拓展点1 极点与极线

极点与极线【知识拓展】1.极点和极线的代数定义已知圆锥曲线Γ：Ax2＋2Bxy＋Cy2＋2Dx＋2Ey＋F＝0，P(x0，y0)(非中心)和直线l：Ax0x＋B(x0y＋y0x)＋Cy0y＋D(x0＋x)＋E(y0＋y)＋F＝0，则称点P(x0，y0)是直线l关于圆锥曲线Γ的极点，直线l称为P点关于曲线Γ的极线.以上代数定义表明，在圆锥曲线方程中，以eq\f(x0y＋y0x,2)替换xy，以x0x替换x2，以eq\f(x0＋x,2)替换x(另一变量y也是如此)，即可得到点P(x0，y0)关于曲线Γ的极线方程.2.极点和极线的几何定义(以椭圆为例说明)如图(1)所示，点P在椭圆上，极线l是以点P为切点的切线；如图(2)所示，点P在椭圆外，极线l与椭圆相交，且为由点P向椭圆所引切线的切点弦所在直线.如图(3)所示，点P在椭圆内，极线l与椭圆相离，极线l为经过点P的弦在两端处切线交点的轨迹，且极线l与以P为中点的弦所在直线平行.3.极点和极线的几何定义对应以下两个定理已知P(x0，y0)和抛物线y2＝2px(p>0)、椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)和双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的方程，定理1：若点P(x0，y0)在曲线上，则曲线在点P处的切线方程分别是y0y＝p(x＋x0)，eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝1，eq\f(x0x,a2)－eq\f(y0y,b2)＝1.定理2：若点P(x0，y0)是曲线外的一点，过P(x0，y0)作曲线的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程分别是y0y＝p(x＋x0)，eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝1，eq\f(x0x,a2)－eq\f(y0y,b2)＝1.4.极点和极线的作图(几何意义)如图所示(以椭圆图形为例)，若点P不是在圆锥曲线上的点，且不为原点O，过点P作割线PAB，PCD依次交圆锥曲线于A，B，C，D四点，连接直线AD，BC交于点M，连接直线AC，BD交于点N，则直线lMN为极点P对应的极线.类似的，也可得到极点N对应的极线为直线lPM，极点M对应的极线为直线lPN，因此，我们把△PMN称为自极三角形.(即△PMN的任一顶点作为极点，则顶点对应的边即为对应的极线)如图所示，如果我们连接直线NM交圆锥曲线于点E，F，则直线PE，PF恰好为圆锥曲线的两条切线.【类型突破】类型一求切线和切点弦方程例1(2024·武汉模拟改编)过椭圆C：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1内一点M(3，2)，作直线AB与椭圆交于A，B，作直线CD与椭圆交于点C，D，过A，B分别作椭圆的切线交于点P，过C，D分别作椭圆的切线交于点Q，求PQ所在的直线方程.解由题意设P(x1，y1)，Q(x2，y2).则AB为点P关于椭圆C的极线，其方程为eq\f(x1x,25)＋eq\f(y1y,9)＝1.又M(3，2)在直线AB上，所以eq\f(3x1,25)＋eq\f(2y1,9)＝1，①同理eq\f(3x2,25)＋eq\f(2y2,9)＝1，②由①②可得直线PQ的方程是eq\f(3x,25)＋eq\f(2y,9)＝1.规律方法本例利用点P关于椭圆C的极线为AB，点Q的极线为CD，求直线PQ的方程，熟练掌握并应用极点、极线的定理是解题的关键.训练1过点P(－2，3)作圆C：x2＋(y－2)2＝4的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为________.答案2x－y＋6＝0解析切点弦AB所在的直线就是点(－2，3)关于圆C的极线，其方程为－2x＋(3－2)(y－2)＝4，即2x－y＋6＝0.类型二判断直线与圆锥曲线的位置关系例2(多选)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是()A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切答案ABD解析法一圆心C(0，0)到直线l的距离d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2)).若点A(a，b)在圆C上，则a2＋b2＝r2，所以d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))＝|r|，则直线l与圆C相切，故A正确；若点A(a，b)在圆C内，则a2＋b2<r2，所以d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))>|r|，则直线l与圆C相离，故B正确；若点A(a，b)在圆C外，则a2＋b2>r2，所以d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))<|r|，则直线l与圆C相交，故C错误；若点A(a，b)在直线l上，则a2＋b2－r2＝0即a2＋b2＝r2，所以d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))＝|r|，直线l与圆C相切，故D正确.故选ABD.法二显然对于圆C，以A(a，b)作为极点，那么极线就是l：ax＋by－r2＝0，若极点A在圆C上，则极线l为圆C的切线，故A正确；若极点A在圆C内，则极线l与圆C相离，故B正确；若极点A在圆C外，则极线l是圆C的切点弦，与圆C相交，故C错误；若极点A在直线l，这时极线恰好为切线，极点为切点，故D正确.易错提醒解题的关键是发现点A(a，b)与直线l：ax＋by－r2＝0互为关于圆C的极点、极线.训练2已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，点P(x0，y0)，x0＝acosα，y0＝bsinα，则直线l：eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝1与椭圆的位置关系是()A.相交 B.相切C.相离 D.以上皆有可能答案B解析由eq\f(a2cos2α,a2)＋eq\f(b2sin2α,b2)＝cos2α＋sin2α＝1，知点P在椭圆上，所以点P与直线l是关于椭圆的一对极点、极线，所以直线l与椭圆相切.类型三探究最值问题例3(2024·烟台质检)已知椭圆Γ：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)过点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(2),2)))，其焦距为2.(1)求椭圆Γ的方程；(2)如图，点B为Γ在第一象限中的任意一点，过B作Γ的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，求△OCD面积的最小值.解(1)依题意得：椭圆的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，由椭圆定义知：2a＝|AF1|＋|AF2|，所以a＝eq\r(2)，c＝1，所以b＝1，所以椭圆Γ的方程为eq\f(x2,2)＋y2＝1.(2)设B(x1，y1)，则椭圆Γ在点B处的切线即为点B关于曲线Γ的极线，其方程为eq\f(x1,2)x＋y1y＝1，令x＝0，yD＝eq\f(1,y1)；令y＝0，xC＝eq\f(2,x1)，所以S△OCD＝eq\f(1,x1y1)，又点B在椭圆的第一象限上，所以x1>0，y1>0，且eq\f(xeq\o\al(2,1),2)＋yeq\o\al(2,1)＝1，所以1＝eq\f(xeq\o\al(2,1),2)＋yeq\o\al(2,1)≥2eq\r(\f(xeq\o\al(2,1),2)yeq\o\al(2,1))＝eq\r(2)x1y1，即eq\f(1,x1y1)≥eq\r(2)，所以S△OCD＝eq\f(1,x1y1)≥eq\r(2)，当且仅当eq\f(xeq\o\al(2,1),2)＝yeq\o\al(2,1)且eq\f(xeq\o\al(2,1),2)＋yeq\o\al(2,1)＝1，即x1＝eq\r(2)y1＝1时取等号，所以当Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(2),2)))时，△OCD的面积取最小值eq\r(2).规律方法设椭圆上的B点坐标为(x1，y1)，可得出在点B处的切线方程为eq\f(x1x,2)＋y1y＝1，从而确定C，D两点的坐标，写出△OCD面积的表达式.训练3已知椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，过直线l：x＝4上任意一点Q，作椭圆C的两条切线，切点分别为A，B，则原点到直线AB距离的最大值为________.答案1解析由题设，切点弦AB是点Q关于C的极线，设点Q的坐标为(4，y0)，则可知直线AB的方程为eq\f(4x,4)＋eq\f(y0y,3)＝1，即x＋eq\f(y0y,3)＝1，显然直线AB过焦点(1，0)，所以原点到直线AB的距离的最大值为1.类型四定点或定值问题例4(2024·南京调研改编)已知椭圆C：eq\f(x2,4)＋y2＝1的左、右顶点分别为A，B，上顶点为D，点P是椭圆C上异于顶点的动点，如图所示，直线AD与直线BP交于点M，直线DP与x轴交于点N，证明：直线MN过定点，并求出该定点.解由椭圆C的方程可得D(0，1)，B(2，0)，如图，连接AP，BD交于点Q，并连接MQ，NQ，由题意知△MNQ为自极三角形，则以Q为极点的极线为MN，易求BD的直线方程为x＋2y＝2，可设点Q(2－2t，t)，那么极线MN的方程为eq\f(2－2t,4)x＋ty＝1，整理得x－2－t(x－2y)＝0，所以直线MN过定点(2，1).规律方法由自极三角形的定义知，MN就是点Q关于椭圆C的极线，从而得出直线MN的方程为x－2－t(x－2y)＝0，因此直线MN过定点(2，1).训练4(2024·重庆诊断改编)如图所示，椭圆E：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左、右顶点分别为A，B，左焦点为F，过F的直线与椭圆E交于不与A，B重合的C，D两点，记直线AC和BD的斜率分别为k1，k2，证明：eq\f(k1,k2)为定值.证明依题意A(－2，0)，B(2，0)，F(－1，0)，延长CA，BD相交于点N，延长DA，BC相交于点M，连接MN，MF，NF，则△MNF为自极三角形，故点F关于椭圆E的极线MN的直线方程为eq\f(－1×x,4)＋eq\f(0×y,3)＝1，即x＝－4.则直线AC与直线BD的交点N的坐标为(－4，y0)，所以eq\f(k1,k2)＝eq\f(\f(y0,－4＋2),\f(y0,－4－2))＝3.【精准强化练】一、单选题1.对于抛物线C：y2＝2x，设点P(x0，y0)满足yeq\o\al(2,0)<2x0，则直线l：y0y＝x＋x0与抛物线C()A.恰有1个交点 B.恰有2个交点C.没有交点 D.有1个或2个交点答案C解析显然直线l是点P对应的极线，因为yeq\o\al(2,0)<2x0，所以点P在抛物线内部，从而直线l与抛物线C没有交点.2.已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线上，过点A的直线与抛物线C在第一象限相切于点B，记抛物线C的焦点为F，则直线BF的斜率为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,4) D.eq\f(4,3)答案D解析因为点A(－2，3)在准线上，所以p＝4，F(2，0)，又直线AB与抛物线相切，故直线BF即为点A关于C的极线，其方程为3y＝4(x－2)，因此kBF＝eq\f(4,3).故选D.3.过点(3，1)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为()A.2x＋y－3＝0 B.2x－y－3＝0C.4x－y－3＝0 D.4x＋y－3＝0答案A解析切点弦AB就是点(3，1)关于圆C的极线，其方程为(3－1)(x－1)＋1×y＝1，即2x＋y－3＝0.故选A.4.在直线x＝3上任取一点P，过点P向圆C：x2＋(y－2)2＝4作两条切线，切点分别为A，B，则直线AB经过一个定点，该定点的坐标为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，2)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(4,3)))C.(－1，2) D.(2，－1)答案A解析设点P的坐标为(3，t)，点P关于圆C：的极线为直线AB，其方程为3x＋(t－2)(y－2)＝4，整理得(y－2)t＋(3x－2y)＝0，令y－2＝0，3x－2y＝0，可得直线AB过定点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，2)).5.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝kx＋2与圆C：(x－1)2＋y2＝9交于A，B两点，过点A，B分别作圆C的两条切线l1与l2，直线l1与l2交于点P，则线段PC长度的最小值是()A.eq\f(9\r(5),5) B.3eq\r(3)C.3eq\r(2) D.5eq\r(2)答案A解析设P(x0，y0)，则点P关于圆C的极线方程为(x0－1)(x－1)＋y0y＝9，其经过A，B两点，而经过A，B两点的直线l过定点(0，2)，所以(x0－1)(0－1)＋2y0＝9，即x0＝2y0－8.所以|PC|＝eq\r(（2y0－8－1）2＋yeq\o\al(2,0))＝eq\r(5\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y0－\f(18,5)))\s\up12(2)＋\f(81,5))≥eq\f(9\r(5),5)(当且仅当y0＝eq\f(18,5)时取等号)，所以线段PC长度的最小值是eq\f(9\r(5),5).6.(2024·成都二诊)已知P是抛物线C：x2＝4y＋20上任意一点，若过点P作圆O：x2＋y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，则劣弧AB长度的最小值为()A.eq\f(π,3) B.eq\f(2π,3)C.π D.eq\f(4π,3)答案D解析设P(x0，y0)，则直线AB是点P关于圆O的极线，则直线AB的方程为xx0＋yy0＝4，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xx0＋yy0＝4，,xeq\o\al(2,0)＝4y0＋20，))得x0x＋eq\f(xeq\o\al(2,0)－20,4)·y－4＝0，点O到AB的距离为d＝eq\f(16,\r(16xeq\o\al(2,0)＋（xeq\o\al(2,0)－20）2))＝eq\f(16,\r(（xeq\o\al(2,0)－12）2＋256))≤1，当且仅当xeq\o\al(2,0)＝12时等号成立.此时∠OBA＝∠OAB＝eq\f(π,6)，∴∠AOB＝eq\f(2π,3)，此时劣弧AB长度的最小，最小值为2×eq\f(2π,3)＝eq\f(4π,3)，故选D.二、多选题7.(2024·广州调研)已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，准线为l，P是抛物线C上第一象限的点，|PF|＝5，直线PF与抛物线C的另一个交点为Q，则下列选项正确的是()A.点P的坐标为(4，4)B.|QF|＝eq\f(5,4)C.S△OPQ＝eq\f(10,3)D.过点M(x0，－1)作抛物线C的两条切线MA，MB，其中A，B为切点，则直线AB的方程为x0x－2y＋2＝0答案ABD解析由题意可知，p＝eq\f(4,2)＝2，F(0，1).对于A，∵|PF|＝5，∴由抛物线的定义可得，yP＋1＝5，解得yP＝4，xeq\o\al(2,p)＝4yP＝16，且P是抛物线C上第一象限的点，故点P的坐标为(4，4)，故A正确；对于B，由eq\f(1,|PF|)＋eq\f(1,|QF|)＝eq\f(2,p)，得eq\f(1,|QF|)＝eq\f(2,2)－eq\f(1,5)＝eq\f(4,5)，即|QF|＝eq\f(5,4)，故B正确；对于C，设直线PQ的倾斜角为θ，则kPQ＝eq\f(4－1,4－0)＝eq\f(3,4)，即tanθ＝eq\f(3,4)，所以cosθ＝eq\f(4,5)，故S△OPQ＝eq\f(p2,2cosθ)＝eq\f(22,2×\f(4,5))＝eq\f(5,2)，故C错误；对于D，切点弦AB所在直线就是点M(x0，－1)关于抛物线C的极线，其方程为x·x0＝4×eq\f(y－1,2)，即x0x－2y＋2＝0，D正确，故选ABD.8.在平面直角坐标系xOy中，由直线x＝－4上任一点P向椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1作切线，切点分别为A，B，点A在x轴的上方，则()A.∠APB恒为锐角B.当AB垂直于x轴时，直线AP的斜率为eq\f(1,2)C.|AP|的最小值为4D.存在点P，使得(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PO,\s\up6(→)))·eq\o(OA,\s\up6(→))＝0答案ABD解析对于A，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(－4，m)，则直线AB是点P关于椭圆的极线，则直线AB的方程为－x＋eq\f(my,3)＝1，即3x－my＋3＝0，∴直线AB恒过定点(－1，0)，以AB为直径的圆的直径最大且无限接近2a＝4，则半径最大无限接近2，但该圆与直线x＝－4相离，∴∠APB始终为锐角，故A正确；对于B，当AB垂直于x轴时，由对称性可知P(－4，0)，此时直线AB的方程为x＝－1，可得x1＝－1，代入椭圆方程可得y1＝eq\f(3,2)，∴Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(3,2)))，∴kAP＝eq\f(\f(3,2)－0,－1－（－4）)＝eq\f(1,2)，故B正确；对于C，由B可得当AB垂直于x轴时，|AP|＝eq\r(（－1＋4）2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－0))\s\up12(2))＝eq\r(\f(45,4))＝eq\f(3\r(5),2)<4，故C错误；对于D，取AO的中点M，(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PO,\s\up6(→)))·eq\o(OA,\s\up6(→))＝2eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))，若(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PO,\s\up6(→)))·eq\o(OA,\s\up6(→))＝0，则PM⊥AO，即△PAO为等腰三角形，则PA2＝(x1＋4)2＋(y1－m)2＝PO2＝16＋m2，化简得xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)＋8x1－2my1＝0，由A知my1＝3x1＋3，yeq\o\al(2,1)＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(xeq\o\al(2,1),4)))，整理得xeq\o\al(2,1)＋8x1－12＝0，解得x1＝－4＋2eq\r(7)或x1＝－4－2eq\r(7)(舍去)，故存在点P，使得(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PO,\s\up6(→)))·eq\o(OA,\s\up6(→))＝0，故D正确.三、填空题9.已知椭圆C：eq\f(x2,2)＋y2＝1的两个焦点F1，F2，点P(x0，y0)满足0<eq\f(xeq\o\al(2,0),2)＋yeq\o\al(2,0)<1，则|PF1|＋|PF2|的取值范围为______，直线eq\f(x0x,2)＋y0y＝1与椭圆C的公共点个数是________.答案[2，2eq\r(2))0解析由0<eq\f(xeq\o\al(2,0),2)＋yeq\o\al(2,0)<1知点P在椭圆内且不是中心，由椭圆定义得|F1F2|≤|PF1|＋|