第40讲带电粒子在电场中运动的综合问题

第40讲带电粒子在电场中运动的综合问题

目录

豆习目标

网络构建

1考点一带电粒子在力电等效场中的圆周运动

【夯基•必备基础知识梳理】

知识点方法概述及应用

【提升・必考题型归纳】

考向1竖直电场中的等效场问题

考向2水平电场中的等效场问题

(1挎点二带电粒子在交变电场中的运动

【夯基・必备基础知识梳理】

知识点1交变电场中的直线运动处理方法

知识点2交变电场中的偏转处理方法

【提升•必考题型归纳】

考向1交变电场中的直线运动

考向2交变电场中的偏转

1考点三用动力学、能量和动量观点解决力电综合问题

【夯基・必备基础知识梳理】

知识点1力电综合问题的处理流程

知识点2电场中的功能关系

【提升•必考题型归纳】

考向1用动力学和能量观点解决力电综合问题

考向2用能量和动量观点解决力电综合问题

真题感悟

会利用动力学、能量和动量的观点处理带电粒子在电场中直线运动、曲线运动问题。

考点要求考题统计考情分析

高考对带电粒子在电场中运动的综合

2023年山西卷第12题

三大观点在力电综合问题中

问题的考瓷较为频繁，大多在综合性的

2022年福建卷第8题

的应用

计算题中出现，题目难度较大。

2022年辽宁卷第14题

考点一带电粒子在力电等效场中的圆周运动

.变妇必备基础知识检理

知识点方法概述及应用

1.方法概述

等效思维方法是将一个复杂的物理问题，等效为一个熟知的物理模型或问题的方法。时于这类问题，若采用常

规方法求解，过程复杂，运算量大。若采用等效法求解,则能避开复杂的运算，过程比较简捷。

2.方法应用

先求出重力与电场力的合力，将这个合力视为•个等效重力，将。=%视为等效重力加速度。再将物体在重力

77?

场中的运动规律迁移到等效重力场中分析求解即可。

重力场与电场成一定夹角改力场与电场在一条出线上

E等效重力场

d等效“最低点”］

mJ等效束力

［等效“最低点”］［等效同力］［等效“股岛点”］

〔等效■力加速反）［等效亚力加速度卜

.提升-必考题型归或

考向1竖直电场中的等效场问题

1.如图所示，长为▲的细线拴一个带电荷量为+外质量为“小球，重力加速度为g，球处在竖直向上的匀

强电场中，电场强度为日小球能够在竖直平面内做圆周运动，则（）

1E

A.小球受到的电场力跟重力是一对平衡力

B.小球在最高点的速度一定不小于病

C.小球运动到最高点时，电势能最小

D.小球运动到最低点时，机械能最大

【答案】C

【详解】A.小球能够在竖直平面内做圆周运动，重力与电场力反向，电场力大小可能等于重力，则小球在

竖直平面内做匀速圆周运动：电场力大小也可能大于重力，则二者合力（称为等效重力）竖直向.匕相当

于重力方向向上，最高点为等效最低点，小球通过时速度最大；最低点为等效最高点，小球通过时速度最

小；电场力大小还可能小于重力，则相当于重力方向不变，重力加速或减小：A错误：

B.由A选项分析可知，小球可能以较小的速度（小于病）在登直平面内做匀速圆周运动，B错误:

C.圆周上最高点电势最低，小球带正电，由纭=98知经过最高点时电势能最小，C正确：

D.圆周上最低点电势最高，小球经过时电势能最大，由小球机械能与电势能之和不变可知，小球经过最低

点时机械能最小，D错误。故选C。

2.如图所示，带电小球用绝缘细线悬挂在。点，在竖直平面内做完整的变速圆周运动，小球运动到最高点

时，细线受到的拉力最大。己知小球运动空间存在竖直向下的匀强电场，电场强度为E,小球质量为〃1,带

电量为q，细线长为/,重力加速度为g,则《）

A.小球带正电

B.电场力大于重力

C.小球运动到最低点时速度最大

D.小球运动过程最小速度至少为\，=J"7〃g"

【答案】BD

【详解】AB.因为小球运动到最高点时，细线受到的拉力最大，可知重力和电场力的合力（等效重力）方

向向上，则电场力方向向上，且电场力大于重力，小球带负电，故A错误，B正确：

C.因重力和电场力的合力方向向上，可知小球运动到最高点时速度最大，故C错误：

D.由于等效重力竖直向上，所以小球运动到最低点时速度最小，最小速度满足〃唱=用手即

丫库碰故D正确；故选BD。

考向2水平电场中的等效场问题

3.如图所示，48CO为竖直平面内政绝缘光滑轨道，其中44部分为倾角为30。的斜面，8CQ部分为半径

为R的四分之三圆弧轨道，与斜面平滑相切，。为轨道最低点，整个轨道放置在水平向右的匀强电场中。

现将一带正电质量为机的小滑块从斜面上/点由静止释放，小滑块恰能到达圆弧轨道的。点。已知重力加

速度为g,下列说法正确的是（）

E

D

A.释放点力到斜面底端B的距离为1.5R

B.小滑块运动到C点时对轨道的压力为8,

C.小滑块运动过程中最大动能为

D.小滑块从。点飞出后恰好落在轨道上的8点

【答案】A

【详解】小滑块恰能到达圆弧轨道的D点，表明小球能通过轨道的等效最高点。，由几何关系得，。。与

水平方向的夹角为30。，则tan300=卷得夕石=百"唔所以轨道等效最高点为圆心左上60。，重力和电场力的

今

合力为F=yj(Eq)2+(mg)2=2mg在£>点有2mg=mj

A.从力点到。点，由动能定理得

〃ig(ssin30-7?cos30-/?sin3())+^(5cos3()-/?sin60+Asin30)=!"?，-0解得s=1.5A故A正确：

B.从C点到D点由动能定理得mg(-R-Rcos60°)+Eq(-/?sin60°)=-JMVJ在C点有N-mg=m

解得N=9mg根据牛顿第三定律得小滑块运动到。点时对轨道的压力为9mg,故B错误：

C.小滑块运动到D点的对称点等效最低点时速度最大，由动能定理得-2〃?g2R=步〃/一$〃心

解得，〃*=5/〃gR故C错误：

D.小球从。点抛出后，做类平抛运动，假设刚好落到8点，则有2〃曙=〃叩：W=A则在合力方向的位移

为y==<火则假设错误，故D错误。故选A。

4.如图所示，在螺直面内有一半径为K的圆环型轨道，轨道内部最低点4处有一质量为〃?的光滑带正电

的小球(可视作质点)，其所带电荷量为夕，在圆环区域内存在着方向水平向右的匀强电场，电场强度

E=%,现给小球一个水平向右的初速度，使小球开始运动，以下说法正确的是()

B

A.若讳＞«1+6)gR,则小球可以做完整的圆周运动

8.若小球可以做完整的圆周运动，则轨道所给弹力的最大值与最小值相差46，〃g

C.若v『厢,则小球将在凯道最高点4处脱离轨道

D.若v产皈，则小球不会脱离轨道

【答案】BCD

【详解】小球同时受到重力和电场力作用，这时可认为小球处于等效电力场中，小球受到的等效重力为

G'=j(〃?g)2+(,)2=孚"g等效重力加速度为g.=乎g小球可以做完整的圆周运动，则有〃7gq〃:

与哆有方向的夹角。=30如下图所示

在等效重力场中应用机械能守恒定律可得=〃w(R+Rcose)+*n，2解得%之新瓦嬴，A错误：

B.若小球可以做完整的圆周运动，见小球在等效卡力场中最低点轨道圻给的弹力最大，等效最高点轨道所

给的弹力最小，在最低点有"-G'="立在最高点有鸟+G'=加三小球从最低点到最高点的过程中，有

RR

；〃八：=mg2Rcos0+qE2Rsin0+UJV；解制轨道所给弹力的最大值与最小值相差为片-乙=46讴

C.若“尸质，小球到达最高点B处的过程中，重力做负功，电场力不做功，则有-〃噌2/?=

解得％=顾故可得小球将在轨道最奇点B处脱离轨道，C正确：

D.在等效重力场中，当w=荷时，小球没有超过等效重力场中的半圆，故小球不会脱离轨道，D正确。

故选BCD。

考点二带电粒子在交变电场中的运动

■物:必备基础知识梳理

知识点1交变电场中的直线运动处理方法

1.此类题型-•般有三种情况:一是粒子做单向直线运动（一般用牛顿运动定律求解）；二是粒子做往返运动

（一般分段研究）；三是粒子做偏转运动（一般根据交变电场的特点分段研究）。

2.分析时从两条思路出发:一是力和运动的关系，根据牛顿第二定律及运动学规律分析;二是功能关系。

3.注重全而分析（分析受力特点和运动特点），抓住粒子的运动具有周期性和在空间上具有对称性的特征，求

解粒子运动过程中的速度、位移、做功或确定与物理过程相关的边界条件

4.交变电场中的直线运动（方法实操展示）

口图像w图像轨迹图

t/速度不反向

V0--

。0A.B

()

VT

i'

单向直线运动

UAB

aiiiIi

aiiQ,n

0

.…/一A

_32T_

往返宜线运动

速度反向

UABV

Ia

i•ai匕y/Ti

bc

0：I：5T；r/

：8:8•1

一，Jc

往返H线运动

UAB

湃度反向

2U

0Q'H

T\2T/ft

0\T：2T：T；3\3/4

―l3

往返直线运动

知识点2交变电场中的偏转处理方法（带电粒子重力不计，方法实操展示）

・L提升-必考题则纳

考向1交变电场中的直线运动

1.如图所示，两平行金属板竖直放置，左极板接地，中间有小孔。右板板电势随时间变化的规律如图所示。

电子原来静止在左极板小孔处。（电子电量为e，不计重力作用）下列说法中正确的是（）

A.若从/=（）时刻释放电子，电子将始终向右运动，直到打到右极板上

B.若从f=0时刻释放电子，电子可能在两板间振动

C.若从f=0时刻释放电子，在/=”恰好到达右极板，则到达右极板时电子的为

D.若从/=（）时刻新放电子，在"号时刻到达右极板，则到达右极板时的电子的动能是学

【答案】AD

【详解】AB.若尸0时刻释放电子，电子将重复先加速后减速，直到可到右极板，不会在两板间振动，所

以A正确，B错误；

CD.设两极板距离为d,极板间电场强度大小£=学若从Z=0时刻释放电子，在，=工时刻到达右极板，

d2

则电子经历了先加速再减速后加速三个过程，每段加速度大小。=些=里?相同，则每段位大小相同，均为

mnia

二。全过程由动能定理得意4一":+"4=&得线乂£=2得耳=半，C错误，D止硝。

3333343

故选AD。

2.如图甲所示，直线加速器由一个金属圆板（序号为0）和多个横截面积相同的金属圆筒组成，其中心轴

线在同一直线上，圆筒的长度遵照一定的规律依次增加。圆板和圆筒与交流电源相连，序号为奇数的圆筒

和电源的一极相连，圆板和序号为偶数的圆筒和该电源的另一极相连，交变电源两极间电势差的变化规律

如图乙所示。若电压的绝时值为U,电子电量大小为e,电子通过圆筒间隙的时间可以忽略不计。在片。时

刻，圆板中央的一个电子在圆板和圆筒之间的电场中由静止开始加速，沿中心轴线冲进圆筒1,电子在每个

乙

A.由于静电屏蔽作用，圆筒内不存在电场

B.电子运动到第n个圆筒时动能为neU

C.在，=当时奇数圆筒相对偶数圆筒的电势差为负值

D.第〃个和第〃+1个圆筒的长度之比为，;：G

【答案】ABD

【详解】A.由于静电屏蔽作用，圆筒内不存在电场，A正确：

B.电子每经过一个间隙，电场力做功eU,根据动能定理，电子运动到第〃个圆筒时动能为小。=线-0

电子运动到第〃个圆筒时动能为neU,B正确：

C.因为f==5T=7+；T,T时圆筒1相对圆板的电势差为正值，同理，，=:5T奇数碉筒相对偶数圆筒的

电势差为正值，C错误：

D.根据动能定理得eU=g2；2eU=；mg；3eU=...neU=gm\^；(w+\)eU=；〃八'；+i

第〃个和第〃+1个圆筒的长度之比为L"：4x=%：匕”解得力4M=6：，币，D正确。故选ABD。

考向2交变电场中的偏转

3.如图甲，一带电粒子沿平行板电容器中线MN以速度v平行于极板进入(记为/=()时刻)，同时在两板

上加一按图乙变化的电压。已知粒子比荷为木带电粒子只受静电力的作用且不与极板发生碰撞，经过一段

时间，粒子以平行极板方向的速度射出。则下列说法中正确的是()

UN

0―।_।_1_।_।------->

M—"O~►------------------------------------N：1：23：4：5t/s

U卜:-------:—

甲乙

A.粒子射出时间可能为4sB.粒子射出的速度大小为2u

C.极板长度满足£-3皿〃=1,2,3…)D.极板间最小距离为

【答案】D

【详解】AB.粒子进入电容器后，在平行于极板方向做匀速直线运动，垂直极板方向的运动V—图像如图

因为粒子平行极板射出，可知粒子垂直板的分速度为0,所以射出时刻可能为1.5s、3s、4.5s……，满足

，=1,5〃(”=1,2,3……)粒子射出的速度大小必定为v,故AB错误；

C.极板长度A=”1.5〃(〃=1,2,3.......)故C错误：

D.因为粒子不跟极板碰撞，则应满足/直=axi；。=吟联立求得dtj3Aq

22cij2

故D正确。故选D。

4.如图甲所示，两平行金属板水平放置，间距为d,金属板长为L=2",两金属板间加如图乙所示的电压

..16〃以2

,初始时上金属板带正电)。-粒子源射出的带电粒子恰好从上金属板左端的下边缘水平进入

两金属板间。该粒子源能随时间均匀发射质量为机、电荷量为+夕的带电粒子，初速度%=寸，重力忽略

不计，则()

u，、

Uo-

o-

T\T.3F：27：

:::

1一Uo-T_T―

图甲图乙

A.能从板间飞出的粒子在板间运动的时间为a

B.能从板间飞出的粒子束进入极板的时刻为(+〃；(〃=1,2,3,…)

C.若粒子在/=(时刻进入两极板之间，粒子飞出极板时的偏移量)’是？

D.若发射时间足峥长，则能够从两金属板间飞出的粒子占总入射粒子数的比例为业二

4

【答案】D

【详解】A.由于粒子只受到竖直方向的电场力作用，将粒子的运动进行分解，则粒子做类平抛运动。水平

方向上不受外力故做匀速直线运动，竖直方向做匀加速直线运动.故能从板间飞出的粒子在板间运动的时

2^_r

间为'=i=故A错误：

T

C.设粒子在两金属板间运动时的加速度为。，则。=学=字若粒子在f=§时刻进入两极板之间，则它

dmT4

在竖直方向上先加速向下1的时间，有乂=：a(［)2=g粒子运动］之后电场反向，开始在竖直方向上减速

42424

向下，则根据竖直方向的对称性原则，粒子会再经过;的时间竖直分运度减速为零，共经呜的时间从两

金属板间飞出。如下图所示

*

粒子飞出极板时的总偏移量y=2必=d故c错误：

DD.由题意可知，只有在0与，<；时间段内进入才有可能飞出。

假设f=o时刻进入两金属板间的粒子可以飞出，则飞出时偏移量为y。(弓f=2d>d则假设不成仁U0

时刻进入两金属板间的粒子会打在金属板上。下金属板临界：在第一个周期内设带电粒子在4时刻进入两金

属板间，它在竖直方向上先加速向卜再经过M时间后电场反向，开始在竖直方向减速向卜，根据对称性，

再经过M时间竖直方向速度减速为6恰好从下金属板右端飞出，则如C中情形相同。t/=2xl«(A/1)2

则J所以A可知能从板间飞出的粒子束进入极板的时刻为］+"(〃=1.2.3.…)c上金属板

临界：在第•个周期内设带电粒子在4时刻进入两金属板间，它在竖直方向上先加速向下再经过Aa时间后

电场反向，开始在竖直方向减速向卜，根据对称性，再经过加2时间竖直方向速度减速为0,然后加速向上

直到恰好从上金属板右端飞出，运动轨迹如下图所示：

r

可知—2加?)2解得42=三口•7或42=寺2丁(舍去)所以"=3—△〃=亨7

在第一个周期内带电粒子不碰到金属板而能够£出的时刻满足迎7则第一个周期内能够匕出的粒

子占第一周期内入射粒子总数的比例，与足够长的时间内飞出的粒子占入射粒子总数的比例相同，均为

72_1_

,_44_&-1故B错误，D1E确。故选D。

T4

考点三用动力学、能量和动量观点解决力电综合问题

.史些必备基础知识梳理

知识点1力电综合问题的处理流程

单处于平整体法受力平衡寻找连接体间

个------A

物衡状态隔离法分析方程的关联量

体

或-①列牛顿第二定

连

受

运连接

接

力

动律方程

隔离法寻找体间

体

分

状------>②列运动学方程―►

态

析关系

③列功能关系

方程

方程

知识点2电场中的功能关系

1.电场中的功能关系

(1)若只有静电力做功》电势能与动能之和保持不变。

(2)若只有静电力和重力做功9电势能、重力势能、动能之和保持不变。

(3)除重力之外，其他各力对物体做的功^等于物体机械能的变化。

(4)所有外力对物体所做的功夕等于物体动能的变化。

2.电场力做功的计算方法

⑴牝8=必就普遍适用)

Q)W=qExcosa适用于匀强电场)

从能量角度求解)

（4严电+W"电=△&（由动能定理求解）

一提升［必考题则纳__________

考向1用动力学和能量观点解决力电综合问题

1.如图所示，-电荷量为+外质量为小的小物块处于一倾角为37。的光滑斜面上，当整个装置被置于一水

平向右的匀强电场中时♦，小物块恰好静止。重力加速度为g,sin370=9.6,cos370=0.8

<1）求匀强电场的电场强度大小：

（2）若将电场强度减小为原来的方，则物块的加速度为多大？

（3）若将电场强度减小为原来的?，求物块下滑距离为2时的动能。

【答案】（1）；（2）0.3g；（3）Q3mgL

【详解】（1）小物块静止在斜面上，受到重力、静电力和斜面支持力，受力分析如图所示

则有&sin37。=qE；F、cos370=〃好联立解•得E-誓

41

（2）若电场强度减小为原来的;，即E则由牛顿第一定律得吵5出37。-夕£‘（：0$37。=〃?0

解得a=（）-3g

（3）电场强度变化后，物块下滑距离为£时，重力做正功，静电力做负功，由动能定理得

0

mgLsin370-gELcos37=Ek-O解得线=0.3〃?gL

2.如图，在水平地面上固定一倾角为。的粗糙绝缘斜面，斜面处于电场强度大小为E、方向沿斜面向下的

勺强电场中。一劲度系数为〃的绝缘轻质弹簧的一端固定在斜面底端，整根弹簧处于自然状态.一质量为“、

带电量为4何>0）的滑块从距离弹簧上端为“处静止释放，滑块在运动过程中电量保持不变，设滑块与弹簧

接触过程没有机械能损失，弹簧始终处在弹性限度内，物块与斜面间动摩擦因数为“「and,重力加速度大

小为gO

（1）求滑块从静止释放到与弹簧上端接触瞬间所经历的时间

（2）若滑块在沿斜面向卜运动的整个过程中最大速度大小为％，求滑块从静止杼放到速度大小为%过程

中弹簧弹性势能的增加量

【详解】（1）滑块从静止释放到与弹簧刚接触的过程中做初速度为零的匀加速直线运动，设加速度大小为明

则有夕£+mgsin'-pmgcos0=ma；s。=gaf；联立可得/,=-------名包---------

2V4上+，ngsine/-/ongcos8

（2）滑块速度最大时受力平衡，设此时弹簧压缩量为%,则有mgsind+*=M〃gcose+ho

从静止秤放到速度达到最大的过程中，由动能定理得（“吃5'6+«7七/.lingcos-（50+%0）+17HV；

联立可得%="=（〃?gsine+狂-…cos研”+照吆喑竺"则卜］M

考向2用能量和动量观点解决力电综合问题

3.如图所示，一个质量为牡=01kg,带电量为夕=59x1（尸C的小球放置在光滑绝缘水平面上，并压缩（不

连接）固定在墙上绝缘弹簧，释放后，叫以%=10m/s的速度冲上放置在水平面上质量为吗=0.4kg、半径

为R=0.8m的绝缘1/4圆弧形物体。从叫上A点离开后，正好进入水平向右、场强大小为EMIO'N/CIK有

界匀强电场，到达最高点时恰好与静止总拄的绝缘小球叫=02kg在水平方向发生弹性碰撞。悬挂叫的绳

长L=（）.2m,悬绳右边无电场。g取lOm/s'求：

（1）犯离开m2时,m2的速度。

（2）%到达最高点时，对绳的拉力。

（3）町落回地面后能否追上吗？若不能追上，求落回地而后叫的速度。若能追上，求性的最大速度,

【答案】（1）2m/s；（2）6N,方向竖直向上；（3）追不上叫，恤最大速度为4.8m/s。

【详解】（1）对叫冲上叫分析，水平方向动量守恒，设向右为正方向则㈣％=（叫+卅2M得匕=2m/s

即的速度为2m/s。

（2）对叫冲上叫整个过程中，机械能分别守恒则；叫片=1（/«,+吗）T+；加£+gg"：&=8m/s

设网与叫碰撞前叫的速度为H，碰撞后叫的速度为内，%的速度为匕。竖直向上匀减速时间%=卬

水平方向匀加速K=匕+变/由叫匕=叫匕+叫匕；7,MIVI2=:叫（+!吗（设”在竖直最高点得速度为

m22/

匕，则2%gL=%H；7+色8=吗解得T-6N由牛顿第三定律，对绳的拉力厂=T=6N方向

22L

竖直向上：

（3）经分析，町离开电场后恰好与相切于A点，则设落地时，叫速度为以，叫分速度为％，对叫与叫

分析可知，水平方向动量守恒，设向方为正方向则叫％=，叩4+吗灯整个过程中，机械能分别守恒则

；叫彳=；叫（+；叫反得为=-6m/s；v6=4m/'s,町与弹簧作用后反向，速度为6m/s>4m/s,故能追上叫。

1212II2

2解得为=4.8m/s；

追上作用后回到地面，则-砂也+m2v6=/n）v7+w2v8；2W，IV5+5m2*+3叫%

V7=2,8m/s<4.8m/s故之后追不上加2，川2最大速度为4.8m/s。

4.如图（a）所示，质量/w/=2.0kg的绝缘木板A静止在水平地面上,质量册尸1.0kg可视为质点的带正电的

小物块B放在木板A上某一位置，其电荷量为q=L0xi（）3c。空间存在足够大的水平向右的匀强电场，电场

强度大小为£/=5.0x|02V/m（,质量〃o=L0kg的滑块C放在A板左侧的地面上，滑块C与地面间无摩擦力，

其受到水平向右的变力/作用，力尸与时刻I的关系为b=（I5-9Z）N［如图b）。从〃尸0时刻开始，滑块C

在变力尸作用下由静止开始向右运动，在。=ls时撤去变力凡此时滑块C刚好与木板A发生弹性正碰，且

碰撞时间极短，此后整个过程物块B都未从木板A上滑落。已知小物块B与木板A及木板A与地面间的

动摩擦因数均为4=0.1，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取lOm/s?。求：

（1）撤去变力厂瞬间滑块C的速度大小打；

（2）小物块B与木板A刚好共速时的速度y充；

（3）若小物块B与木板A达到共同速度时立即将电场强度大小变为£=7.0xl（）2v/m,方向不变，小物块B

始终未从木板A上滑落，则

①木板A至少多长？

②整个过程中物块B的电势能变化量是多少？

图(a)图(b)

【答案】(1)10.5m/s：(2)3m/s：(3)①10.5m,②⑵

【详解】（1）在尸作用的Is内，对滑块C,由动量定理得/尸=吗匕-0由尸一图像围成的面积可得

=%=I0.5N-S得w=10.5m/s

（2）设C、A碰后瞬间速度大小分别为心和匕，取向右为正方向，A、C系统碰撞过程动量守恒，得

叫匕=叫%+町%,A、C发生弹性碰撞，动能不变，则g〃?3射；=；〃?3年+匕:代入数据，解得w=7m/s

A、C碰撞后，对B有9局+〃吗g=吗。2代入数据得0产L5m/s2对A有4m2g+ju（叫+nt2）g=叫％

2

得a/=2m/s