概率论重要知识点总结

概率论重要知识点总结

概率论重要知识点总结「篇一」

今年上半年上了4个头的线性代数，下半年上个5个头的概率统计，任务繁

杂。在系领导的关心和同事们的帮助下，各项工作都已胜利完成，现将本人工作情

况总结如下：

1、教学任务

上半年担任的勘技06T,2,3班的高数（二）70个原始课时；测绘06—1、

2、3班线性代数36个原始课时；三个统计学学生的毕业实习指导工作90个学学

时；研究生的课有经济预测理论及方法54个原始课时，抽样原理有36个原始课

时；共计完成280个原始课时的教学任务。

2、教学情况

教学上能严格要求自己，自觉遵守学校各项规章制度和教学纪律，无任何教学

事故；充分利用课堂教学时间提高教学效率；完成教学环节中个各项工作，按时完

成学生的成绩登记及上天工作，工作做到规范，保质保量。

教学上，能在教学过程中能善于启发学生思维；在备课时就设计好能启发学生

思维的问题，这样，就能充分调动学生的学习积极性，使学生学的积极主动，教学

效果好。能严格要求学生，关心学生，做到教书育人。

能认真批改作业，耐心辅导学生，努力让每一个学生都能树立学习信心，鼓励

学生提高学习成绩，提高教学质量。教学受到学生的欢迎。

3、其他

上半年已经发表教学论文一；能认真听课，虚心向老师们学习；积极参加各项

教研活动。

此外，还能按时完成领导交给的有关工作和任务，义务参加系资料室的借阅工

作；各方面尽到了自己的责任。

概率论重要知识点总结「篇二」

考点1:确定事件和随机事件

考核要求：

(1)理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，知道确定事件与必然事

件、不可能事件的关系；

(2)能区分简单生活事件中的必然事件、不可能事件、随机事件。

考点2：事件发生的可能性大小，事件的概率

考核要求：

(1)知道各种事件发生的可能性大小不同，能判断一些随机事件发生的可能

事件的大小并排出大小顺序；

(2)知道概率的含义和表示符号，了解必然事件、不可能事件的概率和随机

事件概率的取值范围：

(3)理解随机事件发生的频率之间的区别和联系，会根据大数次试验所得频

率估计事件的.概率。

(1)在给可能性的大小排序前可先用''一定发生〃、''很有可能发生〃、

''可能发生〃、”不太可能发生〃、''一定不会发生〃等词语来表述事件发生的可

能性的大小；

(2)事件的概率是确定的常数，而概率是不确定的，可是近似值，与试验的

次数的多少有关，只有当试验次数足够大时才能更精确。

考点3：等可能试验中事件的概率问题及概率计算

考核要求

(1)理解等可能试验的概念，会用等可能试验中事件概率计算公式来计算简

单事件的概率；

(2)会用枚举法或画''树形图〃方法求等可能事件的概率，会用区域面积之

比解决简单的概率问题；

(3)形成对概率的初步认识，了解机会与风险、规则公平性与决策合理性

等简单概率问题。

(1)计算前要先确定是否为可能事件：

(2)用枚举法或画''树形图〃方法求等可能事件的概率过程中要将所有等可

能情况考虑完整。

考点4：数据整理与统计图表

考核要求：

(1)知道数据整理分析的意义，知道普查和抽样调查这两种收集数据的方法

及其区别;

(2)结合有关代数、几何的内容，掌握用折线图、扇形图、条形图等整理数

据的方法，并能通过图表获取有关信息。

考点5：统计的含义

考核要求：

UJ知道统计的意义和一般研究过程；

(2)认识个体、总体和样本的区别，了解样本估计总体的思想方法。

考点6：平均数、加权平均数的概念和计算

考核要求：

(1)理解平均数、加权平均数的概念；

(2)掌握平均数、加权平均数的计算公式。注意：在计算平均数、加权平均

数时要防止数据漏抄、重抄、错抄等错误现象，提高运算准确率。

考点7：中位数、众数、方差、标准差的概念和计算

考核要求：

(1)知道中位数、众数、方差、标准差的概念；

(2)会求一组数据的中位数、众数、方差、标准差，并能用于解决简单的统

计问题。

(1)当一组数据中出现极值时，中位数比平均数更能反映这组数据的平均水

平;

(2)求中位数之前必须先将数据排序。

考点8：频数、频率的意义，画频数分布直方图和频率分布直方图考核要求:

(1)理解频数、频率的概念，掌握频数、频率和总量三者之间的关系式；

(2)会画频数分布直方图和频率分布直方图，并能用于解决有关的实际问

题。解题时要注意：频数、频率能反映每个对象出现的频繁程度，但也存在差别：

在同一个问题中，频数反映的是对象出现频繁程度的绝对数据，所有频数之和是试

验的总次数；频率反映的是对象频繁出现的相对数据，所有的频率之和是1。

考点9：中位数、众数、方差、标准差、频数、频率的应用考核要求：

(1)了解基本统计量(平均数、众数、中位数、方差、标准差、频数、频

率)的意计算及其应用，并掌握其概念和计算方法：

(2)正确理解样本数据的特征和数据的代表，能根据计算结果作出判断和预

测；

(3)能将多个图表结合起来，综合处理图表提供的数据，会利用各种统计量

来进行推理和分析。

要练说，得练看。看与说是统一的，看不准就难以说得好。练看，就是训练幼

儿的观察能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的

活动中，积累词汇、理解词义、发展语言。在运用观察法组织活动时，我着眼观察

于观察对象的选择，着力于观察过程的指导，着重于幼儿观察能力和语言表达能力

的提高。

单靠',死〃记还不行，还得''活〃用，姑且称之为''先死后活〃吧。让学生把一

周看到或听到的新鲜事一足下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,幅可

长可短,并要求运用积累的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀目在班里朗

读或展出。这样，即巩固了所学的材料，又锻炼了学生的写作能力，同时还培养了学

生的观察能力、思维能力等等，达到''一石多鸟〃的效果。研究解决有关的实际生

活中问题，然后作出合理的解决。

一般说来，''教师"概念之形成经历了十分漫长的历史。杨士勋(唐初学者，

四门博士)？春秋谷梁芍疏？曰：''师者教人以不及，故谓师为师资也"。

这儿的”师资〃，其实就是先秦而后历代对教师的别称之一。

韩非子也有云：“今有不才之子?师长教之弗为变〃其“师长〃当然也指教

师。这儿的“师资〃和''师长〃可称为''教师〃概念的雏形，但仍说不上是名副其

实的''教师〃，因为''教师〃必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。

概率论重要知识点总结「篇三」

一.随机事件的概率及概率的意义

1、基本概念：

(1)必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件;

(2)不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对丁条件S的不可

能事件；

(3)确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件；

(4)随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的

随机事件；

(5)频数与频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出

现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数;对于给定的随机事件

A,如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这

个常数记作P(A),称为事件A的概率。

(6)频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA与试

验总次数n的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次

数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。我们把这个常数叫做随机事件的概率，概

率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。频率在大量重复试验的前提下可

以近似地作为这个事件的概率

二.概率的基本性质

1、基本概念：

(1)事件的包含、并事件、交事件、相等事件

(2)若ADB为不可能事件，即AAB=d),那么称事件A与事件B互斥；

(3)若AAB为不可能事件，AUB为必然事件，那么称事件A与事件B互为对

立事件；

(4)当事件A与B互斥时,满足加法公式:P(AUB)=P(A)+P(B):若事件A与B

为对立事件，则AUB为必然事件，所以P(AUB)=P(A)+P(为=1,于是有P(件=1—

P(B)

2、概率的基本性质：

1)必然事件概率为1,不可能事件概率为0,因此OWP(A)W1;

2)当事件A与B互斥时,满足加法公式:P(AUB)=P(A)+P(B);

3)若事件A与B为对立事件，则AUB为必然事件，所以

P(AUB)=P(A)+P(B)=1,于是有P(A)=1一P(B);

4)互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A与事件B在一次试

验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：(1)事件A发生且事件B不发生;

(2)事件A不发生且事件B发生；

(3)事件A与事件B同时不发生，而对立事件是指事件A与事件B有且仅有一

个发生，其包括两种情形；

(1)事件A发生B不发生；

(2)事件B发生事件A不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。

三.古典概型及随机数的产生

(1)古典概型的使用条件：试验结果的有限性和所有结果的等可能性。

(2)古典概型的解题步骤；

①求出总的基本事件数；

②求出事件A所包含的基本事件数，然后利用公式P(A)二

叫几何概型及均匀随机数的产生

基本概念：

(1)几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积

或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；

(2)几何概型的概率公式:P(A)=;

（3）几何概型的特点：

1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；

2）每个基本事件出现的可能性相等

概率论重要知识点总结「篇四」

第一章、随机事件和概率

一、本章的重点内容：

四个关系：包含，相等，互斥，对立；

五个运算：并，交，差；

四个运算律：交换律，结合律，分配律，对偶律（德摩根律）；

概率的基本性质：非负性，规范性，有限可加性，逆概率公式；

五大公式：加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式；

条件概率；利用独立性进行概率计算；・重伯努利概型的计算。

近几年单独考查本章的考题相对较少，从考试的角度来说不是重点，但第一章

是基础，大多数考题中将本章的内容作为基础知识来考核，都会用到第一章的知

识。

二、常见典型题型：

1.随机事件的关系运算；

2.求随机事件的概率；

3.综合利用五大公式解题，尤其是常用全概率公式与贝叶斯公式。

第二章、随机变量及其分布

一、本章的重点内容：

随机变量及其分布函数的概念和性质（充要条件）；

分布律和概率密度的性质（充要条件）；

八大常见的分布：0T分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布、

均匀分布、正态分布、指数分布及它们的应用；

会计算与随机变量相联系的任一事件的概率；

随机变量简单函数的概率分布。

近几年单独考核本章内容不太多，主要考一些常见分布及其应用、随机变量函

数的分布。

二、常见典型题型：

1.求一维随机变量的分布律、分布密度或分布函数；

2.一个函数为某一随机变量的分布函数或分布律或分布密度的判定；

3.反求或判定分布中的参数；

4.求一维随机变量在某一区间的概率；

5.求一维随机变量函的分布。

第三章、二维随机变量及其分布

一、本章的重点内容:

二维随机变量及其分布的概念和性质，边缘分布，边缘密度，条件分布和条件

密度，随机变量的独立性及不相关性，一些常见分布：二维均匀分布，二维正态分

布，几个随机变量的简单函数的分布。

本章是概率论重点部分之一!应着重对待。

二、常见典型题型：

1.求二维随机变量的联合分布律或分布函数或边缘概率分布或条件分布和条件

密度；

2.已知部分边缘分布，求联合分布律；

3.求二维连续型随机变量的分布或分布密度或边缘密度函数或条件分布和条件

密度；

4.两个或多个随机变量的独立性或相关性的判定或证明；

5.与二维随机变量独立性相关的命题；

6.求两个随机变量的相关系数；

7.求两个随机变量的函数的概率分布或概率密度或在某一区域的概率。

概率论重要知识点总结「篇五」

假设你在参加一个由50人组成的婚礼，有人或许会问：“我想知道这里两个

人的生日一样的概率是多少?此处的一样指的是同一天生日，如5月5日，并丰指

出生时间完全相同。”

也许大部分人都认为这个概率非常小，他们可能会设法进行计算，猜想这个概

率可能是七分之一。然而正确答案是，大约有两名生日是同一天的客人参加这个婚

礼。如果这群人的生日均匀地分布在日历的任何时候，两个人拥有相同生日的概率

是97%。换句话说就是，你必须参加30场这种规模的聚会，才能发现一场没有宾

客出生日期相同的聚会。

人们对此感到吃惊的原因之一是，他们对两个特定的人拥有相同的出生时间和

任意两个人拥有相同生三的概率问题感到困惑不解。两个特定的人拥有相同出生时

间的概率是三百六十五分之一。回答这个问题的关键是该群体的大小。随着人数增

加，两个人拥有相同生T的概率会更高。因此在10人一组的团队中，两个人拥有

相同生日的概率大约是12%。在50人的聚会中，这个概率大约是97吼然而，只有

人数升至366人（其中有一人可能在2月29日出生）时，你才能确定这个群体中一

定有两个人的生日是同一天。

多少只袜子才能配成一对？

关于多少只袜子能配成对的问题，答案并非两只。而且这种情况并非只在我家

发生。为什么会这样呢。那是因为我敢担保在冬季黑蒙蒙的早上，如果我从装着黑

色和蓝色袜子的抽屉里拿出两只，它们或许始终都无法配成一对°虽然我不是太幸

运，但是如果我从抽屉里拿出3只袜子，我敢说肯定会有一双颜色是一样的。不管

成对的那双袜子是黑色还是蓝色，最终都会有一双颜色一样的。如此说来，只要借

助一只额外的袜子，数学规则就能战胜墨菲法则。通过上述情况可以得出，“多少

只袜子能配成一对”的答案是3只。

当然只有当袜子是两种颜色时，这种情况才成立。如果抽屉里有3种颜色的袜

子，例如蓝色、黑色和白色袜子，你要想拿出一双颜色一样的，至少必须取出4只

袜子。如果抽屉里有10种不同颜色的袜子，你就必须拿出11只。根据上述情况总

结出来的数学规则是：如果你有N种类型的袜子，你必须取出N+1只，才能确保有

一双完全一样的。

概率论重要知识点总结「篇六」

概率，现实生活中存在着大量的随机事件，而概率正是研究随机事件的一门学

科、教学中，首先以一个学生喜闻乐见的摸球游戏为背景，通过试验与分析，使学

生体验有些事件的发生是必然的、有些是不确定的、有些是不可能的，引出必然发

生的事件、随机事件、不可能发生的事件，然后，通过对不同事件的分析判断，让

学生进一步理解必然发生的事件、随机事件、不可能发生的事件的特点，结合具体

问题情境，引领学生设计提出必然发生的事件、随机事件、不可能发生的事件，具

有相当的开放度，鼓励学生的逆向思维与创新思维，在一定程度上满足了不同层次

学生的学习需要。

其次，做游戏是学习数学最好的方法之一，根据课的内容的特点，教师设计了

转盘游戏，力求引领学生在游戏中形成新认识，学习新概念，获得新知识，充分调

动了学生学习数学的积吸性，体现了学生学习的自主性，在游戏中参与数学活动，

在游戏中分析•、归纳、合作、思考，领悟数学道理，在快乐轻松的学习氛围中，显

性目标和隐性目标自然达成,在一定程度上，开创了一个崭新的数学课堂教学模式。

再次，我们教师在上课的时候要理解频率和概率的关系，教材中概率的概念是

通过频率建立的，即频率的稳定值及概率，也就是用频率值估计概率的大小。通过

实验，让学生经历“猜测结果一进行实验一分析实验结果”的过程，建立概率的含

义。要建立学生正确的概率含义，必须让他们亲自经历对随机现象的探索过程，引

导他们亲自动手实验收集实验数据，分析实验结果，并将所得结果与自己的猜测进

行比较，真正树立正确的概率含义。

第四，我们努力让学生在具体情景中体会概率的意义。由于初中学生的知识水

平和理解能力，初中阶段概率教学的基本原则是：从学生熟悉的生活实例出发，创

设情境，贴近生活现实的问题情境，不仅易于激发学生的求知欲与探索热情，而且

会促进他们面对要解决的问题大胆猜想，主动试验，收集数据，分析结果，为寻求

问题解决主动与他人交流合作，在知识的主动建构过程中，促进了教学目标的有效

达成，更重要的是，主动参与数学活动的经历会使他们终身受益，在具体情境中体

验概率的意义。

第五，通过掷骰子，抽签等游戏，通过具体的实例掌握概率的计算，列举法和

树状图是计算概率的重要方法，要和学生一起探讨，并得出结论。并且联系实际问

题，在实践中不断地加深理解，重视概率与统计的联系。要引导学生把概率与统汁

联系起来看问题，数据的统计与处理不应只是纯数字的运算，它们与概率是密不可

分的；同时，很多的概率模型是建立在大量数据统计的基础上。因此，要使学生在

随机实验中统计相关的数据，并了解这些数据的概率含义，在数据统计时了解其中

所蕴涵的随机性。

在教学中，教师力求向学生提供从事数学活动的时间与空间，为学生的自主探

索与同伴的合作交流提供保障，从而促进学生学习方式的转变，使之获得广泛的数

学活动经验，教师在学习活动中是组织者、引导者与合作者，应注意评价学生在活

动中参与程度、自信心、是否愿意交流等，给学生以适时的引导与鼓励。相信很多

教师也和我一样，全面了解学生的学习状况，因材施教，慢慢的探索教好初中新增

的这个内容的好方法

概率论重要知识点总结「篇七」

1.随机试验

确定性现象：在自然界中一定发生的现象称为确定性现象。

随机现象：在个别实验中呈现不确定性，在大量实验中呈现统计规律性，这

种现象称为随机现象。

随机试验：为了研究随机现象的统计规律而做的的实验就是随机试验。随机

试验的特点：

1）可以在相同条件下重复进行；

2）每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；

3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会先出现；

2.样本空间、随机事件

样本空间：我们将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，

记为S。样本点：构成样本空间的元素，即E中的每个结果，称为样本点。事件

之间的基本关系：包含、相等、和事件（并）、积事件（交）、差事件（A-B：包

含A不包含B）、互斥事件（交集是空集，并集不一定是全集）、对立事件（交集

是空集，并集是全集，称为对立事件）°事件之间的运算律：交换律、结合律、分

配率、摩根定理（通过韦恩图理解这些定理）

3.频率与概率

频数：事件A发生的次数频率：频数/总数

概率：当重复试验的次数n逐渐增大，频率值就会趋于某一稳定值，这个值就

是概率。概率的特点：

1）非负性。

2)规范性。

3)可列可加性。

概率性质：

1)P(空集)二0。

2)有限可加性。

3)加法公式:P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

4.古典概型

学会利用排列组合的知识求解一些简单问题的概率(彩票问题，超几何分布,

分配问题，插空问题，羽绑问题等等)

5.条件概率

定义：A事件发生条件下B发生的概率P(B|A)=P(AB)/P(A)乘法公式:

P(AB)=P(B|A)P(A)全概率公式与贝叶斯公式

6.独立性检验

设A、B是两事件，如果满足等式P(AB)=P(A)P(B)则称事件A、B相互

独立，简称A、B独立。

概率论重要知识点总结「篇八」

第一章随机事件及其概率

第一节基本概念

随机实验：将一切具有下面三个特点：

(1)可重复性

(2)多结果性

(3)不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用表示。

随机事件：在•次试验中，可能出现也可能不出现的事情(结果)称为随机事

件，简称为事不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为。必然事件：在试

验中必然出现的事情，汜为

样本点：随机试验的每个基本结果称为样本点，记作3.样本空间：所有样

本点组成的集合称为样本空间.样本空间用Q表示.一个随机事件就是样本空间

的一个子集。基本事件一单点集，复合事件一多点集一个随机事件发生，当且仅

当该事件所包含的一个样本点出现。事件的关系与运算(就是集合的关系和运

算)包含关系：若事件发生必然导致事件B发生，则称B包含A,记为，则称

事件A与事件B相等，记为A=B。

事件的和：“事件A与事件B至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件

A与事件B事件的积：称事件“事件A与事件B都发生”为A或AB。事件的差：

称事件“事件A发生而事件B不发生”为事件A与事件B的差事件，记为A-Bo

用交并补可以表示为互斥事件：如果A,B两事件不能同时发生，即AB=6,则

称事件A与事件B是互不相容事件或互斥事件。互斥时可记为A+B。对立事

件：称事件“A不发生”为事件A的对立事件(逆事件)，记为A。对立事件的

性质：事件运算律：设A,B,C为事件，则有：

(1)交换律:AB=BA,AB=BAA(BC)=(AB)C=ABC

(3)分配律:A(BC)=(AB)(AC)ABAC

(4)对偶律(摩根律)：

第二节事件的概率

概率的公理化体系：第三节古典概率模型1、设试验E是古典概型，其样本

空间Q个样本点组成.则定义事件A的概率为的某个区域，它的面积为"(A),

则向区域上随机投掷一点，该点落在区域假如样本空间Q可用一线段，或空间

中某个区域表示，则事件A的概率仍可用上式确定，只不过把P理解为长度或

体积即可.第四节条件概率条件概率：在事件B发生的条件下，事件A发生的

概率称为条件概率,记作乘法公式:P(AB)=P(B)P(A|B)=P(A)P(B|A)全概率公

式：设第五节事件的独立性两个事件的'相互独立：若两事件A、B满足P(AB)=

相互独立.三个事件的相互独立：对于三个事件A、B、C,若P(AB)二相互独立三个

事件的两两独立：对于三个事件A、B、C,若P(AB)二两两独立独立的性质：若A

均相互独立总结：

1.条件概率是概率论中的重要概念，其与独立性有密切的关系，在不具有独立

性的场合，它将扮演主要的角色。

2.乘法公式、全概公式、贝叶斯公式在概率论的计算中经常使用，应牢固掌

握。

3.独立性是概率论中的最重要概念之一，应正确理解并应用于概率的计算。

第二章一维随机变量及其分布

第二节分布函数

分布函数：设X是一个随机变量，x为一个任意实数，称函数内的概率分布

函数的性质:

（1）单调不减；

（2）右连续；

（3）第三节离散型随机变量离散型随机变量的分布律：设（k=l,2,）是离散

型随机变量为离散型随机变量X的分布律，也称概率分布.当离散性随机变量取

值有限且概率的规律不明显时，常用表格形式表示分布律。

分布律的性质：

（1）离散型随机变量的概率计算：

（1）已知随机变量X的分布律，求X的分布函数；

（2）已知随机变量X的分布律，求任意随机事件的概率；

（3）已知随机变量X的分布函数，求X的分布律三种常用离散型随机变量

的分布：

1.（0—1）分布：参数为p的分布律为

2.二项分布：参数为n,p的分布律为重独立重复实验中，事件A发生的概率

为P，记X次实验中事件A发生的次数。

3.泊松分布：参数为人的分布率为第四节连续型随机变量连续型随机变量

概率密度f（x）的性质连续型随机变量的概率计算：

（1）已知随机变量X的密度函数，求X的分布函数；

（2）已知随机变量X的分布函数，求X的密度函数；

（3）已知随机变量X的密度函数，求随机事件的概率;

（4）已知随机变量X的分布函数，求随机事件的概率；三种重要的连续型分

布：

1.均匀分布：密度函数N（0,1）称为标准正态分布.标准正态分布的重要性

在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布，然后再

计算概率.第五节随机变量函数的分布离散型：在分布律的表格中直接求出；连

续型：寻找分布函数间的关系，再求导得到密度函数间的关系；注意分段函数情况

可能需要讨论，得到的结果也可能是分段函数。第三章多维随机变量及其分布

第一节二维E通机变量的联合分布函数联合分布函数，表示随机点落在以（X,

y）为顶点的左下无穷矩形区域内的概率。

2.联合分布函数的性质：

（1）分别关于x亘调不减；

（2）分别关于x第二节二维离散型随机变量联合分布律：ij第三节二维

连续性随机变量联合密度：第四节边缘分布二维离散型随机变量的边缘分布

律：在表格边缘，对应概率相加求出；二维连续性随机变量的边缘密度：先求出

边缘分布函数，在求导求出边缘密度第六节随机变量的独立性独立性判断：取

值互不影响，可认为相互独立；

（3）根据独立性定义判断独立性的应用：

（4）判断独立性；

（5）己知独立性，由边缘分布确定联合分布第四章随机变量的数字特征离

散型随机变量数学期望的计算xfEX常见分布的数学期望和方差两点分布，二项分

布，泊松分布，均匀分布，正态分布，指数分布。

概率论重要知识点总结「篇九」

1.随机变量

定义：设随机试验的样本空间为S={e}。X=X(e)是定义在样本空间S上的单

值函数，称X=X(e)为随机变量。

2.离散型随机变量及其分布律

三大高散型随机变量的分布1)(0——1)分布。E(X)=p,D(X)=p(l-p)

2)伯努利试验、二项分布E(X)=np,D(X)=np(l-p)

3)泊松分布P(X=k)=(?"k)e7-?)/k!(k=0,1,2,)

E(X)=,I)(X)=?

注意：当二项分布中n很大时，可以近似看成泊松分布，即np=?

3.随机变量的分布函数

定义：设X是一个随机变量，x是任意的实数，函数F(x)=P(X〈x),x属

于R称为X的分布函数分布函数的性质：

1)F(x)是一个不减函数

2)OWF(x)W1

离散型随机变量的分布函数的求法。(由分布律求解分布函数)

连续性随机变量的分布函数的求法。(由分布函数的图像求解分布函数，由概

率密度求解分布函数)

4.连续性随机变量及其概率密度

连续性随机变量的分布函数等于其概率密度函数在负无穷到x的变上限广义积

分相反密度函数等与对应区间上分布函数的导数密度函数的性质：

(1)f(x)2O

(2)密度函数在负无穷到正无穷上的广义枳分等于1

三大连续性随机变量的分布：

(1)均与分布E(X)=(a+b)/2D(X)=[(b-a)*2]/12

(2)指数分布E(X)D(X)=0-2

(3)正态分布一般式(标准正态分布)

随机变量的函数的分布：

(1)已知随机变量X的分布函数求解Y=g(X)的分布函数

(2)已知随机变量X的密度函数求解Y=g(X)的密度函数第三章多维随机变

量及其分布(主要讨论二维随机变量的分布)

1.二维随机变量

定义设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数F(x,Y)

二P[(XWx)交(YWy)]称为二维随机变量(X,Y)的分布函数或称为随机变量联

合分布函数离散型随机变量的分布函数和密度函数连续型随机变量的分布函数和

密度函数，重点掌握利用二重积分求解分布函数的方法。

2.边缘分布

离散型随机变量的边缘概率；

连续型随机变量的边缘概率密度。

3.相互独立的随机变量

如果X,Y相互独立，那么X,Y的联合概率密度等于各自边缘的乘积。

5.两个随机变量的分布函数的分布

关键掌握利用卷积公式求解Z=X+Y的概率密度。

第四章.随机变量的数字特征

1.数学期望

离散型随机变量和连续型随机变量数学期望的求法六大分布的数学期望。

2.方差

连续性随机变量的方差D(X)=E(X^2)-[E(X)「2方差的基本性质：

(1)设C是常数，则D(C)=0

(2)设X随机变量，C是常数，则有

D(CX)=U2D(X)

(3)设X,Y是两个随机变量，则有

D(XiY)=D(X)11)(Y)i2E[(XE(X))(YE(Y))｝特别地，若X,Y

不相关，则有【)(X+Y)=D(X)+D(Y)切比雪夫不等式的简单应用。

3.协方差及相关系数

协方差：Cov(X,Y)=E{(X-E(X))(Y-E(Y))}相关系数:

m=Cov(x,y)/VD(X)VD(Y)

当相关系数等于0时,X,Y不相关，Cov(X,Y)等于0不相关不一定独立，但

独立一定不相关。

概率论重要知识点总结「篇十」

第一节基本概念

随机实验：将一切具有下面三个特点：(1)可重复性⑵多结果性(3)不确定性

的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用E表示。

随机事件：在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情(结果)称为随机事

件，简称为事件。

不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为中。

必然事件：在试验中必然出现的事情，记为。

样本点：随机试验的每个基本结果称为样本点，记作。

样本空间：所有样本点组成的集合称为样本空间.样本空间用表示.一个随机

事件就是样本空间的一个子集。基本事件单点集，复合事件多点集一个随机事件

发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。事件的关系与运算(就是集合的

关系和运算)

包含关系：若事件A发生必然导致事件B发生，则称B包含A,记为B?A或

A?Bo相等关系：若B?A且A?B,则称事件A与事件B相等，记为A二B。

事件的.和：事件A与事件B至少有一个发生是一事件，称此事件为事件，与

事件B的和事件。记为ABo

事件的积：称事件事件A与事件B都发生为A与B的积事件，记为AB或

ABo事件的差：称事件事件A发生而事件B不发生为事件A与事件B的差事件，记

为A-Bo用交并补可以表示为A?B?AB。

互斥事件：如果A,B两事件不能同时发生，即AB二，则称事件A与事件E是

互不相容事件或互斥事件。互斥时A?B可记为A+Bc

对立事件：称事件A不发生为事件A的对立事件(逆事件)，记为A。对立事件

的性质：A?BA?B

事件运算律：设A,B,C为事件，则有

(1)交换律:AB=BA,AB;BA

(2)结合律：AC)=(AC=ACA(BC)=(AB)C=ABC

(3)分酉己律：AC)二(A(AC)A(BC)=(A(AC)=ABAC

(4)对偶律(摩根律：：A?B?A?BA?B?A?B

第二节事件的概率

概率的公理化体系：

(1)非负性：P(A)

(2)规范性：P=1

(3)可数可加性：A!?A2An两两不相容时

P(A1?A2An)?P(A1)?P(A2)P(An)

概率的性质：

⑴P=0

(2)有限可加性

第三节古典概率模型

1、设试验E是古典概型，其样本空间由n个样本点组成，事件A由k个样本点

组成.则定义事件A的概率为P(A)?kn

2、几何概率：设事件A是的某个区域，它的面积为(A),则向区域上随机投

掷一点，该点落在区域A的概率