)单调递增.

综上，当4,0时，函数g*)的单调递增区间为(YO,E);

当。>0时,函数g(x)的单调递增区间为(加a+00),单调递减区间为(-8,历a).

(3)设p(.v)=--Inx,q(x)=ex~'+a-bix,

x

P\x)=~~-,由p\x)<0得p(x)在［I,+oo)递减，

故当1效ke时，〃(%)..〃(e)=0»

当x>e时，p(x)<0,

而cf(x)=ex~x--»q"(x)=eJ--y,

故/")在［1,Ko)递增,4(r)../⑴=0.

则q(x)在［1,+8)递增,q(x1.q(i)=a+2>0,

①1强*e时，|p(x)|-1q(x)|=pfx)-g(x)=---exX-a=w(x)：

x

则,"(x)=—,-<0,〃](人)在[1,+8)递减，

Xre

〃心\,〃？(1)=e-1-avO,

-'-IP(x)|<|q(x)|，

②x>e时，|p(x)|-|q(x)|=-p(x)—q(x)=--+2lnx-'-a-M(A)，

x

?-)-)

n\x)=二+二e一,〃"(x)=----e=^-<(),

XXXX

故〃(e)<0.〃(x)递减，(e)<0.

」P(x)IV4(%)1，

综上，\--lnx\<\eK-'+a-lnx\.

X

7.若定义A在上的函数/(*)满足/(x)-e2j-2+x2-2f(O)x

g(x)=/('-*+(1+a)x+a

(I)求函数/")解析式；

(H)求函数g(x)单调区间;

(III)当a.2且x.l时，试比较|£-/心|+祇和的大小，并说明理由.

X

【解析】(本小题满分12分)

解：(I)f\x)=f'(1)产+2X-2/(0),

所以/，(1)=f(i)+2-2/(0),B|J/(O)=1...(1分)

又/(0)=与."2,所以/，C)…(2分)

所以/(幻=/，+f-2x…(3分)

(II)vf(x)=e2x-2x+x2,g(x)-ex+ax+a..…(4分)

:.g(x)=ex+a..…(5分)

a..O,g'(X)>0,函数/(x)在R上单调递增；.…(6分)

a<0令g(x)=e*+a=0,得、=ln(-a)

函数g(x)的单调递增区间为(加(-4)，+8)，

单调递减区间为(-8,例-砌....(7分)

(Ill)解：设p(x)=£-/nr,矶x)=g(x-l)-浓,

x

vp(x)=―^---<0.「.p(力在xw[l,*0)上为减函数，

x-x

又〃(e)=0，.•.当掇!ke时，〃(x)..0,

当x>e时，/乂*)<0…(8分)

当撤上e时，|p(x)|-虱x)=W-e，T—a

x

设m(x)=--ex~'-a,则/(x)="二-ex''<0，

XAT

w(x)在xe)，+oo)上为减函数,二〃?(x),,m(1)=e-\-a,

vCL.2,m(x)<0»\--lnx\+lnx<g'(x-1)...(9分)

x

x>e时，|p(x)|-<7(A)=21nx---ex~x-a<21nx-ex~'-a