第二章 22-高考语文总复习资料-高考数学

§2.2函数的单调性与最值

最新考纲考情考向分析

以基本初等函数为载体，考查函数的单调性、

1.理解函数的单调性、最大值、最小值

单调区间及函数最值的确定与应用；强化对

及其几何意义.

函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨

2.会运用基本初等函数的图象分析函

论思想的考查，题型既有选择、填空题，又

数的性质.

有解答题.

基础知识自主学习

-------------------------------------------------回扣基础知识训练基础题目--------------------------------------------------

r知识梳理

1.函数的单调性

(1)单调函数的定义

增函数减函数

在函数7U)的定义域内的一个区间人上，如果对于任意两数笛，切£人

定义当X[<X2时，都有於但UA，那么，就当总令2时，都有411)>心2),那么，

称函数7U)在区间4上是增加的就弥函数J")在区间A上是减少的

y

y=M\

■

图像加)：触)

!」一

o|xi-*1*2X

描述X2~x0

自左向右看图像是上升的白左向右看图像是下降的

(2)单调区间的定义

如果函数y=")在区间4上是增加的或是减少的,那么就称A为单调区间.

2.函数的最值

前提函数y=7U)的定义域为D

(1)存在.如£。使得凡3)=M：(3)存在的£。，使得儿3)=M：

条件

(2)对于任意都有心)WM(4)对于任意都有心

结论M为最大值M为最小值

【知识拓展】

函数单调性的常用结论

（1）对任意由，MEOSWM）,甚咚於2>09”）在D上是增加的，©与皿〈0旬比）在D

X|X2X|X2

上是减少的.

⑵对勾函数y=x+?（a>0）的递增区间为（一8,一班］和［g,+8）,递减区间为［-g,0）

人

和（0,y［a］.

（3）在区间。上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数.

（4）函数Ag（x））的单调性与函数），=川/）和〃=g。）的单调性的关系是“同增异减”.

■基础自测

题组一思考辨析

1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“J”或“X”）

（I）若定义在R上的函数/2，有人一1）勺（3）,则函数/（幻在R上为增函数.（X）

（2）函数），=凡1）在［1,+8）上是增函数，则函数的递增区间是“，+8）.（X）

（3）函数的递减区间是（一8,0）0（0,+8）.（X）

（4）闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到.（V）

题组二教材改编

2.函数./U）=A*2—2x的递增区间是.

答案［1,+8）（或（1,4-00））

2

3.函数），==在［2,3］上的最大值是.

答案2

4.若函数人工）=/-2〃a+1在［2,+8）上是增函数，则实数〃?的取值范围是.

答案（一8,2］

解析由题意知，［2,+8）U［m,+8）,.・.〃?W2.

题组三易错自纠

5.函数y=log］（X2—4）的递减区间为.

2

答案（2,4-oo）

6.若函数yu）=|2x+“|的递增区间是［3,4-00）,则〃的值为.

答案一6

解析由图像（图略）易知函数,"）=|2x+a|的递增区间是［一会+8）,令一卷=3,得。=—6.

7.函数'的最大值为.

、一*+2,x<\

答案2

解析当时，函数加x)=：为减函数，所以“¥)在x=l处取得最大值，为yu)=l；当X

VI时，易知函数/U)=—f+2在x=0处取得最大值，为.40)=2.故函数7U)的最大值为2.

题型分类深度剖析

--------------------------------------------真题典题深度剖析重点难点多维探究---------------------------------------------

多:维

题型一确定函数的单调性(区间)探♦究

命题点I给出具体解析式的函数的单调性

典例⑴函数,=log](2A，3人+1)的递减区间为()

2

A.(1,+°°)B.(-8,q

C.&+0°)D.；,+8)

答案A

解析由2『—3x4-1>0,

得函数的定义域为(一8,加(1,+8).

令r=2r—3x+1,则y=log1t,

2

3x4-1=2^x—1|2—I，

工片才一3x+l的递增区间为(1,+°°).

又y=10gi/在(1,+8)二是减函数，

2

，函数y=log](21—3x+l)的递减区间为(1,+8).

2

(2)函数)，=一/+2|工|+3的递减区间是.

答案[―L0],[1,+oo)

解析由题意知，当x20时，>,=—A-+2A-+3=—(X—1)2+4：当x<0时，y=—x2—2x+3

=—(x+1)2+4,

二次函数的图像如图.

跟踪训练（1）（2017•郑州模拟）函数.y=（§2iH的递增区间为（）

3

A+B-

84

\3

C6+^D-+

74

答案B

解析易知函数y=（；）为减函数，i="-3『H的递减区间为（一8,今

・•・函数y=Q）廿一&m的递增区间是（-8,5.

（2）函数），=-Q—3）国的递增区间是.

3-

-

答案O,2

-

—f+3x,x>0,

解析），=一。-3）国=，

x2—3x,%W0.

3

作出该函数的图像，观察图像知递增区间为0,

2

题型二函数的最值…——・••自主演练

I.函数y（x）=G）-iog2a+2）在区间［一i,i］上的最大值为.

答案3

解析由于y=G）在R上是减少的，），=log2（x+2）在［-1,1］上是增加的，所以在［一

1,1］上是减少的，故/U）在［—1,1］上的最大值为人-1）=3.

X2,X<1,

2.已知函数应力=（,6乙则yu）的最小值是________.

x十一一6,x>1>

、X

答案2^6—6

解析当时，/U）min=（），当X>1时，/U）min=2#-6,当且仅当工=%时取到最小值,

又2加一6V0,所以凡r）min=2%一6.

3.已知函数/）=5一%4>0,入>0）,若/（x）在；，2上的值域为容2,则4=.

答案f2

解析由反比例函数的性质知函数火此=5—%4>0,x>0；在2上是增加的，

JygH及一2君

所以.12,2即j1]解得

82)=2,[--2=2,

思维升华求函数最值的五种常用方法及其思路

(I)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.

(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值.

(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式

求出最值.

(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.

(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值.

多维

题型三函数单调性的应用

探究

命题点I比较大小

典例已知函数大幻的图像向左平移1个单位后关于y轴对称，当刈>汨>1时，[”2)—入%)卜(必

一汨)〈0恒成立，设匕=12),cf3),则〃，b,c的大小关系为()

A.c>a>bB.c>b>aC.a>c>bD.b>a>c

答案D

解析根据已知可得函数/U)的图像关于直线X=1对称，且在(1,+8)上是减函数，因为〃

=X-2)=X&且2今3,

所以b>a>c.

命题点2解函数不等式

典例已知函数_/U)为(0,+8)上的增函数，若则实数。的取值范围为

答案(一3,-1)U(3,-Foo)

解析由已知可得,。+3>0,

解得一3<a<—1或a>3,

所以实数。的取值范围为]-3,-1)U(3,+8).

命题点3求参数范围

典例（1）（2018•郑州模拟）函数），="^工工在（-1,+8）上是增加的，则a的取值范围是（)

A.〃=-3B.a<3

C.aW—3D.3

(3〃-l)x+4a,x<1»

⑵已知於）=是（-8,十8）上的减函数，则。的取值范围是（)

lo&x,

A.(0,1)B.[0,3

「1

C.q，3.D.1

答案(DC(2)C

x-a-2+。-3a—3

解析⑴尸lT=1+^^?

t/—3<0,

由题意知,G+2WT,得X—3.

••・〃的取值范围是〃W—3.

3d-KO,

（2）由人幻是减函数，得，0Vav1.

.（3a—1）XI+4。2logfll,

号

・•・〃的取值范围是［｝,I）.

思维升华函数单调性应用问题的常见类型及解题策略

⑴比较大小.

⑵解不等式.利用函数的单调性将“尸符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意

函数的定义域.

⑶利用单调性求参数.

①依据函数的图像或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较；

②需注意若函数在区间。，切上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；

③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.

跟踪训练（1）如果函数八x）=,、满足对任意汨WX2,都有"_人J>0成

a,xNl即一X2

立，那么。的取值范围是.

答案

.

>0

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#X2,

意X\

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解析

XLX2

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1.函

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