概率论与数理统计考试试题大全

《概率论与数理统计》试卷A

(考试时间：90分钟；考试形式：闭卷)

(注意：请将答案填写在答题专用纸上，并注明题号。答案填写在试卷和草稿纸上无效)

一、单项选择题(本大题共20小题，每题2分，共40分)

1、A,B为二事件，那么AJ为=()B

A、ABB、ABC、ABD、A

2、设A,B,C表示三个事件，那么，万仁表示()D

A、A,B,C中有一个发生

B、A,B,C中恰有两个发生

C、A,B,C中不多于一个发生D、A,B,C都不发生

3、A、B为两事件，假设P(A(J3)=O8,P(A)=0.2,P(B)=0.4,

那么()成立c

A、P(AB)=0.32B、P(A~B)=0.2

C、P(B-A)=OA【)、尸(5A)=0.48

4、设A,B为任二事件，那么()D

A、P(A-B)=P(A)-P(B)B、P(A\jB)=P(A)+P(B)

C、P(AB)=P(A)P(B)D、P(A)=P(AB)+P(AB)

5、设事件A与B相互独立，那么以下说法错误的选项是()D

A、A与否独立B、X与不独立

C、P(AB)=P(A)P(B)D、A与B一定互斥

6.设离散型随机变量X的分布列为

X012其分布函数为尸(%),那么F(3)=()D

P0.30.50.2A、0B、0.3C、0.8D、1

rr4X£[011

7、设离散型随机变量X的密度函数为/(x)=’什]」，那么常数c=()D

0,其它

A、—B、一C、4D、5

54

8、设X〜N（O,1）,密度函数oUOu-7LjW,那么的最大值是（）C

12冗

A-40B、1C、一.—D、—,—

邛

9、设随机变量X可取无穷多个值0,I,2,…,其概率分布为p^3）=—e-\k=0,1,2,...,那么下式成

k\

立的是()A泊松分布特性

A、EX=DX=3B、EX=DX=-

3

C、EX=3,DX=-【)、EX=~,OX=9

33

10、设X服从二项分布B(n,p),那么有()D

A、E(2X-l)=2npB、D(2X+1)=4叩(1一p)+l

C、E(2X+\)=4np+\D、D(2X-I)=4/?/?(l-p)

11、独立随机变量X,y,假设X〜N（l,4）,Y〜N（3,16）,下式中不成立的是（）C

A、E（X+K）=4B、E（XK）=3C、D（X-y）=12D、E（/+2）=16

X123

那么常数c=（）CP1/2c1/4

A>0B、1C、-D、---

44

13、设X〜N（OJ）,又常数c满足P{X2c}=P{X<c},那么c等于（）C

A、1B、0C、-D、-1

2

14、EX=-1,DX=3，那么七［3（X2—2）］=（）B

A、9B、6C、30I）、36

15、当X服从（）分布时，EX=DX.B

A、指数B、泊松C、正态1）、均匀

16、以下结论中，（）不是随机变量X与丫不相关的充要条件。D

A、E(XY)=E(X)E(Y)B、D(X+Y)=DX+DY

C、Cbv(X,y)=0D、X与Y相互独立

17、设X〜仅几p)且EX=6,OX=3.6,那么有()Cnp(l-p)=3.6

A、n=1()»p=0.6B、n=20,p=().3Dp—6

C、n=15,p=0.4I)、n=\2fp=0.5

18、设〃(了4),〃式力，〃“)，)分别是二维随机变量(乙〃)的联合密度函数及边缘密度函数，那么

()是J与〃独立的充要条件。D

A、£僮+〃)="+助B、。(4+力="+勿

C、4与？不相关D、对Vx,y,有P(x,y)=2(x)4(y)

19、设是二维离散型随机变量，那么X与丫独立的充要条件是()D

A、E(XY)=EXEyB、D(X+Y)=DX+DYC、X与丫不相关

【)、对(x,y)的任何可能取值(七，x)pi}=PR

20、设(X,y)的联合密度为p(x,y)={:,

0,只匕

假设F(x,y)为分布函数，那么尸(0.5,2)=()B

As0B、LC>-D、1

42

二、计算题(本大题共6小题，每题7分，共42分)

1、假设事件A与B相互独立，P(A)=0.82(3)=0.6。求：P(A+B)和P{司(4+B)}

解：・・・A与B相互独立

AP(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)..........(1分)

=P(A)+P(8)—P(A)P(8)..........(1分)

=0.92..........(1分)

又P(/A+8)=叵"网......(I分)

1P(A+B)

p(M)PQ)P(B)

=-----------=.............................[2分)

P(A+B)P(A+B)

=0.13..........(1分)

2、设随机变量XN(2,4),且①(1.65)=0.95。求P(X25.3)

5.3-2

解：P(X>5.3)=1-^(5分)

二1一①(1.65)=1-0.95=0.05(2分)

0,x<0

x

3、连续型随机变量&的分布函数为F(x)=〈一,0<X<4,求Eg和Dq。

4

1,x>4

解：由有JU(0,4)(3分)

那么：埼二幺¥二2

[2分)

”山4(2分)

4、设连续型随机变量X的分布函数为b(x)=A+及〃Hg.l-O0<x<4w

求：(1)常数A和B；

(2)X落入(-1,1)的概率;

(3)X的密度函数/(戈)

解：⑴由P(YO)=(),/(+8)=1

A--B=0

有：，2

A+-B=\

2

解之有：A=—,B=—(3分)

271

(2)P(-1<X<1)=F(1)-F(-1)=1

(2分)

4

1

⑶/(/)"'")=(2分)

"(1+f)

2

5、某射手有3发子弹，射一次命中的概率为巳，如果命中了就停止射击,

3

否则一直独立射到子弹用尽。

求:(1)耗用子弹数X的分布列；(2)EX；(3)DX

解:(1)

X123

(3分)

P2/32/91/9

3?2113

(2)£X=£x/p.=lx-+2x-+3x-=—(2

/=iJ'vV

分)

(3)•/EX2=yx2D.=l2x-+22x-+32xl=—

tr3999

W2-(EX),.42崂…・.(2分)

6、设（J,，7）的联合密度为P*，）'）=，4：0<x,y<l

其它

求：(1)边际密度函数〃式》)，%(y)；

⑵监助；

(3)J与〃是否独立

解：⑴：p.(x)=jp(x,y)dy=J()Axydy=2x

"⑼]2.。r,,其0<它x<1

同理：4a)二『：......(3分)

[u，县匕

(2)丝=Jxp,(x)clx-J。Ix^dx--

2

同理:ET/=-..........(2分)

3

(3)V/?(x,y)=pAx)pff(y)

・•・4与〃独立......（2分〕

三、解答题（本大题共2小题，每题9分，共18分）

1、设X1,X2是来自正态总体N（〃，l）的样本，以下

三个估计量是不是参数〃的无偏估计量，假设是无偏

估计量，试判断哪一个较优？

21I311

Z

I,Z1=—〃1=工毛+1乂2，pi=—Xl+—X2.

21

解：•••EM=E（QX+QX2）=〃

JJ

同理：

:."|，〃2，43为参数4的无偏估计量(3分)

又・.・又必=o（|x+2=刎十沁净

102

同理：Du——a2,D、=-b

2y1634

且。〃3V。〃1＜。〃

・•・出较优.....(6分)

1--

—C0r＞0

2、2、设4~/*,。)=，°(。＞0)内,々，…，匕。为〈的一组观察值，求。的极大

0其它

似然估计。解：％,电，…，乙的似然函数为：

〃]立1——£

S…强收'=0e”（3分）

解之有：0（6分）

〃/=1

概率论与数理统计

单项选择题(每题3分，共15分)

1.设事件A和B的概率为P(A)=LP(8)=2那么P(A8)可能为⑴)

23

(A)0;(B)1;(C)0.6;(D)1/6

2.从1、2、3、4、5这五个数字中等可能地、有放回地接连抽取两个数字，那么这两个数

字不相同的概率为(D)

(A)1;(B)—;(C)—;(D)以上都不对3.投掷两个均匀的骰子，点数之和

22525

是偶数，那么点数之和为6的概率为(A)

(A)-;(B)L(C)(D)以上都不对

1832

4.某一随机变量的分布函数为小)=答'心。,kD那么以。)的值为(C)

(A)0.1;(B)0.5;(00.25;(D)以上都不对

5.一口袋中有3个红球和2个白球，某人从该口袋中随机摸出一球，摸得红球得5分，摸

得白球得2分，那么他所得分数的数学期望为(C)

(A)2.5;(B)3.5;(C)3.8;(D)以上都不对

二.填空题(每题3分，共15分)

1.设力、一是相互独立的随机事件，%4)=0.5,P(⑶=0.7,那么P(A|J3)=0.85.

2.设随机变量E⑷=3,。©=1.2,那么灯_5一.

3.随机变量4的期望为E4)=5,标准差为b4)=2,那么£(42)=29—.

4.甲、乙两射手射击一个目标，他们射中目标的概率分别是0.7和0.8.先由甲射击，假

设甲未射中再由乙射击。设两人的射击是相互独立的，那么目标被射中的概率为

0.94

5.设连续型随机变量f的概率分布密度为/(x)=T—,d为常数，那么〃(f20)=_

x+2x+2

三.(此题10分)将4个球随机地放在5个盒子里，求以下事件的概率

(1)4个球全在一个盒子里；

。)恰有一个盒子有2个球

解：24个球请机放入5个盒子中共有54=625种等可能结果

(1)A=｛4个球全在一个盒子里｝共有5种等可能结果，故

P(J)=5/625=1/125

(2)5个盒子中选一个放两个球，再选两个各放一球有

C©二30种方法

4个球中取2个放在一个盒子里，其他2个各放在一个盒子里有12种方法

因此，B=｛恰有一个盒子有2个球｝共有4X3X30=360种等可能结果.故

四.(此题10分)设随机变量f的分布密度为

(1)求常数月；(2)求尸(f<l)；(3)求f的数学期望.

oo3

j/(A)t/A=1_A_1

解：⑴T+x=AIn4,A=ln4

-000

OO3d

(3)E©=jxf(x)dx=^——dx=A[x-ln(l+x)]o

-co\)

五.(此题10分)设二维随机变量(f,/?)的联合分布是

〃=1n=2n=4〃=5

4=00.050.120.150.07

f=10.030.100.080.11

f=20.070.010.110.10

(1)f与〃是否相互独立？(2)求身〃的分布及E(U〃)；

解：乡的边缘分布为

n的边缘分布为

因P(J=0,77=1)=0.05*p4=O)尸(〃=1),故&与n不相互独立

(2)自力的分布列为

01245810

P0.390.030.170.090.110.110.10

因此，

六.(此题10分)有10盒种子，其中1盒发芽率为90%,其他9盒为20%.随机选取其中

1盒，从中取出1粒种子，该种子能发芽的概率为多少？假设该种子能发芽，那么它来自

发芽率•高的1盒的概率是多少？

解：由全概率公式及Bayes公式

〃该种子能发芽)=0.1X0.9+0.9X0.2=0.27

产(该种子来自发芽率高的一盒)=(0.1X0.9)/0.27=1/3

七.(此题12分)某射手参加一种游戏，他有4次时机射击一个目标.每射击一次须付费

10元.假设他射中目标，那么得奖金100元，且游戏停止.假设4次都未射中目标，那么

游戏停止且他要付罚款100元.假设他每次击中目标的概率为0.3,求他在此游戏中的收益

的期望.

解：令Ak=｛在第k次射击时击中目标｝,4=｛4次都未击中目标｝。

2

于是尸(Aj=0.3;P(A2)=0.7X0.3=0.21;P(^=Q.7X0.3=0.147

34

户(心=0.7X0.3=0.1029;P(A0)=0.7=0.2401

在这5种情行下，他的收益g分别为90元，80元，70元，60元，一140元。

因此，

八.(此题12分)某工厂生产的零件废品率为5%,某人要采购一批零件，他希望以95%的

概率保证其中有2000个合格品.问他至少应购置多少零件？

(注：0)(1.28)=0.90,<1)(1.65)=0.95)

解：设他至少应购置4个零件，那么〃22000,设该批零件中合格零件数自服从二项分布

B(n,p),p=0.95.因n很大，故B(n,p)近似与N(np,npq)

由条件有

因①(1.65)=0.95,故绊二丝=7.65,解得n=2123,

xl〃pq

即至少要购置2123个零件.

九.(此题6分)设事件力、B、。相互独立，试证明AJ8与C相互独立.

证：因A、B、C相互独立，故P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),P(AB)=P(A)P(B),

P(ABC)=P(A)P(B)P(C).

故A.8与C相互独立.

自考概率论与数理统计(经管类)试题

一、单项选择题(本大题共10小题，每题2分，共20分)

在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、

多项选择或未选均无分。

1.设A8为B为随机事件，且Au3,那么而等于(C)

A.B.不

C.AD.A

2.设A,8为随机事件，那么尸(4-8)=()

A.P(A)一夕(8)B.P(A)-P(AB)

C.P(A)-P(B)+P(AB)D.P(A)+P(B)—P(AB)

3<

3.设随机变量X的概率密度为/(x)=gX'那么尸{3<XW4}=(B)

0,其他，

A.尸{1<XS2}B/{4<XS5}

CP{3<XW5}D.P{2<XW7}

4.随机变量X服从参数为4的指数分布，那么X的分布函数为（C）

L,、Ae~Ax,x>0,j、1-2e-ylA,x>0,

A.F(x)=<B.F(x)=

0,x<0.[0,x<0.

「mx>0,11+e-",x>09

C.r(x)=JD.F(x)=-

0,x<0.[0,x<0.

5.设随机变量X的分布函数为尸(外，那么()

A.F(-<x))=lB.F(O)=O

C.F(+co)=0D,F(+oo)=1

6.设随机变量X与y相互独立，它们的概率密度分别为/x（x），人（y），那么（X,X）的概率密度为（D）

A.+B./X（X）+4（＞'）

c；fxMfy（y）D.fxMfy（y）

7.设随机变量乂~8（〃,〃），且a乂）=2.4,。（乂）=1.44,那么参数〃，〃的值分别为（B）

A.4和0.6B.6和0.4

C.8和0.3D.3和0.8

8.设随机变量X的方差9X）存在，且。优）＞0,令y=-X,那么Qx＞=（）

A.-1B.O

C.lD.2

9.设总体X~N（2,32）,M,X2,…，为为来自总体X的样本，嚏为样本均值，那么以下统计量中服从标准

正态分布的是（）

px-2

10.设样本X//2,…，心来自正态总体N（〃,b2）,且cr?未知.x为样本均值，$2为样本方

差.假设检验问题为“。：4=1,”“/=1，那么采用的检验统计量为（D）

X.E—1

B.

(y14n(y14n

JV-l

D.

s!4n

二、填空题(本大题共15小题，每题2分，共30分)

请在每题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

H.在一次读书活动中，某同学从2本科技书和4本文艺书中任选2本，那么选中的书都

是科技书的概率为」/15.

12.设随机事件4与8相互独立，且P(A)=0.5,0(A历=0.3,那么尸(8)=_07

13.设人8为随机事件，P(A)=0.5,P(B)=0.4,P(A\B)=0.8,那么尸(8|A)=_0.64—.

14.设袋中有2个黑球、3个白球，有放回地连续取2次球，每次取一个，那么至少取到一个黑球的概

率是_16/25___.-T°12

15.设随机变量X的分布律为‘I°」°2°4,那么P{xei)=—0.7—.

16.设二维随机变量(X,K)在区域D上服从均匀分布，其中/>0WxW2,0WyW2.记

(X,力的概率密度为/(x,y),那么.

17.设二维随机变量(X,丫)的分布律为

X012

00.30.10.2

100.10.3

那么P{X=Y}=_0.4

18.设二维随机变量(X,V)的分布函数为/(x,y)=|"-e始-6)“〉》〉。’那么

0,其他，

p{x〈i,臼}二—(IM

19.设随机变量X服从参数为3的泊松分布，那么E(X-3)=—0—.

20.设随机变量X的分布律为X01,。力为常数，且E(X)=0,那么。一〃二—0,2_.

21.设随机变量X~M1，1)，式,：J上尸等式估计概率P{|x-E(x)隹2}W_0.25.

22.设总体X服从二项分布8(2,0.3),7为样本均值，那么七(可=_0.6—.

23.设总体X~N(0,1)，不x2,看为来自总体X的一个样本，且x；+¥+x；~?2(〃)，那么格—3—.

1112

24.设总体X~N(〃,1),xr々为来自总体X的一个样本，估计量〃।=一式1+—工2，〃2二一不+一工2,

2)13

那么方差较小的估计量是一4.

25.在假设检验中，犯第一类错误的概率为0.01,那么在原假设Ho成立的条件下，接受Ho的概率为

_0.99____.

三、计算题（本大题共2小题，每题8分，共16分）

cr'OWxWl,

26.设随机变量X的概率密度为〃x）=＜

0,其他.

求：（1）常数，（2）X的分布函数尸（力；（3）p（o＜x＜；：

27.设二维随机变量（X,K）的分布律为

求；（1）（X,X）关于X的边缘分布律；（2）XiV的分布律.

四、综合题（本大题共2小题，每题12分，共24分）

28.设随机变量X与y相互独立，且都服从标准正态分布，令J=x+y,77=x-y.

求：⑴E("E(〃)Q("力(")；(2)夕”.

29.设总体X的概率密度6）=49+1）"'°二：＜1'其中未知参数。＞一1,%,马，…，毛是来自该总

[0,其他，-

体的一个样本，求参数e的矩估计和极大似然估计.

五、应用题（10分）

30.某生产线上的产品按质量情况分为A,B,C三类.检验员定时从该生产线上任取2件产品进行抽检,假

设发现其中两件全是A类产品或一件A类一件B类产品，就不需要调试设备，否则需要调试.该生产线上

生产的每件产品为A类品、B类品和C类品的概率分别为0.9,0.05和0.05,且各件产品的质量情况互不影

响.求：（1）抽到的两件产品都为B类品的概率〃；（2）抽检后设备不需要调试的概率八.

期末考试试卷参

第一局部基此题

一、选择题（共6小题，每题5分，总分值30分。在每题给出的四个选项中，只有一个是

符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）（每道选择题选对总分值，选错0

分）

1.事件表达式AU8的意思是（）

（A）事件A与事件B同时发生（B）事件A发生但事件B不发生

（C）事件B发生但事件4不发生（D）事件A与事件B至少有一件发生

答：选D,根据4U8的定义可知。

2.假设事件A与事件8互为对立，那么事件4口8（）

（A）是不可能事件（B）是可能事件

（C）发生的概率为1（D）是必然事件

答：选A,这是因为对立事件的积事件是不可能事件。

3.随机变量X）相互独立，且都服从标准正态分布，那么犬+»服从（）

（A）自由度为1的*分布（B）自由度为2的*分布

(C)自由度为1的/分布(D)自由度为2的厂分布

答：选B,因为〃个相互独立的服从标准正态分布的随机变量的平方和服从自由度为〃的

/分布。

4,随机变量X,y相互独立，X~N(2,4),y~M-2,l),那么()

(A)X+y~P(4)(B)X+y~U(2,4)(C)X+y~N(0,5)(D)X+y~N(0,3)

答：选c,因为相互独立的正态变量相加仍然服从正态分布，而E(X+y尸E(X)+E(K)=2-2=0,

Z)(X+r)=D(X)+£>(n=4+1=5,所以有X+y~N(0,5)。

5.样本(X|,X2,X3)取自总体X,E(X)=〃,D(X)=o2,那么有()

(A)X+X2+X3是〃的无偏估计(B)是n的无偏估计

3

(C)X；是片的无偏估计(D)(X+；2+X］一是『的无偏估计

答：选B,因为样本均值是总体期望的无偏估计，其它三项都不成立。

6.随机变量X服从在区间(2,5)上的均匀分布,那么X的数学期望E(X)的值为()

(A)2(B)3(C)3.5(D)4

答：选C,因为在(。力)区间上的均匀分布的数学期望为(〃+份/2。

二、填空题(共6小题，每题5分，总分值30分。把答案填在题中横线上)

1.尸(A)=0.6,尸(阴A)=0.3,那么P(4n8)=

答：填0.18,由乘法公式尸(AC1B尸P(A)P(3H)=0.6x0.3=0.18。

2.三个人独立地向一架飞机射击，每个人击中飞机的概率都是0.4,那么飞机被击中的概

率为__________

答：填0.784,是因为三人都不中的概率为0.63=0.216,那么至少一人中的咪率就是

1-0.216=0.784o

3.一个袋内有5个红球，3个白球，2个黑球，任取3个球恰为一红、一白、一黑的概率

为_0.25____

答：填0.25或L由古典概型计算得所求概率为湾丝='=0.25。

4Cn4

苍0<x<1,

4.连续型随机变量X〜/(力=<2-x,l<x<2,那么户{XW1.5}=

0,其它.

答：填0.875,因P{XW1.5}=J：/*)dx=0.875。

5.假设X~8(5,().5)(二项分布)，丫〜M2,36),那么七(X+K)=

答：填4.5,因E(X)=5x0.5=2.5,£(r)=2,E(X+y)=E(X)+E(K)=2.5+2=4.5

6.一-种动物的体重X是••随机变量,设E(X)=33,£>(X)=4,1()个这种动物的平均体重记作匕

那么D(Y)=0.4

答：填0.4,因为总体X的方差为4,10个样本的样本均值的方差是总体方差的1/10。

三、有两个口袋，甲袋中盛有两个白球，一个黑球，乙袋中盛有一个白球，两个黑球。由

甲袋任取一个球放入乙袋，再从乙袋中取出一个球，求取到白球的概率。(10分)

解：设从甲袋取到白球的事件为A,从乙袋取到白球的事件为从那么根据全概率公式有

四、随机变量x服从在区间（0」）上的均匀分布，y=2x+i,求y的概率密度函数。（io分）

()<x<l,

解：x的概率密度函数为八（x）=

其它.

y的分布函数尸心）为

因此丫的概率密度函数为

五、二元离散型随机变量（x,r）的联合概率分布如下表所示:

X-112

-10.10.20.3

20.20.10.1

（1）试求x和y的边缘分布率

⑵试求E（x）,E（y）Q（x）Q（y）,及x与丫的相关系数＜总分值io分）

解：（1）将联合分布表