提优点7 概率与函数、导数

概率与函数、导数【知识拓展】概率与函数、导数的综合问题主要涉及概率、均值的最值，解题的关键是搞清各数据、各事件之间的联系，建立相应的数学模型，利用函数、导数或不等式求解.【类型突破】类型一利用函数、导数求最值例1(2024·台州模拟)台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势.某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入.该公司近5年的年广告费xi(单位：百万元)和年销售量yi(单位：百分辆)关系如图所示.令vi＝lnxi(i＝1，2，…，5)，数据经过初步处理得eq\o(∑,\s\up10(5),\s\do8(i＝1))yieq\o(∑,\s\up10(5),\s\do8(i＝1))vieq\o(∑,\s\up10(5),\s\do8(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2eq\o(∑,\s\up10(5),\s\do8(i＝1))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))2eq\o(∑,\s\up10(5),\s\do8(i＝1))(vi－eq\o(v,\s\up6(－)))2eq\o(∑,\s\up10(5),\s\do8(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))·(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))eq\o(∑,\s\up10(5),\s\do8(i＝1))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))·(vi－eq\o(v,\s\up6(－)))444.81040.31.61219.58.06现有①eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))和②eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(n,\s\up6(^))lnx＋eq\o(m,\s\up6(^))两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))，eq\o(m,\s\up6(^))，eq\o(n,\s\up6(^))均为常数.(1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？(2)根据(1)的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出y关于x的经验回归方程，并预测年广告费为6(百万元)时，产品的年销售量是多少？(3)该公司生产的电动车毛利润为每辆200元(不含广告费、研发经费).该公司在加大广告投入的同时也加大研发经费的投入，年研发经费为年广告费的199倍.电动车的年净利润受年广告费和年研发经费影响外还受随机变量ξ影响，设随机变量ξ服从正态分布N(600，σ2)，且满足P(ξ>800)＝0.3.在(2)的条件下，求该公司年净利润的最大值大于1000(百万元)的概率.(年净利润＝毛利润×年销售量－年广告费－年研发经费－随机变量).附：①相关系数r＝eq\f(\o(∑,\s\up10(n),\s\do8(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\r(\o(∑,\s\up10(n),\s\do8(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)\r(\o(∑,\s\up10(n),\s\do8(i＝1))（yi－\o(y,\s\up6(－))）2))，回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))x中公式分别为eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up10(n),\s\do8(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\o(∑,\s\up10(n),\s\do8(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))；②参考数据：eq\r(40.3×1.612)＝8.06，eq\r(403)≈20.1，ln5≈1.6，ln6≈1.8.解(1)设模型①和②的相关系数分别为r1，r2.由题意可得r1＝eq\f(\o(∑,\s\up10(5),\s\do8(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\r(\o(∑,\s\up10(5),\s\do8(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)\r(\o(∑,\s\up10(5),\s\do8(i＝1))（yi－\o(y,\s\up6(－))）2))＝eq\f(19.5,\r(403))≈eq\f(19.5,20.1)≈0.97，r2＝eq\f(\o(∑,\s\up10(5),\s\do8(i＝1))（yi－\o(y,\s\up6(－))）（vi－\o(v,\s\up6(－))）,\r(\o(∑,\s\up10(5),\s\do8(i＝1))（yi－\o(y,\s\up6(－))）2)\r(\o(∑,\s\up10(5),\s\do8(i＝1))（vi－\o(v,\s\up6(－))）2))＝eq\f(8.06,\r(40.3×1.612))＝eq\f(8.06,8.06)＝1.所以|r1|<|r2|，由相关系数的相关性质可得，模型②的拟合程度更好.(2)因为eq\o(n,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up10(5),\s\do8(i＝1))（vi－\o(v,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\o(∑,\s\up10(5),\s\do8(i＝1))（vi－\o(v,\s\up6(－))）2)＝eq\f(8.06,1.612)＝5，又由eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)eq\o(∑,\s\up10(5),\s\do8(i＝1))vi＝0.96，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)eq\o(∑,\s\up10(5),\s\do8(i＝1))yi＝8.8，得eq\o(m,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－5eq\o(v,\s\up6(－))＝8.8－0.96×5＝4，所以eq\o(y,\s\up6(^))＝5v＋4，即回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝5lnx＋4.当x＝6时，eq\o(y,\s\up6(^))＝5ln6＋4≈13，因此当年广告费为6(百万元)时，产品的销售量大概是13(百万辆).(3)净利润为200×(5lnx＋4)－200x－ξ(x>0)，令g(x)＝200×(5lnx＋4)－200x－ξ，所以g′(x)＝eq\f(1000,x)－200.可得y＝g(x)在(0，5)上为增函数，在(5，＋∞)上为减函数.所以g(x)max＝g(5)＝200×(5ln5＋4－5)－ξ≈1400－ξ，由题意得1400－ξ>1000，即ξ<400，P(ξ<400)＝P(ξ>800)＝0.3，即该公司年净利润大于1000(百万元)的概率为0.3.易错提醒构造函数求最值时，要注意变量的选取，以及变量自身的隐含条件对变量范围的限制.训练1(2024·汕头模拟)2023年11月，我国教育部发布了《中小学实验教学基本目录》，内容包括高中数学在内共有16个学科900多项实验与实践活动.我市某学校的数学老师组织学生到“牛田洋”进行科学实践活动，在某种植番石榴的果园中，老师建议学生尝试去摘全园最大的番石榴，规定只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头.结果，学生小明两手空空走出果园，因为他不知道前面是否有更大的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到.假设小明在果园中一共会遇到n颗番石榴(不妨设n颗番石榴的大小各不相同)，最大的那颗番石榴出现在各个位置上的概率相等，为了尽可能在这些番石榴中摘到那颗最大的，小明在老师的指导下采用了如下策略：不摘前k(1≤k<n)颗番石榴，自第k＋1颗开始，只要发现比他前面见过的番石榴大的，就摘这颗番石榴，否则就摘最后一颗.设k＝tn，记该学生摘到那颗最大番石榴的概率为p.(1)若n＝4，k＝2，求p；(2)当n趋向于无穷大时，从理论的角度，求p的最大值及p取最大值时t的值.(取eq\f(1,k)＋eq\f(1,k＋1)＋…＋eq\f(1,n－1)＝lneq\f(n,k))解(1)当n＝4，k＝2时，依题意，4颗番石榴的位置从第1个到第4个排序，则样本空间含有样本点的个数为Aeq\o\al(4,4)＝24，要摘到那个最大的番石榴，有以下两种情况：①最大的番石榴是第3个，其它的随意在哪个位置，有Aeq\o\al(3,3)＝6个样本点；②最大的番石榴是最后1个，第二大的番石榴是第1个或第2个，其它的随意在哪个位置，有2Aeq\o\al(2,2)＝4个样本点，所以所求概率为eq\f(6＋4,24)＝eq\f(5,12).(2)记事件A表示“最大的番石榴被摘到”，事件Bi表示“最大的番石榴排在第i颗”，因为最大的番石榴出现在各个位置上的概率相等，所以P(Bi)＝eq\f(1,n)，由全概率公式知P(A)＝eq\o(∑,\s\up10(n),\s\do8(i＝1))P(A|Bi)P(Bi)＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up10(n),\s\do8(i＝1))P(A|Bi)，当1≤i≤k时，最大的番石榴在前k颗中，不会被摘到，此时P(A|Bi)＝0；当k＋1≤i≤n时，最大的番石榴被摘到，当且仅当前i－1颗番石榴中的最大一个在前k颗之中时，此时P(A|Bi)＝eq\f(k,i－1)，因此P(A)＝eq\f(1,n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k,k)＋\f(k,k＋1)＋…＋\f(k,n－1)))＝eq\f(k,n)lneq\f(n,k)，令g(x)＝eq\f(x,n)lneq\f(n,x)(x>0)，求导得g′(x)＝eq\f(1,n)lneq\f(n,x)－eq\f(1,n)，由g′(x)＝0，得x＝eq\f(n,e)，当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(n,e)))时，g′(x)>0，当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,e)，n))时，g′(x)<0，即函数g(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(n,e)))上单调递增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,e)，n))上单调递减，则g(x)max＝geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,e)))＝eq\f(1,e)，于是当k＝eq\f(n,e)时，P(A)＝eq\f(k,n)lneq\f(n,k)取得最大值eq\f(1,e)，所以p的最大值为eq\f(1,e)，此时t的值为eq\f(1,e).类型二利用作商法求概率的最值例2(2024·抚顺模拟)某市共有教师1000名，为了解老师们的寒假研修情况，评选研修先进个人，现随机抽取了10名教师利用“学习APP”学习的时长数据(单位：小时)：35，43，90，83，50，45，82，75，62，35，学习时长不低于80小时的教师评为“研修先进个人”.(1)现从该样本中随机抽取3名教师的学习时长，求这3名教师中恰有2名教师是研修先进个人的概率.(2)若该市所有教师的学习时长X近似地服从正态分布N(μ，σ2)，其中σ＝10，μ为抽取的10名教师学习时长的样本平均数，利用所得正态分布模型解决以下问题：①试估计学习时长不低于50小时的教师的人数(结果四舍五入到整数)；②若从该市随机抽取的n名教师中恰有ξ名教师的学习时长在[50，70]内，则n为何值时，P(ξ＝10)的值最大？附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.解(1)设“抽取的3名教师中恰有2名教师是研修先进个人”为事件A.由题知样本中学习时长不低于80小时的人数为3，时长低于80小时的人数为7，则P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,7),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(7,40)，所以这3名教师中恰有2名教师是研修先进个人的概率为eq\f(7,40).(2)①由样本数据知，μ＝eq\f(35＋43＋90＋83＋50＋45＋82＋75＋62＋35,10)＝60，σ＝10.因为P(X≥50)＝P(X≥μ－σ)＝eq\f(P（μ－σ≤X≤μ＋σ）,2)＋eq\f(1,2)≈0.84135，所以0.84135×1000≈841，所以，估计学习时长不低于50小时的教师人数为841.②每名教师的学习时长在[50，70]内的概率为P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，由题意可知ξ～B(n，0.6827)，则P(ξ＝10)＝Ceq\o\al(10,n)×0.682710×0.3173n－10，设f(n)＝Ceq\o\al(10,n)×0.682710×0.3173n－10(n≥10)，则eq\f(f（n＋1）,f（n）)＝eq\f(Ceq\o\al(10,n＋1)×0.682710×0.3173n－9,Ceq\o\al(10,n)×0.682710×0.3173n－10)＝eq\f(0.3173n＋0.3173,n－9).令eq\f(0.3173n＋0.3173,n－9)>1，得n<eq\f(93173,6827)＝13eq\f(4422,6827)，所以当n≤13时，f(n＋1)>f(n)，令eq\f(0.3173n＋0.3173,n－9)<1，得n>13eq\f(4422,6827)，所以当n≥14时，f(n＋1)<f(n)，所以当n＝14时，f(n)最大，即使P(ξ＝10)最大的n的值为14.规律方法求概率的最值，利用函数或导数不易求其最值时，可利用作商法判断概率表达式的单调性，从而求出其最值.训练2某家畜研究机构发现每头成年牛感染H型疾病的概率是p(0<p<1)，且每头成年牛是否感染H型疾病相互独立.(1)记10头成年牛中恰有3头感染H型疾病的概率是f(p)，求当概率p取何值时，f(p)有最大值？(2)若以(1)中确定的p值作为感染H型疾病的概率，设10头成年牛中恰有k头感染H型疾病的概率是g(k)，求当k为何值时，g(k)有最大值？解(1)依题意，10头成年牛中恰有3头感染H型疾病的概率是f(p)＝Ceq\o\al(3,10)p3(1－p)7，且0<p<1，则有f′(p)＝Ceq\o\al(3,10)[3p2(1－p)7－7p3(1－p)6]＝Ceq\o\al(3,10)p2(1－p)6(3－10p).令f′(p)＝0，结合0<p<1，解得p＝0.3.则当p∈(0，0.3)时，f′(p)>0；当p∈(0.3，1)时，f′(p)<0.即函数f(p)在(0，0.3)上单调递增，在(0.3，1)上单调递减，故当概率p＝0.3时，f(p)有最大值.(2)10头成年牛中恰有k头感染H型疾病的概率是g(k)＝Ceq\o\al(k,10)pk(1－p)10－k(k＝0，1，2，…，10)，由(1)知p＝0.3，所以eq\f(g（k）,g（k－1）)＝eq\f(Ceq\o\al(k,10)pk（1－p）10－k,Ceq\o\al(k－1,10)pk－1（1－p）11－k)＝eq\f(Ceq\o\al(k,10)p,Ceq\o\al(k－1,10)（1－p）)＝eq\f(10！,k！（10－k）！)·eq\f(（k－1）！（11－k）！,10！)·eq\f(p,1－p)＝eq\f(11－k,k)·eq\f(p,1－p)＝eq\f(3.3－0.3k,0.7k)＝1＋eq\f(3.3－k,0.7k)，所以当3.3－k>0，即k<3.3(k∈N)时，eq\f(g（k）,g（k－1）)>1，g(k)>g(k－1)，当3.3－k<0，即k>3.3(k≤10，且k∈N)时，g(k)<g(k－1)，于是g(0)<g(1)<g(2)<g(3)，g(3)>g(4)>…>g(10)，所以当k＝3时，g(k)有最大值.【精准强化练】1.(2024·邵阳模拟)为了选拔创新型人才，某大学对高三年级学生的数学学科和物理学科进行了检测(检测分为初试和复试)，共有4万名学生参加初试.组织者随机抽取了200名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示.(1)根据频率分布直方图，求a的值及样本平均数的估计值；(2)若所有学生的初试成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ为样本平均数的估计值，σ＝10.5.规定初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数；(3)复试笔试试题包括两道数学题和一道物理题，已知小明进入了复试，且在复试笔试中答对每一道数学题的概率均为x，答对物理题的概率为y.若小明全部答对的概率为eq\f(1,8)，答对两道题的概率为p，求概率p的最小值.附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.解(1)∵10×(0.012＋0.026＋0.032＋a＋0.010)＝1，∴a＝0.02.样本平均数的估计值为50×0.12＋60×0.26＋70×0.32＋80×0.2＋90×0.1＝69.(2)∵μ＝69，σ＝10.5，∴P(X≥90)＝P(X≥μ＋2σ)≈eq\f(1－0.9545,2)＝0.02275.∴能参加复试的人数约为40000×0.02275＝910(人).(3)由题意有x2y＝eq\f(1,8).答对两道题的概率p＝x2(1－y)＋Ceq\o\al(1,2)x(1－x)y＝x2＋2xy－3x2y.而x2y＝eq\f(1,8)，∴p＝x2＋eq\f(1,4x)－eq\f(3,8).令f(x)＝x2＋eq\f(1,4x)－eq\f(3,8)(0<x≤1)，则f′(x)＝2x－eq\f(1,4x2)＝eq\f(8x3－1,4x2)，∴当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))时，f′(x)<0，f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))内单调递减；x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))时，f′(x)>0，f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))内单调递增.∴当x＝eq\f(1,2)时，f(x)min＝eq\f(3,8).故概率p的最小值为eq\f(3,8).2.(2024·新高考Ⅱ卷)某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成.比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中1次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立.(1)若p＝0.4，q＝0.5，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率