第24章圆(基础、常考、易错、压轴)分类专项训练(原卷版+解析)2x.pd第24章圆(基础、常考、易错、压轴)分类专项训练(原卷版+解析)2x

第24章圆（基础、常考、易错、压轴）分类专项训练

【基础】

一、单选题

1.（2022•浙江台州•九年级期末）用直角尺检查某圆弧形工件，根据下列检查的结果，能判断该工件一定是

半圆的是（）.

2.（2022・山东•陵城区教学研究室--模）如图，以正方形A8CO的边为直径作一个半圆，点M是半圆上

一个动点，分别以线段AM、。"为边各自向外作一个正方形，其面积分别为多和S2,若正方形的面积为

10,随点M的运动S/+S2的值（）

A.大于10B.小于10C.等于10D.不确定

3.（2022・江苏•九年级专题练习）轮船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定轮船是否会遇到暗礁.如

图，A,4表示灯塔，暗礁分布在经过A,4两点的0。内C表示一个危险临界点，ZACB=1（T,轮船P与

两个灯塔的夹角为Na,保证轮船航行不触礁的Na可以是（）

B.75°C.80°D.85°

4.（2022•山西晋中•二模）在数学探究课上，小明在探究圆周角和圆心角之间的数量关系时，按照圆周角与

圆心的不同位置关系作出了如下图所示三个图进行探究小明的上述探究.过程体现的数学思想是（）

D.建模思想

5.（2022•江苏苏州•九年级阶段练习）下列说法正确的是（）

A.直径是圆中最长的弦，有4条

B.长度相等的弧是等弧

C.如果。A的周长是。B周长的4倍，那么0A的面积是。B面积的8倍

D.已知。。的半径为8,A为平面内的一点，且OA=8,那么点4在。。上

6.（2022・四川宜宾,八年级期末）用反证法证明“在△A8C中，48二c,8GmeAM,NO/8>NA且NC，90。,

那么皿+心小.”应先假设（)

A.a2+b2=c2B.C.D./+或+〃2Vd

7.（2022•浙江•翠苑中学八年级期中）用反证法证明：”多边形的内角中锐角的个数最多有3个“时，应假设

（）

A.多边形的内角中锐角的个数最少有4个B.多边形的内角中锐角的个数最少有3个

C.多边形的内角中锐角的个数最少有2个D.多边形的内角中锐角的个数最多有2个

8.（2022•山西晋中•八年级期中）在证明“三角形中必有一个内角小于或等于60”时先假设每-■个内角都大

于60：，然后，…，这种证明方法是（）

A.综合法B.举反例法C.数学归纳法D.反证法

9.（2022.贵州贵阳.八年级期末）对于命题咯25,则x=5"，小江举了一个反例来说明它是假命题，则

小江选择的x值是（）

A.x=25B.x=5C.x=10D.x=-5

10.（2022.江苏.九年级专题练习）下列命题正确的是（）

A.两点之间，直线最短

B.正六边形的外角和大于正五边形的外角和

C.不在同一条直线上的三个点确定一个圆

D.一个图形和它经过平移所得到的图形中，对应线段平行且相等

H.（2022•山西晋中•二模）公元263年,我国数学家利用“割圆术”计算圆周率.割圆术的基本思想是“割之

弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣随后，公元480年左右，我国

另一位数学家又进一步得到圆周率精确到小数点后7位，由此不知，这两位数学家依次为（）

A.刘徽，祖冲之B.祖冲之，刘徽C.杨辉，祖冲之D.秦九韶，杨辉

12.（2022.江苏.九年级专题练习）我国魏晋时期的数学家刘徽发现在圆的内接止多边形边数加倍的过程中，

“割之弥细，所失弥少，割之乂割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，即当圆的内接正多边形的

边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆面积，他首创了利用圆的内接正多边形确定圆周率.这种确定

圆周率的方法称为（）

A.正负术B.方程术C.割圆术D.天元术

13.（2022.山东荷泽•七年级期末）下列说法,其中正确的有（）

①过圆心的线段是直径

②圆上的•条弧和经过这条弧的端点的两条半径组成的图形叫做扇形

③大于半圆的弧叫做劣弧

④圆心相同，半径不等的圆叫做同心圆

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题

14.（2022•黑龙江哈尔滨•期木）运动场上的环形跑道的跑道宽都是相同的，若一条跑道的两个边缘所在的

环形周长的差等于?几米，则跑道的宽度为米.

15.（2022・全国•九年级专题练习）小于半圆的弧（如图中的）叫做；大于半圆的弧（用三

个字母表示，如图中的）叫做.

B

16.（2022・全国•九年级专题练习）如图，在。。中，半径有,直径有,弦有,劣

弧有，优弧有.

17.（2022.江苏.九年级专题练习）为了给同学庆祝生日，小明自己动手用扇形纸片制作了一顶圆锥形生日

帽，生日帽的底面圆半径〃为7c切，高〃为24cm,则该扇形纸片的面积为cm2.

18.（2022.江苏•九年级专题练习）第十四届全运会在陕西西安开幕，九年级（2）班李明同学利用扇形彩色

纸，制作了•个圆锥形火炬模型，如图是火炬模型的侧面展开图（接痕忽略不计），已知扇形彩色纸的半径

为45cm,圆心角为40。，则这个圆锥的侧面积cm2.（结果保留几）

19.（2022・山东・临沂市河东区教育科学研究与发展中心二模）2300多年前，我国古代名著《墨经》中有这

样的记载：“圆，一中同长也因此，古代就知道把车轮设计成圆形，如果车轮是正方形，将边长为1米的

正方形滚动一周，那么正方形中心的轨迹长为米.

20.（2022•河南省实验中学一模）如图，《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于约公元前450年雕刻的青铜雕塑,

刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间.掷铁饼者张开的双臂与肩宽可以近似看成一张

拉满弦的弓，弧长约为:几米，“弓”所在的圆的半径约1.25米，则“弓”所对的圆心角度数为.

O

21.（2022.北京西城.九年级期末）如图1所示的铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形.若制作一个圆

心角为160。的圆弧形窗帘轨道（如图2）需用此材料800;rmm,则此圆弧所在圆的半径为mm.

图1图2

三、解答题

22.（2022嘿龙江大庆•期末）如图,三角形AO8是直角三角形，其中O为圆心.已知三角形AO8面积是lOcm。

求圆形面积.

A

23.（2022・全国•八年级课前预习）观察下图，左图中间的圆圈大还是右图中间的圆圈大？请你先观察，再

用直尺验证一下.

24.（2022・全国•九年级专题练习）观察下图中角的顶点与两边有何特征？指出哪些角是圆周角？

【常考】

一.选择题（共9小题）

1.（2022•吉林）如图，在△ABC中，/ACB=90°,A8=5,BC=4.以点A为圆心，r为半径作圆，当点

。在OA内且点8在OA外时，，•的值可能是（）

2.（2022•鄂州）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的

工件槽，其两个底角均为90°,将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、8、E三

个接触点，该球的大小就符合要求.图（2）是过球心及A、氏£三点的截面示意图，己知的直径

就是铁球的直径，A4是。。的弦，C。切。0于点E,ACLCD.BDLCD,若CD=16cm,AC=I3D=

4c•〃?，则这种铁球的直径为（）

A.10cmB.15cmC.20crnD.24cm

3.（2022•十堰）如图，OO是等边△4灰7的外接圆，点。是弧AC上一动点（不与A,。重合），下列结论:

①NADB=NBDC；②ZM=OC；③当OB最长时，DB=2DC；④DA+DC=DB,其中一定正确的结论有

4.（2022•蓝田县一模）如图，48为。。的直径，AB=4,弦CD=2加,则劣弧而的长为（）

5.（2022•碑林区校级二模）如图，等边△A8C的三个顶点都在。。上，AO是的直径，若04=3,则

劣弧标的长是（）

6.（2022•海勃湾区校级一模）如图所示，边长为1的正方形网格中，O,A,B,C,。是网格线交点，若标

与合所在圆的圆心都为点O,那么阴影部分的面积为（）

7.（2022•遵义模拟）如图，在中，ZBAC=9Q°,NB=30°,4B=3,以A8边上一点。为圆

心作OO,恰与边AC，8C分别相切于点A,D,则阴影部分的面积为（）

A.F号B.C.挈号D.函号

8.（2022•高青县一模）如图，在圆中半径OC〃弦A从且弦A3=CO=2,则图中阴影部分面积为（）

A.—71B.—71C.—TTD.TT

633

9.（2022•新洲区模拟）如图，点。为△A5C的内心,ZA=60°,OB=2,OC=4,则△OBC的面积是（

A.4^3B.2V3C.2D.4

二.填空题（共9小题）

10.（2022•包头模拟）三角形两边的长是3和4,第三边的长是方程f-12x+35=0的根，则该三角形外接

圆的半径为

11.（2022•长安区模拟）小刚要在边长为1（）的正方形内设计一个有共同中心。的正多边形，使其边长最大

且能在正方形内自由旋转.如图1,若这个正多边形为正六边形，此时EF=；若这个正多边形

为正三角形，如图2,当正△ER7可以绕着点。在正方形内自由旋转时，正户的取值范围为

12.（2022•鹿邑县模拟）如图，正六边形"CDE产的边长为2,以A为圆心，AC的长为半径画弧，得标,

连接AC,AE,则图中阴影部分的面积为

13.（2022•武威模拟）在△A8C中，已知N4BC=90。，N8AC=3（）°,BC=1.如图所示，将△44C绕点

A按逆时针方向旋转90°后得到△人8c.则图中阴影部分的面积为.

14.（2022•随县一模）如图，在RtZ\48C中，NB=90°,4。平分N84C交BC于点。，点E在4c上,

以AE为直径的。。经过点。.若NC=30°,且。。=3«,则阴影部分的面积是.

15.（2022•濡桥区校级模拟）如图，点。为正六边形ABCQE/r勺中心，连接AC,若正六边形的边长为2,

则点O到AC的距离OG的长为.

16.（2022•方城县一模）如图，在扇形043中，已知乙4。4=90°,0A=2,过标的中点C作CQJ_O4,

CELLOB,垂足分别为。、E,则图中阴影部分的面积为.

17.（2022•大渡口区模拟）如图，在扇形80。中，NBOC=6（）°,OD平分N8OC交菽于点。.点E为半

径08上一动点.若08=2,则阴影部分周长的最小值为.

o

18.（2022•成都模拟）如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径1,直线/的解析式为y=x+/.若直

线/与半圆只有一个交点，则/的取值范围是.

三.解答题（共11小题）

19.（2022•汝阳县一模）如图，BE是。。的直径，点A和点乃是OO上的两点，过点人作00的切线交

BE延长线于点C.

（1）若NAOE=25°,求NC的度数；

（2）若CE=2,直接写出AC的长.

20.（2022•绵竹市模拟）把两个等腰直角△ABC和△AOE按如图1所示的位置摆放，将△AOE绕点A按逆

时针方向旋转，如图2,连接BD,EC,设旋转角为a（0°<a<360°）.

（1）当。E_LAC时，AD与8c的位置关系是,AE与8c的位置关系是.

（2）如图2,当点。在线段比:上时，求的度数：

（3）若△A3。的外心在边4。上，直接写出旋转角a的值.

21.(2022•包河区一模)如图，A8为。。的直径，直线于点从点C在。。上，分别连接。C,

AC,且AC的延长线交于点。，C产为。。的切线交「点尸.

(1)求证：CF=DF；

(2)连接OF,若AB=10,BC=6,求线段0尸的长.

22.(2022•十堰一模)如图，A3是的直径，弦。＞_LA3,垂足为〃，连接AC,过加上一点E作£G〃

AC交CO的延长线于点G,连接AE交CD于点F,且£G=FG,连接

(1)求证：EG是。。的切线；

(2)延长A8交GE的延长线于点M,若A”=3,CH=4,求EM的值.

23.(2022•扬州模拟)如图，A8为。。的直径，点C,。在。。上，且点C是面的中点，过点C作AO的

垂线交直线AQ于点£.

(1)求证：E尸是OO的切线；

(2)连接BC,若AB=5,BC=3,求线段AE的长.

\3

O

D

24.(2022•红桥区三模)己知心、P8是。。的切线，A、8为切点，连接AO并延长，交P3的延长线于点

C,连接P。，交OO于点D

(/)如图①，若乙40P=65°,求NC的大小；

(//)如图②，连接8D,若BD〃4C,求NC的大小.

25.(2022•莘县二模)如图，48是。0的直径，点C是赢的中点，连接4c并延长至点Q,使CD=AC,

点E是。8上一点，且还«=2,CE的延长线交。8的延长线于点F,交。0于点H,连接8”.

EB3

(1)求证：8。是。。的切线；

(2)当08=2时，求8〃的长.

26.（2022•南陵县自主招生）如图，已知圆O,弦A8、。。相交于点M.

（1）求证：AM・M8=CM・MZ）：

（2）若M为。。中点，且圆。的半径为3,OM=2,求的值.

27.（2022•乌鲁木齐一模）如图，四边形A8CD内接于。。，AB是。。的直径，点。在C4的延长线上,

NCAO=45°.

（1）若A8=4,求弧C。的长；

（2）若弧BC=弧AO,AD=AP,求证：是的切线.

28.（2022•齐齐哈尔模拟）如图，在△A4C中，AB=AC,以4B为直径的分别与8C,AC交于点。,

E,过点。作。0的切线。尸，交AC于点E

（1）求证：DF1AC；

（2）若OO的半径为4,ZCDF=22.5°,求阴影部分的面积.

29.（2022•东洲区模拟）如图，四边形ABCD内接于。0,AC是。0的直径，过点8作BE_LA。，垂足为

点、E,A8平分NC4E.

（1）判断4E与OO的位置关系，并说明理由；

（2）若N4C8=30°,OO的半径为2,请求出图中阴影部分的面积.

【易错】

一.选择题（共7小题）

1.（2022•渝中区校级模拟）如图，A8是。0的直径，点。是弧AC的中点，过点。作。于点E,

延长。心交于点八若AE=2,的直径为10,则AC长为（）

©

A.5B.6C.7D.8

2.（2022•临沐县二模）如图，在平面直角坐标系中，以M（2,3）为圆心，AB为直径的圆与x轴相切，

与二），轴交于A,C两点，则4c的长为（）

A.4B.275C.2VI3D.6

3.（2022•沙坪坝区校级三模）如图，是OO的弦，PO_LOA交AB于点P,过点B的切线交OP的延长

线于点C,若OO的半径为V5，OP=I，则BC的长为（）

CR

A.2B.V6C.苴D.V5

2

4.（2022•海曙区校级开学）如图所示，已知。/是△ABC的内切圆,点/是内心，若N4=28°,则N8/C

等于（）

kA

BC

A.100°B.104°C.105°D.114°

5.（2022•哈尔滨模拟）如图，等腰△A8C内接于OO,AB=BC,直线MN是。。的切线，点。是切点,

是半径，若NACN=36°,则的度数为（）

A.14°B.18°C.36°D.54°

6.（2022•研口区模拟）如图，。/是RiAABC中的内切圆，NAC8=90°,过点/作石尸〃人8分别交C4,

CB于E,F,若班=4,B尸=3,则的半径是（）

7.（2022•新河县一模）如图，点。为△A8C的内心，ZB=60°,8cA48,点M,N分别为A8,BC上

的点，且0M=OM甲、乙、丙三人有如下判断：甲：/MON=120°；乙：四边形OM8N的面积为△

A8C面积的2；丙：当MN=BN时,△MOV的周长有最小值.则下列说法正确的是（）

3

A.只有甲正确B.只有乙错误

C.乙、丙都正确D.甲、乙、丙都正确

二.填空题（共11小题）

8.（2022•固原一模）如图，点A、B、。在圆。上，BC//OA,连接B0并延长，交圆。于点D,连接AC,

DC,若NA=28°,则NO的大小为.

9.（2022•禅城区校级一模）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形.例：如图1,四

边形内接于OO,AB=A。.则四边形4BCO是等补四边形.

探究与运用：如图2,在等补四边形ABCQ中，AB=4D,其外角NE4。的平分线交CO的延长线于点F,

10.（2022秋♦定海区校级月考）己知人为。0外一点，若点人到OO上的点的最短距离为2,最长距离为4,

则O。的半径为.

11.（2022•天元区校级模拟）如图，已知△ABC内接于。。，是。。的直径，C。平分NAC8,交。0于

点。，若A8=6,则8。的长为.

12.（2022•西双版纳模拟）在△48C中，AB=6,AC=8,高40=4.8,设能完全覆盖△ABC的圆的半径为

r,则「的最小值为.

13.（2022•北倍区校级开学）如图，△MAC和△AQE均是等边三角形，其中点石是△AAC的内心，以E为

圆心，OE长为半径画弧交于点8,再将弧绕点A逆时针旋转60°至弧EC处，己知AB=1,则

图中阴影部分面积是.

D

14.（2022春•普陀区校级期中）已知两I员I的半径长分别为1和3,两圆的圆心距为d,如果两圆没有公共点,

那么d的取值范围是.

15.（2022•北京模拟）已知三角形人8C是锐角三角形，其中N/l=30°,BC=4,设8c边上的高为伍则

h的取值范围是.

16.（2022•息县模拟）如图，。。分别与边长为4的等边△ABC的两边相切于点。和点日圆心O恰好在

边4c上，则阴影部分的面积为

r2

17.（2022•江油市二模）如图，函数+2x（x>°）的图象，若直线）,=x+机与该图象只有一个交

-x（x<0）

点,则机的取值范围为.

18.（2021秋•宜春期末）如图，半圆O的直径。七=12。〃，在□△/WC中，ZACB=9（）°,NA8c=30。，

BC=\2cm.半圆。以2c〃?/s的速度从左向右运动，当圆心。运动到点8时停止，点。、E始终在直线

BC上.设运动时间为/（s）,运动开始时，半圆。在AABC的左侧，OC=8c〃?.当/=时，Rl

△ABC的一边所在直线与半圆。所在的圆相切.

三.解答题（共6小题）

19.（2022•武汉）如图，以为直径的经过△ABC的顶点C,AE,BE分别平分N84C和NABC,AE

的延长线交OO于点。，连接BD.

（1）判断ABOE的形状，并证明你的结论：

(2)若AB=10,BE=2^10,求BC的长.

20.（2022•武汉模拟）如图，8c为。。的直径，4为OO上一点，过4点作该圆的切线交8c的延长线于

点、E,连接AC

（1）求证：/CAE=

（2）若NE=30°,OO的半径，・=2,求阴影部分的面积.

21.（2022•襄城区模拟）如图，BE为0。的直径，点A和点。是0。上的两点，连接4E,AD,DE,过点

A作射线交8E的延长线于点C,使NE4C=NED4.

（1）求证：AC是。。的切线：

（2）若ADLBC于点、F,DE=4,OF=2,求图中阴影部分的面积.

22.（2022•内黄县二模）如图，在ZVIBC中，ZABC=90°,NBAC=30°,以A8为直径作。。，交AC

于点。，过点。作。0的切线QM交8c于点M.

（1）求证：CM=BM.

（2）若从。=2禽，P为AB上一点、,当PM+PQ为最小值时，求AP的长.

23.（2022•襄城区模拟）如图，AB是。。的直径，点。是。。上一点（与点A,8不重合），过点。作直

线MM使得N4CN=NA4c.

（1）求证：直线MN是。。的切线.

（2）点£）为直线MN上一点，连接AQ,交0O于点区若4C平分N区4£）,DE=3,4C=2CQ,求图

中阴影部分（弓形）的面积.

24.（2022•衡阳）如图，A台为。。的直径，过圆上一点。作。O的切线交8A的延长线于点C,过点

0作OE//AD交CD于点、E,连接BE.

（1）直线与OO相切吗？并说明理由;

（2）若C4=2,8=4,求。七的长.

【压轴】

一.填空题（共1小题）

1.（2022•顺城区模拟）如图，点C在以/W为直径的半圆上，A8=4,NC8A=30°,点。在线段/IB上

运动，点E与点£＞关于AC对称，D尸_LDE于点D,并交EC的延长线于点F.下列结论：

①/尸=30°；

@CE=CF；

③线段EF的最小值为2立；

④当AQ=1时，EF与半圆相切：

⑤当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积是873.

其中正确的结论的序号为.

2.（2022•长沙模拟）如图，在△ABC中，NABC=90°,。是为AC上的一点，连接80,使NA=2NI,

E是8c上的一点，以BE为直径的。0经过点。.

(1)求证：AC是OO的切线；

(2)若NA=60。，OO的半径为2,求阴影部分的面积.(结果保留根号和IT)

3.(2U22•开福区三模)如图，是。。的直径，点C是0。上一点，/HAC的平分线A0交0。于点”,

过点D垂直于AC的直线交AC的延长线于点E.

(1)求证：OE是。。的切线；

(2)如图AO=5,AE=4,求O。的直径.

4.(2022•海曙区校级开学)如图，00的直径AC=I3,弦AC=I2.过点人作宜线MM使

2

AOB.

(1)求证：MN是。。的切线；

(2)延长CB交MN于点。，求AO的长.

5.（2021•铁岭模拟）如图，在中，ZA=90°,。是8。边上一点，以。为圆心的半圆与A8边

相切于点。，与AC、8。边分别交于点£、AG,连接0。，已知3。=2,AE=3,tan/8OD=2.

3

(1)求。。的半径OD；

（2）求证：AE是。。的切线；

（3）求图中两部分阴影面积的和.

6.（2021•东区校级模拟）如图，A3是。。的直径，弦。£垂直平分半径。4,。为垂足，DE=3,连接3D,

过点工作£M〃3Q,交84的延长线于点M.

（1）求OO的半径;

（2）求证：EM是OO的切线；

（3）若弦。/与直径AB相交于点R当NAPD=45°时，求图中阴影部分的面积.

E

7.（2021•庐阳区校级一模）如图，已知A8是。。的直径，AC是弦，。。切。0于点C交A8的延长线

于点。，ZACD=120°,80=10.

（1）求证：C4=CO；

（2）求OO的半径.

8.（2021•零陵区校级自主招生）如图，已知A8为圆。的弦（非直径），E为A8的中点，EO的延长线交

弱于点C,CD//AB,且交AO的延长线于点。.EO：OC=\：2,CD=4,求圆。的半径.

9.（2021•深圳模拟）如图，。是。O的半径04上的一点，。在上，KPD=PO.过点。作的切

线交0A的延长线于点C,延长交OO于K,连接KO,OD.

（1）证明：PC=PD；

（2）若该圆半径为5,CD//KO,请求出OC的长.

10.（2022春•鼓楼区校级期中）已知，如图，直线MN交0。于4,B两点，4c是直径，AZ）平分NC4M

交。。于。，过。作OE_LMN于£

（1）求证：OE是。。的切线；

（2）若DE=6c，n,AE=3cm,求。。的半径.

11.（2022•温江区校级自主招生）如图，已知。。是△ABC的外接圆，A8是。。的直径，。是AB延长线

上一点，A£_LOC交。C的延长线于点且AC平分/EA8

（1）求证：。石是。。的切线；

（2）若AB=6,求和4c的长.

BD

12.（2021•衡水模拟）如图，点。为△4BZ）的外接圆上的一动点（点。不在BAD上，且不与点B,。重合）,

ZACB=ZABD=45°

（1）求证：8。是该外接圆的直径；

（2）连接C。，求证：42AC=13C+CD；

（3）若△A6C关丁直线A6的对称图形为△A6M,连接DM,试探究DM?,另加2,6M2三者之间满足的

等量关系，并证明你的结论.

13.（2021春•碧江区期中）已知：如图，A8是的直径，4。是弦，OC垂直AO于少交00于£,连

接RE,且NC=N“E£）.

（1）求证：4c是OO的切线；

（2）若。4=10,AD=\6,求AC的长.

14.（2021•湖北模拟）如图，。。的直径4B=2,AM和8N是它的两条切线，。七切。。于E,交AM于D,

交8N于C.设AZ）=x,BC=y.

（1）求证：AM//BN；

（2）求,，关于x的关系式；

(3)求四边形A8C。的面积S,并证明：S22.

15.(2021•安徽模拟)如图，△ABC是。0的内接三角形，AC=BC,。为。0中点上一点，延长D4至点

E,使CE=CO.

(1)求证：AE=BD\

(2)若AC'_L8C,求证：AEHBD=&CD.

16.(2021•红寺堡区校级模拟)如图，4B是。0的直径，点P在朋的延长线上，弦CDLAB于点E,Z

POC=/PCE.

(1)求证：尸C是。。的切线；

(2)若OE：EA=\：2,%=6,求。0的半径；

(3)在(2)的条件下,求sin/PCA的值.

17.（2021•深圳模拟）已知：以Rt△48C的直角边AB为直径化OO,与斜边AC交于点。，E为BC边上

的中点，连接DE.

（1）如图，求证：QE是。。的切线；

（2）连接。£,AE,当NCA8为何值时，四边形AOEO是平行四边形，并在此条件下求sinNCAE的值.

第24章圆（基础、常考、易错、压轴）分类专项训练

【基础】

一、单选题

1.（2022•浙江台州•九年级期末）用直角尺检查某圆弧形工件，根据下列检查的结果，能判

断该工件一定是半圆的是］）.

【答案】B

【分析】根据90。所对的惧I周角所对的弦是直径进行判断.

【详解】解：因为90。所对的圆周角所对的弦是直径，所以选项B中的圆弧为半圆，

故选：B.

【点睛】本题考查J'圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于

这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90。所对的圆周角所对

的弦是直径，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.

2.（2022•山东•陵城区教学研究室一模）如图，以正方形A8C。的边A。为直径作一个半圆，

点例是半圆上一个动点，分别以线段AM、0M为边各自向外作一个正方形，其面积分别为

S/和S2,若正方形的面积为10,随点M的运动S/+S2的值（）

A.大于1（）B.小于10C.等于10D.不确定

【答案】C

【分析】根据题意NAMO=90。，可得为直角三角形，由勾股定理可知

AM2+DM2=AD2^即S+S2=10.

【详解】解：•・•AD是直径，

AZL4MD=9O°,

•••△AW）为直角三角形，

由勾股定理可知A”+DW2=A£>2,

即S+$2=10.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了圆周角定理和勾股定理的应用，解题的关键是理解随着点M的运

动NAA〃）=9O。，符合勾股定理.

3.（2022.汀苏.九年级专题练习）轮船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定轮船是

否会遇到暗礁.如图，A,B表示灯塔，暗礁分布在经过4,B两点的。0内。表示一个危

险临界点，Z4CB=70°,轮船〃与两个灯塔的夹角为Na,保证轮船航行不触礁的Na可

A.66°B.75°C.80°D.85°

【答案】A

【分析】根据题意，要使不触礁则Na<NAC3,即可判断;

【详解】解：根据圆的性质NAEB=NAC4=70。

,/ZAEB=NPBE+Na=70°

Za<ZAEB

，Na<70。

故选：A

【点睛】本题主要考查圆的性质，掌握圆的性质并灵活应用是解题的关键.

4.（2022•山西晋中•二模）在数学探究课上，小明在探究圆周角和圆心角之间的数量关系时,

按照圆周角与圆心的不同位置关系作出了如下图所示三个图进行探究小明的上述探究.过程

体现的数学思想是（）

AB

BAB

A.公理化思想B.分类讨论思想C.转化思想D.建模思想

【答案】B

【分析】根据分类讨论思想的含义进行判断即可.

【详解】解：在探究圆周角与圆心角的数量关系时，因不确定圆周角与圆心角的位置关系是

否会影响结论，故对每种位置关系分别进行研究，这种数学思想是分类讨论思想.

故选：B.

【点睛】本题考查对数学思想的理解，分类讨论思想是指将原问题转化为若干个小问题来解

决，通过研究其在不同情况下的结论，得出原问题的结论.

5.（2022.江苏苏州.九年级阶段练习）下列说法正确的是（）

A.直径是圆中最长的弦，有4条

B.长度相等的弧是等弧

C.如果0A的周长是。8周长的4倍，那么。A的面积是。8面积的8倍

D.已知0。的半径为8,A为平面内的一点，且。4=8,那么点A在。。上

【答案】D

【分析】根据圆的相关概念解答即可.

【详解】解：A.直径是圆中最长的弦，有无数条，故该选项不符合题意；

B.在同圆或等圆中长度相等的弧是等弧，故该选项不符合题意；

C.如果的周长是周长的4倍，那么的面积是C8面积的16倍，故该选项不符合题

忠；

D.已知0。的半径为8,A为平面内的一点，且。4=8,那么点A在。。上，故该选项符合题

意.

故选：D.

【点睛】本题考查了圆的认识，熟练掌握圆的相关概念是解答本题的关键.

6.（2022•四川宜宾•八年级期末）用反证法证明“在△ABC中,AB=c,BC=a,CA=b,ZC>

且NCW90。，那么片十/在乙，，应先假设（）

A./+/=/B.C.D.或/+

【答案】A

【分析】根据反证法的第•步是假设结论的反面成立，即可求解•.

【详解】解：根据题意得：应先假设/+/=/.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了反证法，熟练掌握反证法的第一步是假设结论的反面成正是解题的

关键.

7.（2022・浙江•翠苑中学八年级期中）用反证法证明：“多边形的内角中锐角的个数最多有3

个”时，应假设（）

A.多边形的内角中锐角的个数最少有4个B.多边形的内角中锐角的个数最少有3个

C.多边形的内角中锐角的个数最少有2个D.多边形的内角中锐角的个数最多有2个

【答案】A

【分析】用反证法证明问题的关键是清楚结论的反面是什么，写出与条件相反的假设即可

【详解】解：用反证法证明“多边形的内角中锐知的个数最多有3个附，应假设多边形的内

角中锐角的个数最少有4个，

故选：A.

【点睛】本题考查的足反i正法的应用，解题的关键足要值得反证法的意义及步骤.在假设结

论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定•种就可以

了，如果有多种情况，则必须一一否定.

8.（2022•山西晋中•八年级期中）在证明“三角形中必有一个内角小于或等于60”时先假设每

一个内角都大于60,然后，…，这种证明方法是（）

A.综合法B.举反例法C.数学归纳法D.反证法

【答案】D

【分析】根据反证法的定义进行回答即可.

【详解】解：在证明“三角形中必有一个内角小于或等于60”时先假设每一个内角都大于

60,然后，…，这种证明方法是反证法.

故选：D.

【点睛】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤.反证法的

步骤是：（I）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立.在

假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定•种就

可以了，如果有多种情况，则必须一一否定.

9.（2022・贵州贵阳•八年级期末）对于命题喏炉=25,则x=5"，小江举了一个反例来说明

它是假命题，则小江选择的x值是（）

A.x=25B.x=5C.x=10D.x=—5

【答案】D

【分析】当x=-5时，满足f=25,但不能得到x=5,于是x=-5可作为说明命题“若

25,则x=5”是假命题的一个反例.

【详解】解：说明命题“若，=25,则x=5”是假命题的一个反例可以是工=-5,故D正确.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题.许多命题都是由题

设和结论两部分组成，题设是己知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成

“如果…那么…”形式.有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理.任何一

个命题非真即假，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命

题，只需举出一个反例即可.

10.（2022・江苏•九年级专题练习）下列命题正确的是（）

A.两点之间，直线最短

B.正六边形的外角和大于正五边形的外角和

C.不在同一条直线上的三个点确定一个圆

D.一个图形和它经过平移所得到的图形中，对应线段平行且相等

【答案】C

【分析】利用线段的性质，多边形的外角和定理.，确定一个圆的条件，平移的性质等知识进

行判断后即可确定正确的选项.

【详解】解：A.两点之间，线段最短，故选项错误，不符合题意；

B.多边形的外角和是360。，故选项错误，不符合题意；

C.不在同一条直线上的三个点确定一个圆，故选项正确，符合题意：

D.一个图形和它经过平移所得到的图形中，时应线段平行或者在同一条直线上，并且相等,

故选项错误，不符合题意.

故选：C.

【点睛】命题是表示判断的语句，判断正确的命题是真命题，判断错误的命题是假命题，熟

练掌握所学知识是进行正确判断的基础.

11.（2022•山西晋中•二模）公元263年，我国数学家利用“割圆术”计算圆周率.割圆术的基

本思想是“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”.随

后，公元480年左右，我国另一位数学家又进一步得到圆周率精确到小数点后7位，由此可

知，这两位数学家依次为（）

A.刘徽，祖冲之B.祖冲之，刘徽C.杨辉，祖冲之D.秦九韶，杨辉

【答案】A

【分析】掌握割圆术和圆周率的发明过程是解题的关键.

【详解】解：3世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创曲圆术，为计算圆周率建立了严密的

理论和完善的算法，所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法.圆

周率不是某一个人发明的,而是在历史的进程中，不同的数学家经过无数次的演算得出的.古

希腊大数学家阿基米德（公元前287-212年）开创了人类历史上通过理论计算圆周率近似值的

先河.公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后7位的结果,

给出不足近似值3.1415926和过剩近似值31415927,还得到两个近似分数值.

故选:A.

【点睛】本题考查了割圆术和圆周率的发明过程和发明人，熟练掌握割圆术和圆周率的发明

过程是解题的关键.

12.（2022・江苏•九年级专题练习）我国魏晋时期的数学家刘徽发现在圆的内接正多边形边数

加倍的过程中，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所

失矣”，即当圆的内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆面积，他首创

了利用圆的内接正多边形确定圆周率.这种确定圆周率的方法称为（）

A.正负术B.方程术C.割圆术D.天元术

【答案】C

【分析】根据我国利用“割圆术”求圆周率的近似值解答即可.

【详解】解：由题意可知：利用圆的内接正多边形确定圆周率.这种确定圆周率的方法称为

“割圆术”.

故选：C.

【点睛】本题考查正多边形和圆，解题的关键是了解我国古代用“割圆术”求圆周率的近似值,

即在一个圆中，它的内接上多边形的边数越多，正多边形就越像圆，它的周长和面积就更接

近圆的周长和面积.

13.（2022•山东荷泽•七年级期末）下列说法，其中正确（I勺有（）

①过圆心的线段是直径

②圆上的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径组成的图形叫做扇形

③大于半圆的弧叫做劣弧

④圆心相同，半径不等的圆叫做同心圆

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】根据圆的有关概念进项分析即可.

【详解】解：①过圆心的弦是直径，故该项错误；

②由一条弧和经过这条弧的两个端点的两条半径组成的图形叫做扇形，故该项正确；

③小于半圆的弧叫做劣弧，故该项错误；

④同心相同，半径不等的圆叫做同心圆，故该项正确.

故选：B.

【点睛】本题考查了圆的认识，熟练掌握圆的相关概念是解题的关键.

二、填空题

14.（2022•黑龙江哈尔滨•期木）运动场上的环形跑道的跑道宽都是相同的，若一条跑道的两

个边缘所在的环形周长的差等于1?2兀米，则跑道的宽度为米.

【答案】|

【分析】设运动场上的小环半径为「米，大环半径为R米，再根据圆的周长公式计算即可.

【详解】解：设运动场上的小环半径为，米，大环半径半径为R米，根据题意得：

12

2兀（.R-r）=-n,

5

解得：R-「=£,

即跑道的宽度为［米.

故答案为：y.

【点睛】本题考查了圆的周长公式，熟练掌握圆周长的计算公式是解题的关键.

15.（2022・全国•九年级专题练习）小于半圆