概率论和数理统计第二章课后习题答案

概率论与数理统计课后习题答案

第二章

1.一袋中有5只乒乓球，编号为1,2,3,4,5,在其中同时取3只，以X表示取出的3只

球中的最大号码，写出随机变量X的分布律.

【解】

故所求分布律为

X345

P0.10.30.6

2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样,

以X表示取出的次品个数，求：

(1)X的分布律：

(2)X的分布函数并作图；

(3)

【解】

故X的分布律为

X012

P22121

353535

(2)当xvO时，F(x)=P(XWx)=0

当()Wx<l时，F(x)=P=P(X=0)=一

35

34

当时.F(x)=P(XW.r)=P(X=0)+P(X=1)=—

当x22时，F(x)=P(XWx)=1

故X的分布函数

(3)

3.射手向目标独立地进展了3次射击，每次击中率为0.8,求3次射击中击中目标的次数的

分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率.

【解】

设X表示击中目标的次数.则X=0,1,2,3.

故X的分布律为

X0123

P0.0080.0960.3840.512

分布函数

4.(1)设随机变量X的分布律为

尤

P{X=k}=a—,

KI

其中；0,1,2,…，4>0为常数，试确定常数a

(2)设随机变最X的分布律为

P{X=k\=a/N,^=1,2»,,,♦N,

试确定常数a

【解】(1)由分布律的性质知

故a=『

(2)由分布律的性质知

即Cl=\,

5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0607今各投3次，求：

(1)两人投中次数相等的概率；

(2)甲比乙投中次数多的概率.

【解】分别令X、y表示甲、乙投中次数，则XV[3,0.6),丫~仇3,0.7)

(1)

=(04)3(0.3)3+C；O.6(O.4)2C；O.7(O.3)2+

(2)

=0.24

6.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02,且设各

飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降

落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)

【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数，则X~〃(200,0.02),设机场需配备N条跑道，

则有

200

即ZC；0c(0.02)“0.98严”<0.01

k=N+l

利用泊松近似

查表得N29.故机场至少应配备9条跑道.

7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为

0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少(利

用泊松定理)

【解】设X表示出事故的次数，贝IJX4(1000,0.0001)

8.在五重贝努里试验中成功的次数X满足尸{X=I}=P{X=2),求概率尸{X=4}.

【解】设在每次试验中成功的概率为〃，则

故

所以P(X=4)=C；(！)4]=工.

9.设事件人在每一次试验中发生的概率为0.3,当人发生不少于3次时，指示灯发出信号，

(1)进展了5次独立试脸，试求指示灯发出信号的概率；

(2)进展了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.

【解】(1)设X表示5次独立试验中4发生的次数，则*~6(5,0.3)

(2)令丫表示7次独立试验中A发生的次数，则Y"(7,0.3)

10.某公安局在长度为，的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为(1/2)/的泊松分

布，而与时间间隔起点无关(时间以小时计).

(I)求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；

(2)求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率.

【解】(1)P(X=0)=e-2(2)P(X>l)=l-P(X=O)=l-e2

11.设P{X=k}=C^pk(\-pl",40,1,2

P[y=〃"=C；'p"'(l-p)j,打=01,2,3,4

分别为随机变量x,y的概率分布，如果P{X2i}《，试求P{2}.

54

【解】因为P(XN1)=-,故P(X<1)=-.

99

而P(X<l)=P(X=0)=(l-p)2

4

故得(1一〃)2=:

9

即P=(

从而P(Y>1)=1-P(X=0)=1-(1-p)34=«0.80247

81

12.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001,试求在这200()册书中

恰有5册错误的概率.

【解】令X为2000册书中错误的册数，则X~〃(2000,0.C01).利用泊松近似计算，

e"2‘

得P(X=5)«-------=0.0018

5!

13.进展某种试验，成功的概率为士3，失败的概率为1一.以X表示试验首次成功所需试验的次

44

数,试写出X的分布律，升计算X取偶数的概率.

【解】X=l,2,4…

14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡

的概率为0.002,每个参加保险的人在1月1口须交12元保险费，而在死亡时家属可从

保险公司领取2000元赔偿金.求：

(1)保险公司赔本的概率；

(2)保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率.

【解】以“年”为单位来考虑.

⑴在1月1日，保险公司总收入为2500X12=30000元.

设1年中死亡人数为X,则X~A(25OO,O.OO2),则所求概率为

由于〃很大，〃很小，4=〃〃=5,故用泊松近似，有

(2)P(保险公司获利不少于10000)

即保险公司获利不少于1000()元的概率在98%以上

P(保险公司获利不少于20000)=P(30000-2000X>20000)=P(X<5)

即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%

15.随机变量X的密度函数为

/(x)=Ae4'1,-8<x<+oo,

求：(1)A值；(2)P{O<X<I};(3)F(x).

【解】⑴由「/。)心=1得

J-00

故A=~.

2

(2)〃(0<*<1)=；卜出=；(12)

(3)当xvO时，F(x)=/ge'drnge'

当时，F(x)=jVge4t1dr=JOgdr+J：ge-rdx

-eA,x<0

故F(x)=\2

l--e-rx>0

2

16.设某种仪器内装有二只同样的电子管，电子管使用寿命X的密度函数为

弊，a。。,

fix)=工

10,JV<100.

求：⑴在开场15()小时内没有电子管损坏的概率;

(2)在这段时间内有一只电子管损坏的概率；

(3)F(x).

【解】

150KM)1

⑴P(XG50)=LfF心

(2)〃2=C；5|)2=[

(3)当xvlOO时尸(x)=0

当入2100时/(£)=,：/(/Xk

I1()0

x>100

故F(x)=«x

0,.r<0

17.在区间［0,al上任意投掷一个质点，以X表示这质点的坐标，设这质点落在［0,«］

中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X的分布函数.

【解】由题意知X〜“0,3，密度函数为

故当A<0时F(%)=0

当OWxWa时Fix)=

当时，F(X)=1

即分布函数

18.设随机变量X在[2,5]上服从均匀分布.现对X进展三次独立观测，求至少有两次的观测

值大于3的概率.

【解】X~U[2,5],即

故所求概率为

19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分钟计)服从指数分布E，).某顾客在窗口

等待服务，假设超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以丫表示一个月内他未

等到服务而离开窗口的次数，试写出y的分布律，并求P{Y21}.

【解】依题意知乂~七《)，即其密度函数为

该顾客未等到服务而离开的概率为

y~b(5,e"),即其分布律为

20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X服

从N[40,102)；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X服从N(50,4?).

(1)假设动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些

(2)又假设离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些

【解】(1)假设走第一条路，X~N(40,102),则

假设走第二条路，X~N(50,42),则

尸—(一〈二斗。⑵5)=0.9938++

故走第二条路乘上火车的把握大些.

(2)假设X~N(40,IO?),则

假设X~N(50,42),则

故走第一条路乘上火车的把握大些.

21.设X~N(3,22),

(1)求P{2vXW5},P{-4<X<I0},P{IXI>2},P{X>3};

(2)确定c使P{X>c}=P|XWc}.

【解】(1)P(2<X<5)=pf—

I222)

⑵c=3

22.由某机器生产的螺栓长度(cm)X~N(10.05,0.062)，规定长度在10.05±0.12内为合格品,

求一螺栓为不合格品的概率.

【解】P(|X-10.051>0,12)=pf|X~1Q，05>—

(I0.060.06J

23.一工厂生产的电子管寿命X(小时)服从正态分布N(160,『)，假设要求P{120VXW

200}>0.8,允许。最大不超过多少

120-160X-160200-160

【解】P(120<X<200i=P------------<<

(Jaa

故bw卷=31.25

24.设随机变量X分布函数为

A+Be",x>0,

(2>0),

0,x<0.

(1)求常数A,B；

⑵求P{XW2},P{.¥>3}；

⑶求分布密度/(x).

limF(x)=1A=\

【解】(1)由<If+00得4

limF(x)=limF(x)B=-\

sO-

(2)P(X<2)=F(2)=l-e-2A

⑶/(x)=F*)=F『

0,x<()

25.设随机变量X的概率'密度为

x,0<x<1,

f(x)2-x,1<A<2,

0,其他

求X的分布函数/5),并画出/(幻及F(x).

【解】当工<0时F(x)=0

当0W,Z1时F(x)=£/(r)dr=J：f(r)dr+£'f(r)dz

当lWx<2时/(幻二

当x22时F(x)=J^/(r)d/=l

0,x<0

0<x<l

2，

故F(X)=2

-----F2x-1,l<x<2

2

1,x>2

26.设随机变量X的密度函数为

(1)7(x)=«e-w,x>0;

bx,0<x<I,

(2)yu)=<g,l<x<2,

%其他

试确定常数〃力，并求其分布函数尸(x).

【解】⑴由匚/(x)dr=1知l=「c2如山:=2a「eAxdx=y

故a=—

2

—e弋X>0

2

即密度函数为/«=

"x<0

5e

当xWO时F(x)=J：/(x)clv=J：|eAtdx=

当.r>0时F(x)=『/(x)dx=j°"clr+

故其分布函数

⑵由1=J/(x)dx=£bxdx+J；=dx=t+g

得

即X的密度函数为

当xWO时F(x)=0

当0<x<1时F(x)=「/(x)dr=j(/(x)dr+£'/(x)dv

当162时尸(x)二「/(x)dr=「)0让+

当x22时尸5)=1

故其分布函数为

27.求标准正态分布的上a分位点,

(1)CL=0.01,求z。；

(2)a=0.003,求Zq,za/2.

【解】(1)P(X>Za)=0.01

即l-(Z>(zfl)=0.01

即例z“)=0.09

故=2.33

(2)由P(X>Za)=0.003得

即0(zj=0.997

查表得Z—.75

由夕。〉2。/2)=0-0015得

即0(za/2)=0.9985

查表得z〃/2=2.96

28.设随机变量X的分布律为

X-2-1013

Pk1/51/61/51/1511/30

求K=X2的分布律.

【解】y可取的值为0,1,4,9

故y的分布律为

Y0149

Pk1/57/301/511/30

29.设P{X=A}=(-)\412…，令

2

求随机变量X的函数Y的分布律.

【解】尸(Y=1)=P(X=2)+P(X=4)++P(X=2k)+

30.设X~N(0,I).

(1)求丫=^的概率密度；

(2)求r=2X2+l的概率密度；

(3)求丫=1xl的概率密度.

【解】⑴当)W0H寸，6(y)=P(y《)，)=0

当)，>0时，4()，)=P(Y<y)=P(el<y)=P(X<\ny)

故4()，)=岑2=’£(1。刃11_1„2>,/2,

-/—e，y>(

dyyyJ2TI

⑵p(r=2X2+i>i)=i

当)wi时6()，)=p(y”)=。

当y>l时4(y)=P(Y<y)=P(2X211<y)

故人")=界〔》4居4-日］

⑶p(y>o)=i

当)W0时《()，)=尸(y(y)=0

当y>0时FY(y)=P(|X|<y)=P(-y<X<y)

故人(y)=；%(y)=fx(y)+fx(-y)

dy

31.设随机变量X~U(OJ),试求：

(1)七ex的分布函数及密度函数；

(2)Z=-21nX的分布函数及密度函数.

【解】⑴P(O<X<1)=1

故P(l<y=eA<e)=l

当yVl时4(y)=P(YWy)=0

x

当l<><e时Fy(y)=P(e<y)=P(X<Iny)

当)，2e时耳()，)=P(e'Ky)=l

即分布函数

故y的密度函数为

(2)由P1OVXV1)=1知

当zWO时，Fz(z)=P(Z<z)=0

当z>0时，Fz(z)=P(Z<z)=P(-2lnX<z)

即分布函数

故Z的密度函数为

32.设随机变量X的密度函数为

(2x八

兀2'

0,其他.

试求tsinX的密度函数.

【解】p(o<r<i)=i

当yWO时，6()，)=p(yw)，)=o

当0<y<l时,号(y)=P(Y<y)=尸(sinX<y)

当时，K(y)=l

故y的密度函数为

33.设随机变量X的分布函数如下：

试填上⑴，⑵，⑶项.

【解】由lim由(x)=l知②填lo

由右连续性limFix)=F(x0)=1知仆=0,故①为0。

从而③亦为0。即

34.同时掷两枚骰子，直到一枚骰子出现6点为止，求抛掷次数X的分布律.

【解】设A尸｛第i枚骰子出现6点｝。(i=l,2),P(4)=L且4与4相互独立。再设C=｛每次

6

抛掷出现6点｝。则

故抛掷次数X服从参数为□的几何分布。

36

35.随机数字序列要多长才能使数字0至少出现一次的概率不小于0.9?

【解】令X为0出现的次数，设数字序列中要包含〃个数字，则

X~伏〃,0.1)

即(0.9)"0.1

得“222

即随机数字疗列至少要有22个数字。

36.

0,x<0,

F(x)=«X4--,()«X<一,

22

1,

则尸5)是(：随机变量的分布函数.

(A)连续型；(⑶离散型；

(C)非连续亦非离散型.

【解】因为/(x)在Jg,+8)上单调不减右连续，且limF(x)=0

XTF

lim所以产(x)是一个分布函数。

但是尸(X)在户0处不连续，也不是阶梯状曲线，故尸5)是非连续亦非离散型随

机变量的分布函数，选(C)

37.设在区间团⑼上，随机变量X的密度函数为/U尸sinx,而在[a⑼外，人丫尸0,则区间口,可

等于()

(A)[0,n/2];(8)[0.n]；

(OI-TI/2,OJ;(D)IO,17T].

7Tf»/2

【解】在[0,勺上sirueo,且JoSinxdv=l.故人r)是密度函数。

20

在[0,711上J；sinxdx=2工1.故ZU)不是密度函数。

在［—工,0］上sinxWO,故人工)不是密度函数。

33

在［0,—兀］上，当7iV%«—兀时，sinx<0,〈工)也不是密度函数。

22

应选⑷。

38.设随机变量X~N(0,/),问：当。取何值时，X落入区间(1,3)的概率最大

Iv3

【解】因为X~NQ,b?),P(l<X<3)=P(-<—<-)

(T(7(T

利用微积分中求极值的方法，有

°in3°闹

又g〃5)<0

2

故5)</—为极大值点且惟一o

Vin3

2

故当b=时X落入区间(1,3)的概率最大。

Vln3

39.设在一段时间内进入某一商店的顾客人数X服从泊松分布P(X),每个顾客购置某种物

品的概率为P，并且各个顾客是否购置该种物品相互独立，求进入商店的顾客购置这种

物品的人数y的分布律.

【解】P(X=m)=~.加=0,1,2,…

ml

设购置某种物品的人数为匕在进入商店的人数K二,〃的条件下，Y~b(m,p),即

由全概率公式有

此题说明：进入商店的人数服从参数为、的泊松分布，购置这种物品的人数仍服从泊

松分布，但参数改变为切.

40.设随机变量X服从参数为2的指数分布.证明：y=l-c-2X在区间［0,1)上服从均匀分布.

【证】X的密度函数为

由于P(X>0)=1,故0<l-e-2X<1,即「(0<r<l)=1

当)W0时，FY⑵=0

当时，Fy(y)=1

-2t

当0<><1时,FY(y)=P(Y<y)=P(e>1-y)

即丫的密度函数为

即Y~U(o,I)

41.设随机变量X的密度函数为

—,04x«1,

3

2c,

/x)=«一,3<x«6,

9

0,其他.

假设k使得P{X2灯=2/3,求k的取值范围.(2000研考)

21

【解】由P(X2&)=一知P(X<&)=-

33

假设火<0,P(X<&)=0

假设OW.W1,P(X4)=£；出=专V；

当上1时尸(XV外=-

3

假设1W2W3时P(X4)=fl-cLv+fA0<Lv=-

J03Ji3

假设34W6,则尸(X<A)=f-ch+r-dA=-A:--^-

J03J，9933

假设Q6,则P(X<k)=1

2

故只有当1WZW3时满足P(X2k)=-.

3

42.设随机变量X的分布函数为

0,x<—1,

0.4,-1<X<1,

F(x)=*

0.8,1<x<3,

1,x>3.

求X的概率分布.(1991研考)

【解】由离散型随机变量X分布律与分布函数之间的关系，可知X的概率分布为

X-113

P0.40.40.2

43.设三次独立试验中，事件A出现的概率相等.假设A至少出现一次的概率为19/27,求A

在一次试验中出现的概率.

【解】令X为三次独立试验中A出现的次数，假设设户(A)=p，则

198

由P1X21)=一知户(X=0)=(1-p)3=一

2727

44.假设随机变量X在(1,6)上服从均匀分布，则方程尸+为，+1=0有实根的概率是多少

【解】

45.假设随机变量X~N(2,。2),且P{2VX<4}=0.3,贝I」

P{X<0}=.

【解】o.3=p(2<Xv4)=P(二

<J<7(J

2

故①(—)=0.8

CT

X-20—22

因此P(X<0)=P(—^<^)=0(一一)

a(7cr

46.假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂：以概率0.3需进一步调试，经调

试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了〃("22)

台仪涔(假设各台仪器的生产过程相互独立).求

(1)全部能出厂的概率。；

(2)其中恰好有两台不能出厂的概率万；

(3)其中至少有两台不能出厂的概率0.

【解】设4=｛需进一步调:式｝,8=｛仪器能出厂｝,则

了=｛能直接出厂｝,经调试后能出厂｝

由题意知8二.UA8,且

令X为新生产的〃台仪渊中能出厂的台数，则*~6(〃，0.94),

故

47.某地抽样调查结果说明，考生的外语成绩(百分制)近似服从正态分布，平均成绩为72

分，96分以上的占考生总数的2.3%,试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率.

【解】设X为考生的外语成绩，则X~N(72,。2)

24

故0(—)=0.977

(7

24

查表知—=2,即。=12

从而X~N(72,122)

故P(60WX184)=60-72<X-72<84-72]

12-12J

48.在电源电压不超过200V、200V~24()V和超过240V三种情形下，某种电子元件损坏的概

率分别为0.1，0.001和0.2(假设电源电压X服从正态分布N(220,252)).试求：

(1)该电子元件损坏的概率。；

(2)该电子元件损坏时，电源电压在200〜240V的概率?

【解】设解】电压不超过200V｝,4=｛电压在200~240V｝,

4=(电压超过240V｝,4=｛元件损坏｝。

由X~N(220,252)知

由全概率公式有

由贝叶斯公式有

49.设随机变量X在区间(1,2)上服从均匀分布，试求随机变量Y=e2x的概率密度加，).

1,l<x<2

【解】

0,其他

因为P(1<X<2)=1,故P(e2<y<e4)=1

当yWc?时FY⑶)=P(yW)，)=O.

242X

当e<}<e时，FY(y)=P(Y<y)=P(e<y)

当yee4时,FY(y)=P(Y<y)=\

6(y)=—Iny—1,e"<y<e

2.

e'<y<c

4()')=，

其他

5().设随机变量X的密度函数为

e-t,x>(),

及")二,

0,x<0.

求随机变量笈©x的密度函数力(v).(1995研考)

【解】P(y，i)=i

当yWl时，4(y〕=P0Y)，)=0