第36讲平面向量的数量积

第36讲平面向量的数量积

I、向量的夹角

(1)定义：己知两个非零向量a和b,如图所示，作为才=a,7范=b,则

N/。8=火0。WeW180。)叫做向量a与b的夹角,记作〈a,b).

(2)范围：夹角。的范围是[0,n].|

当。=0时，两向量a,b共线且同向；

当。=当时，两向量a,b相互垂直，记作a_Lb；

当8=兀时，两向量a,b共线但反向.

2、平面向量数量积的定义

已知两个非零向量a与b,我们把数量|a||b|cos。叫做a与b的数量积(或内积)，记作ab,即a-b=|a||b|-cos

以其中。是a与b的夹角.

规定：零向量与任一向量的数量积为零.

3、平面向量数量积的几何意义

(1)一个向量在另一个向量方向上的投影

设。是a,b的夹角，则|b|cos。叫做向量b在向量a的方向上的投影，|a|cos。叫做向量a在向量b的方

向上的投影.

(2)ab的几何意义

数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos。的乘积.

4、向量数量积的运算律

(1)交换律：a-b=b-a.

(2)数乘结合律：(2a)・b="a•b)=a•(zb).

(3)分配律：(a+b>c=ac+b・c.向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(ab>c不一定等于a(bc),

这是由于(ab)c表示一个与c共线的向量，a(bc)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线.

5、平面向量数量积的性质

设a,b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量，。是a与e的夹角，则

(l)ea=ae=|a|cos6.

(2ja_Z.b<=>a-b=O.

(3)当a与b同向时，a♦b=|a||b|；当a与b反向时,a•b=—|a||b|.

特别地，a・a=|a「或|a|=、.aa

a,b

(4)cos0=丽

(5)|a'b|W|a||b|.

6、平面向量数量积的坐标表示

已知两个北零向量a=（*,y\）,1=（X2,yi），8为a与b的夹角，则

（l）|a|=心彳+":（2）a・b=x1X2+y42；

（3）a±b<=>A：iAr2+ViV2=0;_（4）cos

；~------------------------------------------

1、（2023年高考数学真题完全解读（新高考I卷））已知向量”（覃）3=（11）,若（"+'W庞）,

则（）

A.2+〃=1B.2+〃=-1

C.2〃=1D.办=一1

【答案】D

【解析】

因为5=（11）,3=（1,-1）,所以3+刀=（1+尤1一/1）,£+〃B=（i+〃,i—力，

由++可得，（4+义坂）|“+〃3）=0,

即（1十；1）（1十"）十（1-2）（1-〃）=0,整理得:即=一1.

故选：D

2、（2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷））已知向量£=（3,1）石二（2,2）,则

cosia+b,a-b^=（）

A।R而「后门2亚

A.—B.-------C.——D.------

171755

【答案】B

【解析】

因为a=(3,1),1=(2,2),所以a+刃=(5,3),a-刃=,

则a+b=J52+3?=卜一B=Vl+1=>J2,(a+B)・(a-B)=5xl+3x(-l)=2,

R+4(前2x/17

所以cosR+AQ-=734x72~17

a+ba-b

故选:B.

3、（2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷））正方形N8CD的边长是2,E是48的中点,

则反屈=（）

A.屈B.3C.275D.5

【答案】B

【解析】

._______、uuruuu-UUD'uuur

方法一：以力。)为基底向量，可知力"=力。=2,44/。=0,

uuruuruur1uuruuuruuruuruuir1uuruuir

则EC=EB+BC=-4B+AD,ED=E4+4D=—一4B+4D,

22

uiiruuur(1uuruuur(Iwruuir\1uur2uuir,

所以EC-EO=-AB+AD一一AB+AD=--AB+AD=-1+4=3；

uI2)4

方法二：如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，

UlUUCU

则E(1,0),C(2,2),0(0,2),可得EC=(1,2),EO=(-1,2),

uiuucm

所以EC・EO=-l+4=3：

方法三：由题意可得：ED=EC<,CD=2,

DE2+CE2-DC254-5-4_3

在△《£>£中，由余弦定理可得cos/OEC=

2DECE2x\/5x^/55

uuuruuuruuruiw

所以ECED=ECEDcosZDEC=y/Sx5/5x-3.

5

故选:B.

4、(2023年全国新高考II卷)已知向量。，B满足］，一月=石，a+b=2a-b,则B

【答案】6

【解析】

法一：因为G+B=2a-b,即(G+〃)=仅彳一方)，

「rrrrrrr敕刑俎一2

则a+2ab+b2=4a22，整理得a-2ah=0,

又因为卜一.=6即伍一盯=3,

贝吟-2荽十？」2=3，所以忖=6

1rrrrrrrrr

法二：设C=Q_/，则口=，3,4+/>=。+2421—6=2(?+6,

r、2/rr2r?rrr?r,rrr?

由题意可得：(c+2/“=(2c+8X),则0一+4c包+46~=4C1+4L6+Z/

卜+耳=1(a+B)=va'+2a-b+b'=J25-2x6+36=7，

---o(a+B)i919

因此，cos<a,a+b>==--=--.

p|-p+/>|5x,35

故选：D.

1、已知。协=-122,\a\=4,。和b的夹角为135。,则冏的值为()

A.12B.6C.33D.3

【答案】B

ab-122

【解析】因为〃6=|aH"cos135。=一122,所以网=一，…=、=6.

I«|-cos135°4X(—2)

2、(多选)(2022•广州三模)己知向量“=(3,-1),6=(1,—2),则下列结论中正确的是()

A.ah=5B.\a-h\=5

C.<«,b>=nD.a//h

4

【答案】ABC

【解析】”6=3Xl+(-1)X(—2)=5,故A正确;a-b=(2,1),\a-b\=22+12=5,故B正确；同=

32+(—1)2=10,\b\=i2+(—2)2=5,则cos<a,b>=叱='=2,所以〈%b>=[,故C正

同网5224

确；3X(-2)#(-1)X1,故D错误.故选ABC.

3、(2022•广州三模)已知m力为单位向量，若\a-2b\=5,贝”a+2b|=.

【答案】5

【解析】由I”一2力|=5,得|a—202=标—4“力+462=5—4〃母=5,则G仍=0.又|4+2"2="2+4a6+462=5,

所以|«+2例=5.

4、已知。=(一2,1),b=(k,-3),c=(l,2),若(0-2b)_Lc,则与〃共线的单位向量为()

A25525

.(5--5U-5-；]

BFJ-醺。/)

cfJ/)

【答案】A

【解析】由题意得a—26=(-2—2七7),

'.'(a-2A)±c,

：.(a-2b)c=0,

即(一2—2攵,7>(1,2)=0,—2—2£+14=0,

解得A=6,

；.b=(6,—3),

5_5

55

62+(-3)2

考向一平面向量的夹角及模的问题

例1、⑴（届山东省德州市高三上期末）己知向量7［满足同=1,W=2,伍-斗伍+33）=-13,

则£与B的夹角为（）

C.生5乃

D.

3~6

【答案】C

【解析】•.,（。一斗（。+35）=，+2〃•取一3万=一13,BP2ab-l1=-13»得7否=一1，

ab1Q0V8W冗,。=2”.

贝ijcos0=桶二一5

故选：C.

（2）（2021•山东日照市•高三二模）已知同=0,园=4,当山卜二可时，向量Z与否的夹角为（

x乃2乃3兀

A.-B.——C.—D.—

6434

【答案】B

【解析】:石乂4aB）,卜卜枝,5=4,

b^4a-b^=0,即4a%—=4〃・B—W=0,

:.a*b=4,

-7a*b4V2

cos<a、b>=——=——=—,

MW72x42

所以向量£与B的夹角为f,

4

故选：B.

⑶（2022•河北深州市中学高三期末）若向量B满足同=3,且仅十4«词=4,则忖=

【答案】石

【分析】

由0+力-6一方=片一片=9一|邛=4,计算即可得出答案.

【详解】

•.•(£+母.(£M)=/4=9_用=4,...忖=石.

故答案为：75.

变式1、已知同=1,向=2,a+b=(1,2),则向量4,力的夹角为.

【答案】:

【解析】因为〃+/＞=(1,2),所以|“+"=3,两边平方，得层+2°6+於=3.将同=1,网=2代入，得

li'hI2元

1+2/山+4=3,所以a-ba与b的夹角为。,则cos0==—.又。£[0,河，所以0=,即向量明。的

同1例23

夹角为:.

变式2、若非零向量”，6满足同=2：网，且他—6)_L(3“+2〃)，则”与。的夹角为.

【答案】:

4

【解析】设向量明6的夹角为夕由题意，(a-b)(3a+2h)=3\a\2-ab-2\h\2=3|a|2-|a||A|cos6-2|A|2=0.

将同=2，网代入上式，解得cos9=：.因为丑[0,何，所以用：

34q

变式3、已知向量。=伐,3),6=(1,4),c=(2,1),若2,—3b与c的夹角为钝角,则A的取值范用

是.

【答案】卜”,噪卜；,3)

【解析】因为2。-3b与c的夹角为钝角，所以(2〃-3力)《＜0,即(24一3,-6)(2,1)＜0,所以4A—6—6

99

V0,解得在＜3.又若(2a—3b)〃c,则2k-3=—12,即k=一；.当左=一;时，2a—38=(-12,-6)=-6c,

o99

即2a—36与c反向，此时不满足题意，所以大W-；.综上所述，儿的取值范围为(一8,一；)U(一；，3).

变式4、(2019春•泉州期末)(多选题)ZU3C中，AB=c,BC=a,CA=b,在下列命题中，是真命题

的有()

A.若万万＞0,则A48c为锐角三角形

B.若万万=0.则A/18C为直角三角形

C.若懑B=E・B,则A43C为等腰三角形

D.若但+”»("月一可=0,则A4BC为直角三角形

【答案】BCD.

【解析】如图所示，AJ8C中，AB=c,BC=a,CA=b,

①若不B>0,则/8C4是钝角，A/18C是钝角三角形，4错误；

②若不5=0,则就_LB,&48。为直角三角形，8正确；

③若=b>(a-c)=0,C4-(5C-AB)=0,

CA>(BC+BA)=0,取力。中点O,则万♦瓦5,所以氏4=8C,即AJ8C为等腰三角形，C正确，

④若(万+三一杨・伍+5-1)=0,则求=0-B)2,B|Jh2+c2-a2=2b>c,B|J~a=-cosJ,

21b忖

由余弦定理可得：cosJ=-cos/f,即cos4=0,即/=',即A48C为直角三角形，即。正确，

综合①②③④可得：

其命题的有8CO,

方法总结：求向量的夹角，有两种方法：

(1)定义法：当a,b是非坐标形式时，求a与b的夹角9,需求出a-b及|a|,|b|或得出它们之间的关

系，由cos9=°山求得.

\o\\b\

(2)公式法:若已知a=(xi，yi)与b=(X2,丫2)，则cos(a,b)=x四+v”,(a>G[0.nJ.

x什火x2+*

考向二平面向量中的垂直

-1___-_

例2'(2021•山东日照市•高三其他模拟)已知向量1=(2,1),b=(0,%1=(2,4),且他-6)1弓则

实数机的值为()

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【解析】由已知得不一月=(2,1-加)，又®—所以2X2+。一"?)X4=0,解得〃?=2,

故选：C.

变式1、(2021•宜昌二模)已知△44C中，ZJ=120°,且43=3,AC=4,若分=九行+/7,且开_L正，则

实数%的值为()

22C10n12

A4.B.C.6D.

1537

【答案】A

【解析】因为弱=切+就，且万1•正,

所以有力P8C=(M8+/C)・(4C-/8)=/U8/C—〃f+4C2-/18/C=a-l)/i8WC-M82+/C2=0,整理可

77

得a—I)X3X4Xcos120°-9A+16=(L解得%=；.

变式2、已知平面向量。=(1,x),6=(2JV+3,-x),AER

(1)若0_Lb,求x的值;

(2)若。〃6,求|a一切的值.

【解析】⑴若。_LZ»,则“6=2x+3—r=0,

解得》=-1或x=3.

(2)若0〃b,则lX(-x)-x(2x+3)=0,

解得x=0或X——2.

当x=0时，a=(l,0),b=(3,C),

所以。一〃=(一2,0),|4—"=2;

当工=-2时，。=(1,-2),b=(-1,2),

所以a—6=(2,—4),|a-ft|=4+16=25.

综上所述，|。一切的值为2或25.

方法总结：平面向量的垂直问题，有两个类型：

(1)利用坐标运算证明两个向量的垂直问题

若证明两个向量垂直，先根据共浅、夹角等条件计算出这两个向量的坐标：然后根据数量积的坐标运

第公式，计算出这两个向量的数量积为0即可。

(2)已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值。

考向三平面向量的数量积的运算

例3、(2022・湖北襄阳•高三期末)在"8。中，而=液,而=从正，其中Z/e[0,l],B=",

AB=4,BC=5,则()

1UULT210114

A.当尤=一时，AD=-AB+-ACB.当％=一时，ABBD=S

3335

c.当〃=g时，阿卜理4

D.当〃=§时，ZABE=-

6

【答案】AD

【解析】因为8=9,所以而与反的夹角为120‘，

1ini'uirIlirairiuiruiri,uirnil'yiinrimu

当;l=；时，AD=AB+BD=AB+^BC^AB-^AC-AB)、AB^AC,

故A正确：

当％时，忸4=三园=4=|词，所以“80是边长为4的等边三角形,

万•丽=|福•］困cosl20=-16x；=d,所以B错误；

当〃二g时，5£=1(5J+5C),所以|842=1(47+4乙)2=:(|8彳2+18g2+2函.§q

=^(16+25+2x4x5xcos60)=-^,

所叫屁卜画，故C错误；

4—4—

当〃=§时，AE=­JC,

IUT11ULUI'IXUT4181rULU4叫IUT、4111r5LUr

BE=BA+AE=BA+-AC=BA+-\BC-BA|=-BC+'-BA,

991r99

所以|脚卷队同飞陵,谭卜臀明

16x2525x161203

+-+--理--x4x5x」

8181812-87

iurJLir,410r5111rluur411111-uur5iur.41540

BEBA=\-BC+-BA\-BA=-BCBA+-fejJ=-K4<5<-+-K16=—,

199)99r79293

iurLiiir40

.CLBABETV3

所以c°s/"£=阂斶

x9

因为0<44E<f,所以=故D正确.

36

故选：AD.

变式1、（2022•湖北高三期末）在"BC中，丽•祝=9"8=3,点E满足荏=2诙，则布.丽=（）

A.-6B.-3C.3D.6

【答案】B

【解析】A/BC中，AE=2EC,所以亚=§衣，

故选：B.

变式2、如图，在△49C中，AD±AB,BC=3访，瑟|=1,则企,病=

【答案】3

【解析】方法一：因为元=油+庭=施+3BD=AB+3（AD-AB）=3/立）+（13）AB,所以左疝

=3瑟/+(1-3)ABAD=3.

方法二：以力为坐标原点，所在直线为x轴，力。所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标

一一一_、=-3a+a,

系，则。(0,I).设点例明O),C(x,y),则8C=(x-%j，)，8O=(-a,1).因为8C=35,所以

卜=3,

所以4。/。=0/+1»=3.

方法三：设NCW=/过点。作CE_L4）,交力。的延长线于点E,所以充•而=|历卜1nl・cos8=|历卜|花1・

又ABADsACED,所以U=DU=:，所以OE=3-1,AE=3,所以/。乂。=/。卜|力四=IX3=3.

变式3、在△44C中，NB4D=60。,BC=3BD,\AD\=l,ACAD=\,则前尸.

【答案】2

【解析】AC=AB+BC=AB-i3BD=AB+3（BA+AD）=（1-3）成+3而，所以充・而=[（1-3）

AB-V3AD]Ab=（1-3）ABAD-i-3\AD^={~3|jJ|+3=1,解得|成|=2.

2

方法总结：1.求向量的模的方法：⑴公式法，利用|。|=。力及（a±b）2=|a|2±2ab+|b|2,把向量的模的运算

转化为数量积运算；（2）几何法，利用向量的几何意义.

2.求向量模的最值（范伟|）的方法：（1）代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求

解；（2）几何法（数形结合法），弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解.

1、（2022・湖北•黄石市有色第一中学高三期末）已知B为单位向量，且|2£-®=J5,则人B的夹角为

（）

rt—兀「兀-2尸

A.1B.-C.§D,-

【答案】C

【解析】把悔-.=J5左右两边同时平方得：4（不-41石+,『=3,

由于Z，B为单位向量，.\4-4cos（词+l=3=cos«»=g.

故〉区的夹角为。.

故选：C.

rr

2、（2022•山东淄博•高三期末）已知向量入B满足/卜卜|=2,且在）上的投影的数量为2+J3,则夕&=

（）

【答案】D

a-b\a_

【解析】设与3的夹角为仇则|1*ose=

PI

3«@=9^=一*

所以，/一"不=4+26，可得3万=一2豆，因此,'/丽2

因为0«",琳乃，因此，《辩q

故选：D.

3、（2022•山东青岛•高三期末）己知非零向量万万满足：归+2,=悔+司=&同则2万夹角6的值为（）

A.45°B.60,