提优点11　圆锥曲线的切线与光学性质

圆锥曲线的切线与光学性质【知识拓展】1.抛物线的光学性质(1)如图1所示，从抛物线的焦点F发出的光线，被抛物线反射后，得到的是一系列的与抛物线对称轴平行(或重合)的光线；反之，平行于抛物线对称轴的一系列光线照射到抛物线上，经反射后都通过焦点.抛物线这种聚焦特性成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择.例如探照灯、卫星通讯像碗一样接收或发射天线，太阳能热水器.(2)如图2所示，设抛物线在P处的切线l交对称轴于点Q，PM⊥切线l交对称轴于点M，则焦点F是QM的中点.2.椭圆的光学性质(1)如图3所示，从椭圆的一个焦点发出的光线，被椭圆反射后，必定经过另一个焦点；椭圆的这种光学特性常被用来设计一些照明设备或聚热装置.例如电影放映机的聚光灯泡的反射面是椭圆面，灯丝在一个焦点上，影片门在另一个焦点上.(2)如图4所示，椭圆在点P处的切线为l，直线PQ⊥l交直线F1F2于点Q，则PQ平分∠F1PF2，由角平分线性质定理，eq\f(|PF1|,|PF2|)＝eq\f(|QF1|,|QF2|).3.双曲线的光学性质(1)如图5所示，从双曲线一个焦点发出的光线，被双曲线反射后，反射光线的反向延长线通过另一个焦点；双曲线这种反向虚聚焦性质在天文望远镜设计等方面有实际应用.(2)如图6所示，双曲线在点P处的切线l与直线F1F2相交于点Q，则PQ平分∠F1PF2，由角平分线性质定理，eq\f(|PF1|,|PF2|)＝eq\f(|QF1|,|QF2|).【类型突破】类型一解决反射与入射问题例1(2024·杭州调研)设抛物线C：y2＝x，一光线从点A(5，2)射出，平行C的对称轴，射在C上的P点，经过反射后，又射到C上的Q点，则P点的坐标为________，Q点的坐标为________.答案(4，2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,64)，－\f(1,8)))解析如图，直线AP平行于对称轴且A(5，2)，则P点的坐标为(4，2)，因此反射线PQ过点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0))，设Q(t2，t)，则eq\f(t,t2－\f(1,4))＝eq\f(2,4－\f(1,4))＝eq\f(8,15)，解得t＝－eq\f(1,8)，∴Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,64)，－\f(1,8))).规律方法1.解决反射与入射问题都要抓住光线过焦点这个性质.2.涉及线段长度问题要注意利用圆锥曲线的定义.训练1(2024·南京调研)已知椭圆方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1，若有光束自焦点A(3，0)射出，经两次反射回到A点，设两次反射点分别为B，C，如图所示，则△ABC的周长为________.答案20解析在椭圆方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1中，c2＝25－16＝9，因为A(3，0)为该椭圆的一个焦点，所以自A(3，0)射出的光线AB反射后，反射光线BC定过另一个焦点A′(－3，0)，故△ABC的周长为|AB|＋|BA′|＋|A′C|＋|CA|＝4a＝4×5＝20.类型二解决距离之和的最值或范围例2(2024·武汉质检改编)已知椭圆C：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1，F1，F2为分别是其左、右焦点，点Q(2，1)，P是C上的动点，求|PF1|＋|PQ|的取值范围.解法一|PF1|＋|PQ|＝2a－|PF2|＋|PQ|＝10＋(|PQ|－|PF2|)，即问题转化为求|PQ|－|PF2|的最大值与最小值，因为两边之差小于第三边，因此当P，Q，F三点一线时，取得|PQ|－|PF2|的最大值与最小值，即在P1处取得最小值，P2处取得最大值，所以最小值为2a－|F2Q|＝10－eq\r(5)，最大值为2a＋|F2Q|＝10＋eq\r(5)，所以|PF1|＋|PQ|的取值范围为[10－eq\r(5)，10＋eq\r(5)].法二根据光线的“最近传播法则”，结合椭圆的光学性质，可得：从F1射出被椭圆反射后经过点Q的光线所经过的路程往往是最短的.这种情况又分为两类，一是被上半椭圆反射(如图，光线从F1→P1→Q)，二是被下半椭圆反射(如图，光线从F1→P2→F2→Q)综上所述，只需求出|F2Q|＝eq\r(5)，可得最小值为2a－|F2Q|＝10－eq\r(5)，最大值为2a＋|F2Q|＝10＋eq\r(5).即|PF1|＋|PQ|∈[10－eq\r(5)，10＋eq\r(5)].易错提醒1.注意利用圆锥曲线的定义解题；2.要考虑全面，不要漏掉其中一种情况(如例2中光的两种反射路线).训练2已知双曲线C：x2－eq\f(y2,3)＝1，F1，F2分别是其左、右焦点，点Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(9,2)))，M是C上的动点，求|MF2|＋|MQ|的取值范围.解根据双曲线的光学性质，如图，连接F1Q，交双曲线的右支于点P，则|MF2|＋|MQ|≥|PQ|＋|PF2|＝|F1Q|－(|F1P|－|PF2|)＝|F1Q|－2＝eq\r(（4＋2）2＋\f(81,4))－2＝eq\f(11,2)，故|MF2|＋|MQ|的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2)，+∞)).类型三解决与切线相关的问题例3(2024·保定二模)甲、乙两名探险家在桂林山中探险，他们来到一个山洞，洞内是一个椭球形，截面是一个椭圆，甲、乙两人分别站在洞内如图所示的A，B两点处，甲站在A处唱歌时离A处有一定距离的乙在B处听得很清晰，原因在于甲、乙两人所站的位置恰好是洞内截面椭圆的两个焦点，符合椭圆的光学性质，即从一个焦点发出光经椭圆反射后经过另一个焦点.现已知椭圆C：eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,36)＝1上一点M，过点M作切线l，A，B两点为左、右焦点，cos∠AMB＝－eq\f(1,4)，由光的反射性质：光的入射角等于反射角，则椭圆中心O到切线l的距离为________.答案eq\f(5\r(6),2)解析如图，过M作M处切线的垂线交AB于N，过A，O，B分别作切线的垂线交切线于点A1，O1，B1，由光学性质可知MN平分∠AMB，∠B1MB＝∠A1MA，则∠A1AM＝∠AMN＝∠BMN＝∠B1BM，因为cos∠AMB＝－eq\f(1,4)，故cos(π－∠AMB)＝cos2∠AMA1＝1－2sin2∠AMA1＝eq\f(1,4)，所以sin∠AMA1＝eq\f(\r(6),4)，|OO1|＝eq\f(1,2)(|AA1|＋|BB1|)＝eq\f(1,2)(|AM|sin∠AMA1＋|BM|sin∠BMB1)＝eq\f(1,2)·20·sin∠AMA1＝eq\f(5\r(6),2).规律方法解答本题的关键是根据光学性质和几何位置关系得到∠A1AM＝∠AMN＝∠BMN＝∠B1BM，从而得到sin∠AMA1＝eq\f(\r(6),4)，再利用梯形的中位线的性质求解.训练3(2024·济南调研)费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质.例如，点P为双曲线(F1，F2为焦点)上一点，点P处的切线平分∠F1PF2.已知双曲线C：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1，O为坐标原点，l是点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(\r(10),2)))处的切线，过左焦点F1作l的垂线，垂足为M，则|OM|＝________.答案2解析如图，延长PF2交F1M延长线于点N，由题意可得△PF1M≌△PNM，所以|PN|＝|PF1|，且M为F1N的中点，又点O为F1F2的中点，且|PF1|－|PF2|＝2a＝4，所以|OM|＝eq\f(1,2)|F2N|＝eq\f(1,2)(|PN|－|PF2|)＝eq\f(1,2)(|PN|－|PF1|＋4)＝2.【精准强化练】一、单选题1.如图所示，椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知曲线C：x2＋4y2＝4的左、右焦点分别为F1，F2，直线l与椭圆C相切于点P，且|PF1|＝1，过点P且与直线l垂直的直线l′与椭圆的长轴交于点M，则|F1M|∶|F2M|＝()A.eq\r(2)∶eq\r(3) B.1∶eq\r(2)C.1∶3 D.1∶eq\r(3)答案C解析曲线C的方程为x2＋4y2＝4，即为eq\f(x2,4)＋y2＝1，则有a＝2，故有|PF1|＋|PF2|＝4，又|PF1|＝1，所以|PF2|＝3，根据椭圆的光学性质，PM是∠F1PF2的平分线，所以eq\f(|F1M|,|F2M|)＝eq\f(|PF1|,|PF2|)＝eq\f(1,3).2.(2024·泉州调研)智慧的人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质，比如电影放映机利用椭圆镜面反射出聚焦光线，探照灯利用抛物线镜面反射出平行光线.如图，从双曲线右焦点F2发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线经过左焦点F1.已知双曲线的离心率为eq\r(2)，则当入射光线F2P和反射光线PE互相垂直时(其中P为入射点)，∠F1F2P的大小为()A.eq\f(π,12) B.eq\f(π,6)C.eq\f(π,3) D.eq\f(5π,12)答案D解析因为e＝eq\r(2)，所以c＝eq\r(2)a，a＝b，不妨设双曲线的标准方程为x2－y2＝1，设|PF2|＝m，则|PF1|＝2＋m(m>0).所以m2＋(m＋2)2＝(2eq\r(2))2，解得m＝eq\r(3)－1(m＝－eq\r(3)－1已舍去).所以cos∠F1F2P＝eq\f(\r(3)－1,2\r(2))＝eq\f(\r(6)－\r(2),4)，所以∠F1F2P＝75°＝eq\f(5π,12).故选D.3.(2024·西安质检)用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面(抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面)的反射集中于它的焦点.用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线放在直角坐标系中，对称轴与x轴重合，顶点与原点重合，如图，若抛物线过点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1))，平行于对称轴的光线经过点A反射后，反射光线交抛物线于点B，则线段AB的中点到准线的距离为()A.2 B.eq\f(17,4)C.eq\f(25,8) D.eq\f(25,4)答案C解析设抛物线方程为y2＝2px，将点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1))代入可得1＝2p×eq\f(1,4)，解得p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x，焦点为F(1，0)，准线为x＝－1，由题意可得，直线AB的方程为y－0＝eq\f(1－0,\f(1,4)－1)(x－1)，即y＝－eq\f(4,3)(x－1)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(4,3)（x－1），,y2＝4x，))可得y2＋3y－4＝0，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝4，,y1＝－4))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝\f(1,4)，,y2＝1，))所以Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1))，B(4，－4)，可得AB的中点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(17,8)，－\f(3,2)))，所以线段AB的中点到准线的距离为eq\f(17,8)＋eq\f(p,2)＝eq\f(17,8)＋1＝eq\f(25,8)，故选C.4.(2024·成都诊断)抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线y2＝4x的焦点为F，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线l1从点P(m，n)(n2<4m)射入，经过抛物线上的点A(x1，y1)反射后，再经抛物线上另一点B(x2，y2)反射后，沿直线l2射出，则直线l1与l2间的距离最小值为()A.2 B.4C.8 D.16答案B解析由抛物线的光学性质可知，直线AB过抛物线的焦点F(1，0)，设直线AB的方程为x＝ty＋1，将直线AB的方程代入y2＝4x中，得y2－4ty－4＝0，所以y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，直线l1与l2间的距离d＝|y1－y2|＝eq\r(（y1＋y2）2－4y1y2)＝eq\r(16t2＋16)≥4，当t＝0时，d取最小值4，故选B.5.(2024·郑州质检)古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点，设椭圆方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，F1，F2为其左、右焦点，若从右焦点F2发出的光线经椭圆上的点A和点B反射后，满足AB⊥AD，cos∠ABC＝eq\f(4,5)，则该椭圆的离心率为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(\r(3),2)答案C解析由题意，连接AF1，BF1，由题意可知A，D，F1三点共线，B，C，F1三点共线，在△ABF1中，因为AB⊥AD，且cos∠ABF1＝eq\f(4,5)＝eq\f(|AB|,|BF1|)，sin∠ABF1＝eq\r(1－cos2∠ABF1)＝eq\f(3,5)＝eq\f(|AF1|,|BF1|)，即|AB|∶|AF1|∶|BF1|＝4∶3∶5，可设|AB|＝4k，|AF1|＝3k，|BF1|＝5k，由|AB|＋|AF1|＋|BF1|＝|AF2|＋|BF2|＋|AF1|＋|BF1|＝4a，则4k＋3k＋5k＝4a，即3k＝a，|AF2|＝2a－|AF1|＝3k，在Rt△AF1F2中，|F1F2|＝eq\r(|AF1|2＋|AF2|2)＝3eq\r(2)k＝2c，则e＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(3\r(2)k,6k)＝eq\f(\r(2),2).6.椭圆具有光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点(如图).已知椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与椭圆E交于点A，B，过点A作椭圆的切线l，点B关于l的对称点为M，若|AB|＝eq\f(3a,2)，eq\f(|BF1|,|MF1|)＝eq\f(5,7)，则eq\f(S△MAB,S△AF1F2)＝()A.eq\f(81,35) B.eq\f(35,16)C.eq\f(9,5) D.eq\f(4,5)答案A解析如图，由椭圆的光学性质可得M，A，F1三点共线.设|BF2|＝x，则|BF1|＝2a－x，|MF1|＝|AF1|＋|MA|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF2|＝2a＋x.故eq\f(|BF1|,|MF1|)＝eq\f(2a－x,2a＋x)＝eq\f(5,7)，解得x＝eq\f(a,3).又|AB|＝eq\f(3a,2)，所以|AF2|＝eq\f(7a,6)，|AF1|＝eq\f(5a,6).所以eq\f(S△MAB,S△AF1F2)＝eq\f(\f(1,2)|AB||AM|sin∠MAB,\f(1,2)|AF1||AF2|sin（π－∠MAB）)＝eq\f(|AB||AM|,|AF1||AF2|)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3a,2)))\s\up12(2),\f(5a,6)×\f(7a,6))＝eq\f(81,35).7.圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连接的夹角.请解决下面问题：已知F1，F2分别是双曲线C：x2－eq\f(y2,2)＝1的左、右焦点，点P为C在第一象限上的点，点M在F1P延长线上，点Q的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，0))，且PQ为∠F1PF2的平分线，则下列正确的是()A.eq\f(|PF1|,|PF2|)＝3B.|eq\o(PF1,\s\up6(→))＋eq\o(PF2,\s\up6(→))|＝2eq\r(3)C.点P到x轴的距离为eq\r(3)D.∠F2PM的角平分线所在直线的倾斜角为150°答案D解析由已知可得PQ是双曲线的一条切线，设点P(x0，y0)，则切线PQ为x0x－eq\f(y0y,2)＝1，将点Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，0))代入切线方程，可得x0＝eq\r(3)，所以P(eq\r(3)，2)，即点P到x轴的距离为2，所以C错误；由双曲线的方程可得F2(eq\r(3)，0)，由角平分线定理可知eq\f(|PF1|,|PF2|)＝eq\f(|F1Q|,|QF2|)＝2，故A错误；因为|eq\o(PF1,\s\up6(→))＋eq\o(PF2,\s\up6(→))|＝2|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝2eq\r(7)，故B错误；又因为直线PQ的斜率为eq\r(3)，所以∠F2PM的角平分线所在直线的斜率为－eq\f(\r(3),3)，即倾斜角为150°，故D正确.二、多选题8.(2024·广州调研)双曲线具有如下光学性质：如图F1，F2是双曲线的左、右焦点，从右焦点F2发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点F1.若双曲线C的方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,21)＝1，则()A.双曲线的焦点F2到渐近线的距离为eq\r(21)B.若m⊥n，则|PF1||PF2|＝42C.若n过点Q(3，6)时，光线由F2→P→Q所经过的路程为8D.反射光线n所在直线的斜率为k，则|k|∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(21),2)))答案ABD解析对于A，由双曲线C的方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,21)＝1知双曲线的渐近线方程为eq\r(21)x±2y＝0，焦点F2(5，0)到直线eq\r(21)x±2y＝0的距离为eq\f(5\r(21),\r(21＋4))＝eq\r(21)，故A正确；对于B，若m⊥n，则∠F1PF2＝90°.因为P在双曲线右支上，所以|F1P|－|F2P|＝4.由勾股定理得|F1P|2＋|F2P|2＝|F1F2|2.二者联立解得|PF1|·|PF2|＝eq\f(|F1F2|2－（|F1P|－|F2P|）2,2)＝eq\f(100－16,2)＝42，故B正确；对于C，光由F2→P→Q所经过的路程为|F2P|＋|PQ|＝|F1P|－2a＋|PQ|＝|F1P|＋|PQ|－2a＝|F1Q|－2a＝eq\r(（3＋5）2＋（6－0）2)－4＝6，故C不正确.对于D，双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,21)＝1的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(21),2)x，设左、右顶点分别为A，B.如图所示，当m与eq\o(F2B,\s\up6(→))同向共线时，n的方向为eq\o(BF2,\s\up6(→))，此时k＝0，最小.因为P在双曲线右支上，所以n所在直线的斜率为|k|<eq\f(\r(21),2).即|k|∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(21),2)))，故D正确.9.(2024·青岛模拟)抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后，必过抛物线的焦点.已知平行于x轴的光线l1从点M射入，经过抛物线C：y2＝8x上的点P反射，再经过C上另一点Q反射后，沿直线l2射出，经过点N，则()A.若l1的方程为y＝2，则|PQ|＝8B.若l1的方程为y＝2，∠PQM＝∠MQN，则M(13，2)C.延长PO，与NQ交于点D，则点D在C的准线上D.抛物线C在点P处的切线分别与直线FP，l1所成角相等答案BCD解析对于A，B，若l1的方程为y＝2，则Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，又F(2，0)，∴直线PF的斜率k＝eq\f(2－0,\f(1,2)－2)＝－eq\f(4,3)，∴直线PF的方程为y＝－eq\f(4,3)(x－2)，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝8x，,y＝－\f(4,3)（x－2），))得2x2－17x＋8＝0，∴x1＝eq\f(1,2)，x2＝8，∴Q(8，－8)，∴|PQ|＝x1＋x2＋4＝eq\f(25,2)，A错误；由Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，Q(8，－8)，得直线PQ的方程为4x＋3y－8＝0，直线l2的方程为y＝－8，若∠PQM＝∠MQN，则点M在∠PQN的平分线上，点M到直线PQ和到直线l2的距离相等，设M(a，2)，则有eq\f(|4a＋6－8|,5)＝2－(－8)，由a>0，解得a＝13，所以M(13，2)，B正确；对于C，抛物线C：y2＝8x，焦点坐标F(2，0)，准线方程x＝－2，设Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(yeq\o\al(2,1),8)，y1))，Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(yeq\o\al(2,2),8)，y2))，由eq\o(PF,\s\up6(→))∥eq\o(QF,\s\up6(→))，得y2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(yeq\o\al(2,1),8)－2))＝y1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(yeq\o\al(2,2),8)－2))，即y1y2(y2－y1)＝16(y1－y2)，由y1≠y2，得y1y2＝－16，又直线PO的斜率kPO＝eq\f(8,y1)，∴直线PO的方程为y＝eq\f(8,y1)x，直线NQ的方程为y＝y2，延长PO，与NQ交于点D，由y2＝eq\f(8,y1)x得x＝eq\f(y1y2,8)＝eq\f(－16,8)＝－2，即点D横坐标为－2，所以点D在C的准线上，C正确；对于D，设抛物线C在点P处的切线为l，且l与x轴交于点T，在l上的P点右侧取一点S(如图)，由抛物线的光学性质可得∠SPM＝∠TPF，即抛物线C在P处的切线分别与PF，l1所成角相等，D正确.三、填空题10.(2024·石家庄调研)根据抛物线的光学性质，从抛物线的焦点发出的光，经抛物线反射后光线都平行于抛物线的对称轴，已知抛物线y2＝2x，若从点Q(3，2)发射平行于x轴的光射向抛物线的A点，经A点反射后交抛物线于B点，则|AB|＝________.答案eq\f(25,8)解析由条件可知AQ与x轴平行，令yA＝2，可得xA＝2，故A点坐标为(2，2)，因为lAB经过抛物线焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，所以lAB方程为y－0＝eq\f(2－0,2－\f(1,2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，整理得4x－3y－2＝0，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝2x，,4x－3y－2＝0，))得8x2－17x＋2＝0，所以xA＋xB＝eq\f(17,8)，所以|AB|＝xA＋xB＋p＝eq\f(25,8).11.(2024·汉中二模)椭