数学试卷一联简易答案

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.1.C2.B3.C4.A5.D6.D7.B8.A二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.每小题全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.ACD10三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.解析(I)由已知得(a+b+C)(a+b-C)-3ab=a2+b2-C2-ab=0,…………………(1分)由余弦定理可得cosC=.…………………因为C∈(0,π),所以C=.………………(5分)(Ⅱ)由正弦定理可得=2sin.………………因为C<A<π所以由(I故,故sin,……………则的取值范围是(\,2).……………(13分)16.解析(I)如图,取棱AB的中点N,连接A1N,MN,B1N.则MN"AC"A1C1,所以点N在平面A1MC1内.……………(2分)由已知可得A1B1"AN,A1B1=AN=AA1,且AA1丄AN,所以四边形A1B1NA是正方形,所以AB1丄A1N.………………(3分)因为AB1丄AC,所以AB1丄A1C1.……………(4分)又因为A1C1∩A1N=A1,且A1C1,A1NC平面A1MC1,所以AB1丄平面A1MC1.……………………(6分)(Ⅱ)由题意知AC丄AB1,AC丄AA1,AA1∩AB1=A,所以AC丄平面AA1B1B,所以AC丄AB.……………………(7分)故以A为原点,AC,AB,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Axyz,如图.不妨设AB=2,则A(0,0,0),B(0,2,0),M(1,1,0),C1(1,0,1),B1(0,1,1),=(0,-1,1).……………………(,分)设n=(x,y,z)为平面BMC1的法向量,则0,令z=1,则n=.………由(I)知平面A1MC1的一个法向量为A—=(0,1,1).…………………(12分)所以 所以二面角A1-MC1-B的正弦值为\.…………………(15分)17.解析(I)由题意知F(1,0).………………(1分)因为AD"x轴,所以A,D两点的纵坐标相同,设为t.由椭圆方程,不妨令……因为l1丄l2,所以=1-4+t2=0,…………………(4分)整理得所以|AD|=2\.………(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2).当l1与l2的斜率都存在时,设直线l1:x=my+1(m≠0),与+=1联立,消去x,整理得(3m2+4)y2+6my-9=0,:y1+y2=-,y1y2=-,2=m(y1+y2)+2=-+2=,:M,-.……………………(9分)同理,用-替换m,可得N,.…………(10分)当m=±1时,M,N两点的横坐标均为,故直线MN过点P,0).当m≠±1时,4==,即KMP=KNP,--2+43+4m27-此时直线MN过点P,0).………………(14分)当l1或l2与x轴重合时,MN也与x轴重合,此时直线MN也经过点P,0),综上可知,直线MN过定点P,0).……………………(15分)18.解析(I)由题意知f(x)=2ex-x2,则f,(x)=2ex-2x, (1分)所以f,(0)=2,又f(0)=2, (2分)所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x+2 (5分)(Ⅱ)(i)g(x)=2ex-(m-x2-x2lnx-2x,则g,(x)=2ex-2mx-2xlnx-2.……(6分)x令g(x)=0,得x-lnx-x=m (7分)x设h(x)=-lnx-,则h,(x)=-=,x∈(0,+∞),………………(8分)令h,(x)=0,得x=1,当x∈(0,1)时,h,(x)<0,h(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时,h,(x)>0,h(x)单调递增,所以h(x)min=h(1)=e-1.………………(10分)由g(x)有两个极值点,可得方程g,(x)=0有两个实根,即h(x)=m有两个实根,则m>e-1.……………………(11分)(i)由题意知a,b是方程g,(x)=0的两个实根,即h(a)=h(b)=m,且0<a<1<b.………………(12分)设F(x)=h(x)-h,则F,(x)=h,(x)-h,-=,……(13分)x,x,故m(x)在(1,+∞)上单调递增,故m(x)>m(1)=0,故当x∈(1,+∞)时,F,(x)>0,……………故F(x)在(1,+∞)上单调递增,故F(x)>F(1)=0,则h(x)>h.………………则h(b)>h即h(a)>h.………………………(14分)(15分)(16分)由(i)可知h(x)在(0,1)上单调递减,故0<a<1<1则ab<1…………………19.解析(I)解方程x-4x+3=0,得x=1或3,所以Un=n=(3+32+…+3n)-=×-=-.…(4分)(Ⅱ)由题意可知P=a+b=1,Q=ab=-1.………………(5分)n+vn+2=an-1+bn-1+an+1+bn+1=an(a++bn(b+=an(a-b)+bn(b-a)=(a-b)(an-bn),………(7分)n即为定值5.…………………………(9分)n(Ⅲ)由题知(P,Q)一共有4×4=16种不同的情况,且均满足P2-4Q>0和Q≠0,所以方程x2-Px+Q=0一定有两个不相等的非零实数根a,b.==a+b=P,要使U2≥2,则需P≥2.…………(11分)通过特例观察可以猜想vn+2=Pvn+1-Qvn,下面证明该等式:n+1-Qvn=(a+b)(an+bn)-ab(an-1+bn-1)n-ban-abnn+2.……………(13分)=a+b=P.当P=2,Q=-1时,vn+2=2vn+1+vn,所以{vn}的各项依次为2,2,6,14,34,82,…,不符合题意;当P=2,Q=-2时,vn+2=2vn+1+2vn,所以{vn}的各项依次为2,2,8,20,56,152,…,符合题意;当P=2,Q≤-2时,由vn+2=Pvn+1-Qvn≥2vn+1+2vn,可得v6≥152,符合题意;……(14分)当P=3,Q