概率论与数理统计习题答案

概率论与数理统计习题答案

第一章随机事件及概全

1.01

(1)两次抽取中至少有一次取到黑球

(2)两次都取到黑球

(3)第一次取到黑球但第二次取到白球

(4)第一次取到黑球

(5)可以用积事件印8表示

(6)可以用积事件表示

(7)可以用和事件AB+AB表示

(8)可以用和事件AB+A8表示

1.02

(1)三门炮中至少有一门击中目标

(2)三门炮中至少有两门击中目标

(3)三门炮都击不中目标

(4)三门炮中至多有丙门击中目标

(5)可以用和事件ABC+A8C+ABC表示

(6)可以用和事件ABO+AAC+ZBC表示

(7)可以用积事件48c表示

(8)可以用和事件A+8+C表示

1.03

，八n6x6x6108

⑴r=-----------=------

73343

⑵p=4=-

7349

1.04

(1)「=吟”

%21

⑵p/C：+£J

c；。42

1.05

设A二｛刮风｝,B二｛下雨｝

3

(1)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=—

3

(2)P=1-P(A+B)=1

10

1.06

(1)

(2)尸二生L

G：

c©+c2

(3)

(4)

1.07

(1)4.2%

(2)3.2%

1.08

设A=｛单独使用时｝B二｛单独使用时｝

(1)尸(A8)=0.588

(2)P(A/3)=0.735

(3)尸(A+8)=0.912

(4)P=1-P(A+5)=0.088

1.09

rlr]I

(1)P=

C；4

(2)尸二"

C；2

1.10

设A=｛第一次取到的为合格品｝B=｛第二次取到的仍为合格品｝

(1)P(AB)=0.8x0,2=0.16

(2)P=\-A(AB)=1-P(A)P(B)=0.36

1.11

设A二｛甲厂产品为次品｝设B二｛乙厂产品为次品｝

(1)P(AB)+P(A切=0.2x0.9+0.8x0.1=0.18

(2)P=\-P(AB)=1-P(A｝P(B)=1-0.2x0.1=0.98

1.12

P(AA+AAA+AAA)=0.36(1+0.4+0.4)=0.648

1.13

设A二｛甲去中目标｝R二｛乙击中目标｝C二｛丙去中目标｝

P(A+8+C)=尸(A)+P(B)+P(O-

P(AB)-P(AC)-P(BO+P(ABC)=0.976

1.14

设A二｛甲厂生产｝B二（乙厂生产｝C二｛丙厂生产｝

D;｛从市场上任买一件为正品｝

(1)P(D)=P(A)P(O/A)+P(3)P(£>/3)+P(C)P(。/C)

=().5x().88+().3x().7+0.2x0.75=().8

(2)P(A/D)=P(DM)P(A)=0.55

P(D)

1.15

1.16设A:｛为合格品｝C=｛经检查为合格品｝

P=(C4)+P(CA)=0.98x().9+0.1x0.03=0.885

1.17

p=C；+C©=5

C：12

1.18

(1)0.2(2)0.4

(3)().8(4)().7

1.19

(1)AB+AB(2)-

7

(3)-(4)0.7

4

(5)0.5(6)-

5

(7)0.18(8)0.58

(9)0.994(10)0.63

1.20

(1)C(2)C

(3)D(4)A

(5)A(6)B

(7)C(8)D

(9)C(10)D

第二章随机变量及其数字特征

2.01

“x=。}噌/。"二等|

P{X=2}=43

io

2.02

P{X=o}=-P[X=\}=-

39

4

P{X=2}=—P{X=3}=—

2727

2.03

P{X=i}=p'(l-p)(i=l,2,...)

2.04

(1)c+2c+7c=1c=—

7

(2)P{X>2)=-+-=-

777

2.05

£,(%)=0.7x10+0.2x8+0.1x4=9£>(X)=3.4

2.06

7

⑴E(X)=z(2)。⑶燃

2.07

4

(1)E(X)=-(2)nx)若

3

P(0<X<2)=^

2.08(1)c=6(2)

729

(3)E(X)=(4)D(X)=—

636

2.09

P{X>15O}=£)W%智

2.10

(1)fk^\-x2)dx=\k=4

J()

(2)P{X>0.8}=i-P{X<().8)=1-£X4X-^dx=0.1296

2.11

p41

(1)cxdx=1c=—

J26

r37

(2)P{X>3}=]cxdx=—

P[--<X<-}=f2cos4/x=—«0.7071

22%22

13

k=3a=4

23

E(X)=£XX3X^=1(2)D(X)=E(X2)-E(X)2

2.15

(1)E(X)=[ln^^dx=2(2)D(X)=-(e2-7)

口x2

2.16

(1)c=-(2)P(-1<X<1)=£2-,^=-

2

E(X)=£lx^=y(4)O(X)=(Y枭=_|

2.17

(1)E(5X-2)=5E(X)-2=-12(2)D(-2X+5)=4D(X)=20

2.18

(DE(r)=-=^=E(x)--^^-=oD(r)=i

D(X)Two

2.19填空题

3

4

(7)l--«0.6321

(8)2In2(9)4(10)-

3

2.20单项选择题

(1)c(2)(3)b(4)c(5)b

(6)a(7)d(8)b(9)c(10)c

第三章几种重要的概率分布

3.01

79

X〜8（4、—）（其中—为每次取到红球的概率

33

32

80

3.02

P=C；x0.82x0.2+C；x0.83=.0896

3.03

P=l-Cf(l)°(-)4=—

44256

3.04

(1)P=C^(-)4xl=—

533243

⑵八呜W+c；守心+夕福

(3)E(X)=y

(4)JQ(X)=¥~

3.05

(1)1一。；6。(1一2)2=*p=-

3

(2)p(x=2)=C；P:(l-P)0=1

(3)E(X)=-

4

(4)D(X)=-

3.06

-i

2()1p20

(1)E(X)=A=——=—P(X=0)-------=.09512

400200!

I

(2)/二0.8187

3.07

p[X<2]=P[X=0}+P{X=\}+P{X=2]=—^=

84/

3.08

Q

(1)A=4(2)p(X=2)=今

e

3.09

9

(1)A=3(2)p{<IX<3}=P{X=2}+P{X=3}=4

e

(3)七(3X)=9(4)O(3X)=27

3.10

(1)p[\X\<0,2)=P(-0.2<X<0,2)==0.4

(2)E(X)=()

3.11

(1)P{2<X<4}

(2)P{X>6}=

⑶E(X)=5

(4)D(X)=—

3.12

[二L厘z?

(1)P{XN1200}二瓯丫公=”(2)1

J颊800

3.13

(1)4=((2)p^<x<\}=^2e-2xdx=\-e-2

(3)-1(4)4

3.14

(1)0(2)0.4987

(3)0.0668(4)0.1151

(5)0.6826(6)0.0026

3.15

O0(2)-(P0(-1)=0.8185

3.16

0.6915

3.17

658

(1)p(X>60)=1-O0(°-)=0.4207(2)0.3076

3.18

(1)0.8400(2)0.0500

(3)2(4)4

3.19填空题

10Q

(1)-(2)-(3)-(4)e-3

234

a2

(5)2(6)—(7)](8)0.2088

4

(9)1.64(10)0.9772

3.20单项选择题

(1)d(2)b(3)a(4)d

(5)b(6)b(7)c(8)d

(9)a(10)b

第四章中心极限定理与参数估计

4.01

解：晚间每名学生去图书馆上自己是独立的，去图书馆学生人数X是一个离散型随机变

量，它服从参数为n=100C,p=0.7的二项分布，即离散型随机变量X—B(1000,0.7)

计算数学期望

E(X)=np=1000X0.7=700

方差

D(X)=npq=1000X0,7X(1-0.7)=1000X0.7X0.3=210

事件650<X<750表示晚间去图书馆人数在650人一750人之间，它可还记作

-50<X-700<50

即有|X-700|<50

由此可知在切贝谢夫不等式中应取常数£二50,利用切贝谢夫不等式估计所求概率

P{650<X<750}=P{|X-7001<50}>1-^=0.916

所以晚间上图书馆人数在650人一750人之间的概率不小于0.916

说明只要有750人的位置供学生使用图书馆就可以相当大的保证1000名住校生使用。

4.02

解：每个产品为废品是相互独立的。废品数X是一个离散型随机变量，它服从参数为

"800,p=0.02的二项分布，即离散型随机变量X〜B(800,0.02)

计算数学期望EX=np=800X0.02=16

方差DX=npq=800X0.02X0.98=15.68

事件10<X<22表示废品数在10个〜22个之间，它可还记作：

-6<X-16<6

即有|X-16|<6

由此可知在切贝谢夫不等式中常数£=6,利用切贝谢夫不等式估计所求概率

P{10<X<22}=P{IX-16|<6}21-eM1-0.44=0.56

6〜

所以发现废品次数在10个一22个之间的概率不小于0.56。

4.03

解：随机变量X存在有限的数学期望E(X)=U,方差D(X)=。2(。>0)

利用切贝谢夫不等式估计概率

P{〃-3cr<X<"+3cr}=P[-3avX<3(J}

-21o

=P(\X-JL1\<3O-)>1--------=-

"(3<T2I99

Q

所以此概率P{4—3。vX<〃+3CT}不小于§

4.04

解•：盒内第i个螺丝钉重量X,(i=1,2,…,400)都是连续型随机变量，一盒螺丝钉重量

X也是一个连续型随机变量，显然连续型随机变量X1,X?,…,相互独立，且连续型随机

400

变量X=，Xj

i=l

由题意得到数学期望E(Xj=10)

标准差=().5

从而方差D(Xi=0.25)

根据随机变量数学期望的性质S,计算数学期望

E(X)=EZXJ=ZE(X,)=Z10=40()。

由于连续型随机变量X1,X2，・_X10G相互独立，根据随机变量方差的性质5,计算方差

/400\400400

O(X)=4Zx,=Z0(XJ=Z°，25=100=102

Vf=i)/=1/=1

400

根据林德伯格——莱维定理，连续型随机变量X=ZX,近似服从参数为

i=\

£(X)=4000,jD(X)=10的正态分布,即近似有连续型随机变量。

400

X这X,〜^(40C0,102)

/=1

事件XV3980表示一盒螺丝钉重量小于3980g,其发生的概率为

P{X<3980}

=①。(398°；：°°°)=①()(—2)=1—①0(2)=1—0.9772=0.0228

所以一盒螺丝钉净重小于3980g的概率约为0.0228.

4.05

解：商店第i笔销售收入将小数归为后的误差乂,"=1,2,・一,300)都是连续型随机变

量，归为整数所产生误差服从［-0.5,0.5］上的均匀分布，各笔销售收入相互独立，300笔

300

销售收入中误差总和X也是连续随机变量且Y=£丫，

i=l

由题意得E(Xj)=05+,-5)=0

300\

ZX=()

/=1/

〜丫、(h-a)2(O.5+O.5)21

方差<

。”^^二12V2

3001

则=工[℃,)]=300'不=25=52

z=i12

根据林德伯格——莱维定理，连续型随机变量X近似服从参数为E(X)=0,

JQ(X)=5的正态分布,即近似有连续型随机变量

300

X=£x「N(O,52)

1=1

事件|X|«5表示300笔销售收入误差总和的绝对，直不超过5元的概率为

P{X<5}=P{-5<X<5}

f5-01

=20-----------1=20)(1)-1=2x0.8413-1=0.6826

［5，

所以300笔销售收入中误差总和的绝对值不超过5元的概率约0.6826o

4.06

解：系统各部件之间是相互独立的，系统各部件损坏个数X是一个离散型随机变量,

它服从参数为"100,p=C.05的二项分布,即离散型随机变量X〜8(100,0.5)

计算数学期望E(X)=np=100X0.05=5

方差DCO=npq=100X0.05X0.95=4.75=2.182

根据德莫缔一拉普拉斯定理，离散型随机变量X近似服从参数为£,(%)=5,

JaX)=2.18的正态分布,即近似有离散型随机变量

X〜N(5,2.182)

事件XW8表示系统正常运行，其概率为

P{X<8}

才①。(然)=(^(138)=09162

则系统正常运行的概率约为0.9162.

4.07

解：1000粒种子中发芽种子个数X是一个离散型随机变量，发芽种子之间相互独立,

它服从参数为n=1000,p=0.9的二项分布，即离散型随机变量X—B(1000,0.9)

计算数学期望E(X)=np二900

方差D(X)=npq=90=9,492

根据德莫佛一拉普拉斯定理，离散型随机变量X近似服从参数为E(X)=900,

J5及5=9.49的正态分布，即近似有离散型随机变量

X〜N(900.9.492)

事件।焉一咐表示两粒种子中发芽种子所占比例与这批种子发芽率之

差绝对值小于0.01,其概率为

X

P[\-0.91<0.01}=P{890<X<910}

1000

’910—900、890-900

2O0(1.05)-1

、9.49)9.49

=2x0.8531-1=0.7062

所以1000粒种子中发芽种子所占比例与这批种子发芽率之差绝对值小于0.01的稷率

约为0.7062.

4.08

解：统计量不仅是样本的函数，而且其中不能含总体分布未知参数，已知参数为。，

未知为U,因此(1)是统计量，(2)(3)(4)因为含总体分布的未知参数口不是统计量，

(5)(6)含总体分布的已知参数，是统计量。

4.09

解：(1)注意到所给概率值Q=0.01,查附表三，p=a=0.01自由度m=nT=8-1=7,

其纵横交叉处的数值即为对应的t分布的双侧分位数4=3.499

(2)由P{T<-2,}=P{T>A,},

故尸{丁之勾}=尸{7«—元}=〃{72元}+2{74-/}=20

查附表三，p=Za=0.10,自由度m=5,则其纵横交叉处的数值即为对应的t分布上侧

分位数元=2.015

a

(3)解：由题已知得一二0.05,则a=0.01查附表四，在表中第一行找到概率值

2

Of

p=l一一=1-0.05=0.95再在表中第一列找到自由度m=n-仁10-仁9,其纵横交叉处数值

2

即为对应的X?分布的分位数

4=3.325

继续在表中第一行找到概率值〃=掾=().()5,自由度m二n-1=9,其纵横交叉处数值即为对

应的X?分布的分位数

%=16.919

a

(4)解：由题意知一=0.05,则a=0.01查附表四，在表中第一行找到概率值

2

a

〃=1一耳=1一().()()5=0.995再在表中第一列找到自由度m=n-1=8T=7,其纵横交叉处数

值即为对应的X?分布的分位数

4=0.989

a

继续在表中第一行找到概率值〃=耳=0.005,第一列找到自由度m=nT=8-1=7,其纵横交

叉处数值即为否=20.278

Of

(5)解：注意到题中所给概率值0.025为一，因而概率a=0.05,查附表五，在组成

2

附表五中的5个分表中，选出概率值〃=£■=0.025的第3个分表，在此分表中第一行找到

第一自由度%—1=6—1=5,再由此分表中第一列找到自由度

加2=%—1=7—1=6,其纵横交叉处的数值为值，取倒数得到对应的F分布分位数

4

4=—=0.17

15.99

继续在此分表中第一行找到第一自由度町=-1=7-1=6,再在此分表中第一列

找到第二自由度，%=%-1=6-1=5,其纵横交叉处的数值即为对应的下分布分位数

4=6.98

(6)注意所给概率值0.10为a,即概率a=0.0l,查附表三，在表中第一行找到概

率值p=a=0.10再在表中第一列找到自由度小=〃]+/?2-2=214-21-2=40,其纵横

交叉处的数值即为对应的t分布双侧分位数

2=1.684

4.10

解：(1)(2)(3)(4)均是无偏估计量

因为

(1)E(X]+X3-X5)=E(X])+E(X3)-E(X5)=E(X)+E(X)-E(X)=E(X)

(2)E(2X2-X4)=E(2X2)-E(X4)=2E(X2)-E(X4)=2E(X)-E(X)=E(X)

12—12—12—

E(-X1+-X)=E(-X1)+E(-X)=-E(X1)+-E(X)

(3)JDD。。J

=1E(X)+|F(X)=F(X)

3—13—13—1

E&X--X5)=E&X)-E(-X5)=-E(X)--E(X5)

(4)222222

31

=^E(X)-二E(X)=E(X)

22

4.11

解：O(2X1-X2)=O(2X])+O(X2)=22£)(X1)+O(X2)=5O(X)

1212145

D(-X+-X)=D(-X)+D(-X)=-D(X)+-D(X)=-D(X)

J1，2J1J271727

51?

由于工。(X)<5O(X),则。+-X2)<D(2X1-X2)

3

所以统计量有效。

4.12

解：用样本均值I作为灯泡寿命数学期望E(X)的估计值有

E(X)=x=-^x(1050+1100+1080+1120+1200+1250+1040+1130+1300+1200)

=1147

用样本方差S?作为灯泡寿命方差D(X)的估计值，有

D(X)=S2=x[(1050-1147)2+(1100-1147)2+(1080-1147)2+(1120-1147)2

10—1

+(1200-1147)2+(1250-1147)2+(1040-1147)24-(1130-1147)2

+(1300-1147)2+(1200-1147)2]=7578.9

所以这批灯泡寿命X的期望E(X)估计值为1147小值，方差D(X)估计值为7578.9

小时3

4.13

解:根据定理4.5,样本均值又〜N(50,22)

52-5049-50

所以概率

尸(49<X<52)=①0~2~-①°~2~

=①o(l)-00(-0.5)=0>0(1)+00(0.5)-1=1.5328-1=0.5328

4.14

——3

解：根据定理4.5,样本均值*~%(100,—)

n

1010>

得到概率P{X<101}=①o(~^°|=0>0|—|>0.95

I3/Vn)[3,

查附表二，得到关系式—>1.65

3

有样本容量〃225

所以样本容量n至少应取25.

4.15

解：这是已知正态总体方差求数学期望置信区间的问题，利用U变量求解，所给正态

总体标准差g=12,样本容量"5,计算样本均值。

7=：x(1250+1265+1245+1260+1275)=1259

由所给置信度La=0.90查表47得到对应的标准正态分布双侧分位数尤=1.64,计

算分式牛=1."12=8.8

4nV5

从而得到直信下限

肛)

x=1259-8.8=1250.2

与置信上限

=1259+8.8=1267.8

所以某加热炉正常工作的炉内平均温度口的置信区间(1250.2,1267.8)

4.16

解：由已知正态总体方差求数学期望置信区间问题，利用U变量求解。

所给正态总体标准差=5,样本容量n=15,样本均值x=446,由所给直信度1-a

=0.95查表47得对应标准正态分布双侧分位数

入=1.96,计算分式

电o_1.96X5_1.96X5_9

从而得到置信下限

x-^=1446-2.5=443.5

与置信上限

_ACT

X+-JJ-=446+2.5=448.5

所以每桶奶粉平均净重”的置信区间(443.5,448.5)

4.17

解：这是未知正态总体方差求数学期望置信区间的问题，利用T变量求解，所绐样本

容量"10,计算样本均值。

x=-^x(68+69+72+73+66+70+69+71+74+68)=70

计算样本方差

S2=-----x[(68-70)2+(69-70)2+(72-70)2+(73-70)2+(66-70)2

10—1

+(70-70/+(69-70)2=(71-70)2+(74-70)2+(68-70)2]

=6.2=2.5?

由所给置信度1-a=0.95知检验水平a=0.05查附表三，在表中行找概率值p二a

=0.05,列找自由度m=n-1=10-1=9,其纵横交叉处的数值即为对应的t分布双侧分位数

4=2.262,计算分式

AS12.262X2.5.

一O

7TL码4

从而得到置信下限

7-今=70-1.8=68.2

yjn

与置信上限

AS

X+=70+1.8=71.8

所以每人平均脉博U的置信区间(68.2,71.8)

4.18

解：这是未知正态总体数学期望求方差置信区间的问题，利用X?变量求解。

所给样本容量『8,计算样本均值

-1

X=；X(422+425+418+420+425+425+431+434)=425

计算样本方差

S2=」一x[(422—425)2+(425—425)2+(418—425)2+(420—425)2+(425—425)2

8—1

+(425-425)2+(431-425)2=(434-425)2]

=28.6

由所给直传度1-a=0.95知检验水平a=0.05查附表四，在表中第一行找到概率值

=0.975,再在表中第一列找到自由度m=nT=87=7,其纵横交叉处的

22

数值即为对应的X?分布分位数4=1.69；继续在表中第一行找到概率值

/?=-=—=0.025,再在表中第一列找到自由度m=nT=8-1=7,计算分式其纵横交叉

22

处的数值即为对应的X?分布分位数4=16.013,计算置信下限

MW(8-l)x28.6

=12.49

16.013

与置信上限

(8-l)x28.6

­=118.34

1.69

所以飞机最大飞行速度方差cr?的置信区间(12.49,118.34)

4.19

解：这是未知正态总体方差求数学期望置:信区间的问题，利用T变量求解，所绐样本

容量"9,计算样本均值

X=1x(4.2+6.5+7.5+7.8+6.9+5.9+5.7+6.8+5.4)=6.3

计算样本方差

S2=六x[(4.2-6.3)2+(6.5-6.3)2+(7.5-6,3)2+(7.8-6.3)2+(6.9-6.3)2

+(5.9-6.3)2+(6.8-6.3)2=(5.4-6.3)2]

=1.26=1.122

由所给置信度1-a=0.99查附表三，p=a=0.01,自由度m=n-1=9-1=8对应的t双侧

分位数2=3.355,计算分式

AS3.355x1.12

==1.25

4nM

从而得到置信下限

AS

x=6.3-1.25=5.0

与置信上限

-2s,__

x+=6.3+1.25=7.6

yjn

所以每根保险丝在短路情况下平均熔化时间口的置信区间(5.0,7.6)

(2)这是未知正态总体数学期望求方差置信区间的问题，利用X?变量求解。所绐样本

容量『9,样本方差52=1.26,由所给置信度1-(1=0.99知检脸水平a=0.01,查附表四，行

找〃=1一q=1--=0.995列自由度m=n-1=8,其纵横交叉处的数值即为对应的X?分布

22

分位数4=1.344；继续在表中第一行找到概率值"言二等=0.005,列找到m=8纵

横交叉处的数值即为对应的X?分布分位数4=21.955,计算置信下限

(9-1)x126

=0.46

21.955

与置信上限

OLDS2(97)x1.26

=7.5()

1.344

所以每根保险丝在短路情况下熔化时间方差的置信区间(046,7.50)

4.20

解：根据定理4.5,每株梨树平均产量5kg服从正态分布参数为〃，%,n=6,用

y/n

样本均值x作为每株梨树平均产量数学期望〃的估计值有

-1

/}=x=-x(221+191+202+205+256+245)=220

6

同样本方差S?作为每株梨树产量方差b?的估计值，有

(y=S2=—x[(221-220)2+(191-220)2+(202-220)2

6—1

+(205-220)2+(256-220)2+(245-220)2]

=662.4=25.7?

(3)由所给置信度1-a=0.95知检验水平a=0.05查附表三，概率值所a=0.05,自

由度m=n-1=6-1=5对应的t双侧分位数2=2.571,计算分式

AS_2.571x25.7

=27.0

V6

从而得到置信下限

戛-笫=220-27=193.0

与置信上限

*窄=220+27=247.0

\ln

所以每株梨树平均产量口的置信区间为(193.0,247.0)

(4)由所给置信度1-a=0.95知检验■水平a=0.05查附表四，概率值

p=1-y=0.975,自由度m=n-1=6T=5,得对应的X,分布分位数4=0.831；继续在表

中找到概率值〃=最=等=0.025,自由度m=n-1=

6-1=5得对应X?分右分位数侧分位数4=12.833

计算置信下限

("DS=(6—)x662.4=258」

412.833

与置信上限

31=(67)x662.4=3985.6

40.831

所以每株梨树产量cr：的置信区间为(258.1,3985.6)

第五章假设检验与回归分析

5.01

解：零假设Ho与备择假设从分别记作

40:〃=25,%:。25

由已知正态总体方差b?=0.02,因而此假设检验为U检脸，所给正态总体标准差

5,=VaO2=0.14,样本本量n=10,当零假设H。成立时，构造变量

u=Xfo.〃=〜N((),I)

b()0.14

由所给检脸水平a=0.05查表5-1得到对应的标准正态分布双侧分位数2=1.96,

使得^率等式21.96}=().05成立

这说明事件|U|21.96=1.96是一个小概率事件，于是得到拒绝域

|//|>1.96

计算样本均值

-1

x=—x(24.9+25.0+25.1+25.24-25.2+25.1+25.0+24.9+24.8+25.1)

=25.03

得到U变量的观测值

=三包册=25.03-25丽=()68

%0.14

它没有落入拒绝域，于是不能拒绝零假设H。，而接受零假设H。，即可以认为〃=25,

所以可以认为这批袋装面粉的平均重量H显著合乎标准。

5.02

解：零假设H。与备择假设％分别记作

:〃=0.50,H、：R>0.50

由于未知正态总体方差因而此假设检脸为T检脸，所给样本容量"5,当零假

设Ho成立时，构造变量

T=*二〃。.4n=75〜*4)

SS

查附表三，p=2a=0.10,〃?==5-1=4得入=2.132,使得概,率等式

P{T>2.132)=0.05

成立，这说明事件T22.132是一个小概率事件，于是得到拒绝域

年2.132

计算样本均值

x=-x(0.53+0.54+0.51+0.49+0.53)=0.52

计算样本方差

S2=—x[(0.53-0.52)2+(0.54-0.52)2+(0.51-0,52)2

5—1

+(0.49—0.52)2+(0.53-0.52)2]

=0.0004=0.022

得到T变量观测值t==0,52~0,5V5=2.236

S0.02

它落入拒绝域，于是能拒绝零假设H。，而接受用，即可认为0.5%。，所以该厂排

放工业废水中该有害物平均含显著超过规定标准。

5.03

解：这是检验正态总体数学期望〃是否小于240,即检脸关系或〃<240是否成立，

其对立检脸关系式为//>240,因此零假设H。与备择假设乩分别记作

HQ:^>240,//,://<240

这种情况的零假设Ho所代表的检验关系式中不等号可以省喀不写，记作

"o:〃=20,H]://<240

当零假设H。成立时，由于未知因而此假设检脸为T检验，『6,构造变量

T/以&=⑸

SS

由已知。2=().]2,因而此假设检脸为U检验，所给正态总体标准差二血丁二。」，样

本容量『5,平均寿命x=10.1万幻明构造变量为：

JJX—即/—X-10rz

U=-------yjn=-------V5〜N(0,l)

a()0.1

查附表三，p=2a=2x0.05=0.10,〃?=〃-1=5得元=2.015使得概率等式

P{T<-2.015)=0.05

成立，这说明事件丁工一2.015是一个小^率事件，于是得到拒绝域

r<-2.015

所给校本均值1=220,样本方差§2=662.4=25.74?得T变量的观测值

”丛赤=22。二2404一双

S25.74

它没有落入拒绝域，干是不能拒绝也.而拒绝出，即不能，认为240.所以不能认为今年

果园每株梨树的平均产量〃显著减少。

5.04

解：零假设Ho与备择假设从分别记作

Ho:ju=32.0,:〃=32.0

由已知b?=1.21,因而此假设检验为U检验，所给正态总体标准差cr()=VL21=1.1,

样本容量『6,当零假设H。成立时，构造变量

U:--一32.0R〜N(0,1)

/I」

由所给检脸水平a=0.05查表5-1得4=1.96(双侧分位数)

使得概率等式P{|(/|>1.96}=0.05成立

这说明事件|U|>1.96=1.96是一个小概率事件，于是得到拒绝域

|〃|>1.96

计算样本均值x=lx(32.6+30.0+31.6+32.0+31.8+31.6)=31.6

得到U变量的观测值〃=三出6=①四二3行二—0.89

/II

它没有落入拒绝域，于是不能拒绝H。，而接受H。，即可以认为4=320,所以可以认

为这批机制碍的,尸均抗断强度H显著为32.0kg/cm?o

5.05

解：零假设&与各择假设从分别记作

Ho:ju=10,Hx://>10

由已知。2=0.产，因而此假设检验为u检脸，所给正态总体标准差5)=而5=0.1样本

容量n=5,平均寿命x=10.1万4/«,构造变量为：

U=三出5=石〜N(0,l)

b()().1

由所给检验水平a=0.05查表5-1,得到对应标准正态分布上侧分位数元=1.64,使

得概率等式产⑷21.64}=0.05

成立，这说明事件U