第一章三角形的证明

第一章三角形的证明

§1.1等腰三角形（第1课时）

教材分析：

在“平行线的证明”一章中，我们给出了8条根本领实，并从其中的几条根本领实出

发证明了有关平行线的一些结论.运用这些根本领实和已经学习过的定理，我们还可以证明

有关三角形的一些结论.

教学目标：

1.知识技能目标：运用根本领实证明等腰三角形的性质定理.

2.数学思考目标：在证明过程中，进一步感受证明过程，掌握推理证明的根本要求，

明确条件和结论，借助数学符号语言利用综合法证明等腰三角形的性质定理.

3.问题解决目标：经历“探索一发现一猜测一证明”的过程，进一步体会证明是探索

活动的自然延续和必要开展，开展的初步的演绎逻辑推理的能力；鼓励学生在交流探索中

发现证明方法的多样性，提高逻辑思维水平.

4.情感态度目标：启发引导学生体会探索结论和证明结论，及合情推理与演绎的相互

依赖和相互补充的辩证关系；培养学生合作交流的能力，以及独立思考的良好学习习惯.

教学重点：探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法，掌握证明的根本要求和方法.

教学难点：明确推理证明的根本要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等..

教学方法

⑴教法：

⑵学法:

教学准备:

教学环节设计：个性化设计:

一.回忆旧知导出根本领实

提问：提请学生回忆并整理《平行线的证明》中列出的根本领

实：

L两点确定一条直线.

2.两点之间线段最短.

3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与直线垂直.

4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两

条直线平行.

5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.

6.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等.

7.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等.

8.三边对应相等的两个三角形全等.

提问：请同学们讨论，能够从上边的根本领实证明出下面的定理吗？

定理两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形

全等.

：如下列图，△力比'和△〃必中，ZJ=ZA/F/E,BOEF

求证：XABCQXDEF

证明：在△力比和尸中

VZ6^180°-ZJ-ZZ?,Z7^180°-NONA（三角形内角和

定理）

NA=ND,ZB=ZE0

・・・/小（等量代换）

*：BOEF,N企N£,/C=/F

比丝△加尸（ASA）

二.探究等腰三角形的性质

问题1：还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？［回忆.讨论）

定理；等腰三角形的两个底角相等.

这一定理可以.简单表达为：等边对，等角.

问题2：你能结合图形写出.求证.证明吗？（同学们讨论，.再归纳）

:如图，在△/欧中，AB-AC

求证：Z-B^Z.C

分析：我们曾经利用折叠的方法说明了两个底角相等.实际上,

折痕将等腰三角形分成了两个全等三角形.那么我们能否通过作一

条辅助线，得到两个全等三角形，从而证明这两个底角相等呢？

证明：取6C的中点〃，连接力。，如上，图：

•；AB=AC,BD=CD,AD=AD

・•・△/应9△409(SSS)

・•・/代NC(全等三角形的对应角相等)

问题3：请同学们相互交流，还有其他的证明方法吗？

三•探究"三线合一"

问题1：对工面图形中，线段/〃还具有怎样的性质？为什么？由此

你能得到什么结论？

推论等腰三角形顶角的平分线.底边上的中线及底边上的高线互

相重合.

四.反应练习

P3.4随堂练习第1题第2题

五.课堂小结

六,作业

教学方法

（1）教法:

⑵学法:

教学准备:

教学环节设计：个性化设计：

一.提出问题，引入新课

问题：在等腰三角形中作出一些线段（如角平分线.中线.高等）,

你能发现其中一些相等的线段吗?你能证明你的结论吗？

二.自主探究

证明：等腰三角形两底角的平分线相等.

：如图，在△ABC中，AB=AC,BD.CE是△ABC的角平分线.

求证：BD=CE.

证明：VAB=AC,

・・・NABONACB（等边对等角）.

VBD,CE分别平分NABC和NACB,

11

VZ1=TZABC,Z2=TZACB,

乙乙

/.Z1=Z2.

在ABDC和ACEB中，

ZACB=ZABC,BC=CB,Z1=Z2.

.-.△BDC^ACEB（ASA）.

・・・BD二CE（全等三角形的对应边相等）

A

ED

想一想：等腰二角形两腰上的中线相等吗？高呢？还布具他的结论

吗？请你证明它们，并与同伴交流.

二.创设情境，自主冉研究

问题1：在课本图1—5的中，AB=AC,点D,E分别在边AC

和AB上.

(1)如果NABD=|ZABC,ZACE=|ZACB,那么BI>CE吗？

oo

如果NABD$ZABC,NACE』NACB呢？

由此，你能得到一个什么结论？

(2)如果AD二;AC,AE=|AB,那么BD=CE吗？如果AD】AC,AE=

乙乙o

|AB呢？由此你得到什么结论？

O

问题:2：等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角

有什么

特征呢？

定理等边三角形的三个内角相等，并且每个角都等于60°

：如图，在△ABC中，AB=BC=AC.

求证：ZA=zB=zC=60°.

证明：VAB=AC,

.•・/B=/C（等边对等角）.

又.「AC=BC

「./A=/B（等边对等角）.

AZA=ZB=ZC（等量彳匕换）.

在AABC中，

vzA+zB+zC=180°,

AzA=zB=zC=60°.

四.反应练习

PG随堂练习第1题第2题

五.课堂小结

六.作业

七.教学反思:

第一章三角形的证明

§1.1等腰三角形(第3课时)

教材分析：

本节将利用前面所证明的等腰三角形的性质定理，研究等腰三角形的判定定理，以

及反证法的学习.

教学目标：

1.知识技能目标：探索一一发现一一猜测一一等腰三角形的判定定理，以及反证法的

学习与应用.

2.数学思考目标：探索一一发现一一猜测一一等腰三角形的判定定理，以及反证法的

学习与应用.

3.问题解决目标：经历“探索一发现一猜测一证明”的过程，学生进一步体会证明是

探索活动的自然延续和必要开展，开展学生的初步的演绎逻辑推理的能力；鼓励学生在交

流探索中发现证明方法的多样性，提高逻辑思维水平.

4.情感态度目标：体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性.

教学重点：等腰三角形的判定定理，以及反证法的学习与应用.

教学难点：等腰三角形的判定定理，以及反证法的学习与应用.

教学方法

(1)教法：

(2)学法:

教学准备:

教学环节设计：个性化设II：

一.提出问题，引入新课

问题：前面已经证明了等腰三角形的两底角相等.反过来，有两

个角相等的三角形是等腰三角形吗？

如图，在aABC中，NB=NC,要想证明AB=AC,只要构造两个

全等的三角形，使AB与AC成为对应边就可以了.你是怎样构造的？

定理有两个角相等的三角形是等腰三角形.

:如图,在AABC中,ZB=ZC.

求证：AB=AC.

证明：作NBAC的平分线，交BC于点D.

〈AD平分NBAC,

「./BAD=NCAD.

.ZB=ZC,AD=AD,

・••△/I巴底△力⑶(AAS)

••.AB=AC（全等三角形对应边相等）

例2（课本第8页），AB=D&BDXA.

求证：仍是等腰三角形.

证明：vAB=DC,BD=CA,AD=DA,

:.XAB恒XDCA（SSS）.

AZADB=ZDCA（全等三角形对应角相等）.

••.AE=DE（等角对等边）.

「•△力"是等腰三角形.

问题2：小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么

这两个角所对的边也不相等.你认为小明这个结论成立吗？如果成

立，你能证明它吗？

小明是这样想的:

如图，在△ABC中，ZB^ZC,此时AB与Ac要么相等，要么不

相等.

假设AB=AC,那么根据“等边对等角”定理可得/ONB,这与

条件是NBWNC相矛盾，因此ABWAC

你能理解他的推理过程吗？

反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义.根本领

实.已有定理或条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立.

这种证明方法称为反证法.

例3用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.

：AABC

求证：ZA,ZB,NC中不能有两个角是直角.

证明：假设NA,ZB,/C有两个角是直角，不妨设NA=90°,

ZB=90°,

于是NA+NB+NC=900+90°+Z01800.

这与二角形内角和定埋相矛盾，因此NA=9（T与NB=900假设

不成立.，

所以，一个三角形中不能有两个角是直角.

二.反应练习

Pg随堂练习第1题第2题

三.课堂小结

四.作业

五.教学反思：

第一章三角形的证明

§1.1等腰三角形（第4课时）

教材分析：

本节课，学生将探究等边三角形判定定理和含30°角的直角三角形的性质定理，应

该说，这两个定理的证明和探索相对而言，并不复杂，更多的是前面定理的直接运用.

教学目标：

1.知识技能目标：理解等边三角形的判别条件及其证明，理解含有30°角的直角三角

形性质及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题.

2.数学思考目标：理解等边三角形的判别条件及其证明，理解含有30°角的直角三

角形性质及其证明，并能利用这两个定理解决些简单的问题..

3.问题解决目标：理解等边三角形的判别条件及其证明，经历实际操作，探索含有30。

角的直角三角形性质及其推理证明过程，开展合情推理能力和初步的演绎推理的能力；

4.情感态度目标：在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心..

教学重点：等边三角形判定定理的发现与证明以及含30°角的直角三角形的性质定理

的发现与证明.

教学难点；含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明..

教学方法

(1)教法：

⑵学法:

教学准备:

教学环节设计：个性化设计：

一.创设问题情境，引入新课

问题1:一个三角形满足什么条件时是等边三角形？一个等腰三

角形满足什么条件时是等边三角形？请证明自己的结论，并与同伴

父流.

定理三个角都相等的三角形是等边三角形.

定理有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.

问题2：用两个含30°角的全等的三角尺，你能拼出一个怎样的

三角形？能拼出一个等边三角形吗？由此你能发现什么结论？说说

你的理由.

定理在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所

对的直角边等于斜边的一半.

:如图，4ABC是直角三角形，ZC=90°,ZA=30°.

求证：BC=|AB.

证明：延长BC至D,使CD二BC,连接AD（如下图）.

VZACB=90°,ZBAC=30°,

AZACD=90°,ZB=60°.

VAC=AC

/.△ABC^AADC(SAS).

・・・AB二AD（全等三角形的对应边相

等）.

•••△ABD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三

角形）.

・・・BC=1BD=1AB.

例3求证：如果等腰三角形的底角为15。，那么腰上的高

是腰长的一半.

：在AABC中，AB二AC,NB=15。，CD是腰AB上的高.

求证：CD弓AB.

证明：在AABC中，NB=15°,

VAB=AC,

・•・NACB=NB=15。（等角对等边）.

・•・ZDAC=ZB+ZACB=15°+15°=30°

又・・・CD是腰AB上的高，

・・・CD】AC（在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么

它所对的直角边等于斜边的一半）.

.*.CD=^AB.

二.反应练习

PM随堂练习

三.课堂小结

四.作业

五.教学反思:

第一章三角形的证明

§1.2直角三角形（第1课时）

教材分析：

本节课探讨直角三角形的性质定理.勾股定理及其逆定理的证明方法，了解逆命题.互

逆命题.逆定理的概念.

.教学目标：

1.知识技能目标：探讨直角三角形的性质定理.勾段定理及其逆定理的证明方法，了解

逆命题.互逆命题.逆定理的概念.

2.数学思考目标：探讨直角三角形的性质定理.勾股定理及其逆定理的证明方法，了

解逆命题.互逆命题.逆定理的概念.

3.问题解决目标：（1）经历和了解勾股定理及其逆定理的证明方法，进一步理解证明

的必要性.（2）结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立,

其逆命题不一定成立.

4.情感态度目标：积极参与数学活动，对数学命题的获得产生好奇心和求知欲.

教学重点：探讨直角三角形的性质定理.勾股定理及其逆定理的证明方法，了脩逆命题.

互逆命题.逆定理的概念.

教学难点：勾股定理及其逆定理的证明方法.

教学方法：

（1）教法：

⑵学法：______________________________________________________________________

教学准备：

教学环节设计：个性化设计:

一.创设情境，引入新课

问题：(1)直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？

(2)如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是

直角三角形吗？为什么？

定理直角三角形的两个锐角互余.

定理有两个角互余的三角形是直角三角形.

二.情境导入新课探究

情境1：我们曾经利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定

理.实际上，利用根本领实和已有定理，我们能够证明勾股

请同学们翻开课本P16T7,阅读“读一读”，了解一下利用教

科书给出的根本领实和已有定理，我们可以证明勾股定理.

勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平

方.

：如图，在△ABC44,ZC=90°,BC=a,AC=b,AB=c.

求证：a2+b2=c2.

证明：延长CB至D,使BD=b,作NEBD=NA,并取BE=c,连

接ED.AE(如图)，那么△ABCgZ\BED.

・・・NBDE=90°,ED=a(全等三角形的对应角相等，对应边相

等).

・•・四边形ACDE是直角梯形.

・・.S梯形Acot=:(a+b)(a+b)=J(a+b)2.

...NABE=180°-(ZABC+ZEBD)=180°-90°=90°，

AB-BE.

1

ASAAABE=-c2

乙

VS梯形ACDE=S"BE+S&K+S△BED，

.**7(a+b)2=-c2+-ab+-ab,

乙乙乙乙

即［£+ab+9厅=/c2+ab,

乙乙乙

.*.a2+b2=c2

情境2：反过来，在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边

的平方时，我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形”

的结论.下面我们证明这个结论.

：如图:在AABC中，AB2+AC2=BC2

求证：aABC是直角三角形.

证明：如图作RtZ^A'B'C',

使NA'=90°,A'B'=AB,

A'C'=AC

那么A'B'2+A'C2.=

B'C'2（勾股定理）.

VAB2+AC2—BC2,

ABC2=B,C'2

ABC=B/Cz

AAABC^AA,B'C'(SSS)

・・・NA=NA'=90°(全等三角形的对应角相等).

因此，^ABC是直角三角形.

定理如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个

三角形是直角三角形.

三.议一议（课本第15T6页）

逆命题：

互逆命题:

逆定理:

四.反应练习

P16随堂练习第1题第2题第3题

五.课堂小结

六.作业

七.教学反思：

第一章三角形的证明

§1.2直角三角形（第2课时）

教材分析：

本节课探讨直角三角形全等判定定理及其证明以及利用这个定理解决相关问题.

教学目标：

1.知识技能目标：证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，利用“HL''定理解决

实际问题.

2.数学思考目标：证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，利用“HL''定理解决

实际问题.

3.问题解决目标：证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，利用“HL，'定理解决

实际问题.

4.情感态度目标：形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯

教学重点：HL定理的证明及应用

教学难点：HL定理的证明及应用.

教学方法：

(1)教法:

⑵学法：______________________________________________________________________

教学准备:

教学环节设计：个性化设计:

一.创设情境，引入新课

做一做［课本18T9页)

定理斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.

这一定理可以简述为“斜边.直角边”或“HL”.

:在RtZkABC和RtZ\A'B'C'中，NC=NL=90°,AB=A'B',

AC=AZC'.

求证：△ABCgZXA'BzC'

证明：在AABC中,

VZC=90°,

ABC2-AB2—AC?（勾股定理）.

同理，8'仁'"'2一八'。2（勾股定理）.

VAB=A，B，,AOA'C',

•••BOB'C，.

.••△ABCgAA'B'C'（SSS）.

例（课本第20页）

解：根据题意，可知

ZBAC=ZEDF=90°,

BC=EF,AC=DF,

ARtABAC^RtAEDF（IL）.

AZB=ZDEF（全等三角形对应用相等）.

VZDEF+ZF=90°（直角三角形的两锐角互余），

・・・NB+NF=90°.

二.反应练习

Pz。随堂练习第1题第2题

三.课堂小结

四.作业

五.教学反思:

第一章三角形的证明

§1.3线段的垂直平分线（第1课时）

教材分析：

本节课证明线段垂直平分线的性质定里和判定定理.

教学目标：

1.知识技能目标：证明线段垂直平分线的性质定里和判定定理..

2.数学思考目标：证明线段垂直平分线的性质定里和判定定理.

3.问题解决目标：证明线段垂直平分线的性质定里和判定定理.

4.情感态度目标：在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心

教学重点：证明线段垂直平分线的性质定里和判定定理.

教学难点：明确推理证明的根本要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等..

教学方法

⑵教法：

⑵学法:

教学准备:

教学环节设计：个性化设计：

第一环节：创设情境，引入新课

如图，A.B表示两个仓

库，要在A.B一侧的河岸边/•

建造一个码头，使它到两个.

仓库的距离相等，码头应建-----------------______________

在什么位置？:----〜~〜

在七年级时研究过线段

的性质，线段是一个轴对称

图形，其中线段的垂直平分线就是它的对称轴.我们用折纸的方法,

根据折叠过程中线段重合说明了线段垂直平分线的一个性质：线段

垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.所以在这个问题中,

要求在“A.B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离

相等”利用此性质就能完成.

进一步提问：“你能用公理或学过的定理证明这一结论吗？”

第二环节：探究新知

定理线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.

：如图，直线MN_LAB,垂足是C,且AOBC,P是MN上的任意

一点.

求证:PA=PB.

证明：・.・MN_LAB,

・•・NPCA=NPCB=90°

VAC=BC,PC=PC,

AAPCA^APCB(SAS).

・・・PA二PB（全等三角形的对应边相等）.

第三环节：想一想

你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗？如果是，

请你加以证明.

定理到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直

平分线上.

第四环节：例题研究

例1:如图，在ZSABC中，AB=AC,0是ZXABC内

一点，且OB=OC.

求证：直线AO垂直平分线段BC..A

证明：,・・AB=AC,/\

・••点A在线段BC的垂直平分线上

（到一条线段两个端点距离相等的点，在这

条线段的垂直平分线上）.|

同理，点0在线段BC的垂直平分线

上.

・・・直线A0是线段BC的垂直平分线（两点确定一条直线）.

五.反应练习

P23随堂练习

六.课堂小结

七.作业

八.教学反思:

第一章三角形的证明

§1.3线段的垂直平分线（第2课时）

教材分析:

本节课研证明与线段垂直平分线相关的结论，底边和底边上的高，能利用尺规作出等

腰三角形.

教学目标：

1.知识技能目标：证明三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶

点的距离相等.经历猜测.探索，能够作出以a为底，h为高的等腰三角形.

2.数学思考目标：证明三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶

点的距离相等.经历猜测.探索，能够作出以a为底，h为高的等腰三角形.

3.问题解决目标：证明三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶

点的距离相等.经历猜测.探索，能够作出以a为底，h为高的等腰三角形.

4.情感态度目标：能够积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲.

教学重点：证明与线段垂直平分线相关的结论，底边和底边上的高，能利用尺规作出等腰

三角形

教学难点：证明三线共点.

教学方法

⑶教法：

⑵学法:

教学准备:

教学环节设计：个性化设计：

第一环节：回忆引入新课

回忆尺规作图作三角形三条边的垂直平分线.

第二环节：讲述新课

例2求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这

一点到三个顶点的距离相等.

求证：边AC的垂直平分线经过点P,且PA二PB二PC.

证明：•・,点P在线段AB的垂直平分线上，

・・・PA;PB（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相

等）.

同理PB二PC.

APA=PB=PC.

・••点P在线段AC的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相

等的点，在这条线段的垂直平分线上）.

即边AC的垂直平分线经过点P

第三环节：.引申拓展

(1)三角形的一条边及3条边上的高，你能画出满足条件的三

角形吗？如果能，能画出几个?所画出的三角形都全等吗？

(2)等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三

角形吗？能作几个？

学生通过小组讨论，并尝试作出草图，验证自己的结论.

第四环节：例题学习

例3(课本第25页)一个等腰三角形的底边及底边上的高，求

作这个等腰三角形.

：线段a,h

求作：AABC,使AB=AC,BC=a,高AD二h

作法：

(1).作线段BC=a；

(2).作线段BC的垂直平分线1,交BC于点D.

(3).在1上作线段DA,使DA=h.

(4).连接AB,AC.

△ABC就是所求的等腰三角形.

第五环节：做一做课本第25页：教师引导学生分析作出草图,

注意对学生作法表达的准确性加以更正.

第六环节：动手操作

(1)例题：直线1和1上一点P,用尺规作1的垂线，使它

经过点P.

学生先独立思考完成，然后交流：说出做法并解释作图的理由.

(2)拓展：如果点P是直线1外一点，那么怎样用尺规作1

的垂线，使它经过点P呢？说说你的作法，并与同伴交流.

七.反应练习

P26随堂练习

A.课堂小结

九.作业

十.教学反思：

第一章三角形的证明

§1.4角平分线（第1课时）

教材分析：

本节课学习角平分线的性质定理和判定定理及相关结论

教学目标：

1.知识技能目标：研究角平分线的性质定理和判定定理及其应用.

2.数学思考目标：研究角平分线的性质定理和判定定理及其应用.

3.问题解决目标：研究角平分线的性质定理和判定定理及其应用.

4.情感态度目标：能够积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲.

教学重点：角平分线的性质定理和判定定理的证明.

教学难点：正确地表述角平分线性质定理的逆命题及其证明.

教学方法

⑷教法:

⑵学法:

教学准备:

教学环节设计：个性化设计：

1.情境引入

我们曾用折纸的方法探索过角平分线上的点的性质，步骤如下：

从折纸过程中，我们可以得出CD二CE,

即角平分线上的点到角两边的距离相等.

你能证明它吗？

2.探究新知

定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

(1)引导学生证明性质定理

请同学们自己尝试着证明上述定理，然后在全班进行交流.

：如图，0C是NAOB的平分线，点P在0C上，PD_LOA,PE10B,

垂足分别为D.E.

求证：PD=PE.A

%

证明：VPD10A,

PE±OB,垂足分别为D.E,

.,.ZPD0=ZPE0=90°,

VZ1-Z2,OP-OP,

.-.△PDO^APEO(AAS).

・・・PD;PE(全等三角形的对应边相等).

(2)你能写出这个定理的逆命题吗？

我们在前面学习线段的垂直平分线时，已经历过构造其逆命题

的过程，我们可以类比着构造角平分线性质定理的逆命题.

引导学生分析结论后完整地表达出角平分线性质定理的逆命

题：

它是真命题吗？你能证明它吗？

定理在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的

角平分线上.

没有加“在角的内部”时，是假命题.

(由学生自己独立思考完成，在全班讨论交流，对困难学生可

个别辅导)

证明如下：

:点P为NAOB内一点，且PD上OA,PE_LOB,垂足分别为D,E

且PD=PE.

求证：0P平分NA0B.

证明：PD±OA,PE±OB,垂足分别为D,E,

，NODP=/0EP=90°.

VOP=OP,PD=PE,

ARtAODPgRtAOEP（HL）.

.・.N1=N2（全等三角形对应角相等）.

，0P平分NAOB.

逆命题利用公埋和我们已证过的定理证明了，那么我们就可以

把这个逆命题叫做原定理的逆定理.我们就把它叫做角平分线的判

定定理.

3.例题研究

例1（课本第29页）在Z\ABC中，NBAC=60°,点D在

BC上，AD=10,DE1AB,DF1AC,垂足分别为E,F,

且DE=DF,求DE的长.

解：VDE1AB,DF1AC,垂足分别为E,F,

且DE二DF,

・・・AD平分/BAC（在一个角的内部，到角的两边距离相等

的点在这个角的角平分线上）.

又・.・NBAC=60°,

AZBAD=30°.

在RtZ\ADE中，ZAED=90°,AD=10,

.,.DE=1AD=1X10=5（在直角三角形中，如果一个锐角

等于30。，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.

四.反应练习

P29随堂练习第1题，第2题

五.课堂小结

六,作业

七.教学反思:

第一章三角形的证明

§1.4角平分线（第2课时）

教材分析：

本节课运用角平分线的性质定理和判定定理解决问题.

教学目标：

1.知识技能目标：本节课运用角平分线的性质定理和判定定理解决问题.

2.数学思考目标：本节课运用角平分线的性质定理和判定定理解决问题.

3.问题解决目标：本节课运用角平分线的性质定理和判定定理解决问题.

4.情感态度目标在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.

教学重点：本节课运用角平分线的性质定理和判定定理解决问题.

教学难点：角平分线的性质定理和判定定理的综合应用.

教学方法

⑸教法：

⑵学法:

教学准备:

教学环节设计：个性化设计：

第一环节：设置情境问题，搭建探究平台

问题1请同学们画出三角形的三个内角的角平分线，你发现了

什么？能证明自己发现的结论一定正确吗？

于是，首先证明“三角形的三个内角的角平分线交于一点”.

当然学生可能会提到折纸证明等方式证明，但最终，教师要引

导学生进行逻辑上的证明.

第二环节：展示思维过程，构建探究平台

例2求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到

三条边的距离相等.

：如图，在丛ABC中,角平分线4犷与角平分线相交于点R

过点P分别作AB,BC,AC的垂线，垂足分别是1）,E,k

求证：ZJ的平分线经过点P,且PD二PE=PF.

证明：・w是△版;的角平分线，点尸在用/上，

・•・》分（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.

同理：P及PF.

:.P2P用P库PF.

・・・点户在N4的平分线上（在一个角的内部，到角的两边距离相

等的点在这个角的平分线上）.

即N4的平分线经过点P.

想一想：如图：直线九A.A表示三条相互交叉的公路，现要建

一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，那么可选择的地

址有几处？你如何发现的？

要求学生思考.交流.

［生］有一处.在三条公路的交点A.B.。组成的△力宏三条角平分

线的交点处.因为三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三边

的距离相等.而现在要建的货物中转站要求它到三条公路的距离相

等.这一点刚好符合.

［生］我找到四处.（同学们很吃惊）除了刚刚同学找到的三角形

A3c内部的一点外，我认为在三角形外部还有三点.作NACB.NABC

外角的平分线交于点P1（如下列图所示），我们利用角平分线的性质

定理和判定定理，可知点Pi在NCAB的角平分线上，且到h.k.h

的距离相等.同理还有NBAC.NBCA的外角的角平分线的交点P3;

因此满足条件共4个,分别是P.P1.P"P3

第三环节，例题研究

例3如图，在AABC中.AC-BC,ZC-9O0,AD是AABC的

角平分线，DE±AB,垂足为E.

（1）CD=4cm,求AC的长;

（2）求证：AB=AC+CD.

（1）解：・・・AD是AABC的角平分线,DC±AC,DE1AB,垂足为

・・・DE=CD=4cm（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）.

VAC=BC,

・・・/B二NBAC（等边对等用）.

VZC=90°,

AZB=1X90°=45。.

AZBDE=90°—45°=45°.

.•・BE=DE（等角对等边）.

在等腰直角三珀形BDE中

BD=yllDE2=472cm（勾股定理）.

AC=BC=CD+BD=（4+4扬cm

（2）证明：由（1）的求解过程易知，

RtAACD^RtAAED（HL）

••・AC=AE（全等三角形的对应边相等）.

VBE=DE=CD,

AAB=AE+BE=AC+CD.

四.反应练习

P川随堂练习

五.课堂小结

六.作业

七.教学反思：

第一章三角形的证明

回忆与思考

学生知识状况分析

学生已经了解等腰三角形性质探索经验的根底上，继续深入学习证明的方法利格式的;

多数学生已经了解证明的必要性，具备了证明命题是否成立的探索经验的根底.同时已经具

备了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力.

教学任务分析

教科书要求教学活动中应注重让学生体会到证明是原有探索活动的自然延续和必要开

展，引导学生从问题出发，根据观察.试验的结果，发现证明的思路.

教学目标：

1.知识技能目标：：在回忆与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证

明，证明的思路和方法，尺规作图等.

2.数学思考目标：在回忆与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证

明，证明的思路和方法，尺规作图等.

3.问题解决目标：进一步体会证明的必要性，开展初步的演绎推理能力；进一步掌握

综合法的证明方法，结合实例体会反证法的含义；用标准的数学语言表达论证过程的能力.

4.情感态度目标：通过积极参与数学学习活动，对数学的证明产生好奇心和求知欲,

培养合作交流的能力，以及独立思考的良好学习习惯.

重点：通过例题的讲解和课堂练习对所学知识进行复习稳固是重点.

难点：本章知识的综合性应用.

教学方法

教法：

学法：

教学准备:

教学环节设计：个性化设计:

第一环节：创设问题情境，搭建“回忆与思考”的平台

活动内容：通过提问方式复习本章所学习的相关根本知识，如

定理.逆定理等.

活动目的：使学生通过这种方式对所学的知识进行及时的稳固,

最终到达掌握并灵活应用的目的.

活动过程：

问题1：你能说说作为证明根底的几条根本领实吗？

教师通过学生答复并整理出八条根本领实如下：

L两点确定一条直线.

2.两点之间线段最短.

3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与直线垂直.

4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两

条直线平行.

5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.

6.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等.

7.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等.

8.三边对应相等的两个三角形全等.

问题2：向你的同伴讲述一两个命题的证明思路和证明方法.

①综合法：从出发利用学过的公理和已证明的定理进行合情推

理和演绎推理:

②反证法.

（教师可关注根底较差的学生，给于关注和指导）

问题3：你能说出一-对互逆命题吗？它们的真假性如何?

问题4：任意画一个角，利用尺规将其二等分.四等分.