概率统计样题及答案

一、选择题，根据题目要求，在题下选项中选出一个正确答案(本题共36分,

每小题各4分)

1.设总体不孙…用为来自X的样本，(〃N2)；

在检验假设H°：/=J；时，选取检验用的统计量是。

A.卬=2/〜力2(*B卬=q§2〜/(〃_])；

。05)

C.卬二二/〜/⑻；在W=^-s2-r(n-l)。

b

2.一盒内装有5个红球和15个白球,从中不放回取10次,每次取一个球，

则第6次取球时得到的是红球的概率为o

A.-；B.1；C.-；D.-o

4563

3.设连续型随机变量X的概率密度为f(x),分布函数为/"),

设丫=&、，其中常数Zwo,则随机变量y的概率密度/“)，)=

1y

A.kf(ky)；B.-/(A)；

kk

C.占八；)；D.(份)

|A|k

4.设随机变量X〜N(〃Q2),即x的概率密度为/(x)=e2，,-^o<x<+oo；

则E|X-〃|=

A.|jLl|；B.-.(J;C.(7;D.//+CTo

5.两人约定在某地相会,假定每人到达的时间是相互独立的,且到达时间在上午9时

至10时之间服从均匀分布,则先到者等待10分钟以上的概率为()。

喝

6.设X1,X2，X3，X4为来自总体X的一个简单样本，总体均值EX=〃,

总体方差DX=/,下列几个总体均值〃的无偏估计量中，方差最小的是一

八1八1

A.6>=-(X,+X)；B.6>=-(X,+X+X)；

22323

C.^=-^(X,+2X2+3X3+4X4)；D.^=^(X1+X2+X3+X4)。

7.设随机变量X的概率密度为/(x),分布函数为F(x),

且f(x)>0,f(x)=f(-X),-8VXV+8；

对设乙是方程/(x)=a的解，下列表述中正确的结论是

aa

A.P{x<X<x}=\--B.P{\X\<x]=\--

-aI---Z;1---7]

22G24

C.。{一x2a<XKx}:1—C；D.P{\X\>xJ--

1----I——1—2o

332J

8.设X，X2,…,X〃为来自总体x的样本,(〃22)；总体均值EX=〃,

1〃_

总体方差ox=/,记，层=—Z(XL又)2,

nk=\n"i

下列表述中正确的结论是O

B.£(用)=巴]"；

A.X与与相互独立；

n

—(y~

CX〜N3—)；D.二与〜/(〃-1)。

n

9.设随机变量x,y的二阶矩七乂2,七片存在，

下列不等式中正确的结论是o

A.|E(X)|>(EX2)^；B.(E|X+y『)月之(EX2)%+(Ey2)/；

22

c.|c^v(x,y)i>V5x-V5F；D.\E(XY)\<(EX^-(EY)^O

二、填空题(本题满分36分，每小题4分,)

1.掷两颗匀称的骰子，观察出现的点数.设X为第一颗骰子出现的点数，

y为第二颗骰子出现的点数，设z=x+y,

则P{Z=k}的最大值在k=处达到。

2.一批产品中有M件正品，N件次品，从中任意抽取〃件，

以x表示取到次品的件数,则EX=o

3.设乂，乂2，・・・,乂〃为来自总体乂的样本；总体均值外=〃，

|n

总体方差OX=4,记工=—ZX&,则有limEI匕2—〃2|=__________。

n7Z7is

4.设某昆虫产％个卵的概率为(4>0为常数)，％=。1,2人・.

K：

每个卵能孵化成幼虫的概率为〃(。<p<1),且各个卵能否孵化成幼虫是

相互独立的，设A="该昆虫有后代”，则尸(A)=o

5.设X，X?,,X”是来自正态总体N(0,l)的简单样本，

(£XJ2

则当常数。=时，统计量C明——服从口-分布，

ZX；

f=m+l

6.设毛多,，X”是来自正态总体N(M),〃)的简单样本，其中4。是已知的。

又=-£x「〃N2,可以证明统计量32=-f(x,"o)2和底=—^(X.-X)2

都是参数〃的无偏估计，在这两个估计量中方差最小的估计量是。

7.设一次试验中事件A发生的概率P(A)=〃((0<〃<1)),把试验独立地重复

做〃次，令4="在〃次实验中事件A至少发生一次”，

则有limP(纥)=。

〃/、1n

8.设随机变量X〃的概率密度为.力（x）=~j—，—8<x<+00,

TC1~l~A?X

分布函数为工（X）,则有lim£（x）=o

“fR

1

9.设总体X的密度函数为/（x；e）=;^e°，其中M。是已知的。若不々，…，毛是

26/

来自总体X的样本观测值，则参数。的极大似然估计0=o

三、（满分8分）接连不断地掷一颗骰子,直到出现小于5点为止，以X表示最后一

次掷出的点数，以y表示掷骰子的次数.

（1）求二维随机变量（X,y）的分布律；

（2）求（X,丫）关于X的边沿分布律，（X,Y）关于Y的边沿分布律；

（3）证明x与y相互独立。

四、(满分10分)(此题学《概率统计A》的学生做，学《概率统计B》的学生不做)

设随机过程XQ)=asin(创+。)，其中。和。是常数，0是在((),2乃)上服从均匀

分布的随机变量。

试求：(1)写出。的概率密度/(夕)；(2)E［X(/)］；(3)E［X(r)X(r+r)］；

(4)E1X2(t)］；(5)判断X⑺是不是平稳过程?

(备用公式：sinasin/=51cos@-〃)-cosQ+/?)］。)

［四］、(满分10分)(此题学《概率统计B》的学生做；学《概率统计A》的学生不做)

设二维随机变量(x,y)的概率密度为

f(x,y)=-——-e2，,-oo<x,y<+oo；

27D7~

试求z=JjKF的分布函数与(z)和概率密度人已)o

五、（满分10分）（此题学《概率统计A》的学生做，学《概率统计B》的学生不做）

设一个盒内有4个球，编号为1,2,3,4,随机从里面取出一球，取后放回,

不断独立连续取下去，X“为前〃次取到球的最大编号，

则｛X”,〃=1,2,…｝为齐次马氏链。

试求：（1）状态空间；（2）一步转移概率矩阵。

［五］、（满分10分）（此题学《概率统计B》的学生做；学《概率统计A》的学生不做）

设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得

平均成绩X=65.5分，标准差s=15分，问在检验水平a=（）.05下，是否可以认为

这次考试全体考生的平均成绩为70分？并给出检验过程。

（/。勿5（36）=2.02814975（35）=2.0301,/095（36）=1.6883,

1095（35）=1.6896,z0.975=1.96,Zo.95=1.65,

/.必（35）=20.569,犹97式35）=53.20）

一、单项选择题（每小题4分，满分36分）

1.B;2.A;3.C；4B,5A,6D;7C；8.B;9.D。

二、填空题（每小题4分，满分36分）

1、7；；2、EX=-^—；3、0；

M+N

4、/（A）=1—6?；5、----；6、（7

m

1,x>0

7、1；8、1访1"。）=<二，x=0；9、一£l七一〃（）l。

is2ntr

0,x<0

三、（满分8分）

解（1）依题意知,X的可能取值为1,2,3,4;

Y的可能取值为1,2,3,…;

于是(x,y)的分布律为

2.,111.,

==,/=1,2,3,4;./=1,2,..........................3分

ooo3

8«511111

⑵p{x=i}=ZP{x=i,y=/}=Zzy)，T=z•—r=-,/,=1,23,4；

片*364

3

4411I191

片y=A=Z片x=，,丫=力=ZK(R'T=彳xz二-(-r1,j=1,2,....

/S|/s(0J0JJJ

..................................6分

⑶由于P{x=j}•P{y=/}=g《严=Ie’T，

即成立P[X=i,y=j}=P[X=a0]=/},i=l,2,3,4；J=l,2,••.

所以x与y相互独立，..............................................8分

四、（满分10分）（此题学《概率统计A》的学生做，学《概率统计B》的学生不做）

解（1）。的概率密度五。"支乃.................2分

0,其它

⑵£1X(。]=£[〃sin(碗+。)]=J：〃sin(如+。)/(。时。

1八

=\〃sin(G/+e)-d®=。,.........4分

Jo2)

(3)E[X(/)X(/+r)]=E\asin(69f+0)-6zsin(6>(r+r)+0)]

=Jasin(of+e)4sin(o(f+T)+e)/(0)d。

M无I

=J。a~—[cose"-cos(tw(2r+r)+26?)J--dO

=—coscor,...................6分

2

(4)E[X2(t)]=y,.........................................8分

⑸因为EXQ）=0是常数，R（r）=幺cos函仅依赖于丁，EIX?"）］存在,

2

所以XQ）是平稳过程.........................................10分

五、（满分10分）（此题学《概率统计A》的学生做，学《概率统计B》的学生不做）

解（I）依题意

状态空间S={1,2,34},.................4分

（2）转移概率矩阵

r1111

----

4444

211

o---

P444

31分

oo--10

44

OO01

I

［四］、（满分10分）（此题学《概率统计B》的学生做；学《概率统计A》的学生不做）

解弓(z)=P{Z<z}=P{y!x2+Y2<z},.......................................2分

22

当z<0时，Fz(z)=P{Z<z}=P{ylx+Y<z}=P{0}=0;.........4分

22

当z=0时，Fz(0)=P{Z<0}=P{JX+Y<0}=P{X=o,r=o)=o,

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