《立体几何中的向量方法（第3课时）》自助餐

第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页《立体几何中的向量方法（第3课时）》自助餐学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单项选择题（共1题，13分）1.(13分)已知A(3,0，－1)、B(0，－2，－6)、C(2,4，－2)，则△ABC是()A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形二、填空题（共2题，26分）2.(13分)已知空间三点A(0,0,1)，B(－1,1,1)，C(1,2，－3)，若直线AB上一点M，满足CM⊥AB，则点M的坐标为__________________．3.(13分)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别是棱BC、DD1上的点，如果B1E⊥平面ABF，则CE与DF的和的值为________．三、解答题（共5题，61分）4.(13分)正方体ABCDA1B1C1D1中,E为AC的中点.证明:(1)BD1⊥AC(2)BD1⊥EB1.5.(12分)如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，D为AB的中点，AC＝BC＝BB1．(1)求证：BC1⊥AB1；(2)求证：BC1∥平面CA1D．6.(12分)如图，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，E，F分别是棱AB、BC的中点，EF∩BD＝G．求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1．7.(12分)在棱长AB＝AD＝2，AA1＝3的长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是平面BCC1B1上的动点，点F是CD的中点．试确定点E的位置，使D1E⊥平面AB1F．8.(12分)在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E、F分别是AB、PB的中点．(1)求证：EF⊥CD；(2)在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论．《立体几何中的向量方法（第3课时）》自助餐答案一、单项选择题1.【答案】C【解析】【知识点】向量法判断线线关系．【解题过程】＝(－3，－2，－5)，＝(－1,4，－1)，则·＝－3×(－1)－2×4＋5＝0．∴⊥，故△ABC为直角三角形．又||≠||，故选C．二、填空题2.【答案】(－，，1)．【解析】【知识点】向量法判断线线关系．【解题过程】设M(x，y，z)，又＝(－1,1,0)，＝(x，y，z－1)，＝(x－1，y－2，z＋3)，由题意得∴x＝－，y＝，z＝1，∴点M的坐标为(－，，1)．3.【答案】1．【解析】【知识点】利用向量探究点的位置【解题过程】以D1为原点，直线D1A1、D1C1、D1D为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,1)，B(1,1,1)，B1(1,1,0)，设DF＝t，CE＝k，则D1F＝1－t，∴F(0,0,1－t)，E(k,1,1)，要使B1E⊥平面ABF，易知AB⊥B1E，故只要B1E⊥AF即可，∵＝(－1,0，－t)，＝(k－1,0,1)，∴·＝1－k－t＝0，∴k＋t＝1，即CE＋DF＝1.三、解答题4.【答案】【解析】【知识点】向量法证明线线垂直．【解题过程】证明:以D为原点,DA、DC、所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.设正方体的棱长为1,则B(1,1,0)、(0,0,1)、A(1,0,0)、C(0,1,0)、E(,,0)、B1(1,1,1).(1)∴∴∴(2)∴∴∴5.【答案】【解析】【知识点】向量法证明线线垂直，线面垂直【解题过程】如图，以C1点为原点，C1A1、C1B1、C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设AC＝BC＝BB1＝2，则A(2,0,2)、B(0,2,2)、C(0,0,2)、A1(2,0,0)、B1(0,2,0)、C1(0,0,0)、D(1,1,2)．(1)∵＝(0，－2，－2)，＝(－2,2，－2)，∴·＝0－4＋4＝0，∴⊥，∴BC1⊥AB1．(2)取A1C的中点E，∵E(1,0,1)，∴＝(0,1,1)，又＝(0，－2，－2)，∴＝－，且ED和BC1不共线，则ED∥BC1．又ED⊂平面CA1D，BC1平面CA1D，故BC1∥平面CA1D．6.【答案】【解析】【知识点】向量法证明面面垂直．【解题过程】证明：以D为原点，DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，由题意知：D(0,0,0)，B1(2，2，4)，E(2，，0)，F(，2，0)，＝(0，－，－4)，＝(－，，0)．设平面B1EF的一个法向量为n＝(x，y，z)．则n·＝－y－4z＝0，n·＝－x＋y＝0．解得x＝y，z＝－y，令y＝1得n＝(1,1，－)，又平面BDD1B1的一个法向量为＝(－2，2，0)，而n·＝1×(－2)＋1×2＋(－)×0＝0，即n⊥．∴平面B1EF⊥平面BDD1B1．7.【答案】【解析】【知识点】利用向量探究点的位置【解题过程】建立空间直角坐标系如图，则A(0,0,0)、F(1,2,0)、B1(2,0,3)、D1(0,2,3)，设E(2，y，z)，则＝(2，y－2，z－3)，＝(1,2,0)，＝(2,0,3)，∵D1E⊥平面AB1F，∴即解得∴E(2,1，)即为所求．8.【答案】【解析】【知识点】利用向量求点的位置【解题过程】(1)证明：∵PD⊥底面ABCD，四边形ABCD是正方形，∴AD、DC、PD两两垂直，如图，以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设AD＝a，则D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a，a,0)、C(0，a,0)、E(a，，0)、P(0,0，a)、F(，，).＝(－，0，)，＝(0，a,0)．∵·＝0，∴⊥，即EF⊥