1.6《探索规律》教案（表格式） 2025-2026学年小学数学三年级下册 冀教版

《探索规律》教学设计学科数学年级三年级课型新授课单元第一单元课题《探索规律》课时一课时课标要求《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“数与代数”领域对第二学段（3-4年级）的要求：结合数字组合、迭代运算、数的分拆等情境，经历“观察——猜想——验证——总结”的探索过程，发现数学规律，发展运算能力与推理能力；能运用四则混合运算验证规律，尝试修改规则（如角谷猜想的变式）并验证，培养创新意识与严谨的科学态度；能运用规律解决“数字组合差”“数的分拆最值”等实际问题，体会数学规律的实用价值，提升应用意识。教材分析本内容是“四则混合运算”单元的综合实践拓展课，承接四则混合运算的运算能力，聚焦“规律探索”的核心素养，分三个层次展开：数字组合规律：通过“1~9中两个数字组成两位数求差除以9”“三个数字组成三位数求差除以9”的活动，引导学生发现“差是9的倍数，商与数字的位置差相关”的规律，渗透代数推理。迭代运算规律（角谷猜想）：通过“双数除以2、单数乘3加1”的迭代运算，验证角谷猜想（最终结果为1），并尝试修改规则（单数乘5加1）探索新规律，培养学生的猜想与验证能力。数的分拆最值规律：通过“把24分成两个数求乘积最小/最大”的问题，发现“和一定时，两数差越小乘积越大，差越大乘积越小”的规律，为后续“最值问题”奠定基础。编排逻辑遵循“具象探索→抽象验证→拓展应用”，核心是让学生在运算中感知规律，在验证中深化推理，在拓展中培养创新意识。学情分析知识基础：学生已掌握四则混合运算（含带小括号的运算），能进行多步计算，但对“规律的代数本质”（如两位数差的推导）缺乏系统认知，对“迭代运算的长期性”（角谷猜想的多步计算）需耐心引导。能力特点：能通过观察例子总结表面规律，但自主推导规律的代数原理（如两位数差与9的关系）能力不足，对“和一定时乘积最值”的逻辑需借助直观例子（如分拆24的不同情况）强化。学习风格：对“数字游戏”“猜想验证”等趣味活动兴趣较高，但对抽象规律的推导需借助具象例子辅助，避免机械记忆结论。核心素养目标1.能正确计算“数字组合的差”“迭代运算”“数的分拆乘积”等算式，提升运算的准确性与耐心。2.从具体例子中推导规律，体会“从特殊到一般”的归纳推理，发展逻辑思维。3.尝试修改角谷猜想的规则并验证，培养敢于猜想、勇于验证的创新精神。4.能运用“数的分拆最值规律”解决实际问题，感受数学规律的实用价值。教学重点探索“两位数的差除以9”的规律，体验规律探索的完整过程；了解“角谷猜想”的规则并进行验证。教学难点归纳总结“两位数的差除以9”的规律，理解规律背后的数学原理；坚持完成“角谷猜想”的多步验证，感受其必然性。教学准备多媒体课件教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图一、温故复习提问，温故孕新1.开花。2.计算下面各题。学生独自完成，然后集体订正。通过复习旧知，检查学生掌握知识的情况，同时为后面学习新的知识做准备。二、引新创设情境，引入课题师：同学们，今天老师带来一个“数字魔术”！从1~9里随便挑两个数字，比如选3和5，组成两个两位数，35和53。算它们的差，再除以9，看看结果是什么？谁想先来试试？师：如果选2和7呢？师：选1和4呢？师：哇，算得又快又准！这里藏着什么规律呢？今天咱们就来揭开这个魔术的秘密！学生：53－35=18，18÷9=2。学生：组成27和72，差是72－27=45，45÷9=5。学生：组成14和41，差是41－14=27，27÷9=3。以1~9选数组两位数的数字魔术导入，贴合小学生的好奇心，快速调动课堂参与热情，让开课氛围趣味十足，打破数学学习的枯燥感。三、探究合作探究，活动领悟探究1：解锁两位数差的规律师：请前后4人组成小组，按步骤完成任务。课件出示：探索规律。（1）按下面给出的顺序计算。师：用1~9中的两个不同数字组成两个两位数，求出它们的差，再用差除以9，记录下每个步骤的结果，看看能发现什么规律。课件出示——要求：请大家小组合作，每人至少举3组不同的数字，按照要求计算并填写记录单。师巡视指导，收集典型案例。师：时间到！哪个小组来分享你们的发现？根据学生的回答，课件出示：师：大家观察表格中求出的商与这两个数字有什么关系？师：这个猜想很有价值！咱们一起验证一下课本上的例子，是不是每个式子的商都是两个数字的差？课件出示：（2）计算下面各题。（21－12）÷9（75－57）÷9（72－27）÷9（81－18）÷9（95－59）÷9（92－29）÷9反馈：（21－12）÷9=1（75－57）÷9=2（72－27）÷9=5（81－18）÷9=7（95－59）÷9=4（92－29）÷9=7师：由1～9中任意两个数字组成的两个两位数，它们的差和9有什么关系？师：那我们可以总结规律了：由1～9中任意两个数字组成的两个两位数，它们的差除以9，结果等于这两个数字的差。师：如果选三个数字，组成最大和最小的三位数，差除以9会有什么发现？课件出示：（3）在1～9中任选三个数字，组成一个最大的三位数和一个最小的三位数，用这两个数的差除以9。至少写出三组，看一看你能发现什么。根据学生的回答，课件出示：（321－123）÷9=22(753－357)÷9=44（742－247）÷9=55（821－128）÷9=77（953－359）÷9=66（941－149）÷9=88师：你发现了什么？引导学生发现：在1～9中任选三个数字，组成一个最大的三位数和一个最小的三位数，用这两个数的差除以9，结果是个位数与十位数相同的两位数。学生分小组合作。学生1：我们选了5和7，组成57和75，差是18，商是18÷9=2。学生2：我们选1和5，组成15和51，差是51－15=36，商是36÷9=4。学生3：我们选7和6，组成76和67，差是9，商是9÷9=1。……学生独自观察，然后回答：商好像等于两个数字的差！比如5和7的差是2，商就是2。学生独自计算，然后展示反馈。学生自由说说。学生齐读规律。学生分小组合作完成，然后集体展示。以4人小组为单位，要求每人至少举3组不同数字完成计算并记录，让学生在动手计算中积累大量具体案例，为后续发现规律提供充足的事实支撑，同时培养学生的合作意识和有序计算的习惯。通过引导学生观察记录单中“商与所选两个数字的关系”，让学生自主提出猜想，再结合课本典型例子进行验证，最终总结出“两位数的差除以9的商等于所选两个数字的差”的规律，遵循“举例——猜想——验证——总结”的数学探究流程，培养学生的观察、归纳和推理能力。在掌握两位数规律后，顺势拓展到“任选三个数字组成最大、最小三位数，差除以9”的探究，让学生在新的问题中继续应用探究方法，发现新的数字规律，提升学生的知识迁移能力和持续探究的兴趣，感受数字规律的多样性。探究2：角谷猜想师：刚才我们解锁了数字差的规律，现在来玩一个更神奇的游戏，它的规则是：任取一个两位数，是双数，除以2；是单数，乘3再加1；得出结果后，如上反复进行；最后得出结果是1，停止。课件出示：探索规律。（1）按下图给出的顺序计算。师：是不是很不可思议？我们来验证一下。师：谁选一个两位数试试？我们以两位数“12”为例，一起验证。师带领学生一起验证：12（双数）÷2=6→6（双数）÷2=3→3（单数）×3+1=10→10（双数）÷2=5→5（单数）×3+1=16→16（双数）÷2=8→8（双数）÷2=4→4（双数）÷2=2→2（双数）÷2=1。师：大家看，经过10步运算，最终得到了1！现在请大家任选一个两位数，按照规则验证，记录每一步的结果，看看是否最终得到1。师巡视指导，提醒学生区分单双数，计算时细心，对于步骤较多的学生给予鼓励，然后抽学生汇报。展示：10（双数）→10÷2=5（单数）→5×3+1=16（双数）→16÷2=8（双数）→8÷2=4（双数）→4÷2=2（双数）→2÷2=1！真的到1了！反馈：21（单数）→21×3+1=64（双数）→64÷2=32（双数）→32÷2=16（双数）→16÷2=8（双数）→8÷2=4（双数）→4÷2=2（双数）→2÷2=1！最后算到1了！师：太有耐心了！任取一个三位数，按上面的顺序计算一下。比如123。引导学生共同计算：123（单数）→123×3+1=370（双数）→370÷2=185（单数）→185×3+1=556（双数）→……最终到1。师指出：任选一个自然数（0除外），按“逢双数除以2，逢单数乘3再加1”的规则重复进行运算，最终结果必定是1。这是著名的“角谷猜想”。课件出示：（3）将角谷猜想中的“逢单数乘3再加1”，改为“逢单数乘5再加1”，结果会怎样？师：比如选3。师：如果选5呢？展示：5（单数）→5×5+1=26（双数）→26÷2=13（单数），13×5+1=66（双数）→66÷2=33（单数）→33×5+1=166（双数）→166÷2=83（单数）→83×5+1=416（双数）→416÷2=208（双数）→208÷2=104（双数）→104÷2=52（双数）→52÷2=26（双数）→……师：这就是“大胆猜想、小心验证”的过程，数学家们也还在研究角谷猜想的奥秘呢！请大家能够像数学家一样大胆猜想，再验证！学生认真倾听规则。学生露出惊讶的表情。学生自主验。学生1：我选10。学生2：我选21。……学生验证。学生独自计算：3（单数）→3×5+1=16（双数）→16÷2=8（双数）→8÷2=4（双数）→2÷2=1。学生计算反馈：好像进入循环了！以“神奇的数字游戏”为切入点，明确角谷猜想的运算规则，通过教师带领学生验证两位数“12”，让学生直观感受“最终结果为1”的神奇现象，快速激发学生的探究欲望，让数学探究充满趣味性。让学生先任选两位数自主验证，再共同探究三位数的运算过程，遵循“从简单到复杂”的认知规律，让每个学生都参与到验证过程中；巡视时针对不同学生给予指导和鼓励，兼顾学困生，培养学生的计算能力、耐心和克服困难的品质。设计“将乘3加1改为乘5加1”的变式探究，让学生通过具体举例发现规律的变化，体验“大胆猜想、小心验证”的核心数学探究思想；同时介绍角谷猜想是数学家仍在研究的问题，让学生感受数学的奥秘和探究的无限可能，激发学生对数学的探索热情。四、变式师生互动，变式深化探究3：拆分24求积师：老师有24颗糖果，要分给两个小朋友（每人至少1颗），怎么分能让两人的糖果数乘积最小？怎么分能让乘积最大？接下来，咱们就来解决这个问题！课件出示：把24分成两个数的和有很多不同的分法。（1）24分成哪两个数（0除外）时，这两个数的乘积最小？（2）24分成哪两个数时，这两个数的乘积最大？师：请大家在学习单上列出24分拆成两个数的所有可能，计算每组的乘积，观察规律。师巡视指导，并提醒学生：请按顺序拆分，比如从1开始。师：谁来分享你的计算结果？展示：1×23=232×22=443×21=634×20=805×19=956×18=1087×17=1198×16=1289×15=13510×14=14011×13=14312×12=144师：观察这些乘积，什么时候最小？什么时候最大？师：再看看两个数的差：1和23的差是22，2和22的差是20，…，12和12的差是0。你发现了什么？师：所以我们总结出规律：把一个数（大于0）分拆成两个非0数的和，两个数的差越大，乘积越小；两个数的差越小，乘积越大；当两个数相等时，乘积最大。今天我们发现了分拆求积的最值规律，以后遇到类似问题就能快速解决啦！课后可以试试分拆其他数，验证规律是否成立。学生独立计算。学生分享。学生：乘积最小的是1×23=23，最大的是12×12=144。学生：差越大，乘积越小；差越小，乘积越大。以“分24颗糖果求乘积最值”的生活问题为载体，让学生感受数字规律在实际生活中的应用，避免规律探究的抽象化，让学生体会数学与生活的紧密关联，提升知识的应用意识。要求学生按顺序拆分24为两个非0数的和，计算每组乘积并记录，引导学生养成有序思考、不重不漏的解题习惯，通过具体的计算结果让学生直观感知乘积的变化规律，为后续归纳规律做好铺垫。通过引导学生观察“乘积变化与两个数的差的关系”，自主总结出“和一定时，两数差越大乘积越小，差越小乘积越大，两数相等时乘积最大”的规律，让学生在观察、对比、分析中提升逻辑思维能力，同时为后续解决类似的分拆求最值问题提供方法支撑。五、尝试尝试练习，巩固提高1.用数字8和5组成两个两位数，求差后除以9，结果是多少？2.一个两位数，十位数字是7，个位数字是2，交换数字位置后得到新的两位数，它们的差除以9，商是多少？3.用规律解决问题：把30分拆成两个数的和，乘积最小是多少？最大是多少？4.选择一个两位数，按照角谷猜想的规则验证，记录运算步骤，看看需要多少步能得到1。学生独自完成，然后集体订正。引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。六、提升适时小结，兴趣延伸师：回顾这节课你学到了什么？师：大家的收获真不少！数学就是在“猜想——验证——发现”中进步的，所以数学规律无处不在，希望大家以后在学习中多观察、多思考、多验证，发现更多数学的奥秘。学生1：我发现两个两位数的差除以9，商是这两个数字的差。学生2：角谷猜想的规则，双数除以2，单数乘3加1，最后会到1；改规则后可能循环。……引导学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获，让学生全面把握本节课的重点和难点，并启发学生用类比或迁移的方法学习后续课程。板书设计探索规律两位数差÷9=商→两个数字的差双数÷2，单数×3+1→最终得1双数÷2，单数×5+1→可能循环分拆求积：差越大，乘积越小；差越小，乘积越大；两数相等时，乘积最大。利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。作业设计（课外练习）基础达标：1.一个两位数，十位数字是8，个位数字是4，交换数字位置后得到新的两位数，它们的差除以9，商是多少？2.把15分拆成两个数的和，乘积最小是多少？最大是多少？能力提升：1.选择一个两位数，按照角谷猜想的规则验证，记录运算步骤，看看需要多少步能得到1。2.把24分拆成三个非0数的