第3节 电势差与电场强度的关系 教学设计

第3节电势差与电场强度的关系

I学习目标I

1.掌握公式〃=&/的推导过程，理解公式的含义，知道公式的适用条件。

2.理解电场强度的另一种表述。

3.能够应用U=E1"或E=察解决有关问题。

新知初探必备知识•素养奠基夯实基3

知I识I梳I理

知识点1电势差与电场强度的关系

1.关系式：UAB=Ed>

2.物理意义：匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场方

向的距离的乘积。

3.适用条件

(1)匀强电场。

(2)d为两点沿电场方向的距离。

［判一判］

1.(1)公式U=£d适用于所有电场。()

(2)山U=Ed可知，匀强电场中两点间的电势差与这两点的距离成正比。

()

(3)在匀强电场中，任意两点间的电势差等丁•电场强度与这两点间距离的乘

积。()

提示：⑴X(2)X⑶X

知识点2公式七=弊的意义

U

I.意义：在匀强电场中，电场强度的大小等于两点间的电势差与这两点也

电场强度方向距离之比。

2.电场强度的另一种表述：电场强度在数值上等于沿姬方向每里位姓通

上降低的电势。

3.电场强度的另一个单位：由七=舞可导出电场强度的另一个单位，即伏

［特］每米,符号为V/m。1V/m=lN/Co

［判一判］

2.（1）匀强电场的电场强度值等于沿电场线方向每单位长度上的电势差值。

（）

（2）电场强度的单位可用V/m表示。（）

提示：⑴J（2）V

基I础I自I测

1.（对公式石二年的理解）下列说法正确的是（）

A.由公式后=舞得，电场强度E与电势差U八8成正比，与两点间距离d

成反比

B.由公式E=察得，在匀强电场中沿电场线方向上两点间距离越大，电场

强度就越小

C.在匀强电场中，任意两点间电势差等于电场强度和这两点间距离的乘积

D.公式E=贷只适用匀强电场

解析：选D。公式E=§只适用于匀强电场，E与电势差和两点间的距离无

关，故A错误，D正确；在匀强电场中，电场强度处处相等，故B错误；在匀

强电场中，两点间电势差等于电场强度与两点间沿电场方向距离的乘积，故C

错误。

2.（公式七=年的应用）（多选）如图所示，在匀强电场中有A、B、C三点,

三点构成直角三角形，ZZ=37°,AB边长为5m,。为八8中点，电场线与A8C

所在平面平行，A、B、C三点的电势分别为14V、6V和6V,取sin37。=0.6,

cos37°=0.8,贝1」（）

A.C。两点间电势差Ue=4V

B.。点电势仅二10V

C.该电场的电场强度E=2V/m

D.该电场的方向沿8c方向

解析：选BC。在匀强电场中，平行等距离的两点更势差相等，则9八一颁=

（pD~（pIi

解得外=10V

所以UCQ=S。一8。=~4V

故A错误，B正确；三角形中B、C的电势分别为6V和6V,则8和C为

jr.r

等势点，AC为等势线，电场线方向沿AC方向，则电场强度为E〜/匕；。=

Z1/JCOS/

8

V/m=2V/m,故C正确，D错误。

ngXvnUQ.o

3.（非匀强电场中UAB=Ed的定性分析）如图所示的同心圆是--/

电场中的一簇等差等势线，一个电子只在电场力作用下沿着直线八后Q

由A-C运动时的速度越来越小，8为线段AC的中点，则下列说）

法正确的是（））

A.电子沿AC方向运动时受到的电场力越来越小

B.电子沿AC方向运动时它具有的电势能越来越大

C.电势差U/S=U8C

D.电势（pA＜（pB＜（pC

解析：选B。由等势线分布和电子速度变化可知该电场为负点电荷的电场，

电子沿AC方向运动时受到的电场力越来越大，A错误；根据电子只在电场力作

用下沿着直线由A-C运动时的速度越来越小，可知电子具有的电势能越来越大，

B正确；根据U=Ed,由于电场为非匀强电场，平均电场强度扇8＜EBC,故电势

麦UAR＜UBC,C错误；也势9A＞夕心ec，D错误。

4.（等分法确定匀强电场的电场强度）〃、b、c是匀强电场中的三个点，各点

电势分别为的=10V,（pb=2V,（pc=6V,a、b、c三点所在平面与电场方向平

行，下列各图中电场强度的方向表示正确的是（）

解析：选D。由于是为强电场，因此4、b连线的中点与C点电势相等，电

场强度的方向垂直于等势而且由高电势处指向低电势处，D正确。

.核上芟密关键能力•素养形成笠楚殳竺

探究一匀强电场中£=谭的应用

【问题导引】

如图所示的一个匀强也场，电场强度大小为E,A、B是沿电场方向上的两

点，其电势差为UAB,A、B之间相距为〃。现将一个电荷量为夕的电荷由A移

至

(1)从力和位移的角度计算静电力所做的功；通过4、8间的电势差计算静电

力做的功。

(2)比较两次计算的功的大小，说明电势差与电场强度有何关系“

(3)8、C在同一等势面上，UAC与电场强度有何关系？

［要点提示］(l)WA8=Fd=qEdWAB=qUAB

(2)UAB=Ed(3)UAC=Ed

典I例I引I领

【例1】如图所示，在电场强度E=1X10?v/m的匀强电场中，将一电荷

量为2X10-2。正点电荷由A点移到A点。已知人、△两点间距离L=2m,两点

连线与电场方向成60。角，求：

(1)A、8两点间的电势差Ss；

(2)电荷由A移到B的过程中，电场力所做的功W八8。

［解析］(1)根据匀强电场的电势差与电场强度的关系，由题图可知A、8两

点间的电势差为UAR=ELCOS600

代入数据解得UA«=100V：

(2)电荷由A移到8的过程中，电场力所做的功为

WAB=qUABf代入数据解得WA“=2J。

［答案］(I)IOOV(2)2J

［针对训练1］如图所示，匀强电场中某电场线上的两点4、A相距0.2m,

正电荷夕=1。6(2,从A移到电场力做功为2X106j,贝")

/g

A.该电场的电场强度为10V/m

B.该电场的电场强度方向由8指向A

C.A、8间的电势差为10V

D.8点的电势比4点的窗

WINIf9

解析：选A。根据电场力做功公式UAB=—=2V,业场强度七=2=反V/m

=10V/m,故A正确；由4向8电场力做正功，电场力由A指向脱电荷带正

电，电场力方向与电场强度方向相同，电场强度方向由4指向伉故B错误；A、

8间的电势差为2V,故C错误；电场强度方向由A指向8,沿电场线方向电势

降低，故D错误。

探究二非匀强电场中E=拳的定性分析

重I难I整I合

1.定性分析

在非匀强电场中，公式e二%可用来定性分析问题，由U=Ed可以得出结论。

在等差等势面中等势面越密的地方电场强度就越大，如图甲所示。再如图乙

所示，〃、b、c为某条电场线上的三个点，且距离出尸be,由于电场线越密的地

方电场强度越大，故Uab<Ubc.

2.三点妙用

(1)判断电场强度大小：等差等势面越密，电场强度越大。

（2）判断电势差的大小及电势的高低：距离相等的两点间的电势差，E越大,

U越大，进而判断电势的高低。

Acb［J

（3）利用夕一工图像的斜率判断电场强度随位置变化的规律》=工-=方=区,

斜率的大小表示电场强度的大小，正负表示电场强度的方向。

典I例I引I领

【例2】如图所示，实线为电场线，虚线为等势面，w〃=50V,仅=20V,

则八c连线中点b的电势”为（）

A.等于35VB.大于35V

C.小于35VD.等于15V

［解析］从电场线疏密可以看出Ea>Eb>Ec,由公共可以判断Uab

>Ubcf所以"V匕/-=35V。

I答案］c

I针对训练2|如图所示的是某电场中的三条电场线，C点是

A、3连线的中点。已知A点的电势网=30V,8点的电势”=一

20V,则下列说法正确的是（）R~、

A.。点的电势”7=5V

B.C点的电势sc>5V

C.C点的电势9cV5V

D.负电荷在A点的巨势能大于在8点的电势能

解析：选C。由题图看出，AC段电场线比CB段电场线密，则AC段电场强

度较大，根据公式U=Ed可知，AC间电势差UAC大于CB间电势差UCB,所以（pc

V必守”=5V,故C正确，A、B错谩；而负电,荷在低电势处电势能较大，故D

错误。

探究三应用“等分法”求解匀强电场的电场强度

重I难I整I合

1.方法介绍

先由等分法确定电势相等的点，画出等势线，然后根据电场线与等势面垂直

画出电场线，旦电场线的方向由电势高的等势面指向电势低的等势面。

2.两个结论

结论1：匀强电场中的任一线段A8的中点C的电势仔=色?，如图甲所

Zj\o

HE

甲

结论2：匀强电场中若两线段A8〃C。，且A8=CQ,则U"=Um（或9A一”

=0c一阿，如图乙所示。

典I例I引I领

【例3】（多选）一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内。、b、。三点

的位置如图所示，三点的电势分别为17V、33V、49V。下列说法正确的是（）

y/cm

6占

4

2

0~246

A.坐标原点处的电势为IV

B.电场强度的大小为5V/m

C.匀强电场的方向由。点指向c点

D.质子从6点运动到。点，电场力做功为-16eY

［解析］如图所示。

在比连线上，确定中点加点，电势为33V,将沅/连线，即为等势线，那么

垂直4/连线，则为电场线，再依据沿着电

场线方向，即匀强电场的方向由c点指向。点，电势降低，则电场线方向

如图，因为匀强电场，则有E=当

依据几何关系，则d』。渭。

代入数据，得电场强度大小为E=耳亘Xl()2v/m,

故B、C错误;根据&c—(pa=(pb—(pO,

因。、b、c三点电势分别为仰=17V、9b=337、伙、=49V,

解得原点处的电势为夕o=lV,故A正确；质子从力点运动到c,点，电场力

做功为W=eU仅=-16eV,故D正确。

［答案］AD

［针对训练3］(多选)在匀强电场中。、b、。、d为矩形的四个顶点,e、f分

别为出?边和cd的中点。9=cd=2cm,ad=bc=\cm＞已知电场线的方向平行

于矩形所在平面，a、b、c三点电势分别为4V、8V、6V,贝立)

df。

A.d点的电势为2V

B.电场线方向沿力■指向/

C.电场强度为200V/ni

D.一电子从。点运动到。点，电势能减少

解析：选ABDo由于该电场是句强电场，等势线是等间距的平行直线，故

U°d=Ubc,故d点的电势为例，=2V,故A正确：他中点的电势为a=殁^^=

6V,故ec为等势线，电场方向与等势面垂直，由高电势指向低电势，故电场方

向沿/'方向且由力指向/，故B正确；尻之间沿电场线方向的距离为4=晋cm,

由。=&/可知，电场强度为£=牛=2啦乂1()2v/m,故C错误；电子带负电,

在电势越高的地方电势能越小，故电子从a到c电势能减小，故D正确。

旭笠2分层演练•素养达标逑”

(限时：45分钟)

【合格考练】

1.关于电场强度的公式①后=岸、②E=。、③E=%下列说法正确的是（）

A.它们都只对点电荷的电场成立

B.①②式只对点电荷的电场成立，③式只对匀强电场成立

C.①式只对点电荷的电场成立，②式对任何电场都成立，③式只对匀强电

场成立

D.①式只对点电荷的电场成立，②③式对任何电场都成立

解析：选C。公式②是电场强度的定义式，适用于所有电场；而两个点电荷

间相互作用力，根据库仑定律尸=吊，代入②式就会，导出①式的表达式，因此

①式是由两个点电荷间作用力推出的，故只适用于点电荷的电场，而③式是电荷

在匀强电场中运动时，电,功力儆功Edq=Uq推出的,因此③式只适用于匀强电

场，C正确，A、B、D错误。

2.（多选）关于匀强电场中的电场强度和电势差的关系，下列说法正确的是

（）

A.任意两点间的电势差，等于电场强度和这两点间距离的乘积

B.沿电场线方向，相同距离上电势降落必相等

C.电势降低最快的方向必是电场强度方向

D.在相同距离的两点上，电势差大的，其电场强度也大

解析：选RC。（/"=&/中的d为4、“两点沿电场方向的距离，A、D错误：

由U八8=Ed可知沿电场线方向，电势降落最快，且相同距离上电势降落必相等，

B、C正确。

3.如图所示，三个同心圆是一个点电荷周围的三个等势面，/二二二，

已知这三个圆的半径成等差数列。A、B、C分别是这三个等势面;卜：占需

t«0«・・，■*,*•

上的点，且这三点在同一条电场线上。A、C两点的电势依次为9A,:二…二/

二1（）丫和也=2丫，则B点的电势（）

A.一定等于6VB.一定低于6V

C.一定高于6VD.无法确定

解析：选B。从点也荷的电场线和等势面的特点知，EA>EB>EC,AB=BC,

由（/=&/定性分析，UAB>UBC,所以"V6V。

4.如图所不，匀强电场E=10（）V/m,A、8两点相距10cm,A、

B连线与电场线夹角为60。,若取A点电势为0,则B点电势为（）

A.-10VB.10V

C.-5VD.-3V

解析：选C。A、8连线沿电场线的距离为d=0.05m,根据匀强电场中电势

差与电场强度的关系可知，UAB=Ed=5V,电场中B点的电势等于"点到零电

势点的电势差，（PB=UBA=—UAB=-5V,C正确。

5.如图，/\abcbc=4cm,Nac〃=30。。匀强电场的电场线平行于△"（?

所在平面，且。、仄。三点的电势分别为3V、-1V、3V。下列说法正确的是（）

b....................yC

A.电场强度的方向沿ac方向

B.电场强度的大小为200V/ni

C.电子从。点移动到/，点，电势能减少了4eV

D.电子从c点移动到〃点，电场力做功为4eV

解析：选B。由于ac两点电势相等，故ac为一条等势线，电场方向与等势

线垂直，且由高电势指向低电势可知，电场方向垂直ac,且指向斜上方

Ucb4

E=..=-7V/cm=200V/m

c力sin3Q0no，、,1

4X]

故A错误，B正确；电子从。点移动到〃点，电场力做功见力=-eU昉=一

4eV

“一”表示电场力做负功，电势能增加，增加了4eV,故C错误；电子从c

点、移动到b点、,电场力做功为W,力=-e"〃=—4eV,故D错误。

6.（多选）如图，在匀强电场中，A、8、C、D、E、尸位于边长为L=2cm

的正六边形的顶点上，匀强电场的方向平行于正六边形所在的平面。已知48、

D、E的电势分别为一2V、（）、6V、4Vo则下列说法正确的是（）

AF

:...飞

CD

A.。点的电势9c=2V

B.A、尸间的电势差U"=2V

C.C、F间的电势差Ub=4V

D.该匀强电场的电场强度大小E=200V/m

解析：选CD。连接A。、BF、CE,如图所示:

由图可知AO与BF、CE都垂直，故电场强度方向由。指向A,由正六边形

对称性可知尸与B的电势相等，C与E的电势相等，故尸点的电势为0,。点的

电势为4V,则A、尸间的电,势差为UAF=9A—”=—2V—0=-2V

C、/间的电势差为UCF=9C-"=4V-0=4V

由几何关系得4oA=Lsin30。

UOA=UFA=~UAF=2V

UOA_2

则电场强度的大小为E=V/m=200V/m,故A、B错误,

加-2X10-2xg

C、D正确。

7.如图所示，在匀强电场中有一直角三角形O8C电场方向与三角形所在

平面平行，若三角形三顶点0、B、。处的电势分别为歹。、（PB、（pc,已知90=0,

3B=3V,夕c=6V,08=4cm,OC=6cm。则下列说法正确的是（）

A.匀强电场中电场强度的大小为125V/m

B.匀强电场中电场强度的大小为200V/m

C.匀强电场中电场强度的方向斜向下与OC夹角为30。

D.•个电子由C点运动到O点再运动到B点的过

程中电场力做功3eV

解析：选A。如图

根据匀强电场的特点，OC中点。的电势为3V,则B。为一条等势线，电

场方向如图，电场强度的方向斜向下与OC夹角为仇母!1。=您=,

OD4

（）=37。

由几何关系得，。到8。的距离4=2.4cm,在匀强电场中后=乌=7不工7

〃Z.4A1U

V/m=125V/m

故人正确，B、C错误：根据W=gU可知一个电子由。点运动到。点再运

动到B点的过程中电场力做功为W=-eX3V=-3eV,故D错误。

8.（多选）如图所示，A、B、C是匀强电场中平行于电场线的某,产

G/：

一平面上的三个点，各点的电势分别为9A=5V,9B=2V,ec=3V,/'/

H、F三等分AB,G为AC的中点，在下列各示意图中，能正确表示AHFn

该电场强度方向的是（）

•C•C,?C/C

/F

<--4--4--4--4--4--4

AHFBAHFBAHFBAHFB

ARCI）

解析：选BC。根据句强电场的特点可知，H、尸的电势分别为0〃=4V,"

5V+3V

=3V,G的电势9G-「-=4V,则仰产件，则电场线垂直于G"，又”

=9F=3V,可知电场线与垂直，故选B、Co

【等级考练】

9.如图所示，在平行于A8C平面的匀强电场中，有一个边长为6cm的等

边三角形，A、B、C三点电势分别为8V,-4V和2V,。为靠近A点的A8

线段的三等分点。下列说法正确的是（）

A.电场强度为400V/m

B.电场线方向与AB平行，方向指向A

C.电子在A点的电势能小于在A点的电势能

D.若将一电子从C点移至。点，电场力做功为一2eV

解析：选C。由匀强电场中的任一线段两端电势与中点电势的关系，则有

A3的中点尸点的电势为

"=.=8+(-4)丫=2丫

则R。为等电势点，尸。为等势线，则A8为一电,场线，方向由A到&则

匀强电场的电场强度为

UAR8"(—4)

E=~dAB=6X10-2V/m=200V/rn

方向由A到伉故A、B错误；电子带负电，由序=初知其在电势高处电

势能小，故C正确；。点的电势为

8—（一4）

外=8V—V=4V

则UCD=-2V,将一电子从C点移至。点，电场力做功为W=-eUcD=2eV,

故D错误。

10.（多选）空间有平行于梯形区域abed的匀强电场，已知/…-…f

=45°,Nc和Nd均为直角，且上底bc=2cm、下底血=4cm,/'

ad

a、b、c三点的电势分别为4V、8V、10V。将一电荷量q=-2X10

rC的点电荷从a点开始沿abed路线移动，则下列判断正确的是（）

A.梯形区域的下底中点的电势为6V

B.该匀强电场的场强大小为V2V/m

C.该点电荷在c点的电势能为+2X10-4j

D.该点电荷从。点移到d点过程中，电场力对它做的功为+8X105j

解析：选AD。根据题述a、b、c三点电势分别为4V、8V、10V,如图所

示，g为ad中点，根据在匀强电场中，平行线上相等长度的线段电势差相等可

知，ad中点的电势为6V,d点电势为8V,A正确；由几何关系可知，abVbdf

根据电场线与等势线垂直可知，电场强度方向沿仇7方向。由E=§可得该匀强电

场的电场强度e=华=10()75V,B错误；根据电势能公式可知，电荷量夕=一

(lab

-5-4

2X10—5(2的点电荷在c点的电势能EP=q(pe=-2X10X10J=-2X10J,C

错误；电荷量g=-2Xl()rc的点电荷从。点移动到d点的过程中，电场力对

55

它做的功为W=qUad=q{(pa-^(/)=-2XI()-X(4-8)J=+8X1()-J,D正确。

11.在研究未知电场时，一般是先通过实验找出等势点描绘“cm

出等势面，再由等势面得到电场线。如图所示，在平面直角坐做0.3cm)

标系中有方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点。处j------------上少

/t(6cm90)

的电势为0，点A处的电势为6V,点8处的电势为3V。则该电场的电场强度

()

A.方向垂直x轴

B.方向垂直A8连线

C.大小为100V/m

D.大小为10(h/2V/m

解析：选D。坐标原点。处的电势为0,点A处的电势为6V,则OA中点

C的电.势为9c="要=3V=e时则8c连线为等势面，场强方向与等势面垂直，

u3

可知场强方向垂直BC斜向下，场强大小为E=/=3Xcos45cxi0?V/m=

10()V2V/mo

y/cm

8(0,3cm)

4(6cm,0)

12.如图所示，在匀强电场中，将一电荷量为2X10-4C的负电荷由A点移

到B点，其电势能增加了0.2J,已知A、8两点间距离为2cm,两点连线与电

场方向成60。角，求：

••

(60。E

(1)电荷由A移到B的过程中，电场力所做的功WAB；

(2)4、8两