概率论与数理统计公式(超全)

第1章随机事件及其概率

P；：=就从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。

(1)排列(加-〃)！

组合公式

C；；,=---从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。

加法原理(两种方法均能完成此事)：m+n

某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n

(2)加法

种方法来完成，则这件事可由m+n种方法来完成。

和乘法原

乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事)：mXn

理

某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n

种方法来完成，则这件事可由mXn种方法来完成。

重复排列和非重复排列(有序)

(3)一些

对立事件(至少有一个)

常见排列

顺序问题

如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，

(4)随机

但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试

试验和随

验。

机事件

试验的可能结果称为随机事件。

在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有

如下性质：

①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；

②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。

(5)基本

事件、样本这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用①来表示。

空间和事基本事件的全体，称为试验的样本空间，用S表示。

件一个事件就是由S中的部分点(基本事件⑷)组成的集合。通常用大写字母A,

B,C,…表示事件，它们是S的子集。

S为必然事件，。为不可能事件。

不可能事件(0)的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，

必然事件(S)的概率为1,而概率为1的事件也不一定是必然事件。

①关系：

如果事件A的组成部分也是事件8的组成部分，3发生必有事件8发生)：

AuB

如果同时有AuBnA,则称事件力与事件8等价，或称力等于必

A=Ba

46中至少有一个发生的事件：月116,或者心及

(6)事件属于力而不属于8町部分所构成的事件，称为4与8的差,记为月-尻也可

的关系与表示为力-力〃或者A不，它表示力发生而8不发生的事件。

运算

48同时发生：力门员或者力员AAB=0,则表示A与B不可能同时发生，

称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是.相容的。

S-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为.。它表示A不发生的

事件。互斥未必对立。

②运算：

结合率:A(BC)=(AB)CAU(BUC)=(AUB)UC

分配率：(AB)UC=(AUC)n(BUc)(AUB)nc=(AC)U(BC)

008_

QA=|JA__________

德摩根率：m-1A\jB=Ar\B,AC\B=A\JB

设。为样本空间，4为事件，对每一个事件A都有一个实数P(A),若满

足下列三个条件：

1°OWP(A)W1,

2。P(Q)=1

(7)概率3°对于两两互不相容的事件A,42,…有

的公理化耳。斗小⑷

定义

\1=1/1=1

常称为可列(完全)可加性。

则称P(A)为事件A的概率。

1°S={%g,

2°P(G))=P(a)2)=•••P(a)n)=-o

Xn

(8)占典设任一事件A,它是由01,。2…0,”组成的，则有

概型尸⑷={岫)U(处)U…U(%)}=PM)+P®)+…+P®)

m_4所包含的基本事件数

一〃基本事件总数

若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空

间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何

(9)几何概型。对任一事件A,

概型P(A)=J震。其中L为几何度量(长度、面积、体积)。

(10)加法P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

公式当P(AB)=0时,P(A+B)=P(A)+P(B)

P(A-B)=P(A)-P(AB)

(11)减法

当BuA时,P(A-B)=P(A)-P(B)

公式

当A=Q时，P(B)=1-P(B)

定义设A、B是两个事件，且P(A)〉O,则称曳竺1为事件A发生条件下，事

P(A)

(12)条件件B发生的条件概率，记为ZWA)="阴°

概率尸(A)

条件概率是概率的•种，所有概率的性质都适合于条件概率。

例如P(S/B)=1=>P(万/A)=1-P(B/A)

乘法公式：P(AB)=P(A)P(B/A)

(13)乘法更一般地，对事件A”A2,…An,若P(A向••1)》(),则有

公式P(AiAz...A”)=P(A)P(A21AI)P(A3|A1A2)......P(A”|A1A2...

An-l)

0

(14)独立①两个事件的独立性

性

设事件A、8满足P(A8)=P(A)P(8),则称事件A、3是相互独立的。

若事件4、B相互独立，且尸(A)>°,则有

P⑻*=3=32=p(5)

P(4)P(A)

若事件A、8相互独立，则可得到与8、A与耳、入与耳也都相互独

立。

必然事件S和不可能事件0与任何事件都相互独立。

0与任何事件都互斥。

②多个事件的独立性

设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，

P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)

并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

那么A、B、C相互独立。

对于n个事件类似。

设事件8,治,…,3”满足

1。62,…,Bn两两互不相容,P(Bi)>0(i=1,2,•••,«)

(15)全概

公式Au

2°i=l,

则有P(A)=P(B)P(A|B)+P(B2)尸(A|&)+…+P(Bn)P(A|B〃)。

设事件8,氏，…，以及A满足

1°Bi,B2,…,后两两互不相容，2(助>0,1=1,2,…，"，

n

2。V,P⑷>0,

(16)贝叶

则P(g/A)=/(.)尸(40).i=E2.・•・「贝叶斯公式°

斯公式£P(8/)P(A/约)

j=l

P(Bj,(i=L2,•••,〃)，通常叫先验概率。P(Bj/A),(i=l,2,…,

〃)，通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了

“由果朔因”的推断。

我们作了〃次试验，且满足

♦每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生；

♦〃次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样；

♦每次试验是独立的，即每次试验人发生与否与其他次试验人发生与

(17)伯努否是互不影响的。

利概型这种试验称为伯努利概型，或称为〃重伯努利试验。

用〃表示每次试验A发生的概率，则可发生的概率为用户表

示〃重伯努利试验中A出现“(°工kK〃)次的概率，

Pn(k)=CP，及k=0,1,2,•••,«

*9O

第二章随机变量及其分布

(1)离散设离散型随机变量X的可能取值为Xk(k=l,2,…)且取各个值的概率，即事

型随机变件(X二X。的概率为

量的分布P(X=Xk)=Pk»k=l,2,•••,

律则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。有时也用分布列的形

式给出：

P(X=Xk)P'，P2,…，Pk,…u

显然分布律应满足下列条件：

yPA=1

(1)Pk-0,A=12…，(2)*=i。

(2)连续设厂(制是随机变量X的分布函数，若存在非负函数.f(x),对任意实数人,有

型随机变

F(x)=^J\x)dx

量的分布

密度则称X为连续型随机变量。/(X)称为X的概率密度函数或密度函数，简称概

率密度。

密度函数具有下面4个性质：

1。fM>oc

2。〕二小心=1。

(3)离散P(X=x)^P(x<X<x+dx)^f{x}dx

与连续型积分元f(x)公在连续型随机变量理论中所起的作用与P(X=K)=p人在离

随机变量散型随机变量理论中所起的作用相类似。

的关系

(4)分布设X为随机变量，x是任意实数，则函数

函数F(x)=P(X<x)

称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。

P(a<X<b)=F(b)-F(a)可以得到X落入区间(a,切的概率。分布

函数厂(处表示随机变量落入区间(-8,x］内的概率。

分布函数具有如下性质：

1°0<F(x)<1,-oo<x<4-oo；

2°/。)是单调不减的函数，即KVX2时，有FCn)<F(X2)；

3°F(-oo)=limF(x)=0,F(4-oo)=limF(x)=1；

X—>-<OX—>4<O

4°尸(x十0)=E(x),即尸(幻是右连续的；

5。PiX=x)=F(x)-F(x-0)o

对于离散型随机变量，F(x)=YPk；

・3x

X

对于连续型随机变量，F(x)=jf(x)dxc

-00

(5)八大0-1分布P(X=l)=p,P(X=O)=q

分布

二项分布在〃重贝努里试验中，设事件A发生的概率为〃°事件A发生

的次数是随机变量，设为X,则X可能取值为0,1,2,

P(X=k)=P”(k)=C：pkq，i,其中

<7=1-〃,()<p<\,k=0,1,2,,

则称随机变量X服从参数为〃，p的二项分布。记为

X~B(〃,p)o

当〃=1时，P(X=k)=p>qi,A:=0.1,这就是(OT)分

布，所以(0T)分布是二项分布的特例。

泊松分布设随机变量X的分布律为

力

P(X=k)=—e-,4>0,攵=0,1,2…，

k\

则称随机变量X服从参数为2的泊松分布，记为X〜乃(4)或

者P(4)。

泊松分布为二项分布的极限分布(np二人，n-8)。

超几何分布武A二。,1,2…,/

P(X=&)=\

//=min(M,/z)

随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,叽

k［

几何分布P(X=k)=q~p9k=1,2,3,,，其中p20,q=l-po

随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。

均匀分布设随机变量X的值只落在加，b］内，其密度函数“幻在［a,b］

上为常数」一，即

b-a

1aWxW3

f(x)=<b-a'其他，

［o,

则称随机变量X在［a,b］上服从均匀分布,记为X~U(a,b)o

分布函数为

'0,x<a,

F(X)=r/Mdx=\产，

JYjb-aa-

1，x>b«

X.

当aWxKxzWb时，X落在区间(为，占)内的概率为

P(M<X<x2)=士——。

b-a

指数分布

/(X)=[及'个

1o,x<0,

其中4>°,则称随机变量X服从参数为4的指数分布。

X的分布函数为

「〜叫x>0

"3=10

1u,：«0o

记住积分公式：

-W

卜"/4二〃！

0

正态分布设随机变量X的密度函数为

I(x一-产

f(x)=-=-e2，,-oo<x<+oo,

而o

其中〃、b>°为常数，则称随机变量X服从参数为，'、。

的正态分布或高斯(Gauss)分布，记为X~N(〃Q2)。

/(幻具有如下性质：

1°八幻的图形是关于“二〃对称的；

2°当x=〃时，为最大值；

J2w

若X~N(〃,/),则X的分布函数为

2

]r・m

F(x)=；-----[e2aidt

J2m》0o

参数〃一°、b=l时的正态分布称为标准正态分布，记为

X~N(0,l),其密度函数记为

1--

(P(x)=F=e2

72加,—oo<x<+oo»

分布函数为

①(x)=.——fe2dto

疡2

①(x)是不可求积函数，其函数侑，已编制成表可供杳用。

①(-x)=1-0(x)且O(0)=—(>

2

如果X~N(〃Q2),则2L2~N(O,I)。

(7

p(…气①m

(6)分位

下分位表：P(X<//„)=«；

数

上分位表：P(X>L)=a°

(7)函数离散型已知X的分布列为

分布XXI,X2,…，…

P(X=Xi)pi,[)2,…,〃

y=g(x)的分布列(H=g(£)互不相等)如下：

Yg3),g*2),…，g(xQ,…

p(y=yjpi,〃2,…，…

若有某些g(M)相等，则应将对应的相加作为g(H)的概率。

连续型先利用X的概率密度R(x)写出Y的分布函数F、(y)=P(g(X)W

y),再利用变上下限积分的求导公式求出fMy)。

第三章二维随机变量及其分布

(1)联合离散型如果二维随机向量J(X,Y)的所有可能取值为至多可列个有序对

分布(x.y),则称J为离散型随机量。

设看=(X,Y)的所有可能取值为但，力)亿/=1,2,…)，且事件

{&=(为，力)}的概率为PH,称

p(x,y)=(卬匕)}==1,2,…)

为看=(X,Y)的分布律或称为X和Y的联合分布律。联合分布有时也用下

面的概率分布表来表示：

••••••

y\盟y.i

••••••

X1PnPl2Pu

••••••

X2P21P2iP2j

**•

•*

••••••

XiPnA

•*•

•

这里外具有1F面两个性质：

(1)0,自0(i,j=l,2)1

⑵ZZP4=L

，j

连续型对于二维随机向量g=(x,y),如果存在非负函数

f(xyy)(-co<R<+8,-8<y<+00),使对任意一个其邻边分别平行于坐

标轴的矩形区域D,即D;{[X,Y)a<x<b,c<y<d}有

P{(X,y)eO}=Jj7(x,)，)公办

D

则称4为连续型随机向量；并称f(x,y)为J=(X,Y)的分布密度或称为X

和Y的联合分布密度。

分布密度f(x,y)具有下面两个性质：

(1)f(x,y)2();

(2)匚匚/(x，y)dxdy=1.

(2)二维^X=x.Y=y)=^X=xnY=y)

随机变量

的本质

(3)联合设(X,Y)为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数

分布函数F(x9y)=P{X<x,Y<y}

称为二维随机向量(X,Y)的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。

分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件

{(69),69,)!-00<X(0])«x,-8<y(<y,)<y}的概率为函数值的一个实值函数。分布函

数F(x,y)具有以下的基本性质：

(1)0WF(x,y)Wl;

(2)F(x,y)分别对x和y是非减的,即

当X2〉Xi时,有F(X2,y)2F(Xi,y);当丫2淅时,有F(x,y?)2F(x,y);

(3)F(x,y)分别对x和y是右连续的，即

F(x,y)=F(x+0,y),F(x,y)=F(x,y+0);

(4)F(-oo,-oo)=F(-oo,y)=F(x,-oo)=0,F(+oo,+oo)=1.

(5)对于为<x2,y1<y2,

尸(巧，>2)一产M)一尸(为，为)+尸(X]，

(4)离散P(X=x,Y=y)^P(x<X<x+dx^y<K<y+dy)«/(x,y)dxdy

型与连续

型的关系

(5)边缘离散型X的边缘分布为

分布P"P(X=Xj)=Ep.(/J=l,2,-..)；

Y的边缘分布为

匕=P(y=y/)=Zp£i，j=12…)。

i

连续型X的边缘分布密度为

人(幻二匚/(2)力；

Y的边缘分布密度为

fy(y)=^f(^y)dx.

(7)独立一般型F(X,Y)=R(x)F、(y)

性离散型Pij=Pi・P・j

有零不独立

连续型

f(x,y)=fx(x)fv(y)

直接判断，充要条件：

①可分离变量

②正概率密度区间为矩形

二维正态分

IUK-M,2A(X-〃J(—y-fi2V

布X_1bjb°2ICT,J

/(x，y)i--------e，

2m-p~

p=0

随机变审的若X1X2，…汽,一“,…尤相互独立,h,g为连续函数,则：

函数h(X(,X2,-XJ和g(Xi,…Xn)相互独立。

特例：若X与Y独立，则：h(X)和g(Y)独立。

例如:若X与Y独立,则：3X+1和5Y-2独立。

(8)二维设随机向量(X,Y)的分布密度函数为

均匀分布

(x,y)eD

0.其他

其中5。为区域D的面积，则称(X,Y)服从D上的均匀分布，记为(X,Y)〜U(D)。

(9)二维设随机向量(X,Y)的分布密度函数为

正态分布।(X-'"Y2。(x-必)(y-〃2)/y-PiV

乙、12(l-p2)R<r,)bgJ

/“，》)=,--------reL」，

2g6小一，

其中>0，，2>0，101<1是5个参数，则称(X,Y)服从二维正态分布,

记为(X,Y)〜N(

由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，

即X〜N(必，b),y〜N(〃/.b)

但是若X〜N(4，b；),y~N(M2.b；)，(X,Y)未必是二维正态分布。

(10)函数Z=X+Y根据定义计算：F/(z)=P(Z<z)=P(X+Y<z)

分布■HJO

对于连续型，fz(Z)=

-□0

两个独立的正态分布的和仍为正态分布(+〃2，。：+b；)。

n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。

4=ZG4,

ir

/分布设n个随机变量X「X2,…，X”相互独立，且服从标准正态分布，可以证

明它们的平方和卬=£X：我们称随机变量W服从自由度为n的力2分布，

<=|

记为w〜/（〃），

所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一

个重要参数。

分布满足可加性：设匕

k

则2=2匕（%+n,+..•+4）.

1=1

t分布设X,Y是两个相互独立的随机变量，且

x~N（o,i）,y〜/（〃），

X

可以证明函数T=—7^

y/Y/n

我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为T〜t（n）。

4〜（〃）=一心（〃）

F分布设X〜才且X与Y独立，可以证明F=L称

Y/〃2

随机变量F服从第一个自由度为m,第二个自由度为巾的F分布，记为F〜

f（ni,n2）.

L，、1

K-a（，L，〃2）=匚/、

第四章随机变量的数字特征

a

1)离散型连续型

维

一

机期望设X是离散型随机变量,其分布设X是连续型随机变量，其概率密

随

量期望就是平均值律为P（X=七）=Pk,度为f（x）,

变

+00

数

的k=l,2,n,（）（）

特EX=jxfxdx

字E（X）=£.“〃上

征（要求绝.收敛）

*=i

（要求绝对收敛）

函数的期望Y=g(X)Y=g(X)

()必■w

Ey=£g®E(Y)=Jg(x)f(x)dx

*=|

-00

方差•TXI

22

D(X)=E[X-E(X)],O(X)=ZK—E(X)]2PAD(X)=\[x-E(X)]f(x)dx

标准差k-00

b(x)=Jax),

矩①对r正整数k,称随机变量x①对于正整数k,称随机变量X的

的k次幕的数学期望为X的kk次冢的数学期望为X的k阶原点

阶原点矩，记为Vk,即矩，记为Vk,即

v=E(Xk)=2#/乙，kX

kvk=E(X)=r?/Cv)tAr,

/J-00

k=1,2,….k=l,2,….

②对于正整/k；称随机变量X②对3%整数k,称随机变量X与

与E(X)差的k次第的数学期E(X)差的k次辕的数学期望为X

望为X的k阶中心矩，记为的k阶中心矩，记为即

即…E(X-E(X))k

…E(X-E(X))k

=U(x-E(Xj)”/(x心,

k

=£(x,.-E(X))Pi,

ik=l,2,….

k=l,2,….

(1)E(C)=C

期

(22)望

(2)E(CX)=CE(X)

性

的

质(3)E(X+Y)-E(X)+E(Y),E(gGK)=£

f=lf=l

(4)E(XY)=E(X)E(Y),充分条件：X和Y独立;

充要条件：X和Y大相关。

(1)D(C)=O；E(C)=C

方

(33)差

(2)D(aX)=aD(X)；E(aX)=aE(X)

性

的

(3)D(aX+b)=a2I)(X)；E(aX+b)=aE(X)+b

质

(4)D(X)=E(X2)-E2(X)

(5)D(X±Y)=D(X)+D(Y),充分条件:X和Y独立;

充要条件：X和Y不相关。

D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2E[(X-E(X))：Y-E(Y))],无条件成立。

而E(X+Y)=E(而+E(Y),无条件成立。

1

期望方差

4)见

常

0-1分布

布P。一P)

分P

期

的二项分布3(〃,p)np他(1-P)

和

望泊松分布P5)22

差

方J_1一〃

几何分布G：p)

PP2

nM

超几何分布”(几M,N)N(N人N-J

N

a+b3-4)2

均匀分布

212

1

指数分布外㈤

7J

正态分布NJ，,。？)/

/分布n2n

t分布0(n>2)

〃一2

G

期望400

5)维

二E(X)=£xjP,・

E(X)=^xfx[x}dx

机

随

f»l-a>

量

变

数

的E(Y)耳yjp.jE(X)=\yf{y}dy

Y

特

字j=i

-aO

征函数的期望仇G(x,y)]二E[G(X,y)]=

-KO4<O

y)f(x,y)dxdy

ijjj

-8-8

方差loo

2O(X)=J[x-E(X)f/x(xM

D(X)=^[X,-E(X)]A.

i-oo

-KO

D(Y)=[[y-E(Y^fY(y)dy

j

-00

协方差对于随机变量X与Y,称它们的二阶混合中心矩〃”为X与Y的协方

差或相关矩，记为0\丫或COV(X,y),即

<Txr=//„=Er(x-E(x))(y-E(m

与记号crxr相对应，X与Y的方差D(X)与D(Y)也可分别记为

与byy。

相关系数对于随机变量X与Y,如果D(X)>0,D(Y)>0,则称

」D(XND(Y)

为X与Y的相关系数，记作0XY(有时可简记为夕)。

I当Ip|=l时，称X与Y完全相关：P(X=aY+b)=\

士华相关[正相关，郅=1时(。>0)，

兀[负相关，节=-1时(〃<()),

而当夕=0时，称X与Y不相关。