第二十四章圆(知识归纳+题型突破)(十一大题型176题)(原卷版+解析)-2023-2024学年九年级数学上册单元速记·巧练(人教版)x

第二十四章圆（知识归纳+题型突破）

课标要求

基础知识归纳

题型一垂径定理及其应用

题型二圆心角、弦、

题型三圆周角定理及其应用

第二十四章圆

（知识归纳♦题型突破）题型四点与圆的位置关系

重要题型题型六切线的性质和判定

题型七三角形的外心和外接圆

题里三角形的内心和内切圆

题型九正多边形和圆

题型十扇形面积和弧长计算

型十一圆锥及其侧面展开图

1.理解圆、弧、弦、圆心角、圆底角的概念，了解等圆、等弧的概念;探索并掌握点与圆的位置关系.

2.探索并证明垂径定理:垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.

3.探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，知道同弧（或等弧）所对的圆周角相等。了解并证明圆周角定理及

其推论：圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半；直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直

径；圆内接四边形的对角互补.

4.了解三角形的内心与外心.

5.了解直线与圆的位置关系，掌握切线的概念（例75）.

6.能用尺规作图:过不在同一直线上的三点作圆;作三角形的外接圆、内切圆;作圆的内接正方形和内接正六边

形.

7.*能用尺规作图:过圆外一点作圆的切线（例76）.

8.*探索并证明切线长定理:过圆外一点的两条切线长相等.

9.会计算圆的弧长、扇形的面积.

10.了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系.

一、圆的基本性质

1.与圆有关的概念和性质

(1)圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成

的图形.如图所示的圆记做。0.

(2)弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过

圆心的弦叫做直径，贪径是圆内最长的弦.

(3)弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的

弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧.

(4)圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.

(5)圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个

交点的角叫做圆周角.

(6)弦心距：圆心到弦的距禽.

知识点二：垂径定理及其推论

2.垂径定理及其推论

定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

推论

(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.

延伸

根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中：

①弧AC=<BC;②弧AD=®BD；③AE=BE;④AB_LCD;⑤CD是直径.

只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三

・关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直

角三角形.

3.圆心角、弧、弦的关系

定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.

推论

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其氽各组量都分

别相等.

4.圆周角定理及其推论

(1)定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

(2)推论：

①在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.直径所对的圆周角是直角.圆内接四边形的对角互补.

二、与圆有关的位置关系

1•点与圆的设点到圆心的距离为d.

位置关系⑴dvr—在。0底；(2)d=ruj点在。。上；(3)d>ru；点在。0外.

位置关系相离相切相交

图形Q

2.直线和圆

的位置关系

公共点个数0个1个2个

数量关系d>rd=rd<r

(1)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线(定义法).

3.切线的判

(2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.

定

(3)经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

(1)切线与圆只有一个公共点.

4.切线的性

(2)切线到圆心的距离等于圆的半径.

质

(3)切线垂直于经过切点的半径.

(1)定义：从圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.

5.切线长(2)切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切浅，两切线长相等，圆心与这一点的连线平

分两条切线的夹角.

图形相关概念圆心的确内、外心的性质

定

经过三角形各定点的三角形三到三角形的三个顶点的距离相等

6.三角形的

圆叫做三角形的外接条垂直平

外接圆

圆，外接圆的圆心叫做分线的交

三角形的外心，这个三点

角形叫做圆的内接三

角形

与三角形各边都相切到三角形到三角形的三条边的距离相等

的圆叫三角形的内切三条角平

7.三角形的圆，内切圆的圆心叫做分线的交

内切圆三用形的内心，这个三点

角形叫圆的外切三角

形

三、正多边形和圆

I.正多边形与圆

(1)正多边形的有关概念：边长⑶、中心(O)、中心角(NAOB)、半径(R))、边心距⑴,如图所示①.

(2)特殊正多边形中各中心角、长度比:

中心角二120。中心角=90。中心角=60。，ABOC为等边△

a:r:R=2:l:2a:r:R=2::2a:r:R=2:2

四、弧长和扇形面积的计算

1..弧长和扇形面积的计算

n/trn/rr1,

-------lr

扇形的弧长1=180；扇形的面积S=360=2

2.圆锥与侧面展开图

(1)圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长.

(2)计算公式：

圆锥S侧==JtrLS=7tr（1+r）

注：易与勾股定理联系，先求母线长，再求面积

题型一垂径定理及其应用

【例1】（2023•北京西城・北师大实验中学校考三模）如图，ABCD（非直径）为。。的两条弦，AB与CD交

于点M,请从①A8为0。直径；②M为CD中点；③8为CQ中点；中选择两个作为题设，余下的一个作

为结论组成一个真命题，并完成证明.

【例2】（2023•全国•九年级专题练习）如图，某隧道的截面是一个半径为3.4米的半圆形，一辆宽3.2米的

厢式卡车（截面是长方形）恰好能通过该隧道，则这辆卡车的高为多少米？

1.（2023秋・河北张家口•九年级统考期末）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图

所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（）

2.（2023秋•河南新乡•九年级统考期末）如图，在。。中,尺规作图的部分作法如下:

（1）分别以弦48的端点为圆心，适当的长为半径画弧，使两弧相交于点

（2）作直线OM交44于点N.

若。8=5,ON=3,则A3的长等于（）

A.4B.6C.8D.10

3.（2023年陕西省中考数学试卷（A卷））陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一.图

②是从正面看到的一个“老碗”（图①）的形状示意图.A8是。。的一部分，是A8的中点，连接O。，

与弦A8交于点C,连接OA,OB.已知A8=24cm,碗深CD=8cm,则。。的半径04为（）

D.26cm

4.（2022秋・山东济宁・九年级济宁学院附属中学校考期末）如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm,

瓶内液体的最大深度CD=lcm.则截面圆中弦A8的长为（）cm

A.4拒B.6C.8D.8.4

5.12023秋•陕西安康•九年级统考期末）如图，。力为的一条弦，直径AB_LCD于点£连接OC、BC,

若/OCO=30。，CD=4>/3,则8c的长为（）

A

B

A.3B.4C.5D.6

6.（2022秋.湖北十堰.九年级十垠市实验中学校考期中）如图，当宽为3cm的刻度尺的一边与圆相切时，另

一边与圆的两个交点处的读图如图所示（单位：cm）,那么该圆的半径为（）

B.竺cm

A.”cmC.5cmD.4cm

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7.（2023春・广东广州•九年级统考开学考试）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳

动人民的智慧，如图1,点M表示筒车的一个盛水桶.如图2,当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心

。为圆心.5米为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦48长为8米，则筒车工作时，盛水

D.5米

8.（2022秋・山东济宁・九年级济宁学院附属中学校考期末）如图，将半径为汽m的折叠，弧A8恰好经

过与48垂直的半径OC的中点已知弦A4的长为4而cm,贝［==cm.

c

9.（2023•全国•九年级专题练习）如图，AB、AC、3。都是O。的弦，OM工AB,ON工AC,垂足分别为

M、N,若MN=1,则8c的长为.

10.（2023•江苏•九年级假期作业）如图所示，小区内有个圆形花坛。，点。在弦A笈上，AC=1I,BC=2T,

11.（2023•江苏•九年级假期作业）如图，在。。中，己知A3是直径，P为A3上一点（P不与A、“两点重

PM：+P/V2

（2）当尸点在八片上运动时（保持/x尸8=45。不变），贝I]:

AB2

12.（2022秋.安徽淮南•九年级校联考阶段练习）如图，过。。内的一点。画弦AB,使。是A3中点.（保留

作图痕迹，不写画法）

•o

\p/

X，•/

13.（2023秋•河北邢台・九年级校联考期末）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具.如图，“筒车”

盛水筒的运行轨迹是以轴心。为圆心的圆，已知圆心。始终在水面上方.且当圆被水面截得的弦A8为6

米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）.

（1）求该圆的半径;

⑵若水面上涨导致圆被水面截得的弦A4从原来的6米变为8米时，则水面下盛水筒的最大深度为多少米？

14.（2022秋,山东临沂・九年级临沂第九中学校考期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科

学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1筒车盛水桶的运行轨道是以轴心。为

圆心的圆，如图2,已知圆心。在水面上方，且。。被水面截得的弦A8为6米，。。半径长为4米.若点

。为运行轨道的最低点，求点C到弦A8所在直线的距离.

15.（2022秋・广东汕头•九年级汕头市龙湖实验中学校考期中）如图所示，一装有部分油的圆柱形油罐的横

截面.若油面宽A3=80cm,油的最大深度为20cm,

⑴用尺规作图（保留作图痕迹，不用证明），找出圆心O；

⑵求该油罐横截面的半径.

16.（2023・江苏•九年级假期作业）平面直角坐标系中，点A（2,9）、8（2,3）、C（3,2）、D（9,2）在0P上.

（1）在图中清晰标出点尸的位置;

⑵点。的坐标是,0P的半径是

17.（2023•浙江金华•统考中考真题）如图，点A在笫一象限内，OA与x轴相切于点3,与V轴相交于点

C,D.连接AB,过点A作AUJLCO于点

⑴求证：四边形A8O”为矩形.

（2）已知OA的半径为4,08=疗，求弦CO的长.

题型二圆心角、弦、弧

【例3】（2023•全国•九年级专题练习）如图，点A、B、C、。是。。上的点，A。为直径，AR//OC.

（1）求证：点。平分

⑵利用无刻度的直尺和圆规做出AB的中点P（保留作图痕迹）.

巩固训练

1.（2022秋•辽宁葫芦岛•九年级校联考期中）下列说法正确的是（）

A.相等的圆心角所对的弧相等B.在同圆中，等弧所对的圆心角相等

C.弦相等，圆心到弦的距窝相等D.圆心到弦的距离相等，则弦相等

2.（2023・陕西西安・西安市庆安初级中学校联考模拟预测）如图,AB是OO的直径，点C，。在。。上,

AC=AD,NAOD=70。，则4c。的度数是（）

A.30°B.35°C.40°D,55°

3.（2023・全国•九年级专题练习）如图，A8是0。的直径，CD、跖是0。的两条弦，8交A8尸点G,

点C是8E的中点，点B是C。的中点，若AB=10，BG=2,则把的长为（）

4.（2023・河北•统考中考真题）如图，点《~&是。。的八等分点.若△642,四边形AE以A的周长分别为

a，b,则下列正确的是（）

A.a<bB.a=bC.a>bD.q,。大小无法比较

5.（2023•黑龙江哈尔滨•统考二模）如图，A4是。。的直径8C=CO=OE，若NCOO=35。，则/AOE的

度数是（）.

C.75°D.95°

6.（2020秋・广东广州•九年级广州市第十三中学校考期中）如图，A、8、C、。是。。上的点，如果A8=CD,

ZAOB=10°,那么N8D=

7.（2023・江苏•九年级假期作业）如图，是。O的直径，。是B4延长线上一点，点。在。0上，且C£>=QE,

C。的延长线交。。于点£若NC=25。，则NCEO度数为°,

8.（2022•广东湛江•一模）已知4PE,有一量角器如图摆放，中心。在小边上，Q4为0。刻度线，OB为

180。刻度线，角的另一边正与量角器半圆交于C,。两点，点C,Q对应的刻度分别为160。，68°,则NAPE

9.（2023秋•河北邢台•九年级校联考期末）如图，A8是。。的直径，BC=CD，ZCOD=500,求40/）的

度数.

10.（2022秋•江苏扬州•九年级仪征市第三中学校考阶段练习）如图，在。。中，弦A4与弦C。用交于点已

且AB=CO.求证：CE=BE.

11.（2023・江苏•九年级假期作业）如图所示，AB.C£＞是。。的两条弦，且AC=BO,则人B与CO的大小

有什么关系？为什么？

12.（2023•湖北武汉•校考模拟预测）如图A4为圆。的直径，他为圆O的弦，。为。上一点，AC=CE，

CD1AB,垂足为O.

（1）连接CO,判断CO与AE的位置关系，并证明；

（2）若4£=8,4/）=2,求圆。的半径；

题型三圆周角定理及其应用

【例4】（1）（2023•江苏连云港•校联考三模）如图，已知：四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、

B、。是小正方形顶点，的半径为1,。是。。上的点，且位于右上方的小正方形内，则N4PB等于（）

A

A.30°B.45°C.60°D.90°

（2）（2023秋山西大同•九年级统考期末）如图，A3为。。的直径，点在圆上且在直径AB的两侧,

若/B4C=25。，则/。的度数为（）

C.65°D.75°

【例5】（2022秋・山西吕梁•九年级校考阶段练习）如图，A3是。。的直径，弦CK平分N71C8交。。于点

E.交于点。.连接AE、BE,ZBEC=60°,AC=6.

（1）求四边形AC8E的面枳;

（2）求CE的长.

巩固训练

1.（2022秋・天津滨海新•九年级校考期中）如图，△ABC内接于0O,ZC=45°,的半径为2,则A3的

长等于（）

B.4C.2正D.2丛

2.（2023•河南南阳•统考模拟预测）如图，线段A3是半圆。的直径，分别以点A和点。为圆心，大于

的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN,交半圆。于点C,交AB于点E,连接AC,BC,若

AE=3,则的长是（）

C.6

3.（2023春•江苏宿迁•九年级南师附中宿迁分校校联考阶段练习）如图，A8为。。的直径，弦CO_LA8于

点、E,连接AC,OC,OD,若NCOQ=80。，则NA的度数为（)

A.20°B.40°C.60°D.80°

4.（2022秋・安徽芜湖•九年级校考阶段练习）如图，AB为。。的直径，CEJ.AB于E,BF〃OC,连接

BC,CF,OF.图中与NOC/相等的角有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.（2023•河南安阳•统考一模）如图，四边形A3CQ是。。的内接四边形，四边形A80Q是平行四边形，则

下列结论：®AB=OB；②N8C£>=60。：③N84O=120。；④CD=6OD.其中正确结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

6.（2023•辽宁阜新・阜新实验中学校考一模）如图，A3是。。的直径，C、。为。。上的点，且点。在AC

上.若NO=130。，则/C48的度数为（）

C.50°D.60°

7.（2023・全国•九年级专题练习）已知弦/W把圆周分成1:3两部分，则弦AK所对圆周角的度数为（）

A.45°B.135°C.90。或270。D.45。或135°

8.（2023秋•天津津南•九年级统考期末）如图，在。。中，OA1BC,乙4。8=50。，则^ADC的度数为（）

A.25°B.30°C.40°D.50°

9.12022秋.安徽•九年级校联考开学考试）如图，已知点AB,C,。均在0。上，月4为。。的直径，弦A。

的延长线与弦BC的延长线交于点E,连接OC,OD,AC,CD,BD.则下列命题为假命题的是（）

A.若点。是A8的中点，则4）=加＞

B.若8_LAC,则ZAOD=ZA8C

C.若则CB=CE

D.若半径。。平分弦AC,则四边形AOC。是平行四边形

1（）.（2023秋•安徽六安•九年级校考期末）如图，在中，NABO=52。，若弦AC〃QA,则N84C

11.（2023•宁夏•统考中考真题）如图，四边形A8C。内接于。。，延长4。至点£,已知NAOC=140。，那

么£CDE=

12.（2023年辽宁省营口市中考模拟考试（一模）数学试卷）如图，人〃是的直径，弦C3交44于点E,

连接AC,AD.若ZZMC=29。，则

D

13.（2022秋•山西忻州•九年级校联考阶段练习）如图，四边形A8CO内接于0O,NBCQ=75。,ZADC=90°,

CD=6,对角线。4平分则边A3的长为

14.（2022秋•河北邢台•九年级邢台三中校考阶段练习）有三个边长都为4cm的正方形硬纸板，将这三个正

方形硬纸板不重叠地放在桌面匕用一个圆形硬纸板将其盖住.下面是三种不同的摆放类型:

①

（1）图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板的最小直径应为cm.

（2）图①@③中能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板直径最小的是图（填序号），最小直径为cm

15.（2022秋•安徽芜湖•九年级校考阶段练习〉如图，A6为半径为3的。。的直径，弦SD、AC相交丁点

E,AD=DC=CB，求AC的长.

16.（2023•河南信阳・统考一模）如图，在中，AB=AC,以/仍为直径作。。交BC于点。，交AC于

(2)连接O。，OE,当N84C=,时，四边形OOCE为菱形;

(3)若A3=10,CE=4,则OE=

17.（2023秋•河北张家口•九年级统考期末）如图，是。。上两点，408=120。，。为弧A4上一点.

⑴写出弦对的弧的度数:

♦♦

（2）若C是劣弧AB的中点，判断四边形OAC6的形状，并说明理由.

18.（2023秋•江西赣州•九年级统考期末）如图，以4。为直径的当圆。经过RtZXABC斜边的两个端点,

交直角边4c于点E,8、七是半圆弧的三等分点.请你仅用无刻度的直尺：

（1）请在图①中画出一条8c的平行线；

⑵请在图②中画出一条直线平分RtAABC面积.

题型四点与圆的位置关系

【例6】（2023・江苏•九年级假期作业）如图，在“WC中，NACB=90。，AB=5,BC=4.以点4为圆心，r

为半径作圆，当点C在OA内且点8在OA外时，r的值可能是（）

巩固训练

1.（2023秋•辽宁胡芦岛•九年级统考期末）已知00的直径为6cm,若点P到圆心。的距离为4cm.则点尸

与。。的位置关是（）

A.点/＞在。。内B.点尸在。。上C.点P在。。外D.无法确定

2.（2023春江西南昌九年级统考期末）如图，在股△八8C中，是斜边八C上的中线，以O为圆心，OB

为半径画圆，则下列各点中，在0。内的是（）

A.点4B.点8C.点、CD.点。

3.（2023・全国•九年级专题练习）如图，矩形A3CO中，AB=1,点O在对角线6。上，圆O

经过点C.如果矩形A8CO有两个顶点在圆。内，那么圆。的半径长，•的取值范围是（）

A.0<r<lB.l<r<x/3C.1<r<2D.>/3<r<2

4.（2023秋・江苏宿迁,九年级统考期末）已知直角"3。的斜边长为6,则这个三角形的外接圆的半径等

于.

5.（2023・四川成都•统考二模）已知P是。O内一点（点。不与圆心O重合），点。到圆上各点的距离中，最

小距离与最大距离是关于x的一元二次方程依272al-20=。的两个实数根，则。。的直径为.

6.（2022秋•江苏淮安•九年级统考期末）P是。。内一点，。是。。上任意一点，若3WPQW9,则。。的半

径为.

7.（2023秋•河南周口•九年级校考期末）如图，在△A8C中，ZC=9O°,AC=4cm,6C=3cm,以C为圆

心，，•为半径作OC,若A,8两点中只有一个点在0c内，则半径，•的取值范围是.

8.（2023•浙江•九年级假期作业）如图，在平面直角坐标系中，A（0,4）,8（4,4）,C（6,2）,QM经过A,

B,C三点.

（1）点M的坐标为一.

⑵判断点。（4,-3）与。用的位置关系.

题型五直线与圆的位置关系

【例7】（1）（2022春・浙江杭州•九年级校考阶段练习）已知NAQB=60。，?是Q4上一点，。尸=4cm.以「

为半径作。P,若r=2&cm,则OP与直线04的位置关系是（）

A.相交B.相切C.相离D.不确定

（2）（2023・全国•九年级专题练习）在平面直角坐标系中，以点A（4,3）为圆心、以R为半径作圆A与x轴相

交，且原点。在圆A的外部，那么半径R的取值范围是（）

A.0</?<5B.3<Rv4C.3<R<5D.4<R<5

【例8】（2022秋•九年级单元测试）如图，443=30。，。P=8,当0。的半径「为何值时，。。与直线。4相

离？相切？相交？

1.（2022秋・重庆•九年级重庆十八中校考周测）若。0的直径为1,圆心。到直线I的距离是方程?-2x+l=0

根，则。。与直线/的位置关系是（）

A.相切B.相离C.相交D.相切或相交

2.（2022秋•九年级单元测试）已知的半径是3,点P在O。上，如果点。到直线/的距离是6,那么。0

与直线/的位置关系是（）

A.相交B.相离C.相切或相交D.相切或相离

3.（2023•河北沧州•校考三模）题目：“如图，在中，?B90?,A8=3,AC=5,以点8为圆心

的。8的半径为，若对于「的一个值，。8与AC只有一个交点，求「的取值范围.“对于其答案，甲答：

r=4.乙答：3<r<4.丙答：〃=则正确的是（）

八

BC

A.只有乙答的对B.甲、乙的答案合在一起才完整

C.乙、丙的答案合在一起才完整D.三人的答案合在一起才完整

4.（2023・江苏•九年级假期作业）在平面宜角坐标系xO），中，以直（3,4）为圆心，4为半径的圆与式•轴所在直

线的位置关系是.

5.（2022秋.九年级单元测试）平面直角坐标系中，O尸的圆心坐标为（-4，-5）,半径为5,那么与V轴

的位置关系是.

6.（2022秋.江苏连云港.九年级统考期中）直线/与相离，且。。的半径等于3,圆心。到直线/的距离

为d,则d的取值范围是.

7.（2022秋.九年级单元测试）已知直线/与半径长为R的相离，且点。到直线/的距离为5,那么R

的取值范围是.

8.（2023・吉林松原•校联考二模）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的。P的圆心户的坐标为（-3,0）,

将。户沿x轴正力向平移，使0P与），轴相交，则平移的距离d的取值范围是.

9.（2022春.九年级课时练习）如图，直线/与x轴、y轴分别相交于点4、&已知4（0,瓜）,ZHAO=30°,

点P的坐标为（1,0）,与），轴相切于点O,若将0P沿x轴向左移动，当与该直线相交时，横坐标为

整数的点P的坐标.

题型六切线的性质和判定

【例9】（2022秋•安徽芜湖•九年级校考阶段练习）如图，4B是。。的直径，点E在弦AC的延长线上，过

点E作£D_LA£•交。。于点。，若A。平分4c.

E

D

AB

⑴求证：EZ)是的切线;

(2)若AC=6,AB=10,求AE的长.

【例10】(2022秋・山东临沂・九年级临沂第九中学校考期中)如图，已知A4是0。的直径，点夕在3A的延

长线上，夕。切。。于点。，过点8作交/V)的延长线于点C,连接A。延长，交BE点、E.

E

(2)如果。。=26，ZABC=60°,求的长.

【例11](2022秋•江苏泰州•九年级校联考阶段练习)探究问题:

⑴如图I,PM、PN、石尸分别切0。于点A、B、C,猜想△出如的周长与切线长用的数量关系，并证明你

的结论.

(2)如果图1的条件不变，且PO=10cm,△庄户的周长为16cm,求。。的半径.

(3)如图2,点E是/MPN的边尸M上的点，EF上PN干点、F,。。与边EF及射线PM、射线PN都相切.若

瓦=3,PF=4,求。。的半径.

巩固训练：

1.（2020秋♦广东惠州•九年级校考期中）如图，是。。的切线，点A为切点，PO交。。于点8,ZP=3O°,

点。在。。上，连接AC,BC,则ZAC3的度数为（）

2.（2023秋•青海西宁•九年级统考期末）如图，Q4,/归为0。的两条切线，切点分别为A,B,连接OP交

于点C，交弦A3于点。.下列结论中错误的是（）

A.PA=PBB.OP1AI3

C.AC=BCD.A4必是等边三角形

3.（2023•山东滨州•统考一模）如图，PA,与分别相切于点A,/3,幺=2,NP=60。，则八8二（）

A.GB.2C.2GD.3

4.（2023•黑龙江哈尔滨•哈尔滨市第四十七中学校考模拟预测）如图，在中，AC=BC,以48上一

点。为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点C,若BC=2也,则半径OA为.

5.（2023秋・江西赣州•九年级统考期末）如图，尸A、P3是。。的切线，A、4为切点，且NP=60。，若P4=2,

6.（2022秋・安徽合肥•九年级统考阶段练习）如图，已知00与“灰?的边AC,84,8c的延长线分别相

切，NA4c=60。，请完成下列问题：

（2）若0。的半径为3,则△A3C的周长=.

7.（2023秋•天津津南•九年级统考期末）己知：如图，AK为。。的直径，PA.QC是。。的切线，4、C为

切点，/84C=28。.则/P的度数为.

8.（2022秋•江苏盐城♦九年级景山中学校考阶段练习）等腰RtAAAC和。。如图放置.，己知A3=3C=1,

Zz4BC=9O°,0。的半径为1,圆心。与直线A3的距离为5.若两个图形同时向右移动，△44C的速度为每

秒2个单位，0。的速度为每秒1个单位，同时“8。的边长A8、8c都以每秒0.5个单位沿胡、BC方

向增大.△A3C的边与圆第一次相切时，点3运动的距离是个单位长度.

9.(2023秋•河北张家口•九年级张家口市第一中学校考期末)已知，在RI/SA8C中，N84C=90。，以AB为

直径的。。与8c相交于点E,在AC上取一点。，使得=

⑴求证：。上是0。的切线.

⑵当BC=10,4)=4时，求的半径.

10.(2023•甘肃兰州•统考中考真题)如图，A4BC内接于OO,"是。。的直径，BC=BD，DEJ.AC于

点E,DE交BF于点、F,交AB干点G,/BOD=2NF,连接BO.

(I)求证：是。。的切线；

(2)判断△£)(起的形状，并说明理曰;

(3)当80=2时，求尸G的长.

11.(2022秋・湖北十堰•九年级十堰市实验中学校考期中)如图，A4是。。的直径，C是OO上一点，。是AC

的中点，BD交AC于点、E,过点。作。尸〃AC交加的延长线于点F.

DC

⑴求证：OE是。。的切线；

(2)若4/=2,FD=4,求△£＞可?的面积.

12.(2022秋.辽宁鞍山.九年级校联考期中)如图，A8为。。的直径，切。。于点C,与加的延长线交

于点。，OEJLPO交尸O延长线于点E,连接OC,PB,已知P8=6,08=8,NEDB=NEPB.

⑴求证：PA是0。的切线：

(2)求。0的半径.

13.(2022秋•山西朔州•九年级校考阶段练习)如图，在。。中，A8为O的直径，点正在。。上，。为/葩的

中点，连接AE,BD并延长交于点C.连接。。，在0。的延长线上取一点"，连接M,使/CBF=[NR4C.

(1)求证：8厂为。0的切线；

(2)若NC=70。，则//=.

14.(2022春・广东广州•九年级广州市第八十九中学校考开学考试)如图，在RtAABC中，Z4CT=90°,A0

是J8c的角平分线，以。为圆心，。。为半径作求证：A3是。。的切线.

A

15.(2023•福建福州•校考模拟预测)如图，以菱形408的边为直径作。。交A3丁点E,连接。S交。。

于点M,尸是8c上的一点，且BF=BE,连接。尸.

⑴求证：DM=BM；

(2)求证：。尸是0。的切线.

16.(2023•河南安阳・统考一模)如图I是两条高速公路互通立交游瞰图，车辆从一条高速公路转到另一条高

速公路，需要经过缓和曲线匝道进行过渡.

如图2是一种缓和曲线过渡匝道的示意图.若把过渡匝道的缓和曲线看作是一个平面上的圆弧，汽车沿。0

的切线必经过切点A驶入通道，从0。的切线CQ经过切点C驶出匝道.已知％=60m,0O的半径为80m.

图1

(1)若在点。处设置一高清广角摄像头对圆弧形过渡匝道进行监挖，且高清摄像头可以有效监控200m以内的

物体，问此摄像头能否有效监控整个匝道？并说明理由；

(2)在图2中，若连接AC,交尸。于点4,且小=尸4,判断QC与。。的位置关系，并说明理由.

17.(2023秋・陕西安康・九年级统考期末)如图，人8是。0的直径，点C在半径Q4上，在。。上取点

使BD=BC,过点A作。0的切线AE交DC的延长线于点E.

B

(1)求证：AD=AEx

(2)若OC=1,AE=2AC,求。。的半径.

18.(2023秋・河北唐山•九年级统考期末)如图，点。为线段的中点，点C为线段OA上一点(不与。,

A重合)，以点。为圆心，0c为半径作圆。交线段。8于点。，ZEAB=NFBA=60。,AE=BF=2,AB=\0,

连接£C,FD.

(1)求证：EC=DFx

(2)当EC与圆。相切时，求OC的长度.

19.(2023・河南周口•校联考三模)如图，点E是以A8为直径的。。外一点，点。是。。上一点，EB是0。

的切线，EC1OC,连接4c并延长交8E的延长线于点尸.

(1)求证：点E是砂的中点；

⑵若EC=OC,。0的半径为3,求C尸的长.

20.(2022秋•九年级课时练习)如图所示，EB、旦是的两条切线，B、。是切点，A、。是。0上两

点，如果NE=46。，ZDCF=32°,求/A的度数.

A

B.

EC

21.(2023•云南昆明•统考二模)如图，在△ABC中，。为A8上一点，以点。为圆心，08为半径作半圆,

与8。相切于点。，过点A作AO_LCO交CO的延长线于点。，且NAO/)=NC4O.

C

⑴求证：AC是半OO的切线；

(2)若CO=AO,BC=4,求半。。的半径.

22.(2023秋•广东汕头•九年级统考期末)如图，在RtaABC中，ZC=90°,以AC为直径作©O,交A3于

D,过。作OE〃/0，交8c于E.

⑴求证：。石是。。的切线；

(2)连接C7),如果。。的半径为3,AB=10,求C。的长；

⑶在(2)的条件下，求△4DO的面积.

23.(2023・全国•九年级专题练习)某种在同一平面进行转动的机械装置如图1,图2是它的示意图，其工作

原理是：滑块。在平直滑道/上可以左右滑动，在。滑动的过程中，连杆PQ也随之运动，并且PQ带动连

杆。户绕固定点O摆动.在摆动过程中，两连杆的接点P在以在以OP为半径的。。上运动.数学兴趣小组

为进一步研究其中所蕴含的数学知识，过点。作。〃1/于点”，并测得。”=4分米，PQ=3米，OP=2分

(1)点Q与点。间的最小距离是分米；点Q与点O间的最人距离是分米；点。在/上滑到最左

端的位置与滑到最右端位置间的距离是分米；

（2）如图3,有同学说：“当点。滑动到点”的位置时，PQ与0。是相切的.”你认为这个判断对吗？说明理

由；

（3）当0P绕点0左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积最大时圆心角的度数.

题型七三角形的外心和外接圆

【例12】（2022秋.河北廊坊•九年级廊坊市第四中学校考期中）如图，/BCD=90°,BC=E＞C,直线经

过点O.设/。。。=。（45。＜。＜135。），ZM_LPQ于点A,将射线C4绕点。按逆时针方向旋转90。，与直线产。

交于点石.

(2)若4C=IO,求的长

（3）若d8。是锐角三角形，直接写出夕的取值范围.

巩固训练:

1.（2023•河北衡水•校联考二模）如图，直线/_L〃z,O为垂足，且点A在〃，上.若在/上找一点〃，使得

4OPA=/B,则下列作法中，正确的是（)

A.作线段。8的中垂线，交I于点PB.作的外接圆，交/于点产

C.过点3作一直线垂直于/，交/于点/,D.作/。46的平分线，交I于点、P

2.（2023•江苏•九年级假期作业）如图，O。是“3C的外接圆，则点。是△AAC的（）

A.三条高线的交点B.三条边的垂直平分线的交点

C.三条中线的交点D.三角形三内角为平分线的交点

3.（2023•江苏•九年级假期作业）如图，。为的外心，△。6为正三角形，OP与AC相交于。点,

连接。A.若ZfiAC=70°,AB=AC,则D4中为（）

4.（2022秋・河北石家庄•九年级校考期中）如图，O为锐角三角形A8C的外心，四边形OCOE为正方形,

其中E点在“3C的外部，判断下列叙述不正确的是（）

A.。是“反的外心，。不是△A£O的外心B.。是△8EC的外心，0不是△8CO的外心

C.。是△AEC的外心，。不是△88的外心D.。是△4）8的外心，。不是的外心

5.（2022秋•浙江宇波•九年级校考阶段练习）如图，已知点。是8c的外心，4=35。，连结BO,CO,

则NOBC的度数是（）

A.70°B.55°C.40°D.65°

6.（2022秋・安徽安庆•九年级统考期末）JBC中，A（l,5）、3（1,1）、C（4J）,则^ABC外接圆圆心坐标为.

7.（2023•江苏•九年级假期作业）平面直角坐标系中，已知AASC的三个顶点分别为4-1，0），倒助，C（-3,2）,

则的外心的坐标为.

8.（2022秋•内蒙古呼伦贝尔•九年级统考期末）已知直角三角形的两条直角边分别为6、8,则它的外接圆

半径_________

9.（2023•湖北襄阳•校考二模）己知RtZ\A8C两边长分别是6cm和8