第一章 §1.1 1.1.1 第1课时　空间向量及其线性运算

第一章空间向量与立体几何

§1.1空间向量及其运算

1.1.1空间向量及其线性运算

第1课时空间向量及其线性运算

【学习目标】1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念.2.经历由平面向

量的运算及其运算律推广到空间向量的过程3掌握空间向量的线性运算.

【导语】

国庆期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(人)观赏黄浦江，然后抵达东方明

珠(8)游玩，如图1,游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？如果游

客还要登上东方明珠顶端(D)俯瞰上海美丽的夜景，如图2,那么他实际发生的位移是什么？

又如何表示呢？

图1图2

一、空间向量的有关概念

【知识梳理】

1.在空间，把具有力血和珏的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的近度或提

空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模,。的起点是A,终点是B,则

a也可记作而，其模记为⑷或|麴|.

2.几类特殊的空间向量

名称定义及表示

零向量规定长度为0的向量叫做寄包量，记为0

单位向量模为_L的向量叫做单位向量

相反向量与向量“长度相等而方向相反的向量,叫做。的相反向量，记为—a

共线向量如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这

些向量叫做共线向量或平行向量.规定：零向量与任意向量m，即定

于任意向量。，都有04

方向招回且模相笠的向量称为相等向量.在空间，同向且等长的有向线

相等向量

段表示同一向量或相等向量

⑴平面向量是•种特殊的空间向量.

(2)两个向量相等的充要条件为长度相等，方向相同.

⑶向量不能比较大小.

(4)共线向量不一定具备传卷性，比如0.

例1(1)下列关于空间向量的说法中正确的是()

A.单位向量都相等

B.若⑷=网，则。,b的长度相等而方向相同或相反

C.若向量油，诙满足丽|>|诙|,贝1］检>前

D.相等向最其方向必相同

答案D

解析A中，单位向量长度相等，方向不确定；

B中，同=|“只能说明°,力的长度相等而方向不确定；

C中，向量不能比较大小.

(2)(多选)下列命题为真命题的是()

A.若空间向量a,〃满足同=网，则一=力

B.在正方体A8CO一AI8IGQI中，必有危=不方

C.若空间向量机，〃，p满足机=〃，〃=p,则7〃=p

D.空间中，a//b,b//c,则。〃c

答案BC

解析A为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相

同，而A中向量。与方的方向不一定相同；

B为真命题，/与X方的方向相同，模也相等，故启方；

C为真命题，向量的相等满足传递性；

D为假命题，平行向量不一定具有传递性，当》=0时，。与c不一定平行.

反思感悟空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的

模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念.

跟踪训练1如图所示，以长方体人8c。-的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，

⑴试写出与诵相等的所有向量;

(2)试写出筋।的相反向量;

(3)若小H=AD=2,AAi=l,求向量公i的模.

解(])与向量茄相等的所有向量(除它自身之外)有了方，虎及万方共3个.

(2)向量篇।的相反向量为新，标,GC,万万.

⑶而|=^|AG2+|CCi|2=NP48F+|BCP+|CG|2二3.

二、空间向量的加减运算

问题空间中的任意两个向量是否共面？为什么？

提示共面，任意两个向量都可以平移到同一个平面内，因此空间中向量的加减运算与平面

中一致.

【知识梳理】

语言叙述首尾顺次相接，首指向尾为和

三角形公

法则图形叙述

AaB

加法

共起点的两边为邻边作平行四

运算语言叙述

边形，共起点对角线为和

平行四边

BJC

形法则/

图形叙述

OaA

共起点，连终点，方向指向被减

语言叙述

减法三角形向量

运算法则^V\b

图形叙述

0aA

加法交换律。+力=力+。

运算结合律m+〃)+c=4+e+c)

注意点：

(1)求向量和时.，可以首尾相接，也可共起点；求向量差讨，可以共起点.

(2)三角形法则、平行四边形法则在空间向量中也适用.

例2(1)(多选)如图，在正方体A8CQ—Ai8G。中，下列各式运算结果为访।的是()

0.G

A.AIDI—A\A-AB

B法十丽一QC；

CAD-AB-DDi

D.4。;一瓦5+历1

答案AB

解析A中，~MDy-~MA-AB=Af)x-AB=Bf)xx

B中，正+丽一。C；=记i+GO；=丽;

C中，Ab-AB-Db\=Bb-Db\=Bb-BB\=Bd)^BD^

D中，瓦万一兀'+应＞|=而+筋］+而尸防叶筋谷而।.故选AB.

⑵化简(赢一员)一(启一BD)=.

答案0

解析方法一(转化为加法运算)

(AB-cb)-(AC-Bb)=AB-cb-AC-\-Bb

=AB+5C+CA+BD

=AB+BD+DC+C4=0.

方法二(转化为减法运算)

(AB-CD)-(AC-BD)

=(AB-AC)+(BI)-ci))

=O?+^C=0.

反思感悟空间向量加法、减法运算的两个技巧

(1)巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量

可使向量首尾相接.

(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、

差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.

跟踪训练2如图，已知空间四边形A8C。，连接AC,BD,E,F,G分别是BC,CD,DB

的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果.

(I)诵+病一必

⑵嬴一历一次.

解(口油+证一比二初+正+而二/+而:病，如图中向量病.

⑵赢一比一褒=赢+&;+反:=4d+6>=能，如图中向量能.

三、空间向量的数乘运算

【知识梳理】

与平面向量一样，实数7与空间向量a的乘积痴仍然是一

定义

个向量，称为空间向量的数乘

A>0)a与向量〃的方向相同

/.a的长度是a

几何意义A<0〃与向量”的方向相反

的长度的因倍

2=0〃=0,其方向是任意的

结合律

运算律

分配律(2+/z)a=za+/za.2(a+力)=2a+2〃

注意点：

(1)当2=()或”=0时，〃=0.

(2)A的正负影响着向量痴的方向，；I的绝对值的大小影响着痴的长度.

(3)向量Aa与向量。一定是共线向量.

例3如图所示，在平行六面体ABCO—AIBIGU中，设筋i=a，AB=b,AD=c,M,N,P

分别是44,BC,G。的中点，试用“，b,。表示以卜各向量:

⑴嬴；⑵而；⑶语.

解(1)・・・P是GA的中点，

・・・布=筋1+4。；+辰="+而+；/)13

1-1

=a+c+]AB=a+50+c

(2)・.・N是AC的中点，

・,.布=巾+寿+前=-。+6+我

If|

=—a+5+^4Q=——a+5+/c.

(3):"是AAi的中点,

・•・MP=MA-^-AP=^A+赤

=-%+("+c+，)=2a+；8+c.

延伸探究

1.例3的条件不变，试用*b,。表示向量丽.

解因为尸，N分别是QCi,EC的中点，

所以PN=记।+C?C+CN=^AB+(-A4))+(一颉))=~a+/-1

2C-

2.若把例3中“P是G。的中点”改为“P在线段GP上，且需=4"，其他条件不变,

如何表示AP?

—►—>—►-►—>2

解AP=AQ]+Q]P=AAi+AQ+§48=a+c+5。.

反思感悟利用薮乘运算进行向量表示的技巧

(I)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，

将目标向量转化为已知向量.

(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质.

跟踪训练3已知四边形A3CO为正方形,P是四边形43C。所在平面外一点,P在平面A3CO

上的射影恰好是正方形的中心0,Q是C。的中点，求下列各题中x,y的值.

⑴丽=所+屁+＞，丽

⑵丽=屈+屈+而.

解(1)由图可知，OQ=PQ-PO

-A]—►-A

=PQ-^PA+PC)

=而—昴一细&,

(2)VM+PC=2Pd,

：.PA=2PO-PC.

•・•正+而=2的,

：.PC=2PQ-PI),

：.t^=2PO-(2PQ-PI))=2PO-2PQ^-PI).

Ax=2,y=~2.

-课堂小结--------------------------------------------------------------------------

I.知识清单：

(I)向量的相关概念.

(2)向量的线性运笄(加法、减法和数乘).

(3)向量的线性运算的运算律.

2.方法归纳：类比、三角形法则、平行四边形法则、数形结合思想.

3.常见俣区：应抓住向童的“大小”和“方向”两个要索，并注意它是一个“量”，而不是

一个数.

随堂演练

1.(多选)下列命题中，真命题是()

A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小

B.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同

C.只有零向量的模等于0

D.共线的单位向量都相等

答案ABC

解析容易判断D是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量.

2.化简南一所+荻所得的结果是（）

X.PMB.NP

C.0D.MN

答案C

解析PM-丽+MN=沛1+加=而一W=0.

3.设有四边形A3CO,。为空间任意一点，且公+励=庆＞+沆，则四边形43co是（）

A.平行四边形B.空间四边形

C.等腰梯形D.矩形

答案A

解析・.・启+励=5b+女，

：,AB=DC.

・•・施〃5b且前1=1的.

•••四边形ABC。为平行四边形.

4.在正方体ABC。一入出CG中，已知下列各式：①（赢+就）+/1：②（启+4Q；）+DC；：

③（初+的）+瓦3；④（春叶了瓦）+氤;淇中运算结果为启।的有个.

答案4

解析根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断：

①（篇+BC）4-CCI=AC+CC1=AC|；

②（4]+4£＞；）+DC；=A5I+DC；=A?I；

③（丽+丽）+^7=届+^??=Aci；

④（忌+4B；）+8|"=A51+B1C；=AC1.

所以4个式子的运算结果都是AG.

课时对点练

L基础巩固

i.下列说法中正确的是（）

A.空间中共线的向量:必在同一条直线上

的充要条件是4与C重:合，B与。重:合

C.数乘运算中，入既决定大小，又决定方向

D.在四边形A8CO中，一定有赢+弱=启

答案c

解析对于A,向量共线是指表示向量的有向线段所在直线平行或重合，所以A错误；

对于B,油=丽的充要条件是|靠|=|诙且靠，诙同向.但4与C,B与D不一定重合,

所以B错误；

对于C,2既决定大小又决定方向，所以C正确；

对于D,满足前+病=病的一定是平行四边形，一般四边形是不满足的，因而D错误.

综上可知，正确的为B.

2.向量0,力互为相反向量，已知田|=3,则下列结论正确的是（）

A.a=hB.a+b为实数0

C.。与》方向相同D.⑷=3

答案D

解析向量。，方互为相反向量，则。，力模相等，方向相反，故选D.

3.如图，在四棱柱的上底面ABCQ中，AB=DC,则卜,列向最相等的是（）

A.病与无

B加与沆

C.危与加

D.5b与加

答案D

解析对于A,而与无的方向相反，因而不是相等向量，所以A错误；

对于B,万1与沆的方向相反，因而不是相等向量，所以B错误；

对于C,病与加的方向不同，因而不是相等向量，所以C错误；

对于D,力3与励的方向相同，大小相等，是相等向量，因而D正确.

4.如图，在直三棱柱A8C-4SG中，若8=。，CB=b,CC）=c,则府等于（）

A.a+力一c

B.a—b-\-c

C.h-a—c

D.b-a-\-c

答案C

解析A^B=AB-AAi=(CB-CA)-AA].

=

***AA]—CC\c9

:・AiB=b—a—c.

5.如图，在空间四边形OABC中，OA=a,OB=h,OC=c,点M,N分别为04,8c的中点,

则相等于()

答案B

解析而+公+加=%+g—〃）+；（c—力）=—

6.（多选）已知平行六面体ABC。一A'B'CO',则下列四式中正确的有（）

X.AB~CB=AC

BJ?7*=AB-^-Br~cr+cr

C.AF=CC

D.4A+版+BC+CC=AC

答案ABC

解析作出平行六面体ABCD-A'B'CD'的图象如图，可得第一&=最+前1=病，

故A正确;B+B'C，H-CC7*=AB+BC+CCr=AC，故B正确；C显然正确;B+犷

+BC+C?C=AB^rBC=AC,故D不正确.综上，正确的有ABC.

7.设A,8,C,。为空间任意四点，则/一病+筋=.

答案AI）

解析危一成?+丽=应?+无+丽=病.

8.在正方体ABC。-4〃。］。］中，点M是/Ui的中点，已知赢=a,Q）=b,AA\=c,用a,

b,c表示CM,则CM=.

答案_Q_》+；C

解析•・•CM=ch+BA+4A/=-5C-AB+/Uf,

又•・•〃是A4i的中点，

・，AA/=；AAi,

/.CM=-BC-AB-^r^AAi,

*,*AB=a,AD=b,AAi=ct

/.CM=—a—5+；c.

9.如图所示，在三棱柱4BC—4BiG中，M是B办的中点.化简下列各式，并在图中标出化

简得到的向量.

(l)C2?+BAi：

⑵而+屈+地;

(3)AAi~AC-CB.

解⑴油+扇产点i.

⑵因为M是BS的中点,

-*1­

所以8M=54%.

又

所以启+无+次尸魂+俞=病.

(3)AA\-AC-CB=CAi-CB=BA].

向量dAi,AM,而i如图麻示.

10.如图，设。为口/WC。所在平面外任意一点，石为OC的中点，若靠工为+y万I,

求x,y的值.

解'：AE=AB^-BC-\-CE

=0B-0A+0C-0i3-^0C

=-OA^y)C=-OA^(OD+DC)

=一总+:（历+病

=-O4+15b+^（5B-0A）

=^OD+JOB一±OA,

乙乙乙

―►1-►—*•-A

又

AE=5乙">+xO4+.yOA,

L综合运用

11.已知空间中任意四个点A,B,C,D,则亦+应)一无等于()

A.EBB.赢C.ACD.前

答案D

解析方法一LM^cb-CB=(cb^-DA)-cii=CA-CB=BA.

方法二i^-^cb-CB=DA+(cb-CB)=DA+BI)=BA.

12.如图，在平行六面体ABC。一A'B'C。'中，AC与BD的交点为O,点M在BC'上,

且BM=2MC',则而等于(）

1->7f2—

A.一#8+补。+押

1->5f1—♦

一

B.2^AB+6iAO+w3AA'

1-*1—*2.产

C.2wAB+6/AO+w3/LA

1-1一!—►

D.^AB-rAD+^AAr

263

答案C

解析因为8M=2MC',

所以就/=装就才，

在平行六面体ABC。一A'B'CD'中，

丽=协+俞=协+:h=：加+*而+R）=3（布一而）+,（而+近）

263

13.如图，在四面体ABC。中，E,G分别是CO,B石的中点，若记矗=mAD=b,AC=c,

则位;=