拓展点2 调和点列与调和线束

调和点列与调和线束【知识拓展】一、调和点列1.调和点列概念：一般地，若eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(AC,\s\up6(→))＝λ\o(CB,\s\up6(→))，,\o(AD,\s\up6(→))＝－λ\o(DB,\s\up6(→))))(λ>0且λ≠1)，则A，C，B，D四点构成“调和点列”，A，B叫基点，C，D叫内、外分点.2.调和点列性质：若A，C，B，D为调和点列，即eq\f(|AC|,|CB|)＝eq\f(|AD|,|DB|)，则(1)调和性：eq\f(1,|AC|)＋eq\f(1,|AD|)＝eq\f(2,|AB|)[证明如下：eq\f(|CA|,|CB|)＝eq\f(|DA|,|DB|)，得eq\f(|CB|,|CA|)＝eq\f(|DB|,|DA|)，得eq\f(|AB|－|CA|,|CA|)＝eq\f(|DA|－|AB|,|DA|)，得eq\f(|AB|,|CA|)－1＝1－eq\f(|AB|,|DA|)，得eq\f(|AB|,|CA|)＋eq\f(|AB|,|DA|)＝2，得eq\f(1,|AC|)＋eq\f(1,|AD|)＝eq\f(2,|AB|).](2)共轭性：若A，C，B，D成调和点列，则D，B，C，A也成调和点列，即eq\f(1,|DB|)＋eq\f(1,|DA|)＝eq\f(2,|DC|)成立.(3)等比性：①eq\f(|CA|,|CB|)＝eq\f(|DA|,|DB|)＝λ.②记线段AB的中点为M，则有|MA|2＝|MB|2＝|MC||MD|[证明如下：eq\f(|CA|,|CB|)＝eq\f(|DA|,|DB|)，得eq\f(|MA|＋|MC|,|MA|－|MC|)＝eq\f(|MD|＋|MA|,|MD|－|MA|)，得eq\f(|MA|＋|MC|,|MD|＋|MA|)＝eq\f(|MA|－|MC|,|MD|－|MA|)，由等比定理得eq\f(（|MA|＋|MC|）＋（|MA|－|MC|）,（|MD|＋|MA|）＋（|MD|－|MA|）)＝eq\f(（|MA|＋|MC|）－（|MA|－|MC|）,（|MD|＋|MA|）－（|MD|－|MA|）)，得eq\f(2|MA|,2|MD|)＝eq\f(2|MC|,2|MA|)，得|MA|2＝|MB|2＝|MC||MD|.]③记线段CD的中点为N，则有|NC|2＝|ND|2＝|NA||NB|.3.极点、极线与调和点列设P是圆锥曲线E的一个极点，它对应的极线为l，过点P任引一条直线交E于点A，B，交l于点Q，若点A位于P，Q之间，则有(1)调和性：eq\f(1,|PA|)＋eq\f(1,|PB|)＝eq\f(2,|PQ|)；(2)共轭性：eq\f(1,|BQ|)＋eq\f(1,|BP|)＝eq\f(2,|BA|).(3)等比性：①点Q，P是线段AB的内、外分点，eq\f(|PA|,|PB|)＝eq\f(|QA|,|QB|)＝λ.②若E为椭圆或双曲线，当直线AB经过曲线中点O时，|OP|·|OQ|＝|OA|2＝|OB|2.二、调和线束1.若A，C，B，D构成调和点列，O为直线AB外任意一点，则四直线OA，OC，OB，OD为调和线束；若另一直线截此调和线束，则截得的四点A′，C′，B′，D′仍构成调和点列.2.如果调和线束的四直线a，b，c，d被一条平行于直线d的直线s所截，交点顺次为A，B，C(如图)，则C为线段AB的中点.3.斜率分别为k1，k2，k3的三条直线l1，l2，l3交于点P，过P作x轴的垂线l4，则k1，k2，k3成等差数列的充要条件为l1，l2，l3，l4成调和线束.[证明如下：不妨设k1，k2，k3均为正数，其它情况同理可证.如图，设l1，l2，l3，l4与x轴分别交于A，B，C，D四点，则2k2＝k1＋k3⇔eq\f(2,|DB|)＝eq\f(1,|DA|)＋eq\f(1,|DC|)⇔eq\f(|DA|,|DC|)＝eq\f(|BA|,|BC|)⇔A，B，C，D成调和点列⇔l1，l2，l3，l4成调和线束.]4.椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，P的坐标是(x0，0)，Q点在P关于椭圆的极线x＝eq\f(a2,x0)上.过P作直线交椭圆于点A，B.则直线AQ，PQ，BQ的斜率成等差数列.[证明如下：作出以下辅助线：作QR⊥x轴于R，设AB与CD交于点P，可知M，P，N，R成调和点列，于是有eq\f(1,|RM|)＋eq\f(1,|RN|)＝eq\f(2,|RP|)，所以kAQ＋kBQ＝kMQ＋kNQ＝eq\f(|QR|,|RM|)＋eq\f(|QR|,|RN|)＝eq\f(2|QR|,|RP|)＝2kPQ，即直线AQ，PQ，BQ的斜率成等差数列.](该结论对于抛物线，双曲线同样适用.特别地，当Q点在x轴上时，就是等角线，此时PQ斜率为0，PQ平分∠AQB.)【类型突破】类型一调和点列例1已知椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1，过点P(4，1)的动直线l于C相交于不同两点A，B，在线段AB上取点Q，满足|AP||QB|＝|AQ||PB|，证明：点Q总在某定直线上.证明借助调和点列分析如下：由|AP||QB|＝|AQ||PB|可得eq\f(|AP|,|PB|)＝eq\f(|AQ|,|QB|)，证明P、Q关于椭圆调和共轭，点Q在点P对应的极线上，此极线方程为eq\f(4×x,4)＋eq\f(1×y,2)＝1，即2x＋y－2＝0.故点Q总在直线2x＋y－2＝0上.(常规证明过程略)规律方法借助二次曲线的极点、极线和调和点列的性质，可快速解决定点、定线问题.训练1已知椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.过点P(6，0)的动直线l与椭圆C交于不同的点A，B时，在线段AB上取点Q，使得eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BQ,\s\up6(→))＋eq\o(AQ,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝0，问点Q是否总在某条定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由.解∵eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BQ,\s\up6(→))＝－|AP|·|BQ|，eq\o(AQ,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝|AQ|·|BP|，∴－|AP|·|BQ|＋|AQ|·|BP|＝0，即eq\f(|AP|,|AQ|)＝eq\f(|BP|,|BQ|)，即eq\f(|AP|,|PB|)＝eq\f(|AQ|,|QB|)，P，Q关于椭圆调和共轭，点Q在点P对应的极线上，此极线方程为eq\f(6×x,4)＋eq\f(0×y,3)＝1，即x＝eq\f(2,3)，故点Q总在定直线x＝eq\f(2,3)上.类型二调和线束例2(2024·杭州调研改编)已知椭圆E：eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1，设过点P(1，－2)的直线交E于M，N两点，点A(0，－2)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－1))是椭圆上的两点，过点M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足eq\o(MT,\s\up6(→))＝eq\o(TH,\s\up6(→))，证明：直线HN过定点.证明借助调和线束分析如下：直线AB方程为y＝eq\f(2,3)x－2，所以点P与直线AB恰好是一对极点极线.连接AP，AM，如图，AM，AN，AB，AP为调和线束.又因为MH∥AP，T为HM的中点，即直线HN过定点A.(常规方法，具体证明略)规律方法借助二次曲线的极点、极线与调和线束能快速得出结果.训练2已知椭圆E：eq\f(x2,4)＋y2＝1，点A(0，1)，过点P(－2，1)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当|MN|＝2时，求k的值.解借助调和线束分析如下：连接AD，点P对应的极线为AD，因此线束AC，AB，AD，AP为调和线束.又因为AP平行x轴，所以点D为线段MN的中点.∵|MN|＝2，D(－2，0)，则N(－1，0)，AN：eq\f(x,－1)＋eq\f(y,1)＝1，即AC：y＝x＋1，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋1，,\f(x2,4)＋y2＝1，))得Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,5)，－\f(3,5)))，故k＝eq\f(1＋\f(3,5),－2＋\f(8,5))＝－4.(常规解析法略)【精准强化练】1.已知抛物线C：x2＝2y与直线l：y＝kx－1没有公共点，设点P为定直线l上的动点，过P作抛物线C的两条切线，其中A、B为切点.(1)证明：直线AB恒过定点Q；(2)若点P与(1)中的定点Q的连线交抛物线C于M、N两点，证明：P，M，Q，N成调和点列.证明(1)设A(x1，y1)，则xeq\o\al(2,1)＝2y1.运用判别式法或导数法求得抛物线在A点处的切线方程为y＋y1＝x1x.设P(x0，kx0－1)，则代入得kx0－1＋y1＝x0x1.设B(x2，y2)，同理有kx0－1＋y2＝x0x2.于是，两切点连线AB的方程为kx0－1＋y＝x0x，化成直线系方程为x0(x－k)－(y－1)＝0.由此令eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－k＝0，,y－1＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝k，,y＝1.))因为直线l的斜率k为定值，所以直线AB恒过定点Q(k，1).(2)直线PQ的方程为y－1＝eq\f(kx0－2,x0－k)(x－k)，与抛物线方程x2＝2y联立，消去y可得x2－eq\f(2kx0－4,x0－k)x＋eq\f(（2k2－2）x0－2k,x0－k)＝0.设M(x3，y3)，N(x4，y4)，则x3＋x4＝eq\f(2kx0－4,x0－k)，x3x4＝eq\f(（2k2－2）x0－2k,x0－k).要证P，M，Q，N成调和点列，即证eq\f(|MP|,|MQ|)＝eq\f(|NP|,|QN|)，即eq\f(|PM|,|PN|)＝eq\f(|QM|,|QN|)，只需证明：eq\f(x3－x0,x4－x0)＝eq\f(k－x3,x4－k)⇐2x3x4＋2kx0＝(k＋x0)(x3＋x4)⇐2[(2k2－2)x0－2k]＋2kx0(x0－k)＝(k＋x0)(2kx0－4)⇐0＝0.因为此等式显然正确，故原等式正确.证毕.2.如图，过直线l：5x－7y－70＝0上的点P作椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的切线PM和PN，切点分别为M，N，连接MN.(1)当点P在直线l上运动时，求证：直线MN恒过定点Q；(2)当MN∥l时，求证：定点Q平分线段MN.证明(1)法一(借助极点、极线分析)P点对应的极线为MN，由于P在定直线l上，∴MN过定点Q(x0，y0)，且点Q对应的极线为l，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x0x,25)＋\f(y0y,9)＝1，,5x－7y－70＝0，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x0x,25)＋\f(y0y,9)＝1，,\f(x,14)－\f(y,10)＝1，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝\f(25,14)，,y0＝－\f(9,10)，))直线MN恒过定点Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25,14)，－\f(9,10))).法二(借助调和线束分析)∵MN∥l，由调和线束知Q平分线段MN.常规解答如下：证明：(1)设P(x0，y0)，M(x1，y1)，N(x2，y2).则椭圆过点M，N的切线方程分别为eq\f(x1x,25)＋eq\f(y1y,9)＝1，eq\f(x2x,25)＋eq\f(y2y,9)＝1.∵两切线都过点P，则有eq\f(x1x0,25)＋eq\f(y1y0,9)＝1，eq\f(x2x0,25)＋eq\f(y2y0,9)＝1.这表明M，N均在直线eq\f(x0x,25)＋eq\f(y0y,9)＝1上，①式①就是直线MN的方程，y0＝eq\f(5,7)x0－10.代入①消去y0得eq\f(x0,25)x＋eq\f(5x0－70,63)y－1＝0，②变形可得x0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,25)＋\f(5y,63)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10y,9)＋1))＝0，对一切x0∈R恒成立，故有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,25)＋\f(5y,63)＝0，,\f(10y,9)＋1＝0，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(25,14)，,y＝－\f(9,10)，))故直线MN恒过定点Qeq\b\lc\(\rc