第一章 §12 常用逻辑用语

§1.2常用逻辑用语

【考武要求】1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质宛理与必要条

件、数学定义与充要条件的关系.2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定.

■落实

【知织梳理】

1.充分条件、必要条件与充要条件的概念

若p0q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件

〃是q的充分不必要条件p0q且q#p

〃是〃的必要不充分条件［冷q且qOp

p是q的充要条件网q

p是q的既不充分也不必要条件p»q且q#p

2.全称量词与存在量词

(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号"上”表示.

⑵存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“3”表示.

3.全称量词命题和存在量同命题

名称全称量词命题存在量词命题

结构对M中任意一个x,“(X)成立存在M中的元素x,p(x)成立

简记\ZxGM,g)

否定㈱p(x)㈱p(x)

【常用结论】

1.充分、必要条件与对应集合之间的关系

设A={x|p(x)},B={x\q(x)}.

①若p是q的充分条件，则AN及

②若〃是的充分不必要条件，则A

③若〃是“的必要不充分条件，则8A；

④若〃是g的充要条件，则A=8

2.含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”.

3.命题〃与〃的否定的真假性相反.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(l)p是q的充分不必要条件等价于q是〃的必要不充分条件.(J)

(2)“三角形的内角和为180。”是全称量词命题.(J)

(3)已知集合4,B,的充要条件是A=8.(J)

(4)命题“mx£R,sin25+cos25=1"是真命题.(X)

【教材改编题】

1."〃>//'是“ac2〉%/”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案B

解析当〃时，若/=0,则〃/=宜，所以公辰小,〃/,当反2时，/W0,则所以ac2〉》/

台心瓦即ua>bn是“ad>bd”的必要不充分条件.

2.使一24y2成立的一个充分条件是()

A.x<2B.0<x<2

C.-2WxW2D.x>()

答案B

3.“等边三角形都是等腰三角形”的否定是.

答案存在一个等边三角形，它不是等腰三角形

■探究核心题型

题型一充分、必要条件的判定

例I(1)已知〃：(｝)y，夕：log”<。，则〃是q的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案B

解析由弓｝<1知Q0,所以〃对应的x的范围为(0,+8),由log^vO知0<忒<1,所以q对应的x的范围

为(0,1)显然(0,1)(0,4-00),所以〃是C/的必要不充分条件.

(2)(2021•全国甲卷)等比数列｛%｝的公比为4,前〃项和为S”.设甲：qX),乙：｛&｝是递增数列，则()

A.甲是乙的允分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

答案B

解析当«i＜0,q＞\时，如=〃0门＜0,此时数列｛SJ单调递减，所以甲不是乙的充分条件.当数列｛SJ单

调递增时，有S〃+LS“=%+I=S，＞0,若0＞0,则小＞0（〃£N）,即“0；若0＜0,则/＜0（/t£N）不存

在.所以甲是乙的必要条件.

【教师备选】

1.在△A8C中，（iAB2-^-BC2=AC2，f是“△A8C为直角三角形”的（）

A,充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

解析在△ABC中，若A"+8C2=AC2,则N8=90。，即△ABC为直角三角形，若△4BC为直角三角形，

推不出N4=90。，所以A"+3C2=AC2不一定成立，综上，“A序+3。2=人。2”是“△43C为直角三角形”

的充分不必要条件.

2.（2022•宁波模拟）设a,bGR,p：log2（a_l）+log2（/?—1）＞0,q：^+1＜1»则〃是g的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

解析由题意得，P：log2（“一l）+10g2S—l）=log2（a—1）（/，-l）＞0=lOg2］，所以（4—1）S—1）＞I,即〃+

a—1＞0,1I

因为，，C所以4＞1，比＞1，则。£＞0,所以；；+了＜1，所以〃是夕的充分条件；

因为!十春＜人所以若“〃＞（），Wa-\-b＜ab,若出？＜（），则所以〃是“的非必要条件，所以

p是q的充分不必要条件.

思维升华充分条件、必要条件的两种判定方法

（1）定义法：根据夕=〃进行判断，适用于定义、定理判断性问题.

⑵集合法：根据p,q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题.

跟踪训练1⑴"2,b＞2n是。+历＞4,昉＞4”的（）

A,充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

解析若a>2,b>2,则〃+/»4,ab>4.

当口=1,〃=5时，满足。+比>4,H»4,但不满足公>2,比>2,所以〃+/»4,时>4/公>2,比>2,故‘%>2,

b>2”是“。+方>4,ab>4n的充分不必要条件.

(2)(2022・太原模拟)若〃，b为非零向量,则％J_b”是“(〃+力尸=『+尸"的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案C

i(222n

解析因为aA-b,所以crb=0,则(a+〃)2=q2+2a仍+》2=Q2_|_》2,所以‘解J_6”是(a+b)=a+b的

充分条件；

反之，由3+〃)2=层+〃得〃仍=o,所以非零向量〃，力垂直，”是“(0+6)2=*+"，，的必要条件.

故'故J_b”是"3+协2=层+丛”的充要条件.

题型二充分、必要条件的应用

例2己知集合A4HF—gx—ZOMO},非空集合3={川1一/启后1+6}.若是的必要条件，求

〃，的取值范围.

解由寸一&1-20忘0,得一2WxWlO,・・.A={x|—2WxWlO}.

由工£人是工£8的必要条件，知BQA.

1一〃?W14-/n,

则“l—〃?2—2,.,•OW〃?W3.

.1+/??<10,

・•・当0W〃?W3时，是的必要条件，

即所求机的取值范围是［0,3］.

延伸探究本例中，若把是的必要条件”改为“x三4是的充分不必要条件”，求机的

取值范围.

1-2,1-m<-2,

解・."£人是工£8的充分不必要条件，・•/B,贝H,或।、解得机29,故机的

l+w>10U+〃z210,

取值范围是［9,+8).

【教师备选】

(2022・泰安模拟)已知p：q：|戈+2水3,.且〃是q的必要不充分条件，则实数。的取值范围是()

A.(-8,-1]B.(-8,-1)

C.[1,+8)D.(1,+8)

答案A

解析因为q：Li+2a|v3,所以5~2a~3<v<—2«+3,记4={x|—2a—3<；iv—2〃+3},p：记为B

={#2。}.

因为〃是q的必要不充分条件，所以AB,所以2a—3,解得aW—1.

思维升华求参数问题的解题策略

(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不

等式(或不等式组)求解•.

(2)要注意区间端点值的检验.

跟踪训练2(1)(2022・衡水中学模拟)若不等式(x-G2Vl成立的充分不必要条件是1<丫<2,则实数。的取值

范围是.

答案11,2]

解析ti(A—«)2<1得a—l<.v<a-l-1,因为1<*<2是不等式(x—«)2<1成立的充分不必要条件，所以满足

a—1W1,

且等号不能同时取得，即、解得KW2.

a-122

(2)已知p：实数/〃满足q：方程三加=1表示焦点在y轴上的椭圆,若〃是q的充

分条件，则〃的取值范围是.

-ri31

口案L3，8.

33

解析由2一心〃?一1>0,得1v〃?q,即中1<m<2.

1,

13

因为〃是4的充分条件，所以彳解得/WaW短

题型三全称量词与存在量词

命题点1含量词命题的否定

例3(1)已知命题p：/7222n+5,则^〃为()

A.Vn^N,,产22〃+5

B.3neN,,飞2〃+5

C.V/zGN»/户<2〃+5

D.3nEN,层=2〃+5

答案C

解析由存在量词命题的否定可知，㈱〃为/<2〃+5.所以C正确，A,B,D错误.

(2)命题：”奇数的立方是奇数"E勺否定是.

答案存在一个奇数，它的立方不是奇数

命题点2含量词命题的真假判定

例4（多选）下列命题是真命题的是（）

A.使函数），=2工+“2一・在R上为偶函数

B.VxeR,函数），=sinx+cosx+g的值恒为正数

C.2'<r

D.Vxe（-io,+8）,

答案AC

解析当〃=1时，），=21+2七为偶函数，故A为真命题;

当sin（x+；）=-l时，y=0,故B为假命题;

尸sin

当x£（2,4）时，2,yv2,故C为真命题；

1（1节1（1V1

当工=1时，.£（0,1）,log]1=1,工-<log]y故D为假命题.

命题点3含量词命题的应用

例5已知命题使加一x+2W0”是假命题，则实数。的取值范围是.

答案忌

O

解析因为命题“mx£R,使加一x+2W0”是假命题，所以命题“Wx£R,使得加一工+2>0”是真命题,

当。=0时，得x<2,故命题“\7大£«使得av2—x+2>0”是假命题，不符合题意;

。＞0,

当°W0时,得解得

4=1—8。＜0,O

【教师备选】

1.（2022-西安模拟）下列命题中假命题是（）

A.2t-1>0

B.Vx£N“，（x-l）2>0

C.3%eR,lgx<l

D.（anx=2

答案B

解析•・•指数函数），=2、的值域为（0,+8）,・・・X/x£R,均可得到2广|>0成立，故A项为真命题；

•・•当工EN*时，工一1£N,可得（1-1）220,当且仅当x=l时取等号，・・・mx£N*,使。-1）2>0不成立，故B

项为假命题；

•・•当x=l时，lgl=0vl,使得lgx<l成立，故C项为真命题；

•・・正切函数y=tan尤的值域为R,・•・存在锐角乂使得tanx=2成立，故D项为真命题.

综上所述，只有B项是假命题.

2.若命题“Dx£[l,4],/一4.x一机W0”是假命题，则用的取值范围是()

A.—4W〃?W—3B.〃?<—4

C.机2一4D.一4W〃?W0

答案D

解析若命题"Vx£[l,4],x2—4x—uKO”是假命题，则命题<3XE[1,4],x2—4x—m=0,,是真命题，则

"z=f—4.1,设yujv2—4x=(x—2)2—4,因为函数y=f-4x在(1,2)上单调递减，在(2,4)上单调递增，所以当

X=2时，Nmin=—4；

当工=4时，)，max=O，故当1WXW4时，-4WyW0,则一4/〃?W0.

思维升华含量词命题的解题策略

(1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是其命题，只要找到一个成立即可.当

一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假.

(2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题.

跟踪训练3⑴命题“Wx>0,后门〈2'—1”的否定是()

A.VA>0,xsinx22'一1

B.3x>0,xsinx^2x—1

C.X/xWO,xsinx<2r—1

D.3x<0,xsinx^2x-1

答案B

解析因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“▼x>0,xsinx<2x-In的否定是：3A>0,xsin

x22*—l.

(2)(2022・重庆模拟)下列命题为真命题的是()

A.VxGR,W-H+IWO

B.-K-7-<1cosx

C.(lnx)2<0

D.BxGR,sinx=3

答案C

解析对于A,因为f-国+1=(|x|—§2+*>o恒成立，所以\/x£R,p-H+iwo是假命题；

对于B,当尸、时，W=2,所以VxER，一7±4是假命题；

对干C,当x=l时，lnx=0,所XmxGR,(lnx)2wo是真命题；

对干D,因为一1WsinxWl,所以sinx=3是假命题.

(3)若命题x2—/壮一〃?<0”为真命题，则实数〃，的取值范围是.

答案(一8,-4)U(0,+8)

解析依题意，J=//r+4m>0,，〃?>0或mV—4.

课时精练

q基础保分练

1.命题〃：“有些三角形是等腰三角形”的否定是（）

A.有些三角形不是等腰三角形

B.有些三角形可能是等腰.三角形

C.所有三角形不是等腰三角形

D.所有三角形是等腰三角形

答案C

解析命题p：“球仁人使尸⑺成立”，㈱〃为“对有P（x）不成立”.

故命题P：”有些三角形是等腰三角形”，则是“所有三角形不是等腰三角形”.

2.（2021•浙江）已知非零向量2c,则“ac="c"是的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

答案B

解析由。得到（〃一b>c=0,所以（a—力）_1_。或。=b,所以"ac=bc"是"a=b"的必要不充分条

件.

3.以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是（）

A.锐角三角形有一个内角是钝角

B.至少有一个实数工，使.PW0

C.两个无理数的和必是无理数

D.存在一个负数x,使卜2

答案B

解析A中锐角三角形的内角都是锐角，所以A是假命题；B中当X=（）时，f=0,满足fWO,所以B既

是存在量词命题又是真命题；C中因为也+（一也）=0不是无理数，所以C是假命题；D中对于任意一个

负数占都有:<0,不满足3>2,明以D是假命题.

4.（2022・沈阳模拟）在空间中，设，〃，〃是两条直线，a,夕表示两个平面，如果〃1Ua,a//p,那么

是的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案B

解析当机〃时，••'mUa,a〃(i,则〃与夕可能平行，，充分性不成立；

当〃_!_/时，,♦'a•・加Ua,・•・/〃_!_〃，.,.必要性成立，，是的必要不充分条

件.

5.若命题“三丫£(0,+8),使得姓>『+4成立”是假命题，实数。的取值范围是()

A.(4,+8)B.(一8,4)

C.[4,+8)D.(-8,4]

答案D

解析若命题“mx£(O,+8),使得。£>/+4成立”是假命题，则有“Vx£(o,+8),使得arW『+4

成立”是真命题.

即。则aW(x+9min,又5=4,当且仅当x=2时取等号，故〃W4.

2

6.(2022.南京模拟)己知集合知=[-1,1],那么％2一丁是“打£〃4'-2日1—4&)”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.既不充分也不必要条件

D.充要条件

答案A

解析V3xeA/,4x-2x+,-a<0,：.a^(4x-2x+l)^xe[-l,l],设r=2\则,&)=户一2，=(,-1)2—1,

re2,・・・W)min=/U)=-l,工心一1,V+8)[-1,+8),.・.“心一宗，是feM⑷一

2由一“W0”的充分不必要条件.

7.(多选)(2022.烟台调研)下列四人命题中是真命题的有()

A.VxeR,3v>0

B.VxeR,f+x+lWO

C.VxER»sinx<2x

D.mx£R,cosx>f+.i+l

答案AD

解析Vx£R,3'>0恒成立，A是真命题；

,.,/+犬+1=(犬+02+/>0,；.B是假命题；

由sin(一豺=1>2，知C是假命题；

取工=一；,cos（一界cos（—§=孚，但『+%+1=（<当，则D是真命题.

8.（多选）（2022♦临沂模拟）下列四个条件中，能成为Q7的充分不必要条件的是（）

A.xc2>yc2B,2<0

Jxy

C.|x|>|y|D.lnx>lny

答案ABD

解析对于入选项，若xH〉*2,则c2/。，贝U反之心》当c—0时得不出x1'w2,所以“xc2〉》/“

是“Qy”的充分不必要条件，故A正确；

对于B选项，由!<4<0可得v<x〈0,即能推出心”；但x>），不能推出（因为x,y的正负不确定），

所以《4<0”是“心””的充分不必要条件，故B正确；

对于C选项，由国>|,1可得.V2>）?，则a+〉,）a—）,）>（）,不能推出x>y；由x>y也不能推出|x|>|_y|（如x=1,>'=—

2）,所以“|可冲，|”是“x>y”的既不充分也不必要条件，故C错误；

对干D选项，若InQiny,则x>y,反之x>y得不出Inx>lny,所以"InQiny”是“Qy”的充分不必要条

件，故D正确.

9.若命题p：Vx£（0,+8）,而>X+1,则命题〃的否定为.

答案3x£（0,+8）,5忘X+1

10.（2022・衡阳模拟）使得“2、>4”成立的一个充分条件是.

答案n一1（答案不唯一）

解析由于4、=2汽故2、>2标等价于QZt,解得xvO,使得“2、>必”成立的一个充分条件只需为集合{,很<0}

的子集即可.

11.直线），=丘+1与圆f+）2=次A0）有公共点的充要条件是.

答案+8）

解析直线旷=履+1过定点（0,1）,依题意知点（0,1）在圆f+）,2=/内部（包含边界），・・・/2]

又〃>0,，心1.

12.已知命题p：uVxe[1,+8）,广一，20"，命题/r+2ar+2-a=0"，若命题p,q

均为真命题，则实数，的取值范围为.

答案{如/〈一2或4=1}

解析由题意可知〃和9均为真命题，由命题〃为真命题，得VxW[[,+°°）,『2。恒成立，（X^minUl,

得由命题g为真命题，知/=4『一4（2—4）20成立，得。W—2或。21,所以实数。的取值范围为

{a|“W—2或a=1}.

立技能提升练

13.（2022.苏州中学月考）在△44。中，“AW是rtcosA<cosBn的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案C

解析因为A,8是△A8C的内角，且A>8,所以（）v4<A<兀，因为y=cosx在（0,兀）上单调递减，

所以cosAvcosB,故充分性成立；

反之，y=cosx在（0,兀）上单调递减，0<4<兀，0<B<n,

若cosA<cosB,则4>8,故必要性成立，所以在△月灰？中，